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2013年浙江省高中数学竞赛试题解答


2013 年浙江省高中数学竞赛试题解答
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后
的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1. 集合 P ? {x x ? R, x ? 1 ? 1 }, Q ? {x x ? R, x ? a ? 1}, 且 P ? Q ? ? ,则实数 a 取值 范围为(

) A. a ? 3 C. a ? ?1 或 a ? 3 答案 C B. a ? ?1 . D. ?1 ? a ? 3

P ? {x 0 ? x ? 2}, Q ? {x a ? 1 ? x ? a ? 1}, 要 使 P ? Q ? ? , 则 a ? 1 ? 2 或

a ? 1 ? 0 。解得 a ? ?1 或 a ? 3 。
2. 若 ? , ? ? R, 则 ? ? ? ? 90 是 sin ? ? sin ? ? 1 的(
?



A. 充分而不必要条件 C. 充要条件
?

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

答案 D 若 ? ? 0, ? ? 90 ? sin ? ? sin ? ? 1。 当 ? ? ? ? 60 ? sin ? ? sin ? ? 3 ? 1 ,但 ? ? ? ? 90 。
?

?

3. 已知等比数列{ a ( A. 3 9 81 )

n

}: a1 ? 3, 且第一项至第八项的几何平均数为 9,则第三项是

B. 3 7 81
2

C.

3

9

D. 3 3

答案 B 计算得 q ? 37 , a3 ? 3 7 81 。 4. 已知复数 z ? x ? yi( x, y ? R, i 为虚数单位) ,且 z ? 8i ,则 z ? (
2



A. z ? 2 ? 2i C. z ? ?2 ? 2i, 或 z ? 2 ? 2i 答案 D

B. z ? ?2 ? 2i D. z ? 2 ? 2i, 或 z ? ?2 ? 2i

5. 已知直线 AB 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点,M 为 AB 的中点,C 为抛物线上一个动
2

点,若 C0 满足 C0 A ? C0 B ? min{CA ? CB} ,则下列一定成立的是( A. C0 M ? AB C. C0 A ? C0 B

???? ???? ? ?

??? ??? ? ?

) 。

B. C0 M ? l , 其中 l 是抛物线过 C0 的切线 D. C0 M ?

1 AB 2
1

答案 B

??? ??? ???? ???? ? ? ? ? ???? ???? ? ? ???? 2 ???? ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? ? ? CA ? CB ? (CM ? AM ) ? (CM ? BM ) ? CM ? CM ( AM ? BM ) ? AM ? BM ? ???? 2 ???? 2 ? ? ??? ??? ????? ? ? ? CM ? AM ? min{CA ? CB} ? CM min ? CM ? l 。
6. 某程序框图如下,当 E ? 0.96 时,则输出的 K=( A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 )

开 始

K=1, S=0

S=S+1/(K(K+1))

S>=E?




K=K+1

输出 K , 答案 C

S?

1 1 1 ? ??? 1? 2 2 3 ? k ? k (?

1 ? 1? ? 0 . 9? k ? 6 1) k ? 1

24.
)个。

7. 若三位数 abc 被 7 整除,且 a, b, c 成公差非零的等差数列,则这样的整数共有( A.4 B. 6 C. 7 D 8

答案 D 设三位数为 (b ? d )b(b ? d ) ? 111b ? 99d (0 ? b ? 9, ?9 ? d ? 9, d ? 0), 由

7 (111b ? 99d ) ? 7 (b ? d ) ? b ? 1, d ? ?1; b ? 2, d ? ?2; b ? 3, d ? ?3; b ? 4, d ? 3, ?4;

b ? 5, d ? 2; b ? 6, d ? 1; b ? 8, d ? ?1 。所以,所有的三位数为 210, 420,630,147,840,357,567,987
8. 已知一个立体图形的三视图如下,则该立体的体积为( ) 。

A. 3 3

B.

3 3 2

C.

9 3 2

D.

9 3 4

2

3 2
1 1

2
正视图: 上下两个 正方形

2

3

侧视图

1

俯视图:边长为 2 的 正三角形

答案 D 从图中可知,立体是由两个三棱柱组成。 9. 设函数 f ( x ) ? x( x ? 1) ( x ? 2) ( x ? 3) ,则函数 y ? f ( x) 的极大值点为(
2 3 4



A. x ? 0

B. x ? 1

C. x ? 2

D. x ? 3

答案 B 由图象可知 x ? 1 为函数极大值点, x ? 3 是极小值点, x ? 0, 2 不是极值点。 10. 已知 f ( x), g ( x), h( x) 为一次函数,若对实数 x 满足

??1, x ? ?1 ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? ?3 x ? 2, ?1 ? x ? 0 ,则 h ( x ) 的表达式为( ??2 x ? 2, x ? 0 ?

