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九年级数学下册第26章《二次函数》全章导学案


第二十六章
第 1 课时 26.1

二次函数
二次函数

5.已知 y 与 x2 成正比例,并且当 x=-1 时,y=-3. 求: (1)函数 y 与 x 的函数关系式; (2)当 x=4 时,y 的值; (3)当 y=- 1 时,x 的值. 3

一、阅读教科书第 2—3 页上方 二、学习目标: 1.知道二次函数的一般表达式; 2.会利用二次函数的概念分析解题; 3.列二次函数表达式解实际问题. 三、知识点: 一般地,形如____________________________的函数,叫做二次函数。其中 x 是________, a 是__________,b 是___________,c 是_____________. 四、基本知识练习 3 1.观察:①y=6x2;②y=- x2+30x;③y=200x2+400x+200.这三个式子中,虽然函数 2 有一项的,两项的或三项的,但自变量的最高次项的次数都是______次. 一般地,如果 y=ax2+bx+c(a、b、c 是常数,a≠0) ,那么 y 叫做 x 的_____________. 2 2.函数 y=(m-2)x +mx-3(m 为常数) . (1)当 m__________时,该函数为二次函数; (2)当 m__________时,该函数为一次函数. 3.下列函数表达式中,哪些是二次函数?哪些不是?若是二次函数,请指出各项对应项的系 数. (1)y=1-3x2 (2)y=3x2+2x (3)y=x (x-5)+2 1 (5)y=x+ x

6.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长 25m)的空地上修建一个矩形绿化 带 ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为 40m 的栅栏围住(如图) .若设绿化带的 BC 2 边长为 x m,绿化带的面积为 y m .求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范 围.

(4)y=3x3+2x2

六、目标检测 1.若函数 y=(a-1)x2+2x+a2-1 是二次函数,则( A.a=1 B.a=±1 C.a≠1 2.下列函数中,是二次函数的是( ) A.y=x2-1 B.y=x-1 C.y= 8 x

) D.a≠-1 8 x2

D.y=

五、课堂训练 1.y=(m+1)x m
2

3.一个长方形的长是宽的 2 倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.
?m

-3x+1 是二次函数,则 m 的值为_________________. ) C.y=(x+1)2-x2 D.y= 1 -x x2 4.已知二次函数 y=-x2+bx+3.当 x=2 时,y=3,求 这个二次函数解析式.

2.下列函数中是二次函数的是( A.y=x+ 1 2 B. y=3 (x-1)2

3.在一定条件下,若物体运动的路段 s(米)与时间 t(秒)之间的关系为 s=5t2+2t,则当 t=4 秒时,该物体所经过的路程为( ) A.28 米 B.48 米 C.68 米 D.88 米 4.n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系 式_______________________.
1

第 2 课时

二次函数 y=ax2 的图象与性质

四、例题分析 例 1 在同一直角坐标系中,画出函数 y= 1 2 x ,y=x2,y=2x2 的图象. 2
0 1 2 3 4 ? ?

一、阅读课本:P4—6 上方 二、学习目标: 1.知道二次函数的图象是一条抛物线; 2.会画二次函数 y=ax2 的图象; 3.掌握二次函数 y=ax2 的性质,并会灵活应用. 三、探索新知: 画二次函数 y=x2 的图象. 【提示:画图象的一般步骤:①列表(取几组 x、y 的对应值;②描点(表中 x、y 的数值在坐 标平面中描点(x,y) ;③连线(用平滑曲线)】 . 列表:
x y=x2 ? ? -3 -2 -1 0 1 2 3 ? ?

解:列表并填:
x 1 y= x2 2 ? ? -4 -3 -2 -1

y=x2 的图象刚画过,再把它画出来.
x y=2x
2

? ?

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

? ?

