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[套卷]浙江省效实中学2014届高三上学期期始考数学理试题


浙江省效实中学 2014 届高三上学期期始考数学理 试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分. 请在答题卷内按要求作答 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目 要求的. 1、函数 f ( x) ? sin x ?

3 cos x( x ? [ ?? , 0]) 的单调递增区间是 A. [?? , ?

5? ] 6

B. [ ?

5? ? ,? ] 6 6

C. [?

?
3

, 0]

D. [?

?
6

, 0]

2、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? A.63 B.45 C.36 D.27

3、 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0, ? 值分别是 A. 2, ?

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 的

?
3

B. 2, ?

?
6

C. 4, ?

?
6

D. 4,

?
3

4、已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? A. ?6 1 ? 3?10

4 ,则 ?an ? 的前 10 项和等于 3
C. 3 1 ? 3?10

?

?
B.4

B.

1 1 ? 3?10 ? ? 9

?

?

D. 3 1+3?10

?

?

5、设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ? A.2 C.6 D.8

6、已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos ? ? A.

10 ,则 tan 2? ? 2
C. ?

4 3

B.

3 4

7、在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB, CD ? A.

????

3 4

D. ?

??? ? ??? ?

2 3

B.

1 3

C. ?

1 3

? ??? ? 1 ??? CA ? ? CB ,则 ? ? 3 2 D. ? 3

4 3



1第

10 20 10 20 正视图 20 侧视图 20 俯视图

8、已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是 A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C. 2000cm3

D. 4000cm3

9、已知函数 f ? x ? = cos x sin 2 x ,下列结论中错误的是 A. y ? f ? x ? 的图像关于 ?? , 0 ? 中心对称 C. f ? x ? 的最大值为 B. y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ?

?
2

对称

3 2

D. f ? x ? 既奇函数,又是周期函数

|PA|2+|PB|2 10、在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 等于 |PC|2 A.2 B.4 C.5 D.10 第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 11、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? 12、若 cos(? ? ? ) ? ____.

1 3 , cos(? ? ? ) ? ,.则 tan ? tan ? ? 5 5

.

13、已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. 14、已知平面向量 a,b,c 不共线,且两两之间的夹角都相等,若|a|=2,|b|=2,|c|=1,则 a+b+c 与 a 的夹角是________. 15 、 如 图 ?ABC 中 , 已 知 点 D 在 BC 边 上 ,AD ? AC, sin ?BAC ? _______________ 16、下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 ? . ②终边在 y 轴上的角的集合是 ?? ? ?

2 2 , AB ? 3 2, AD ? 3 则 BD 的 3





? ?

k? ? ,k ? Z ? 2 ?

③在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y ? x 的图象有三个公共点. ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ?


? ? )的图象向右平移 得到y ? 3 sin 2 x的图象. 3 6
2第

⑤函数 y ? sin( x ?

?
2

)在[0,? ]上是减函数.
(写出所有真命题的编号)

其中真命题的序号是

17、已知点 O 在二面角 ? ? AB ? ? 的棱上,点 P 在 ? 内,且 ?POB ? 45? 。若对于 ? 内异于 O 的任意一 点 Q,都有 ?POQ ? 45? ,则二面角 ? ? AB ? ? 的大小是__________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18、已知 cos ? ?

(1)求 tan 2? 的值; (2)求 ? .

? 1 13 , cos(? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < . 2 7 14

19、设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . (1)求 B 的大小; (2)求 cos A ? sin C 的取值范围. 20、已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间 ?0,

? ?

??

2 ? ? 6sin x cos x ? 2 cos x ? 1, x ? R . 4?

? ?? ? 上的最大值和最小值. ? 2?

21、设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 (1)求 {an } , {bn } 的通项公式; (2)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 S n . ? bn ?

