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必修5正余弦定理讲解及练习及答案


解三角形 (1)内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记!任意两角和 与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值 为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于第三边的平方. (2)正弦定理:

a ? b ? c ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C
a b ,sin B ? ,sin C 2R 2R

注意:①正弦定理的一些变式: ? i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ?

?

a+b+c c a ; ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ; (iv) = sin A sin A + sin B + sin C 2R ②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解. 如(1)(2012· 广东高考)在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 B.2 3 C. 3 D. 3 2
2 2 2

)

(3)余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.

2bc

如. (1)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+c2-b2= 3ac,则角 B 的值为________. 1 (2)2012· 北京高考)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=________. 4 (4)面积公式: S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) (其中 r 为三角形内切圆半径).

2

2

2

如(1) ? ABC 中,若 sin A cos B ? cos A sin B ? sin C ,判断 ? ABC 的形状。
2 2 2 2 2

(2)△ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为________. 特 别 提 醒 :( 1 ) 求 解 三 角 形 中 的 问 题 时 , 一 定 要 注 意 A ? B ? C ? ? 这 个 特 殊 性 :

A ? B ? ? ? C ,sin( A ? B) ? sin C ,sin
正弦定理、余弦定理实现边角互化。

A? B C ? cos ; (2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用 2 2

如(1) ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 , a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的 ?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定

(2)在 ?ABC 中,A>B 是 sin A ? sin B 成立的_____条件

a,b,c 分别是角 A、 (3)在 ?ABC 中, B、 C 所对的边, 若 ( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sinC ) ? 3a sin B , 则 ?C
=____ (4)在 ?ABC 中,若其面积 S ?

a 2 ? b2 ? c2 ,则 ?C =____ 4 3
1

(5)在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1 ,这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径是_______ 正余弦定理的应用问题 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图 3-8-1①).

图 3-8-1 2.方位角和方向角 (1)方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图 3-8-1②). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30°等. 3.坡度与坡比 坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比.

例题讲解

1.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的 北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.a km B. 3a km C. 2a km D.2a km )

2.在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 A、C 两点 之间的距离为________千米.

3.一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°、距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的 东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为________海里/时.

4.(2013· 梅州模拟)如图 3-8-3,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点 A,B 望对岸的标记物 C,测得∠CAB =30°,∠CBA=75°,AB=120 m.则这条河的宽度为________m.

图 3-8-3
2

正弦定理
一、基础过关 1.在△ABC 中,A=60° ,a= 3,b= 2,则 B 等于 A.45° 或 135° B.60° C.45° ( D.135° ( π 5 D. 或 π 6 6 ( 1 D. 2 ( ) ) ) )

2.在△ABC 中,若 3a=2bsin A,则 B 为 π A. 3 π B. 6 π 2 C. 或 π 3 3

3.在△ABC 中,若 A=30° ,B=60° ,b= 3,则 a 等于 A.3 B.1 C .2

4. 下列判断中正确的是 A.当 a=4,b=5,A=30° 时,三角形有一解 C.当 a= 3,b= 2,B=120° 时,三角形有一解

B.当 a=5,b=4,A=60° 时,三角形有两解 3 D.当 a= 2,b= 6,A=60° 时,三角形有一解 2 ( )

5.在△ABC 中,a=2,A=30° ,C=45° ,则△ABC 的面积 S△ABC 等于 A. 3+1 B. 3-1 C. 3+2 D. 3-2

6.在△ABC 中,c= 3,b=1,B=30° ,则△ABC 的面积为 A. 3 或 3 2 B. 3 3 或 2 4 C. 3或 3 4 D. 3

(

).

7.在△ABC 中,下列等式中总能成立的是 A.asin A=bsin B
2 2

( C.absin C=bcsin B ( C.等边三角形

) D.asin C=csin A )

B.bsin C=csin A
2

8.在△ABC 中,sin A=sin B+sin C,则△ABC 为 A.直角三角形 B.等腰直角三角形

D.等腰三角形 ( )

a b c 9.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 是 cos A cos B cos C A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形

D.等腰直角三角形 ( ).

10.在△ABC 中,若 a=5,b=3,C=120° ,则 sin A∶sin B 的值是 5 A. 3 3 B. 5 3 C. 7 5 D. 7

11.在△ABC 中,若 sin A>sin B,则角 A 与角 B 的大小关系为 A.A>B B.A<B C.A≥B

( ). D.A,B 的大小关系不能确定 ( ).

sin A cos B cos C 12.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 中最长的边是 a b c A.a B.b C.c D.b 或 c

13.若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60° ,则边 AB 的长度为_______. 2sin A-sin B 14.在△ABC 中,已知 a∶b∶c=3∶4∶5,则 =______. sin C
3

π 1 15.在△ABC 中,若 b=5,B= ,sin A= ,则 a=______. 4 3 16.在△ABC 中,若 AC= 6,BC=2,B=60° ,则 C=______. π 17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 A= ,b=1,三角形 ABC 的外接圆半径为 1,则△ 3 ABC 的面积 S=____ ___. 18.下列条件判断三角形解的情况,正确的是_______. ① a=8,b=16,A=30° ,有两解; ③ a=15,b=2,A=90° ,无解; ② b=18,c=20,B=60° ,有一解; ④ a=30,b=25,A=150° ,有一解.

a-2b+c 19.在△ABC 中,若 A∶B∶C=1∶2∶3,a=1,则 =_______. sin A-2sin B+sin C a+b+c 20.在△ABC 中,A=60° ,a=6 3,b=12,S△ABC=18 3,则 =__ ____,c=_____. sin A+sin B+sin C 21.在△ABC 中,已知 2 3asin B=3b,且 cos B=cos C,试判断△ABC 的形状. cos A b 4 22.在△ABC 中,若 = = ,试判断三角形的形状. cos B a 3 23.在△ABC 中,已知 a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,若 b=2a,B=A+60° ,求 A 的值. 24.已知在△ABC 中,c=10,A=45° ,C=30° ,求 a、b 和 B. π B 2 5 25.在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,若 a=2,C= ,cos = ,求△ABC 的面积 4 2 5 S.