) 。

A. h( x) ? x ?

1 2

B. h( x) ? ? x ?

1 2

C. h( x) ? ? x ?
答案 C

1 1 D. h( x) ? x ? 2 2 ?2 x ? 2 ? (?1) 1 h( x ) ? ? ?x ? 。 2 2 1 , 3

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后 的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11. 若 tan x tan y ? 2,sin x sin y ? 则 x ? y ? _______ 2k? ?

?
3

__________。

3

解答:由 tan x tan y ? 2,sin x sin y ?

x ? y ? 2k? ?

?
3

1 1 1 ? cos x cos y ? ? cos( x ? y) ? ,所以 3 6 2


2

12. 已 知 f ( x) ? x ? ( k ? 1) x ? 2 若 当 x ? 0 时 f ( x) 恒 大 于 零 , 则 k 的 取 值 范 围 为 , ______ (??, 2 2 ? 1) _______ 。 解答 由 x 2 ? (k ? 1) x ? 2 ? 0 ? k ? 1 ? x ?

2 2 , x ? ? 2 2 等号在 x ? 2 取得,即 x x

k ? 2 2 ? 1。
13. 数列 { n n}, n ? 1, 2,? ,则数列中最大项的值为______ 3 3 ________。
1 1 x 1 ln x x

解答 f ( x) ? x ? e 三项,其值为 3 3 。

xx 所以数列最大项为第 ? f / ( x) ? 2 (1 ? ln x) ? x ? e 为极大值点, x

14. 若 x, y ? R ,满足 2 x ? 2 x y ? 2 y( x ? x ) ? x ? 5 ,则 x
2 2 2 2

? 3, y ? ? 2 。
3

解答 把等式看成关于 x 的一元二次方程

2 ? ? 4( y ? 1)2 ? 20(2 y 2 ? 2 y ? 1) ? 0 ? (3 y ? 2) 2 ? 0 ? y ? ? , x ? 3 。 3
3 15. 设直线 l 与曲线 y ? x ? x ? 1 有三个不同的交点 A, B, C ,且 AB ? BC ? 5 ,则直线 l

的方程为_____ y ? 2 x ? 1 ____________。 解 答 曲 线 关 于 ( 0,1 ) 点 对 称 , 设 直 线 方 程 为 y ? kx ? 1, A( x, y) , 则

? y ? kx ? 1 ? ? 3 ? (k ? 2)(k 2 ? k ? 2) ? 0 ? k ? 2 。所求直线方程为 y ? 2 x ? 1 。 ? y ? x ? x ?1 ? 2 2 ? x ? ( y ? 1) ? 5 ?

1 1 ? )} ? _______ 3 2 _________________。 a 2 b2 1 1 1 1 2 解答 max{a, b, 2 ? 2 } ? m ? a ? m, b ? m, 2 ? 2 ? m ? m ? 2 ? m ? 3 2 ,所以 a b a b m 1 1 min{max(a, b, 2 ? 2 )} ? 3 2 。 a b 17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含第一象限 x, y 轴上的整点) ,其运
16. 若 a ? 0, b ? 0, 则 min{max(a, b, 动规律为 (m, n) ? (m ? 1, n ? 1) 或 (m, n) ? (m ? 1, n ? 1) 。若该动点从原点出发,经过 6 步
4

运动到(6,2)点,则有__________9_________种不同的运动轨迹。 解答
2 1 C6 ? C6 ? 9 .

三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分)
2 18. 已知抛物线 y ? 4 x ,过 x 轴上一点 K 的直线与抛物线交于点 P, Q,

两点。证明,存在唯一一点 K ,使得

1 PK
2

?

1 KQ
2

为常数,并确定 K 点的坐标。

解答 设 K ( a,0 ) ,过 K 点直线方程为 y ? k ( x ? a) ,交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 联 立方程组

? y2 ? 4x 2(ak 2 ? 2) ? k 2 x 2 ? 2(ak 2 ? 2) x ? a 2 k 2 ? 0 ? x1 ? x2 ? , x1 x2 ? a 2 ?5 分 ? k2 y ? k ( x ? a) ?
2 ? PK 2 ? ( x1 ? a ) 2 ? y12 , KQ 2 ? ( x2 ? a ) 2 ? y2 ??????????????7 分

a 2 k 1 1 ? ? ? 2 2 2 ,????????????????????12 分 PK 2 KQ 2 a (1 ? k ) 1?
令a ? 2 ?