描点,并连线

由图象可得二次函数 y=x2 的性质: 1.二次函数 y=x2 是一条曲线,把这条曲线叫做______________. 2.二次函数 y=x2 中,二次函数 a=_______,抛物线 y=x2 的图象开口__________. 3.自变量 x 的取值范围是____________. 4. 观察图象, 当两点的横坐标互为相反数时, 函数 y 值相等, 所描出的各对应点关于________ 对称,从而图象关于___________对称. 5.抛物线 y=x2 与它的对称轴的交点( , )叫做抛物线 y=x2 的_________. 因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________. 6.抛物线 y=x2 有____________点(填“最高”或“最低” . )

归纳:抛物线 y=

1 2 x ,y=x2,y=2x2 的二次项系数 a_______0;顶点都是__________; 2

对称轴是_________;顶点是抛物线的最_________点(填“高”或“低” . )

2

例 2 请在例 1 的直角坐标系中画出函数 y=-x2,y=- 列表:
x y=x
2

1 2 x , y=-2x2 的图象. 2
2 3 ? ?

y=

2 2 x 3

当 x=____时, 有最_______ y 值,是______.

? ? ? ?

-3

-2

-1

0

1

y=-8x2

x 1 y=- x2 2 x y=-2x
2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

? ?

? ?

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

? ?

1 归纳:抛物线 y=-x2,y=- x2, y=-2x2 的二次项系数 a______0,顶点都是________, 2 对称轴是___________,顶点是抛物线的最________点(填“高”或“低” . ) 五、理一理 1.抛物线 y=ax2 的性质
图象(草图) 开口 方向 顶点 对称轴 有最高或最 低点 最值

2.若二次函数 y=ax2 的图象过点(1,-2) ,则 a 的值是___________. 3.二次函数 y=(m-1)x2 的图象开口向下,则 m____________. 4.如图, ① y=ax2 ② y=bx2 ③ y=cx2 ④ y=dx2 比较 a、b、c、d 的大小,用“>”连接. ___________________________________ 七、目标检测 1.函数 y= 3 2 x 的图象开口向_______,顶点是__________,对称轴是________, 7

当 x=___________时,有最_________值是_________. 2.二次函数 y=mx m
2

a>0

当 x=____时,y 有最_______值, 是______.

?2

有最低点,则 m=___________.

3.二次函数 y=(k+1)x2 的图象如图所示,则 k 的取值 范围为___________. 4.写出一个过点(1,2)的函数表达式_________________.

a<0

当 x=____时,y 有最_______值, 是______.

2.抛物线 y=x2 与 y=-x2 关于________对称,因此,抛物线 y=ax2 与 y=-ax2 关于_______ 对称,开口大小_______________. 3.当 a>0 时,a 越大,抛物线的开口越___________; 当 a<0 时,|a| 越大,抛物线的开口越_________; 因此, |a| 越大, 抛物线的开口越________, 反之, |a| 越小, 抛物线的开口越________. 六、课堂训练 1.填表:
开口方向 顶点 对称轴 有最高或最 低点 最值

第 3 课时
一、阅读课本:P6—7 上方 二、学习目标:
3

二次函数 y=ax2+k 的图象与性质

1.会画二次函数 y=ax2+k 的图象; 2.掌握二次函数 y=ax2+k 的性质,并会应用; 3.知道二次函数 y=ax2 与 y=的 ax2+k 的联系. 三、探索新知: 在同一直角坐标系中,画出二次函数 y=x2+1,y=x2-1 的图象. 解:先列表
x y=x +1 y=x2-1
2

y=ax2 开口方向 顶点 3 ? ? ? 对称轴 有最高(低)点

y=ax2+k

? ? ?

-3

-2

-1

0

1

2

描点并画图

最值

a>0 时,当 x=______时,y 有最____值为 ________; a<0 时,当 x=______时,y 有最____值为 ________.

增减性

2.抛物线 y=2x2 向上平移 3 个单位,就得到抛物线__________________; 观察图象得: 1.
开口方向 y=x2 y=x2-1 y=x2+1 顶点 对称轴 有最高(低)点 最值

抛物线 y=2x2 向下平移 4 个单位,就得到抛物线__________________. 因此,把抛物线 y=ax2 向上平移 k(k>0)个单位,就得到抛物线_______________; 把抛物线 y=ax2 向下平移 m(m>0)个单位,就得到抛物线_______________. 3.抛物线 y=-3x2 与 y=-3x2+1 是通过平移得到的,从而它们的形状__________,由此可 得二次函数 y=ax2 与 y=ax2+k 的形状__________________.