余弦定理
一、基础过关 1.在△ABC 中,若 b2=a2+c2+ac,则 B 等于 A.60° B.45° 或 135° C.120° D.30° ( ). ( )

2.在△ABC 中,已知 a=9,b=2 3,C=150° ,则 c 等于 A. 39 B.8 3 C.10 2 D.7 3

3.若三条线段的长分别为 5,6,7,则用这三条线段 A.能组成直角三角形 C.能组成钝角三角形 B.能组成锐角三角形 D.不能组成三角形

(

)

4.在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,则 cos C 的值为 1 A. 3 2 B.- 3 1 C. 4 1 D.- 4

(

)

5.在△ABC 中,已知 b=3,c=3 3,A=30° ,则角 C 等于 A.30° B.120° C.60°

( D.150°

)

6.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a=2bcos C,则此三角形一定是(
4

)

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形 ( ).

7.在△ABC 中,若 a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC 的最小角为 π A. 3 π B. 6 π C. 4 π D. 12

c2-a2-b2 8.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 >0,则△ABC 2ab A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形

(

).

D.是锐角或直角三角形 )

9.已知 a、b、c 为△ABC 的三边长,若满足(a+b-c)(a+b+c)=ab,则∠C 的大小为( A.60° B.90° C.120° D.150° (

10.在△ABC 中,已知 sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则这个三角形的最小外角为 A.30° B.60° C.90° D.120° ( D. 2 3

)

11.在△ABC 中,已知 b2=ac 且 c=2a,则 cos B 等于 1 A. 4 3 B. 4 C. 2 4

)

12.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且∠C=60° ,则 ab 的值为 4 A. 3 B.8-4 3 C.1 2 D. 3 ( ). D.钝角三角形 ).

(

)

13.在△ABC 中,B=60° ,b2=ac,则三角形一定是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形

14.在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积 S△ABC= A. 3 B.3 C. 7

3 ,则边 BC 的长为 ( 2

D.7 a 等于 sin A D.3 3 ( ).

15.在△ABC 中,A=60° ,b=1,其面积为 3,则 2 39 A. 3 2 29 B. 3 26 3 C. 3

17.已知△ABC 的内角 B=60° ,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD 的长为________. 18.在△ABC 中,已知 a=2,b=4,C=60° ,则 A=________. 19.已知 a,b,c 为△ABC 的三边,B=120° ,则 a2+c2+ac-b2=________. 20.在△ABC 中,若(a-c)(a+c)=b(b+c),则 A=________. 21.在△ABC 中,已知 a=5,b=7,B=120° ,则△ABC 的面积为________. 1 22.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A= ,a=4,b+c=6,且 b<c,求 b,c 的值. 4 23.在△ABC 中,BC=a,AC=b,且 a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两根,2cos(A+B)=1. (1)求角 C 的度数; (2)求 AB 的长; (3)求△ABC 的面积.

24.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,asin A+csin C- 2asin C=bsin B. (1)求 B; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c.

5

25.在△ABC 中,已知 a-b=4,a+c=2b,且最大角为 120° ,求三边长. 解
? ? ?a-b=4 ?a=b+4 由? ,得? .∴a>b>c,∴A=120° ,∴a2=b2+c2-2bccos 120° , ?a+c=2b ?c=b-4 ? ?

1? 2 即(b+4)2=b2+(b-4)2-2b(b-4)×? ?-2?,即 b -10b=0,解得 b=0(舍去)或 b=10.当 b=10 时,a=14,c=6. 26.已知 a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 的对边,且 a2+c2-b2=ac. (1)求角 B 的大小;(2)若 c=3a,求 tan A 的值. 解 a2+c2-b2 1 (1)由余弦定理,得 cos B= = . 2ac 2 π ∵0<B<π,∴B= . 3

b2+c2-a2 5 7 (2)法一 将 c=3a 代入 a2+c2-b2=ac,得 b= 7a.由余弦定理,得 cos A= = . 2bc 14 ∵0<A<π,∴sin A= 1-cos2A= 21 sin A 3 .∴tan A= = . 14 cos A 5

π 21 法二 将 c=3a 代入 a2+c2-b2=ac,得 b= 7a.由正弦定理,得 sin B= 7sin A.∵B= ,∴sin A= . 3 14 5 7 sin A 3 又∵b= 7a>a,则 B>A,∴cos A= 1-sin2A= .∴tan A= = . 14 cos A 5 2 5 27.在△ABC 中,B=45° ,AC= 10,cos C= .(1)求边 BC 的长;(2)记 AB 的中点为 D,求中线 CD 的长. 5 解 AC 10 3 10 (1)由正弦定理知 BC= · sin A= · =3 2. sin B 2 10 2 (2)由余弦定理知 CD= BD2+BC2-2BD· BC· cos B= 1+18-2×1×3 2× 2 = 13. 2

28.在△ABC 中,A=120° ,c>b,a= 21,S△ABC= 3,求 b,c. 解 1 ∵S△ABC= bcsin A= 3,∴bc=4.① 2 又 a2=b2+c2-2bccos A,∴b+c=5,②

又 c>b,由① ②得 b=1,c=4. π 29.在△ABC 中,内角 A,B,C 对边分别是 a,b,c,已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b;(2)若 sin B=2sin A,求△ABC 的面积. 解 1 1 3 (1)∵S= absin C= ab· = 3,∴ab=4. 2 2 2 ② ① ∵c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab-2abcos C

=(a+b)2-12=4.∴a+b=4.

