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数学选修2-2第四章《定积分复习小结》导学案


凤翔县紫荆中学 2014-2015 学年度第二学期高二数学选修 2-2 导学案

《定积分复习小结》导学案
班级: 姓名: 组名:
一、学习目标: 1、理解定积分的定义及几何意义,理解定积分的性质,了解微积分的基本定理,并且熟练计算一 些函数的积分; 2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程; 3、掌握定积分的计算方法; 4、利用

定积分的几何意义会解决问题。 二、学习重、难点 : 重点:理解并且掌握定积分算法; 难点:利用定积分的几何意义解决问题。 三、学法指导 1、重点理解定积分的定义及几何意义,理解定积分的性质,了解微积分的基本定理,并且熟练计 算一些函数的积分; 2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想; 3、重点掌握定积分的计算方法。





过 程

一.【知识再现】 1、 解决面积、路程、做功 3 个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值, 分割的 ,估计值就也接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于 时,过剩估计值和不足估计 值都趋于 ;误差趋于 。 2、定积分的定义思想: (1) (2) (3) (4) 3、 lim
n ??

? f ?? ??x =
i ?1 i i

n

;其中

?

叫做

, a 叫做

,b 叫做

, f ? x?

叫 4、
b a

。 ;在 x 轴上方的面积取 ,

? f ? x ?dx 的几何意义
? f ? x ?dx 的几何意义
a b

在 x 轴下方的面积取 ; ; ;
b

? f ? x ? dx 的几何意义 ? f ? x ?dx , ? f ? x ?dx , ? f ? x ? dx 的关系
a b
b

b

b

a

a

a

;若在 ? ? a , b ? 上 f ? x ? ? 0 则 ? f ? x ? dx = ? a, b ? 上 ? f ? x ? dx 时 , 若 在 ? ;若在 ? 。 f ? x ? ? 0 ? f ? x ? dx = ? a , c ? 上 f ? x? ? 0 ,? ? c , b ? 上 f ? x ? ? 0 ? f ? x ? dx = 5、定积分的性质: ? 1dx = , ? kf ? x ?dx = , ? ? , ? f ? x ? ? g ? x ?? ?dx = (定积分对积分区间的可加性) ? f ? x ?dx = 。 6、如果连续函数 f ? x ? 是函数 F ? x ? 的导函数,即 f ? x ? = ,则有 ? f ? x ?dx = 计算
b a a
b b a a

b

b

b

a

a

a

b

a

b

它叫做微积分基本定理,也称牛顿—莱布尼茨公式, F ? x ? 是 f ? x ? 的

a

7、计算定积分

? f ? x ?dx =
a

b

= F ?b? ? F ? a ?

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凤翔县紫荆中学 2014-2015 学年度第二学期高二数学选修 2-2 导学案
8、若 f ? x ? 在 ? ?a, a? 上连续,且是偶函数,则有 续,且是奇函数, ,若 f ? x ? 在 ? ?a, a? 上连

?

a

?a

f ? x ?dx ?

?

a

?a

f ? x ?dx ?

二.【方法回顾】 1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤: ( 1) 、画出图形; (2)确定图形的范围,通 过解方程组求出交点的横坐标,为定积分的上下界; ( 3)确定被积函数函数,特别分清被积函数的 上、下位置; (4)写出平面图形面积的定积分表达式; (5)运用微积分公式求出定积分。 2、求简单旋转体体积的解题步骤: (1)画出旋转前的平面图形(将它转化为函数) ; (2)确定轴 截面的图形的范围; (3)确定被积函数; (4)v= ? 三.【例题探究】 例 1、给出以下命题: (1)若 基本定理,有 函数,则

?

b

a

f 2 ? x ?dx
2?

?

b

a

(3)应用微积分 f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0; (2) ? sin x dx ? 4 ;
0

?

2

1

1 dx ? F (2) ? F (1) , 则 F(x)=lnx; (4)f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的 x
a ?T T

?

a

0

f ( x)dx ? ?
2

f ( x)dx ; 其中正确命题的个数为 (
C.3

) D.4
y

A.1

B.2

例 2、求由曲线 y ? x ? 2 与 y ? 3x , x ? 0 , x ? 2 所围成的平面图形的 面积。
0
1 2

x

2 例 3 、如图所示,已知曲线 C1 : y ? x2 与曲线 C2 : y ? ?x ? 2ax ? a ? 1? 交于点 O 、 A ,直线

连结 OD, DA , AB 。 写出曲边四边形 x ? t ? 0 ? t ? 1? 与曲线 C1 、C 2 分别相交于点 D 、B , ..... ABOD

(阴影部分)的面积 S 与 t 的函数关系式 S ? f ? t ? 。 解:

例 4、物体 A 以速度 v ? 3t ? 1 在一直线上运动,在此直线上与物体 A 出发的同时,物体 B 在物体 A 的正前方 5m 处以 v ? 10t 的速度与 A 同向运动,问两物体何时相遇?相遇时物体 A 的走过的路程是 多少?(时间单位为:s,速度单位为:m/s) 解:
2

四.【课堂练习】 课本 P95 页复习题四 A 组 1、2、4(1) 、 (8) ,5、10、11 五. 【学习感悟】

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