2.可以发现,把抛物线 y=x2 向______平移______个单位,就得到抛物线 y=x2+1;把抛物 线 y=x2 向_______平移______个单位,就得到抛物线 y=x2-1. 3.抛物线 y=x2,y=x2-1 与 y=x2+1 的形状_____________. 四、理一理知识点 1.
4

五、课堂巩固训练 1.填表
函数 草图 开口方 向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性

y=3x2

先列表:
y=-3x2+1 x 1 y=- (x+1)2 2 1 y=- (x-1)2 2 ? ? ? -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ? ? ?

y=-4x2-5

描点并画图. 2.将二次函数 y=5x2-3 向上平移 7 个单位后所得到的抛物线解析式为_________________. 3.写出一个顶点坐标为(0,-3) ,开口方向与抛物线 y=-x2 的方向相反,形状相同的抛 物线解析式____________________________. 4.抛物线 y=4x2+1 关于 x 轴对称的抛物线解析式为______________________. 六、目标检测 1.填表
函数 开口 方向 顶点 对称轴 最值 对称轴左侧的增减性

y=-5x2+3

y=7x2-1

1.观察图象,填表:
函数 开口 方向 顶点 对称轴 最值 增减性

1 1 2. 抛物线 y=- x2-2 可由抛物线 y=- x2+3 向___________平移_________个单位得到的. 3 3 3.抛物线 y=-x2+h 的顶点坐标为(0,2) ,则 h=_______________. 2 4.抛物线 y=4x -1 与 y 轴的交点坐标为_____________,与 x 轴的交点坐标为_________.

y=-

1 (x+1)2 2 1 (x-1)2 2

y=-

2.请在图上把抛物线 y=-

1 2 x 也画上去(草图) . 2

第 4 课时

二次函数 y=a(x-h)2 的图象与性质

1 1 1 ①抛物线 y=- (x+1)2 ,y=- x2,y=- (x-1)2 的形状大小____________. 2 2 2 ②把抛物线 y=- 1 2 1 x 向左平移_______个单位,就得到抛物线 y=- (x+1)2 ; 2 2

一、阅读课本:P7—8 二、学习目标: 1.会画二次函数 y=a(x-h)2 的图象; 2.掌握二次函数 y=a(x-h)2 的性质,并要会灵活应用; 三、探索新知: 1 1 画出二次函数 y=- (x+1)2,y- (x-1)2 的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点 2 2 以及最值、增减性.
5

把抛物线 y=-

1 2 1 x 向右平移_______个单位,就得到抛物线 y=- (x+1)2 . 2 2

四、整理知识点 1.
y=ax2 y=ax2+k y=a (x-h)2

开口方向

把抛物线 y=3x2 向左平移 6 个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________. 4.将抛物线 y=- 1 (x-1)x2 向右平移 2 个单位后,得到的抛物线解析式为____________. 3

顶点

5.写出一个顶点是(5,0) ,形状、开口方向与抛物线 y=-2x2 都相同的二次函数解析式
对称轴

___________________________.
最值 增减性 (对称轴左侧)

六、目标检测 1.抛物线 y=2 (x+3)2 的开口______________;顶点坐标为__________________;对称轴是 _________;当 x>-3 时,y______________;当 x=-3 时,y 有_______值是_________. 2.抛物线 y=m (x+n)2 向左平移 2 个单位后,得到的函数关系式是 y=-4 (x-4)2,则 m=__________,n=___________. 3.若将抛物线 y=2x2+1 向下平移 2 个单位后,得到的抛物线解析式为_______________. 4.若抛物线 y=m (x+1)2 过点(1,-4) ,则 m=_______________.

2.对于二次函数的图象,只要|a|相等,则它们的形状_________,只是_________不同.