由①②可得 a=2,b=2.

2 3 4 3 (2)∵sin B=2sin A,∴b=2a.又∵c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=4.∴a= ,b= . 3 3 1 2 3 ∴S= absin C= . 2 3

6

1.2

正、余弦定理应用举例
( B ) D.2a km

1.已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观测站 C 的北偏东 20° 方向上,灯塔 B 在 观测站 C 的南偏东 40° 方向上,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 A.a km B. 3a km C. 2a km

2.海上有 A、B 两个小岛相距 10 n mile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视 角,则 B、C 间的距离是 A.10 3 n mile 10 6 B. n mile 3 C.5 2 n mile ( .D ) D.5 6 n mile

3.如图,为测一树的高度,在地面上选取 A、B 两点,从 A、B 两点分别测得望树尖的仰角为 30° ,45° ,且 A、 B 两点之间的距离为 60 m,则树的高度为 ( A )

A.(30+30 3) m C.(15+30 3) m

B.(30+15 3) m D.(15+3 3) m

4.如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15° 的方向上,与灯塔 S 相距 20 海里,随后货轮按北 偏西 30° 的方向航行 30 分钟后到达 N 处,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为 A.20( 6+ 2) 海里/小时 B.20( 6- 2) 海里/小时 时 5.某人先向正东方向走了 x km,然后他向右转 150° ,向新的方向走了 3 km,结果他离出发点恰好为 3 km,那 么 x 的值为 A. 3 B.2 3 C.2 3或 3 D.3 (C ). C.20( 6+ 3) 海里/小时 ( B )

D.20( 6- 3) 海里/小

解析 根据余弦定理可得,( 3)2=x2+32-2×3xcos(180° -150° ),即 x2-3 3x+6=0,∴x=2 3或 3. 6.从 200 m 高的山顶看,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30° ,60° ,则塔高为( A 400 A. m 3 400 3 B. m 3 200 3 C. m 3 200 D. m 3 ).

200 解析 由山顶与塔底的俯角为 60° 可知,山脚与塔底的水平距离为 ,又山顶看塔顶的俯角为 30° ,设塔高 3 200 3 400 为 x m,则 200-x= × ,∴x= m.故选 A. 3 3 3 7.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点分别测得 塔顶的仰角分别为 45° ,30° ,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为 120° ,甲、乙 两地相距 500 m,则电视塔在这次测量中的高度是 A.100 2 m B.400 m C.200 3 m ( D ).

D.500 m

解析 由题意画出示意图,设高 AB=h,在 Rt△ABC 中,由已知 BC=h,在 Rt△ABD 中,由已知 BD= 3h,在△BCD 中,由余弦定理 BD2=BC2 +CD2-2BC· CD· cos∠BCD 得,3h2=h2+5002+h· 500,解
7

之得 h=500 m.故选 D. 8. 如图所示,为了测量河的宽度,在一侧岸边选定两点 A,B,在另一侧岸边选定 C,测得∠CAB=30° ,∠CBA=75° ,AB=120 m,则河的宽度为____60 m____. 3+ 3 3- 3 h h 设河宽 h m,则 + =120,又∵tan 75° = ,∴ 3h+ h=120, tan 30° tan 75° 3- 3 3+ 3 ∴h=60 m. 9.已知 A,B 两岛相距 10 n mile,从 A 岛看 B,C 两岛的视角为 60° ,从 B 岛看 A,C 两岛的视角是 75° ,则 B, C 两岛的距离为__ 5 6______ n mile. 解析 A,B,C 为△ABC 的顶点,且 A=60° ,B=75° ,∴C=180° -(A+B)=180° -(60° +75° )=45° . ABsin A 10· sin 60° 根据正弦定理得,BC= = =5 6 (n mile). sin C sin 45° 10. 要测量对岸两点 A、 B 之间的距离, 选取相距 3 km 的 C、 D 两点, 并测得∠ACB=75° , ∠BCD=45° , ∠ADC =30° ,∠ADB=45° ,求 A、B 之间的距离. 解 如图所示,在△ACD 中,∠ACD=120° ,∠CAD=∠ADC=30° , ∴AC=CD= 3 (km).在△BCD 中,∠BCD=45° ,∠BDC=75° ,∠CBD=60° . ∴BC= 3sin 75° 6+ 2 = (km). sin 60° 2 点

△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=( 3)2+?

? 6+ 2?2-2 3× 6+ 2×cos 75° =3+2+ 3- 3=5, ? 2 ? 2 ?

∴AB= 5 (km).∴A、B 之间的距离为 5 km. 11.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 30° ,而且两条船与炮台底部连 成 30° 角,求两条船之间的距离.

如图所示 ∠CBD=30° ,∠ADB=30° ,∠ACB=45° .∵AB=30 (m),∴BC=30 (m),BD= CD2=BC2+BD2-2BC· BD· cos 30° =900,∴CD=30 (m),即两船相距 30 m. 30 =30 3 (m).在△BCD 中, tan 30°

8

解三角形 (1)内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记!任意两角和 与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值 为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于第三边的平方. (2)正弦定理:

a ? b ? c ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C
a b ,sin B ? ,sin C 2R 2R

注意:①正弦定理的一些变式: ? i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ?

?

a+b+c c a ; ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ; (iv) = sin A sin A + sin B + sin C 2R ②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解. 如(1)(2012· 广东高考)在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 B.2 3 C. 3 D. 3 2 AC BC = , sin B sin A )

【解析】 在△ABC 中,根据正弦定理,得 2 3 2× 2 BC·sin B ∴AC= = =2 3. sin A 3 2 【答案】 B

(3)余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
2 2 2

2bc

π 如. 如. (1) 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 a2+c2-b2= 3ac, 则角 B 的值为___ _____. 6 1 (2)2012· 北京高考)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=________. 4 【解析】 由 b2=a2+c2-2accos B 及 b+c=7, 1 得 b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×(- ), 4 整理得 15b-60=0.∴b=4. 【答案】 4 (4)面积公式: S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) (其中 r 为三角形内切圆半径).

