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古典概型


古典概型

什么是古典概型?
掷骰子试验

1点

2点

3点

4点

5点

6点

试验材料

研究角度

基本事件

基本事件发生的 可能性



向上点数 骰子质地均匀 向上点数 的奇偶性

六种随机事件的 “1点”、“2点”、“3点”、 可能性相等 “4点”、“5点”、“6点” “出现偶数点” “出现奇数点” 两种随机事件 的可能性相等

要点梳理
基本事件的特点

忆一忆知识要点

1.基本事件:试验中可能出现的每一个基本结果。 (1)任何两个基本事件是 互斥 的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件 的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称 古典概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性 相等.

辨析:

(1)某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验 的结果有:“命中10环”、“命中9环”、“命中 8环”、“命中7环”、“命中6环”、“命中5环” 和“不中环”。你认为这符合古典概型吗? 5 6 有限性 7 8 9 等可能性 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 9 8 7 6 5

(2)向一个圆面内随机地投射一个点, 如果该点落在圆内任意一点都是等可能的, 你认为这符合古典概型吗?为什么?

有限性

等可能性

在古典概型中,如何求随机事件出现的概率?

问题解决:你做对的概率是多少呢?
? Throws two quality of material even coins, all appears frontage to face on the probability is( ) (A) 1 (B) 1 (C) 1 (D) 1

6

4

3

2

在你对这道题的含义一点也不懂的前提下 ——可以看做是古典概型 如果是双选题呢? 如果是不定项选择题呢?

要点梳理

求古典概型的步骤:
? ? ? ? (1)判断是否为古典概型;(设事件) (2)计算所有基本事件的总个数n; (3)计算事件A所包含的基本事件个数m; m (4)计算

P ( A) ?

n

.

其中n是试验中所有基本事件的个数,m是事件A 包含的基本事件的个数(m ? n).

(摸球问题):一个口袋内装有大小相同的5个红球 和3个黄球, 从中依次摸出两个球。 ① 问共有多少个基本事件;
解: 分别对红球编号为1、2、3、4、5号,对黄球编号6、7、 8号,从中任取两球,有如下等可能基本事件,枚举如下:
1 1 2 3 4 5 6 7 8 (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) (8,1) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (7,2) (8,2) (4,3) (5,3) (6,3) (7,3) (8,3) (5,4) (6,4) (7,4) (8.4) (6,5) (7,5) (8,5) (7,6) (8,6) (8,7) 2 (1,2) 3 (1,3) (2,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) 7 (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7) 8 (1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8)

共有56个等可能事件

(摸球问题):一个口袋内装有大小相同的5个红球 和3个黄球, 从中依次摸出两个球。 ② 求摸出两个球都是黄球的概率;
1 1 2 3 4 (2,1) (3,1) (4,1) (3,2) (4,2) (4,3) 2 (1,2) 3 (1,3) (2,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) 7 (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) 8 (1,8) (2,8) (3,8) (4,8)

5
6 7 8

(5,1)
(6,1) (7,1) (8,1)

(5,2)
(6,2) (7,2) (8,2)

(5,3)
(6,3) (7,3) (8,3)

(5,4)
(6,4) (7,4) (8.4) (6,5) (7,5) (8,5)

(5,6)

(5,7)
(6,7)

(5,8)
(6,8) (7,8)

(7,6) (8,6) (8,7)

(摸球问题):一个口袋内装有大小相同的5个红球 和3个黄球, 从中依次摸出两个球。 ② 求摸出两个球至少有一个是红球的概率;
1 1 2 3 4 (2,1) (3,1) (4,1) (3,2) (4,2) (4,3) 2 (1,2) 3 (1,3) (2,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) 7 (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) 8 (1,8) (2,8) (3,8) (4,8)

5
6 7 8

(5,1)
(6,1) (7,1) (8,1)

(5,2)
(6,2) (7,2) (8,2)

(5,3)
(6,3) (7,3) (8,3)

(5,4)
(6,4) (7,4) (8.4) (6,5) (7,5) (8,5)

(5,6)

(5,7)
(6,7)

(5,8)
(6,8) (7,8)

(7,6) (8,6) (8,7)

(摸球问题):一个口袋内装有大小相同的5个红球 和3个黄球,从中摸出一个球,放回后再摸出一球。 ① 问共有多少个基本事件;
1 1 2 3 4 5 6 7 8 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) (8,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (7,2) (8,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (7,3) (8,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (7,4) (8.4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (7,5) (8,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (7,6) (8,6) 7 (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7) (7,7) (8,7) 8 (1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8) (8,8)

共有64个等可能事件

(摸球问题):一个口袋内装有大小相同的5个红球 和3个黄球,从中摸出一个球,放回后再摸出一球。 ② 求摸出两个球至少有一个是黄球的概率;
1 1 2 3 4 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) 7 (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) 8 (1,8) (2,8) (3,8) (4,8)