第 5 课时
五、课堂训练 1.填表
图象(草图) 开口 方向 顶点 对称轴 最值 对称轴 右侧的增减性

二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象与性质

一、阅读课本:第 9 页. 二、学习目标: 1.会画二次函数的顶点式 y=a (x-h)2+k 的图象; 2.掌握二次函数 y=a (x-h)2+k 的性质; 3.会应用二次函数 y=a (x-h)2+k 的性质解题. 三、探索新知: 画出函数 y=- 1 (x+1)2-1 的图象,指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性. 2
? ? -4 -3 -2 -1 0 1 2 ? ?

y=

1 2 x 2

y=-5 (x+3)2

列表:
x 1 (x+1)2-1 2

y=3 (x-3)2

y=-

2.抛物线 y=4 (x-2)2 与 y 轴的交点坐标是___________,与 x 轴的交点坐标为________. 3.把抛物线 y=3x2 向右平移 4 个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________.
6

y=ax2 开口方向 顶点 对称轴

y=ax2+k

y=a (x-h)2

y=a (x-h)2+k

最值

增减性 (对称轴右侧)

2.抛物线 y=a (x-h)2+k 与 y=ax2 形状___________,位置________________.

由图象归纳: 1.
函数 1 (x+1)2-1 2 开口方 向 顶点 对称轴 最值 增减性

五、课堂练习 1.
y=3x2 开口方向 y=-x2+1 y= 1 (x+2)2 2 y=-4 (x-5)2-3

y=-

顶点

1 2.把抛物线 y=- x2 向_______平移______个单位,再向_______平移_______个单位, 2 1 就得到抛物线 y=- (x+1)2-1. 2

对称轴

最值

四、理一理知识点

7

增减性 (对称轴左侧)

3.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化,这一过程可近似地用下列哪幅图 表示( )

2.y=6x2+3 与 y=6 (x-1)2+10_____________相同,而____________不同. 1 2 x 相同的解析式为( 2

3.顶点坐标为(-2,3) ,开口方向和大小与抛物线 y= A.y= 1 (x-2)2+3 2



1 B.y= (x+2)2-3 2 1 D.y=- (x+2)2+3 2

A

B

C

D

1 C.y= (x+2)2+3 2
2

4.将抛物线 y=2 (x+1)2-3 向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位,则所得抛物线的表达 式为________________________.

4.二次函数 y=(x-1) +2 的最小值为__________________. 5.将抛物线 y=5(x-1)2+3 先向左平移 2 个单位,再向下平移 4 个单位后,得到抛物线的解 析式为_______________________. 5.一条抛物线的对称轴是 x=1,且与 x 轴有唯一的公共点,并且开口方向向下,则这条抛物 6.若抛物线 y=ax +k 的顶点在直线 y=-2 上,且 x=1 时,y=-3,求 a、k 的值. 7.若抛物线 y=a (x-1)2+k 上有一点 A(3,5) ,则点 A 关于对称轴对称点 A’的坐标为 __________________.
2

线的解析式为____________________________. (任写一个)

六、目标检测 1.
开口方向 顶点 对称轴

第 6 课时

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质

y=x2+1

y=2 (x-3)2

一、阅读课本:第 10 页. 二、学习目标: 1.配方法求二次函数一般式 y=ax2+bx+c 的顶点坐标、对称轴; 2.熟记二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点坐标公式; 3.会画二次函数一般式 y=ax2+bx+c 的图象. 三、探索新知: 1.求二次函数 y= 1 2 x -6x+21 的顶点坐标与对称轴. 2 1 2 x -6x+21 2

y=- (x+5)2-4

解:将函数等号右边配方:y=

2.抛物线 y=-3 (x+4)2+1 中,当 x=_______时,y 有最________值是________.
8

2.画二次函数 y=

1 2 x -6x+21 的图象. 2

最值

1 解:y= x2-6x+21 配成顶点式为_______________________. 2 列表:
x y= 1 2 x -6x+21 2 ? ? 3 4 5 6 7 8 9 ? ? 增减性 (对称轴左 侧)

五、课堂练习 1.用配方法求二次函数 y=-2x2-4x+1 的顶点坐标.

2.用两种方法求二次函数 y=3x2+2x 的顶点坐标.