2

2

2

如(1) ? ABC 中,若 sin A cos B ? cos A sin B ? sin C ,判断 ? ABC 的形状(答:直角三角形) 。
2 2 2 2 2

(2)△ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为________. 【解析】 由余弦定理知 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos 120°, 2 即 49=25+BC +5BC,解得 BC=3. 1 1 3 15 3 故 S△ABC= AB·BCsin 120°= ×5×3× = . 2 2 2 4 【答案】 15 3 4
9

特 别 提 醒 :( 1 ) 求 解 三 角 形 中 的 问 题 时 , 一 定 要 注 意 A ? B ? C ? ? 这 个 特 殊 性 :

A ? B ? ? ? C ,sin( A ? B) ? sin C ,sin
正弦定理、余弦定理实现边角互化。

A? B C ? cos ; (2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用 2 2

如(1) ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 , a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的 ?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定(答:C) ;

(2)在 ?ABC 中,A>B 是 sin A ? sin B 成立的_____条件(答:充要) ;

a,b,c 分别是角 A、 (3)在 ?ABC 中, B、 C 所对的边, 若 ( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sinC ) ? 3a sin B , 则 ?C
=____(答: 60 ) ; (4)在 ?ABC 中,若其面积 S ?

a 2 ? b2 ? c2 ,则 ?C =____(答: 30 ) ; 4 3

( 5 ) 在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1,这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径是 _______(答:

2 39 ) ; 3
正余弦定理的应用问题 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图 3-8-1①).

图 3-8-1 2.方位角和方向角 (1)方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图 3-8-1②). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30°等. 3.坡度与坡比 坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比. 例题讲解

10

图 3-8-2 1.(人教 A 版教材习题改编)如图 3-8-2 所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( ) A.a km B. 3a km C. 2a km D.2a km 【解析】 在△ABC 中,AC=BC=a,∠ACB=120° , ∴AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,AB= 3a. 【答案】 B 2.在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 A、C 两点之间的距离 为________千米. 【解析】 在△ABC 中,∠CAB=75°,∠CBA=60°, ∴∠ACB=180°-75°-60°=45°, 又 AB=2,由正弦定理,得 AC AB = ,故 AC= 6. sin 60° sin 45°

【答案】 6 3.一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°、距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯 塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为________海里/时.

【解析】 如图.由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°. 在△PMN 中,由正弦定理,得 MN PM = ,∴MN=34 6. sin 120° sin 45° 又由 M 到 N 所用时间为 14-10=4 小时, 34 6 17 ∴船的航行速度 v= = 6(海里/时). 4 2 【答案】 17 6 2

4. (2013· 梅州模拟)如图 3-8-3, 为了测量河的宽度, 在一岸边选定两点 A, B 望对岸的标记物 C, 测得∠CAB =30°,∠CBA=75°,AB=120 m.则这条河的宽度为________m.

图 3-8-3 【解析】 因为∠CAB=30° ,∠CBA=75°, 则∠ACB=180°-30°-75°=75°, 所以 AC=AB=120 m, 1 1 1 所以 S△ABC= ·AC·AB·sin A= ×120×120× =3 600, 2 2 2 1 设这条河的宽度为 h,则 S△ABC= ×AB·h, 2 1 ∴h=AC· sin A=120× =60(m). 【答案】 60 2
11

1. 1. 1
一、基础过关 1.在△ABC 中,A=60° ,a= 3,b= 2,则 B 等于 A.45° 或 135° B.60°

正弦定理

( C D.135° ( C π 5 D. 或 π 6 6 ( B 1 D. 2

)

C.45°

2.在△ABC 中,若 3a=2bsin A,则 B 为 π A. 3 π B. 6 π 2 C. 或 π 3 3

)

3.在△ABC 中,若 A=30° ,B=60° ,b= 3,则 a 等于 A.3 B.1 C .2

)

4. 下列判断中正确的是 A.当 a=4,b=5,A=30° 时,三角形有一解 C.当 a= 3,b= 2,B=120° 时,三角形有一解

( D ) B.当 a=5,b=4,A=60° 时,三角形有两解 3 D.当 a= 2,b= 6,A=60° 时,三角形有一解 2 ( A )

5.在△ABC 中,a=2,A=30° ,C=45° ,则△ABC 的面积 S△ABC 等于 A. 3+1 B. 3-1 C. 3+2 D. 3-2

6.在△ABC 中,c= 3,b=1,B=30° ,则△ABC 的面积为 A. 3 或 3 2 B. 3 3 或 2 4 C. 3或 3 4 D. 3

(

B).

csin B 3 解析 根据正弦定理:sin C= = 3sin 30° = .∵c>b,∴C>B=30° ,∴C=60° 或 120° . b 2 1 3 当 C=60° 时,A=180° -(B+C)=180° -(30° +60° )=90° ,∴△ABC 的面积 S= bc= ; 2 2 1 1 3 当 C=120° 时,A=180° -(30° +120° )=30° ,∴△ABC 的面积 S= bcsin A= ×1× 3sin 30° = . 2 2 4 7.在△ABC 中,下列等式中总能成立的是 A.asin A=bsin B B.bsin C=csin A C.absin C=bcsin B ( D ) D.asin C=csin A ( A ) C.等边三角形 D.等腰三角形 ( B D.等腰直角三角形 ( A ). )

8.在△ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为 A.直角三角形 B.等腰直角三角形

a b c 9.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 是 cos A cos B cos C A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形

10.在△ABC 中,若 a=5,b=3,C=120° ,则 sin A∶sin B 的值是 5 A. 3 3 B. 5 3 C. 7 5 D. 7

sin A a 5 解析 在△ABC 中,C=120° ,故 A,B 都是锐角.据正弦定理 = = . sin B b 3 11.在△ABC 中,若 sin A>sin B,则角 A 与角 B 的大小关系为
12

( A).