1 1 1 ? ? , K (2, 0) 。????????????????17 分 PK 2 KQ 2 4
2

19. 设二次函数 f ( x ) ? ax ? (2b ? 1) x ? a ? 2(a, b ? R, a ? 0) 在[3,4]上至少有一个零点, 求 a ? b 的最小值。
2 2

解法 1 由已知得,设 t 为二次函数在[3,4]上的零点,则有 at ? (2b ? 1)t ? a ? 2 ? 0 ,变形
2

(2 ? t )2 ? [a(t 2 ? 1) ? 2bt ]2 ? (a 2 ? b2 )((t 2 ? 1) 2 ? t 2 ) ? (a 2 ? b2 )(1 ? t 2 ) 2 ,??5 分

t ?2 2 1 1 ,???????????12 分 ) ? ? 2 5 1? t 100 2 (t ? 2 ? ? 4) t ?2 5 2 3 因为 t ? 2 ? , t ? [3, 4] 是减函数,上述式子在 t ? 3, a ? ? , b ? ? 时取等号,故 t ?2 25 50 1 。????????????????????????17 分 a2 ? b2 的最小值为 100
于是 a ? b ? (
2 2

解法 2

把等式看成关于 a, b 的直线方程 : ( x ? 1)a ? 2 xb ? x ? 2 ? 0 ,利用直线上一点
2
2 2

( a, b )到原点的距离大于原点到直线的距离,即 a ? b ?

x?2 ( x 2 ? 1) 2 ? (2 x) 2

(以下同

5

上) 。 20. 设 x ? N 满 足 ?

? 1? x ? ? ? x ?

2013

?

2014 . 数 列 a1 , a2 ? , a2 0 是 公 差 为 x 2013 , 首 项 , 1 3 2013

a1 ? ( x ? 1)2 x 2012 ? 1 的等差数列; 数列 b1 , b2 ,?, b2013 是公比为
的等比数列,求证: b1 ? a1 ? b2 ? ? ? a2012 ? b2013 。

1? x , 首项 b1 ? ( x ? 1) x 2013 x

解:首先, ai ? ( x ? 1) 2 x 2012 ? 1 ? (i ? 1) x 2013 ,

-----------------2 分

1 ? x i ?1 bi ? ( x ? 1) x 2013 ( ) ? ( x ? 1) i x 2014?i 。-----------------4 分 x 1? x i bi ?1 ? bi ? x 2013 ( ) ????????????????6 分 x 2014 ? i 用归纳法证明 ai ? bi ? x 2013 , 1 ? i ? 2013 。 2013

由于 a1 ? b1 ? x 2013 ? x 2012 ? 1 ? x 2013 ,即 i=1 成立。????????8 分 假设 1 ? i ? 2012 成立,
1? x i 则 ai ?1 ? bi ?1 ? (ai ?1 ? ai ) ? (bi ?1 ? bi ) ? (ai ? bi ) ? x 2013 ? x 2013 ( ) ? (ai ? bi ) x
1 ? x 203 1 ? x 2013 ? x 2013 ( ) ? (ai ? bi ) ? ? x 2013 ? (ai ? bi ) x 2013 1 2013 ? i ? 1 2014 ? (i ? 1) 。???????14 分 ? ? x 2013 ? x 2013 ? x 2013 2013 2013 2013

所以, ai ? bi , i ? 1,2,?,2013 。 归纳证明 bi ?1 ? ai , i ? 1,2,?,2012 ,首先 b2 ? a1 ? 1 ? 0 ,假设 1 ? i ? 2011 成立, 则
bi ? 2 ? ai ?1 ? (bi ? 2 ? bi ?1 ) ? (ai ?1 ? ai ) ? (bi ?1 ? ai )

1 ? x i ?1 ? x 2013 ( ) ? x 2013 ? (b i ?1 ?ai ) ? 0 。????????????????17 分 x 故命题成立。
四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 ) 21. 设 a, b, c ? R , ab ? bc ? ca ? 3, 证明
6
?

a 5 ? b5 ? c5 ? a 3 (b2 ? c 2 ) ? b3 (c 2 ? a 2 ) ? c3 (a 2 ? b2 ) ? 9 。
解答 原命题等价于 (a ? b ? c )(a ? b ? c ) ? 9 ,????????????10 分
3 3 3 2 2 2

又 (a ? b ? c ) ? 9(
3 3 3 2

a 2 ? b2 ? c2 3 ) , ???????????????????20 分 3
2

故只需要证明 a ? b ? c ? 3 成立。???????????????????25 分
2 2

利用已知条件,这是显然的。 22. 从 0,1,2,?,10 中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法” ,若各 条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同,则称这样的填法为“完美填法” 。 试问:对图 1 和图 2 是否存在完美填法?若存在,请给出一种完美填法;若不存在,请说明 理由。 A1 A2 6 10 A3 5

A4

7

A5 A7

1 (图 1 )

9 A6 (图 2) A8

解答 对图 1,上述填法即为完美(答案不唯一) 。????????????10 分 对于图 2 不存在完美填法。因为图中一共有 10 条连线,因此各连线上两数之差的绝对值恰 好为,1,2,3,??,10, ????? ?????????????????? 15 分 其和 s ? a1 ? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ? a8 ? 55 为奇数。?????? 20 分 另一方面,图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述 S 的 表达式中出现偶数次。因此 S 应为偶数,矛盾。???????????????25 分 所以,不存在完美填法。

7


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