3.二次函数 y=2x2+bx+c 的顶点坐标是(1,-2) ,则 b=________,c=_________. 4. 已知二次函数 y=-2x2-8x-6, 当___________时, 随 x 的增大而增大; x=________ y 当 时,y 有_________值是___________. 六、目标检测 3.用配方法求抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴. 四、理一理知识点:
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c

1.用顶点坐标公式和配方法求二次函数 y=

1 2 x -2-1 的顶点坐标. 2

2.二次函数 y=-x2+mx 中,当 x=3 时,函数值最大,求其最大值.

第 7 课时

二次函数 y=ax2+bx+c 的性质

开口方向

顶点

对称轴

一、复习知识点:第 6 课中“理一理知识点”的内容. 二、学习目标: 1.懂得求二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴、y 轴的交点的方法; 2.知道二次函数中 a,b,c 以及△=b2-4ac 对图象的影响. 三、基本知识练习 1.求二次函数 y=x2+3x-4 与 y 轴的交点坐标为_______,与 x 轴的交点坐标_______. 2.二次函数 y=x2+3x-4 的顶点坐标为______________,对称轴为______________. 3.一元二次方程 x2+3x-4=0 的根的判别式△=______________. 4.二次函数 y=x2+bx 过点(1,4) ,则 b=________________. 2 5.一元二次方程 y=ax +bx+c(a≠0) ,△>0 时,一元二次方程有_______________,
9

△=0 时,一元二次方程有___________,△<0 时,一元二次方程_______________. 四、知识点应用 1.求二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点 (含 y=0 时,则在函数值 y=0 时,x 的值是抛物线与 x 轴交点的横坐标) . 2 例 1 求 y=x -2x-3 与 x 轴交点坐标.

c_______0 △=b2-4ac______0 六、目标检测 1.求抛物线 y=x2-2x+1 与 y 轴的交点坐标为_______________. 2.若抛物线 y=mx2-x+1 与 x 轴有两个交点,求 m 的范围.

2.求二次函数 y=ax2+bx+c 与 y 轴交点 (含 x=0 时,则 y 的值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标) . 2 例 2 求抛物线 y=x -2x-3 与 y 轴交点坐标. 3.a、b、c 以及△=b2-4ac 对图象的影响. (1)a 决定:开口方向、形状 (2)c 决定与 y 轴的交点为(0,c) b (3)b 与- 共同决定 b 的正负性 2a
? ? 0 与 x 轴有两个交点 ? (4)△=b -4ac ? ? 0 与 x 轴有一个交点 ? ? ? 0 与 x 轴没有交点
2

3.如图:由图可得:a _________0 b_________0 c_________0 △=b2-4ac_________0

例 3 如图,

由图可得: a_______0 b_______0 c_______0 △______0

例 4 已知二次函数 y=x2+kx+9. ①当 k 为何值时,对称轴为 y 轴; ②当 k 为何值时,抛物线与 x 轴有两个交点; ③当 k 为何值时,抛物线与 x 轴只有一个交点.

第 8 课时

二次函数 y=ax2+bx+c 解析式求法

五、课后练习 1.求抛物线 y=2x2-7x-15 与 x 轴交点坐标__________,与 y 轴的交点坐标为_______. 2.抛物线 y=4x2-2x+m 的顶点在 x 轴上,则 m=__________. 3.如图:由图可得:a_______0 b_______0
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一、阅读课本:第 12~13 页. 二、学习目标: 1.会用待定系数法求二次函数的解析式; 2.实际问题中求二次函数解析式. 三、课前基本练习 1.已知二次函数 y=x2+x+m 的图象过点(1,2) ,则 m 的值为________________. 2 2.已知点 A(2,5) ,B(4,5)是抛物线 y=4x +bx+c 上的两点,则这条抛物线的对称轴 为_____________________. 3.将抛物线 y=-(x-1)2+3 先向右平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位,则所得抛物线的 解析式为____________________. 4.抛物线的形状、开口方向都与抛物线 y=- 1 2 x 相同,顶点在(1,-2) ,则抛物线的解 2

析式为________________________________. 四、例题分析 例 1 已知抛物线经过点 A(-1,0) ,B(4,5) ,C(0,-3) ,求抛物线的解析式.

3.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴交于 A(1,0) ,B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,3) ,求二次函数的顶点坐标.