22、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , P AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° ,

PA ? AB ? BC ,
E
D

E 是 PC 的中点. (1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE ; (3)求二面角 A ? PD ? C 的正切值。

A B

C

宁波效实中学高三起始考(理科数学)
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分. 请在答题卷内按要求作答 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目 要求的.
页 3第

1、函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? [ ?? , 0]) 的单调递增区间是 A. [?? , ? 【答案】D 2、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? A.63 【答案】B B.45 C.36 D.27

5? ] 6

B. [?

5? ? ,? ] 6 6

C. [?

?
3

, 0]

D. [?

?
6

, 0]

3 、函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0, ? 则 ? , ? 的值分别是 (A) 2, ?

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图

象如图所示,

?
3

(B) 2, ?

?
6

(C) 4, ?

?
6

(D) 4,

?
3

【答案】A 4、已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? (A) ?6 1 ? 3?10 答案 C 5、设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ? A.2 【答案】B B.4 C.6 D.8

4 ,则 ?an ? 的前 10 项和等于 3
(C) 3 1 ? 3?10

?

?

(B)

1 1 ? 3?10 ? ? 9

?

?

(D) 3 1+3?10

?

?

6 、已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos ? ? A.

10 ,则 tan 2? ? 2
C. ?

4 3

B.

3 4

3 4

D. ?

4 3

【答案】C 7、在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB, CD ? A.

????

??? ? ??? ?
D. ?

? ??? ? 1 ??? CA ? ? CB ,则 ? ? 3

2 3

B.

1 3

C. ?

1 3

2 3

【答案】AKs5u



4第

10 20 10 20 正视图 20 侧视图 20 俯视图

8、已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是 A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C. 2000cm3

D. 4000cm3

【答案】B 9.已知函数 f ? x ? = cos x sin 2 x ,下列结论中错误的是 (A) y ? f ? x ? 的图像关于 ?? , 0 ? 中心对称 (B) y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? (C) f ? x ? 的最大值为 【答案】C |PA|2+|PB|2 10、在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 = |PC|2 A.2 B.4 C.5 D.10 【答案】D Ks5u

?
2

对称

3 2

(D) f ? x ? 既奇函数,又是周期函数

第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 11、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? _____

1 3 12、若 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ,.则 tan ? tan ? ? 5 5

1 2

.

13、已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. [答案] 3 2 14、已知平面向量 a,b,c 不共线,且两两之间的夹角都相等,若|a|=2,|b|=2,|c|=1,则 a+b+c 与 a 的夹角是________. 答案 60° 15 、 如 图 ?ABC 中 , 已 知 点 D 在 BC 边 上 ,AD ? AC, sin ?BAC ? _______________ 【答案】 3

2 2 , AB ? 3 2, AD ? 3 则 BD 的 3







5第

16、下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 ? . ②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=

k? , k ? Z |. 2

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ? ⑤函数 y ? sin( x ?

? )在〔 0,?〕上是减函数. 2
① ④

? ? )的图象向右平移 得到y ? 3 sin 2 x的图象. 3 6

其中真命题的序号是

( (写出所有真命题的编号) )

17、已知点 O 在二面角 ? ? AB ? ? 的棱上,点 P 在 ? 内,且 ?POB ? 45? 。若对于 ? 内异于 O 的任意一 点 Q,都有 ?POQ ? 45? ,则二面角 ? ? AB ? ? 的大小是____ 90? ____。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18、已知 cos ? ?

(1)求 tan 2? 的值. (2)求 ? .

? 1 13 , cos(? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14

分析:本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力。 解: (Ⅰ)由 cos ? ?
2 1 ? 1? 4 3 , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? 7 2 7 ?7?

∴ tan ? ? sin ? ? 4 3 ? 7 ? 4 3 ,于是 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 ? 4 3 ? ? 8 3 cos ? 7 1 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 3 2 47

?

?

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ? 又∵ cos ?? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2
2

13 ? 3 3 13 ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 14 14 ? 14 ?

由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得:

cos ? ? cos ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? cos ? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ?
所以 ? ?

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? 7 14 7 14 2

?
3

?? ? 19、已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ? (1)求 f(x)的最小正周期; ? ?? (2)求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?
页 6第

解:

20、设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 (1)求 {an } , {bn } 的通项公式; (2)求数列 ? 解:

? an ? ? 的前 n 项和 S n . b ? n?