A.A>B

B.A<B

C.A≥B

D.A,B 的大小关系不能确定

解析 由 sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B(R 为△ABC 外接圆的半径)?a>b?A>B. sin A cos B cos C 12.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 中最长的边是 a b c A.a B.b C.c D.b 或 c ( A ).

解析 由正弦定理知 sin B=cos B,sin C=cos C,∴B=C=45° ,∴A=90° ,故选 A. 13.若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60° ,则边 AB 的长度为____2____. 2sin A-sin B 2 14.在△ABC 中,已知 a∶b∶c=3∶4∶5,则 =___ _____. sin C 5 π 1 5 2 15.在△ABC 中,若 b=5,B= ,sin A= ,则 a=__ ____. 4 3 3 16.在△ABC 中,若 AC= 6,BC=2,B=60° ,则 C=___75° _____. 2 6 2 解析 由正弦定理得 = ,∴sin A= .∵BC=2<AC= 6,∴A 为锐角.∴A=45° .∴C=75° . sin A sin 60° 2 π 17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 A= ,b=1,三角形 ABC 的外接圆半径为 1,则△ 3 ABC 的面积 S=____ 3 ___. 2

a b 1 π π 3 解析 由正弦定理 = =2R,∴a= 3,sin B= ,∴a>b,∴A>B,∴B= ,C= .∴S△ABC= . sin A sin B 2 6 2 2 18.下列条件判断三角形解的情况,正确的是__④______. ① a=8,b=16,A=30° ,有两解; ③ a=15,b=2,A=90° ,无解; ② b=18,c=20,B=60° ,有一解; ④ a=30,b=25,A=150° ,有一解.

解析 ①中 a=bsin A,有一解;②中 csin B<b<c,有两解;③中 A=90° 且 a>b,有一解. a-2b+c 19.在△ABC 中,若 A∶B∶C=1∶2∶3,a=1,则 =____2____. sin A-2sin B+sin C a-2b+c a a 2b c 解析 由已知 A=30° ,B=60° ,C=90° , =2.∴ = = = =2. sin A sin A 2sin B sin C sin A-2sin B+sin C a+b+c 20.在△ABC 中,A=60° ,a=6 3,b=12,S△ABC=18 3,则 =__12 ____,c=__6____. sin A+sin B+sin C 21.在△ABC 中,已知 2 3asin B=3b,且 cos B=cos C,试判断△ABC 的形状. 解 ∵2 3asin B=3b,∴2 3· (2Rsin A)· sin B=3(2Rsin B),∴sin A= 3 ,∴A=60° 或 120° .∵cos B=cos C,∴B 2

=C.当 A=60° 时,△ABC 是等边三角形;当 A=120° 时,△ABC 是顶角为 120° 的等腰三角形. cos A b 4 22.在△ABC 中,若 = = ,试判断三角形的形状. cos B a 3 cos A sin B 4 由正弦定理知 = = ,∴sin Acos A=sin Bcos B,∴sin 2A=sin 2B,∴2A=2B 或 2A+2B=π,∴A=B cos B sin A 3 π b 或 A+B= . 又∵ >1,∴B>A,∴△ABC 为直角三角形. 2 a
13

23.在△ABC 中,已知 a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,若 b=2a,B=A+60° ,求 A 的值. ∵b=2a∴sin B=2sin A,又∵B=A+60° ,∴sin(A+60° )=2sin A,∴sin A= 24.已知在△ABC 中,c=10,A=45° ,C=30° ,求 a、b 和 B. 解 ∵ 10×sin 45° a c b c = ,∴a= =10 2.B=180° -(45° +30° )=105° .又∵ = , sin A sin C sin 30° sin B sin C 3 3 cos A,∴tan A= ,∴A=30° . 3 3

6+ 2 csin B 10×sin 105° ∴b= = =20sin 75° =20× =5( 6+ 2). sin C sin 30° 4 π B 2 5 25.在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,若 a=2,C= ,cos = ,求△ABC 的面积 4 2 5 S. 解 cos B=2cos2 3π B 3 4 ? 7 2 -1= ,故 B 为锐角,sin B= .所以 sin A=sin(π-B-C)=sin? ? 4 -B?= 10 . 2 5 5

asin C 10 1 1 10 4 8 由正弦定理得 c= = ,所以 S△ABC= acsin B= ×2× × = . sin A 7 2 2 7 5 7

1. 1. 2
一、基础过关 1.在△ABC 中,若 b2=a2+c2+ac,则 B 等于 A.60° B.45° 或 135°

余弦定理

( C C.120° D.30°

)

2.在△ABC 中,已知 a=9,b=2 3,C=150° ,则 c 等于 A. 39 B.8 3 C.10 2 D.7 3

( D ).

解析 c2=a2+b2-2abcos C=92+(2 3)2-2×9×2 3cos 150° =147=(7 3)2,∴c=7 3 3.若三条线段的长分别为 5,6,7,则用这三条线段 A.能组成直角三角形 C.能组成钝角三角形 B.能组成锐角三角形 D.不能组成三角形 ( A ) 1 D.- 4 ( B D.150° ) ) ( B )

4.在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,则 cos C 的值为 1 A. 3 2 B.- 3 1 C. 4

5.在△ABC 中,已知 b=3,c=3 3,A=30° ,则角 C 等于 A.30° B.120° C.60°

6.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a=2bcos C,则此三角形一定是( C A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形 ( B).