例 2 已知抛物线顶点为(1,-4) ,且又过点(2,-3) .求抛物线的解析式. 4.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2mm/s 的速度移动,动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以 4mm/s 的速度移动,如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发,那么△PBQ 的面积 S 随出发时间 t 如何变化?写出函数关系 式及 t 的取值范围. A

例 3 已知抛物线与 x 轴的两交点为(-1,0)和(3,0) ,且过点(2,-3) . 求抛物线的解析式.

P

五、归纳 用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法: 1.已知抛物线过三点,设一般式为 y=ax2+bx+c. 2.已知抛物线顶点坐标及一点,设顶点式 y=a(x-h)2+k. 3.已知抛物线与 x 轴有两个交点(或已知抛物线与 x 轴交点的横坐标) , 设两根式:y=a(x-x1)(x-x2) . (其中 x1、x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标) 六、实际问题中求二次函数解析式 例 4 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使 喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高,高度为 3m,水柱落地 处离池中心 3m,水管应多长? 七、课堂训练 1.已知二次函数的图象过(0,1)(2,4)(3,10)三点,求这个二次函数的关系式. 、 、

B

Q

C

八、目标检测 1.已知二次函数的图像过点 A(-1,0) ,B(3,0) ,C(0,3)三点,求这个二次函数解析 式.

第 9 课时

用函数观点看一元二次方程

2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-3) ,且图像过点(-3,-2) ,求这个二次 函数的解析式.

一、阅读课本:第 16~19 页 二、学习目标: 1.知道二次函数与一元二次方程的关系. 2. 会用一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式△=b2-4ac 判断二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的公共点的个数. 三、探索新知 1.问题:如图,以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时,球的飞行路线将是 一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h(单位:m)与飞行时间 t(单位:s) 之间具有关系 h=20t-5t2. 考虑以下问题: (1)球的飞行高度能否达到 15m?如能,需要多少飞行时间?
11

(2)球的飞行高度能否达到 20m?如能,需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5m?为什么? (4)球从飞出到落地要用多少时间?

2.二次函数 y=x2-4x+6,当 x=________时,y=3. 3.如图, 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解为________________

2.观察图象: (1) 二次函数 y=x2+x-2 的图象与 x 轴有____个交点, 则一元二次方程 x2+x-2=0 的根 的判别式△=_______0; (2)二次函数 y=x2-6x+9 的图像与 x 轴有___________个交点,则一元二次方程 x2-6x+9=0 的根的判别式△=_______0; (3)二次函数 y=x2-x+1 的图象与 x 轴________公共点,则一元二次方程 x2-x+1=0 的根的判别式△_______0.

4.如图

一元二次方程 ax2+bx+c=3 的解为_________________

5.如图

填空: (1)a________0 (2)b________0 (3)c________0 (4)b2-4ac________0

四、理一理知识 1.已知二次函数 y=-x2+4x 的函数值为 3,求自变量 x 的值,可以看作解一元二次方程 __________________.反之,解一元二次方程-x2+4x=3 又可以看作已知二次函数 __________________的函数值为 3 的自变量 x 的值. 一般地:已知二次函数 y=ax2+bx+c 的函数值为 m,求自变量 x 的值,可以看作解一元 二次方程 ax2+bx+c=m.反之,解一元二次方程 ax2+bx+c=m 又可以看作已知二次函数 y=ax2+bx+c 的值为 m 的自变量 x 的值. 2.二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的位置关系: 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式△=b2-4ac. (1)当△=b2-4ac>0 时 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点; (2)当△=b2-4ac=0 时 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个交点; (3)当△=b2-4ac<0 时 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴没有公共点. 五、基本知识练习 1.二次函数 y=x2-3x+2,当 x=1 时,y=________;当 y=0 时,x=_______.
12

六、课堂训练 1.特殊代数式求值: ①如图

看图填空: (1)a+b+c_______0 (2)a-b+c_______0 (3)2a-b _______0

②如图

2a+b _______0

4a+2b+c_______0

4.如图为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,在下列说法中: ①ac<0;②方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1,x2=3;③a+b+c>0; ④当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大. 正确的说法有__________________(把正确的序号都填在横线上) . 2.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 (1)方程 ax2+bx+c=0 的根为___________; (2)方程 ax2+bx+c=-3 的根为__________; (3)方程 ax2+bx+c=-4 的根为__________; (4)不等式 ax2+bx+c>0 的解集为________; (5)不等式 ax2+bx+c<0 的解集为________; (6)不等式-4<ax2+bx+c<0 的解集为________.