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,
解得 d ? 2 , q ? 2 . 所以 an ? 1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 ,

bn ? q n ?1 ? 2n ?1 .
(Ⅱ)

an 2n ? 1 ? n ?1 .Ks5u bn 2

3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ,① 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2 S n ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ,② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 Sn ? 1 ?

1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? ? n ?1 2 ? 2 ? 2 2



7第

1 n ?1 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 2n ? 3 ? 6 ? n ?1 . 2 1?
21、设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . (1)求 B 的大小; (2)求 cos A ? sin C 的取值范围. 解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6

(Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ? A? ? ?

1 3 ?? ?? ? ? sin A ? 3 sin ? A ? ? . ? cos A ? sin ? ? A ? ? cos A ? cos A ? 2 2 3? ?6 ? ?
由 △ ABC 为锐角三角形知,

? ? ? ? ? ? 2? ? ? ?A? ?B, ?B? ? ? . ? A? ? , 2 2 2 2 6 3 3 3 6
所以

1 ? ?? 3 3 ?? 3 ? .由此有 sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 ? 3? 2 2 3? 2 ?
? 3 3? ?. ? 2 , 2? ? ?

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?

22、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , P AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° ,

PA ? AB ? BC ,
E
D

E 是 PC 的中点. (1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE ; (3)求二面角 A ? PD ? C 的正切值。

A B

C

分析:本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力 和推理论证能力. 解: (Ⅰ)证明:在四棱锥 P ? ABCD 中,因 PA ? 底面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,故 PA ? CD . ∵ AC ? CD,PA ? AC ? A ,∴ CD ? 平面 PAC . 而 AE ? 平面 PAC ,∴ CD ? AE . (Ⅱ)证明:由 PA ? AB ? BC , ?ABC ? 60° ,可得 AC ? PA . ∵ E 是 PC 的中点,∴ AE ? PC . 由(Ⅰ)知, AE ? CD ,且 PC ? CD ? C ,所以 AE ? 平面 PCD .
页 8第

而 PD ? 平面 PCD ,∴ AE ? PD . ∵ PA ? 底面 ABCD,PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD , AB ? AD ,∴ AB ? PD . 又∵ AB ? AE ? A ,综上得 PD ? 平面 ABE . (Ⅲ)解法一:过点 A 作 AM ? PD ,垂足为 M ,连结 EM .则 P M (Ⅱ)知, AE ? 平面 PCD , AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ,则 E EM ? PD . 因此 ?AME 是二面角 A ? PD ? C 的平面角. A 由已知,得 ?CAD ? 30° .设 AC ? a , C B 2 3 21 2 可得 PA ? a,AD ? a,PD ? a,AE ? a. 3 3 2 在 Rt△ ADP 中,∵ AM ? PD ,∴ AM · PD ? PA · AD ,

D

PA · AD 则 AM ? ? PD

a ·

2 3 a 2 7 AE 3 ? a .在 Rt△ AEM 中, sin AME ? ? 7 AM 21 a 3
14 . 4

14 . 4

所以二面角 A ? PD ? C 的大小是 arcsin

解法二:由题设 PA ? 底面 ABCD , PA ? 平面 PAD ,则平面 PAD ? 平面 ACD ,交线为 AD . 过点 C 作 CF ? AD , 垂足为 F , 故 CF ? 平面 PAD . 过点 F 作 FM ? PD , 垂足为 M , 连结 CM , 故 CM ? PD .因此 ?CMP 是二面角 A ? PD ? C 的平面角. 由已知,可得 ?CAD ? 30° ,设 AC ? a , 可得 PA ? a,AD ?

2 3 21 1 3 a,PD ? a,CF ? a,FD ? a. 3 3 2 6
FM FD . ? PA PD
P

∵△FMD ∽△PAD ,∴

3 a ·a FD · PA 7 于是, FM ? ? 6 ? a. PD 14 21 a 3

E
A F

M D

B

C

1 a CF 2 ? ? 7. 在 Rt△CMF 中, tan CMF ? FM 7 a 14
所以二面角 A ? PD ? C 的大小是 arctan 7 .



9第


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