7.在△ABC 中,若 a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC 的最小角为 π A. 3 π B. 6 π C. 4 π D. 12

a2+b2-c2 49+48-13 3 π 解析 ∵c<b<a,∴最小角为角 C.∴cos C= = = .∴C= ,故选 B. 2ab 2 6 2×7×4 3
14

c2-a2-b2 8.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 >0,则△ABC 2ab A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形

( C

).

D.是锐角或直角三角形

c2-a2-b2 解析 ∵ >0,∴c2-a2-b2>0.∴a2+b2<c2.∴△ABC 为钝角三角形.故选 C. 2ab 9.已知 a、b、c 为△ABC 的三边长,若满足(a+b-c)(a+b+c)=ab,则∠C 的大小为( C A.60° B.90° C.120° D.150° ( B ) )

10.在△ABC 中,已知 sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则这个三角形的最小外角为 A.30° B.60° C.90° D.120°

11.在△ABC 中,已知 b2=ac 且 c=2a,则 cos B 等于 1 A. 4 3 B. 4 C. 2 4 D. 2 3

( B

)

12.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且∠C=60° ,则 ab 的值为 4 A. 3 B.8-4 3 C.1 2 D. 3 ( B). D.钝角三角形

( A )

13.在△ABC 中,B=60° ,b2=ac,则三角形一定是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形

余弦定理 b2=a2+c2-ac∴a2+c2-2ac=0, ∴(a-c)2=0, ∴a=c.∵B=60° , ∴A=C=60° .△ABC 为等边三角形. 14.在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积 S△ABC= A. 3 B.3 C. 7 3 ,则边 BC 的长为 ( A ). 2 1 3 ∵S△ABC= AB· ACsin A= , ∴AC=1.由余 2 2

D. 7

弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos A=4+1-2×2×1×cos 60° =3.即 BC= 3. 15.在△ABC 中,A=60° ,b=1,其面积为 3,则 2 39 A. 3 2 29 B. 3 26 3 C. 3 a 等于 sin A D.3 3 ( A ).

1 解析 由 S△ABC= bcsin A= 3可知 c=4.由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=1+16-8cos 60° =13, 2 a 13 2 39 ∴a= 13.∴ = = . sin A sin 60° 3 17.已知△ABC 的内角 B=60° ,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD 的长为___ 3_____. 18.在△ABC 中,已知 a=2,b=4,C=60° ,则 A=_30° _______. 19.已知 a,b,c 为△ABC 的三边,B=120° ,则 a2+c2+ac-b2=___0_____. 解析 ∵b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120° =a2+c2+ac.∴原式为 0. 20.在△ABC 中,若(a-c)(a+c)=b(b+c),则 A=____120° ____. ∵(a-c)(a+c)=b(b+c),∴a2-c2=b2+bc, b2+c2-a2 1 即 b2+c2-a2=-bc.∴cos A= =- .∵0° <A<180° ,∴A=120° . 2bc 2 15 3 21.在△ABC 中,已知 a=5,b=7,B=120° ,则△ABC 的面积为___ _____. 4
15

1 1 15 3 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B,即 c2+5c-24=0,解得 c=3.∴S△ABC= acsin B= ×5×3sin 120° = . 2 2 4 1 22.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A= ,a=4,b+c=6,且 b<c,求 b,c 的值. 4 解 1 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,∴16=(b+c)2-2bc- bc∴bc=8, 2

? ?b+c=6, 又∵b+c=6,b<c,解方程组? 得 b=2,c=4 或 b=4,c=2(舍).∴b=2,c=4. ?bc=8, ?

23.在△ABC 中,BC=a,AC=b,且 a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两根,2cos(A+B)=1. (1)求角 C 的度数; (2)求 AB 的长; (3)求△ABC 的面积.

1 (1)cos C=cos[π-(A+B)]=- ,又∵C∈(0° ,180° ),∴C=120° (2)∵a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两根, 2

?a+b=2 3, 1 3 ∴? ∴AB2=a2+b2-2abcos 120° =(a+b)2-ab=10,∴AB= 10.(3)S△ABC= absin C= . 2 2 ?ab=2.
24.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,asin A+csin C- 2asin C=bsin B. (1)求 B; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c. 2 .因此 B=45° . 2

(1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B,故 cos B= (2)sin A=sin(30° +45° )=

2+ 6 2+ 6 bsin A bsin C sin 60° . 故 a= = =1+ 3,c= =2× = 6. 4 sin B sin B sin 45° 2

25.在△ABC 中,已知 a-b=4,a+c=2b,且最大角为 120° ,求三边长. 解
? ? ?a-b=4 ?a=b+4 由? ,得? .∴a>b>c,∴A=120° ,∴a2=b2+c2-2bccos 120° , ?a+c=2b ?c=b-4 ? ?

1? 2 即(b+4)2=b2+(b-4)2-2b(b-4)×? ?-2?,即 b -10b=0,解得 b=0(舍去)或 b=10.当 b=10 时,a=14,c=6. 26.已知 a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 的对边,且 a2+c2-b2=ac. (1)求角 B 的大小;(2)若 c=3a,求 tan A 的值. 解 a2+c2-b2 1 (1)由余弦定理,得 cos B= = . 2ac 2 π ∵0<B<π,∴B= . 3

b2+c2-a2 5 7 (2)法一 将 c=3a 代入 a2+c2-b2=ac,得 b= 7a.由余弦定理,得 cos A= = . 2bc 14 ∵0<A<π,∴sin A= 1-cos2A= 21 sin A 3 .∴tan A= = . 14 cos A 5

π 21 法二 将 c=3a 代入 a2+c2-b2=ac,得 b= 7a.由正弦定理,得 sin B= 7sin A.∵B= ,∴sin A= . 3 14 5 7 sin A 3 又∵b= 7a>a,则 B>A,∴cos A= 1-sin2A= .∴tan A= = . 14 cos A 5 2 5 27.在△ABC 中,B=45° ,AC= 10,cos C= .(1)求边 BC 的长;(2)记 AB 的中点为 D,求中线 CD 的长. 5