5
6 7

(5,1)
(6,1) (7,1)

(5,2)
(6,2) (7,2)

(5,3)
(6,3) (7,3)

(5,4)
(6,4) (7,4)

(5,5)
(6,5) (7,5)

(5,6)
(6,6) (7,6)

(5,7)
(6,7) (7,7)

(5,8)
(6,8) (7,8)

8

(8,1)

(8,2)

(8,3)

(8.4)

(8,5)

(8,6)

(8,7)

(8,8)

(摸球问题):一个口袋内装有大小相同的5个红球 和3个黄球,从中一次摸出两个球。 ① 问共有多少个基本事件; 解: 分别对红球编号为1、2、3、4、5号,对黄球编号6、7、 8号,从中任取两球,有如下等可能基本事件,枚举如下:
1
1 2 3 4 5 6 7 8 (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) (8,1) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (7,2) (8,2) (4,3) (5,3) (6,3) (7,3) (8,3) (5,4) (6,4) (7,4) (8.4) (6,5) (7,5) (8,5) (7,6) (8,6) (8,7)

2
(1,2)

3
(1,3) (2,3)

4
(1,4) (2,4) (3,4)

5
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5)

6
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)

7
(1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7)

8
(1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8)

共有28个等可能事件

(摸球问题):一个口袋内装有大小相同的5个红球 和3个黄球, 从中一次摸出两个球。 ?求摸出的两个球一红一黄的概率。
设“摸出的两个球一红一黄” 为事件C, 则事件C包含的基本事件有15个, 故 P (C ) ?
1 1 2 3 4 5 (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (3,2) (4,2) (5,2) (4,3) (5,3) (5,4) 2 (1,2) 3 (1,3) (2,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) 7 (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7)

m 15 ? n 28
8 (1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8)

6
7 8

(6,1)
(7,1) (8,1)

(6,2)
(7,2) (8,2)

(6,3)
(7,3) (8,3)

(6,4)
(7,4) (8.4)

(6,5)
(7,5) (8,5) (7,6) (8,6)

(6,7)

(6,8)
(7,8)

(8,7)

要点梳理

基本事件个数的确定方法
说明: ①列举基本事件要做到不重不漏,应当按照 一定的规律列出全部的基本事件. ②一般列出所有基本事件的结果, 方法包括树状图、列表法,按规律列举等
树状图 一般适用于基本 结果含两个或两 个以上元素的结 果的列举。

列表法一般适用于基本 结果含两个元素尤其是 有先后顺序的结果的列 举。

高考考向
高考文科考试说明 (1)理解古典概型及其概率计算公式。 (2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数 及事件发生的概率。

古典概型的题型,在选择、填空、解答题中都有可能考
查,常常与几何、统计等知识相结合,考查难度不大,关 键是计算准确基本事件总数与所求事件发生的事件数。

高考练兵
(2012安徽文5)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球, 2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 ( ) 1 2 (A) (B)
5

(C ) (2013安徽文10)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中 录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( ) 2 2 3 9 ( A) ( B) (C ) ( D) 3 5 5 10

3 5

5 4 (D) 5

(2012山东文18)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2。 (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和 小于4的概率; (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两 张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率。

他山之石,可以攻玉
(2009安徽文13)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取 出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。

(2011安徽文9)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点, 则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )。
A 1 10 B 1 8 C 1 6 D 1 5

(2012浙江文12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中, 随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为 的概率是__________。
1 6

2

5

3

4

他山之石,可以攻玉
(2010·陕西) 为了解学生身高情况,某校以 10% 的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图 如下:

(1)估计该校男生的人数;

(2)从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人, 求至 少有 1 人身高在 185~190 cm 之间的概率.



(1)样本中男生人数为 40,由分层抽样比例为 10%估计全

校男生人数为 400.
(2)样本中身高在 180~185 cm 之间的男生有 4 人,设其编号为 ①②③④,样本中身高在 185 ~190 cm 之间的男生有 2 人,设 其编号为⑤⑥.

故从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人的所有 可能结果数为 15,至少有 1 人身高在 185~190 cm 之间的可能 9 3 结果数为 9,因此,所求概率 p= = . 15 5

他山之石,可以攻玉
(2013北京文16)下图是某市3月1日至14日的空气质量 指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良, 空气质量指数大于200表示空气质量重度污染,某人随机 选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2 天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率; (Ⅱ)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;

小结
1、你今天学到的知识点:
知识点 基本事件 内容 ①任何两个基本事件是互斥的 ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基 本事件的和

古典概型
概率公式

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ②每个基本事件出现的可能性相等
P (A)= A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数

2.你今天学到的思想方法:
方法:求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数 常用的方法是列举法,树状图法,列表法) 注意:有序无序,有放回无放回,要做到不重不漏。


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