16



AC 10 3 10 (1)由正弦定理知 BC= · sin A= · =3 2. sin B 2 10 2 (2)由余弦定理知 CD= BD2+BC2-2BD· BC· cos B= 1+18-2×1×3 2× 2 = 13. 2

28.在△ABC 中,A=120° ,c>b,a= 21,S△ABC= 3,求 b,c. 解 1 ∵S△ABC= bcsin A= 3,∴bc=4.① 2 又 a2=b2+c2-2bccos A,∴b+c=5,②

又 c>b,由① ②得 b=1,c=4. π 29.在△ABC 中,内角 A,B,C 对边分别是 a,b,c,已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b;(2)若 sin B=2sin A,求△ABC 的面积. 解 1 1 3 (1)∵S= absin C= ab· = 3,∴ab=4. 2 2 2 ② ① ∵c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab-2abcos C

=(a+b)2-12=4.∴a+b=4.

由①②可得 a=2,b=2.

2 3 4 3 (2)∵sin B=2sin A,∴b=2a.又∵c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=4.∴a= ,b= . 3 3 1 2 3 ∴S= absin C= . 2 3

课后作业(二十四) 正弦定理和余弦定理
(见学生用书第 284 页) 一、选择题

1. (2013· 韶关模拟)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.若 acos A=bsin B, 则 sin Acos A+cos2B =( ) 1 1 A.- B. C.-1 D.1 2 2 【解析】 由 acos A=bsin B 得 sin Acos A=sin2B, ∴sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1. 【答案】 D 2.若△ABC 中,6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B=( A. 15 4 3 3 15 11 B. C. D. 4 16 16

)

3 【解析】 由正弦定理得 6a=4b=3c,所以 b= a,c=2a. 2 a2+c2-b2 所以 cos B= = 2ac 【答案】 D
17

3 a2+(2a)2-( a)2 2 11 = . 16 2a×(2a)

3.在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则 A 的取值范围是( π π π π A.(0, ] B.[ ,π ] C.(0, ] D.[ ,π ) 6 6 3 3 【解析】 由正弦定理得 a2≤b2+c2-bc, 1 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A,则 cos A≥ . 2 π 因为 0<A<π,所以 0<A≤ . 3 【答案】 C 4.(2013· 梅州调研)已知△ABC 的面积为

)

3 ,AC=2,∠BAC=60°,则∠ACB=( 2

)

A.30° B.60° C.90° D.150° 1 3 【解析】 由 S△= AB·ACsin∠BAC=ABsin 60°= , 2 2 得 AB=1, ∴BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠BAC=3,∴BC= 3. BC AB 由正弦定理得 = , sin∠BAC sin∠ACB AB·sin∠BAC sin 60° 1 ∴sin∠ACB= = = , BC 2 3 又 AB<BC,∴∠ACB<60°,∴∠ACB=30°. 【答案】 A 5.(2012· 湖北高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数, 且 A>B>C,3b=20acos A,则 sin A∶sin B∶sin C 为( ) A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 【 解 析 】 ∵A>B>C , ∴a>b>c. 设 a = b + 1 , c = b - 1 , 由 3b = 20acos A , 得 3b = 20(b + b2+(b-1)2-(b+1)2 8 1)× .化简,得 7b2-27b-40=0.解得 b=5 或 b=- (舍去), 7 2b(b-1) ∴a=6,c=4. ∴sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4. 【答案】 D 二、填空题 6.(2012· 北京高考)在△ABC 中,若 a=3,b= 3,∠A= a b 【解析】 在△ABC 中,由正弦定理可知 = , sin A sin B bsin A 即 sin B= = a 3× 3 2 1 = . 3 2 π ,则∠C 的大小为________. 3

π π 又∵a>b,∴∠B= .∴∠C=π-∠A-∠B= . 6 2 【答案】 π 2

7(2012· 湖北高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C= ________.
18

【解析】 由(a+b-c)(a+b+c)=ab, a2+b2-c2 1 得 a2+b2-c2=-ab,则 cos C= =- . 2ab 2 2π 又因为角 C 为△ABC 的内角,所以 C= . 3 【答案】 2π 3

8.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 a2-c2=b,且 b=3ccos A,则 b=________. b2+c2-a2 【解析】 由余弦定理知 b=3ccos A=3c× , 2bc ∴b2=3(a2-c2), 又 a2-c2=b,∴b2=3b,∴b=3. 【答案】 3 三、解答题 9.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 b2+c2=a2+bc. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B·sin C=sin2A,试判断△ABC 的形状. b2+c2-a2 bc 1 【解】 (1)由已知得 cos A= = = , 2bc 2bc 2 π 又∠A 是△ABC 的内角,∴A= . 3 (2)由正弦定理,得 bc=a2, 又 b2+c2=a2+bc,∴b2+c2=2bc. ∴(b-c)2=0,即 b=c. π 又 A= ,∴△ABC 是等边三角形. 3 π π π 10.(2012· 江西高考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 A= ,bsin( +C)-csin( + 4 4 4 B)=a. π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. π π 【证明】 (1)由 bsin( +C)-csin( +B)=a, 4 4 π π 得 sin Bsin( +C)-sin Csin( +B)=sin A, 4 4 sin B( 2 2 2 2 2 sin C+ cos C)-sin C( sin B+ cos B)= , 2 2 2 2 2

整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1,即 sin(B-C)=1. π 3 3 由于 0<B< π,且 0<C< π,从而 B-C= . 4 4 2 3π 5π π (2)B+C=π-A= ,因此 B= ,C= . 4 8 8 π 由 a= 2,A= , 4

19

5π π asin B asin C 得 b= =2sin ,c= =2sin , sin A 8 sin A 8 5π π 1 所以△ABC 的面积 S= bcsin A= 2sin sin 2 8 8 = 2cos π π 1 sin = . 8 8 2 C . 2

11.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 sin C+cos C=1-sin (1)求 sin C 的值; (2)若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值. 【解】 (1)由已知得 sin C+sin ∴sin 由 sin ∴sin C C C (2cos +1)=2sin2 . 2 2 2 C C C ≠0,得 2cos +1=2sin , 2 2 2 C C 1 -cos = . 2 2 2 C =1-cos C, 2

1 3 两边平方,得 1-sin C= ,∴sin C= . 4 4 (2)由 sin 得 ∴ C C 1 -cos = >0, 2 2 2

π C π < < , 4 2 2 π <C<π, 2

3 7 则由 sin C= 得 cos C=- . 4 4 由 a2+b2=4(a+b)-8,得(a-2)2+(b-2)2=0, 则 a=2,b=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=8+2 7, 所以 c= 7+1. 第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例

1.2

正、余弦定理应用举例
( B ) D.2a km

1.已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观测站 C 的北偏东 20° 方向上,灯塔 B 在 观测站 C 的南偏东 40° 方向上,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 A.a km B. 3a km C. 2a km

2.海上有 A、B 两个小岛相距 10 n mile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视 角,则 B、C 间的距离是 A.10 3 n mile 10 6 B. n mile 3
20

( .D ) C.5 2 n mile D.5 6 n mile

4.如图,为测一树的高度,在地面上选取 A、B 两点,从 A、B 两点分别测得望树尖的仰角为 30° ,45° ,且 A、 B 两点之间的距离为 60 m,则树的高度为 ( A )

A.(30+30 3) m C.(15+30 3) m

B.(30+15 3) m D.(15+3 3) m

5.如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15° 的方向上,与灯塔 S 相距 20 海里,随后货轮按北 偏西 30° 的方向航行 30 分钟后到达 N 处,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为 A.20( 6+ 2) 海里/小时 B.20( 6- 2) 海里/小时 时 5.某人先向正东方向走了 x km,然后他向右转 150° ,向新的方向走了 3 km,结果他离出发点恰好为 3 km,那 么 x 的值为 A. 3 B.2 3 C.2 3或 3 D.3 (C ). C.20( 6+ 3) 海里/小时 ( B )

D.20( 6- 3) 海里/小

解析 根据余弦定理可得,( 3)2=x2+32-2×3xcos(180° -150° ),即 x2-3 3x+6=0,∴x=2 3或 3. 6.从 200 m 高的山顶看,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30° ,60° ,则塔高为( A 400 A. m 3 400 3 B. m 3 200 3 C. m 3 200 D. m 3 ).

200 解析 由山顶与塔底的俯角为 60° 可知,山脚与塔底的水平距离为 ,又山顶看塔顶的俯角为 30° ,设塔高 3 200 3 400 为 x m,则 200-x= × ,∴x= m.故选 A. 3 3 3 7.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点分别测得 塔顶的仰角分别为 45° ,30° ,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为 120° ,甲、乙 两地相距 500 m,则电视塔在这次测量中的高度是 A.100 2 m B.400 m C.200 3 m ( D ).

D.500 m

解析 由题意画出示意图,设高 AB=h,在 Rt△ABC 中,由已知 BC=h,在 Rt△ABD 中,由已知 BD= 3h,在△BCD 中,由余弦定理 BD2=BC2 +CD2-2BC· CD· cos∠BCD 得,3h2=h2+5002+h· 500,解 之得 h=500 m.故选 D. 8. 如图所示,为了测量河的宽度,在一侧岸边选定两点 A,B,在另一侧岸边选定 C,测得∠CAB=30° ,∠CBA=75° ,AB=120 m,则河的宽度为____60 m____. 3+ 3 3- 3 h h 设河宽 h m,则 + =120,又∵tan 75° = ,∴ 3h+ h=120, tan 30° tan 75° 3- 3 3+ 3 ∴h=60 m. 9.已知 A,B 两岛相距 10 n mile,从 A 岛看 B,C 两岛的视角为 60° ,从 B 岛看 A,C 两岛的视角是 75° ,则 B, C 两岛的距离为__ 5 6______ n mile.
21



解析 A,B,C 为△ABC 的顶点,且 A=60° ,B=75° ,∴C=180° -(A+B)=180° -(60° +75° )=45° . ABsin A 10· sin 60° 根据正弦定理得,BC= = =5 6 (n mile). sin C sin 45° 10. 要测量对岸两点 A、 B 之间的距离, 选取相距 3 km 的 C、 D 两点, 并测得∠ACB=75° , ∠BCD=45° , ∠ADC =30° ,∠ADB=45° ,求 A、B 之间的距离. 解 如图所示,在△ACD 中,∠ACD=120° ,∠CAD=∠ADC=30° , ∴AC=CD= 3 (km).在△BCD 中,∠BCD=45° ,∠BDC=75° ,∠CBD=60° . ∴BC= 3sin 75° 6+ 2 = (km). sin 60° 2

△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=( 3)2+?

? 6+ 2?2-2 3× 6+ 2×cos 75° =3+2+ 3- 3=5, ? 2 ? 2 ?

∴AB= 5 (km).∴A、B 之间的距离为 5 km. 11.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 30° ,而且两条船与炮台底部连 成 30° 角,求两条船之间的距离.

如图所示 ∠CBD=30° ,∠ADB=30° ,∠ACB=45° .∵AB=30 (m),∴BC=30 (m),BD= CD2=BC2+BD2-2BC· BD· cos 30° =900,∴CD=30 (m),即两船相距 30 m. 30 =30 3 (m).在△BCD 中, tan 30°

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