七、目标检测 根据图象填空: (1)a_____0; (2)b_____0; (3)c______0; 2 (4)△=b -4ac_____0; (5)a+b+c_____0; (6)a-b+c_____0; (7)2a+b_____0; (8)方程 ax2+bx+c=0 的根为__________; (9)当 y>0 时,x 的范围为___________; (10)当 y<0 时,x 的范围为___________; 八、课后训练 1.已知抛物线 y=x2-2kx+9 的顶点在 x 轴上,则 k=____________. 2.已知抛物线 y=kx2+2x-1 与坐标轴有三个交点,则 k 的取值范围___________. 3.已知函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,且 a≠0)的图象如图所示,则关于 x 的方程 ax2+bx+c-4=0 的根的情况是( ) A.有两个不相等的正实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等实数根 D.无实数根

第 10 课时

实际问题与二次函数(1)

一、阅读教科书:P22 的问题 二、学习目标: 几何问题中应用二次函数的最值. 三、课前基本练习 1.抛物线 y=-(x+1)2+2 中,当 x=___________时,y 有_______值是__________. 2.抛物线 y= 1 2 x -x+1 中,当 x=___________时,y 有_______值是__________. 2

3.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)中,当 x=___________时,y 有_______值是__________. 四、例题分析: (P15 的探究) 用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地,矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化,当 l 是多少 时,场地的面积 S 最大?
13

五、课后练习 1.已知直角三角形两条直角边的和等于 8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积 最大,最大值是多少?

六、目标检测 如图,点 E、F、G、H 分别位于正方形 ABCD 的四条边上,四边形 EFGH 也是正方形.当 点 E 位于何处时,正方形 EFGH 的面积最小?

D
2.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度 h(单位:m)与小球运动时间 t(单位:s)之间 的关系式是 h=30t-5t2.小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?

G

C

H F A E B

3.如图,四边形的两条对角线 AC、BD 互相垂直,AC+BD=10,当 AC、BD 的长是多少时, 四边形 ABCD 的面积最大? D

C A B
4.一块三角形废料如图所示,∠A=30°,∠C=90°,AB=12.用这块废料剪出一个长方 形 CDEF,其中,点 D、E、F 分别在 AC、AB、BC 上.要使剪出的长方形 CDEF 面积最 大,点 E 应造在何处? A

第 11 课时

实际问题与二次函数(2)
商品价格调整问题

D

E

C

F

B

一、阅读课本:第 23 页(探究 1) 二、学习目标: 1.懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法; 2.会应用二次函数的性质解决问题. 三、探索新知 某商品现在的售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件,市场调查反映:如调整价格,每涨价 1 元,每星期要少卖出 10 件;每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元,如何定价才能使利润最大? 分析:调整价格包括涨价和降价两种情况,用怎样的等量关系呢? 解: (1)设每件涨价 x 元,则每星期少卖_________件,实际卖出_________件,设商品的利润
14

为 y 元. (2)设每件降价 x 元,则每星期多卖_________件,实际卖出__________件. 四、课堂训练 1.某种商品每件的进价为 30 元,在某段时间内若以每件 x 元出售,可卖出(100-x)件,应 如何定价才能使利润最大? 五、目标检测 某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住, 当每个房间的定价为每天 200 元时, 房间可以住满. 当 每个房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房间空间.对有游客入住的房间,宾馆需对 每个房间每天支出 20 元的各种费用.设每个房间每天的定介增加 x 元,求: (1)房间每天入住量 y(间)关于 x(元)的函数关系式; (2)该宾馆每天的房间收费 z(元)关于 x(元)的函数关系式; (3)该宾馆客房部每天的利润 w(元)关于 x(元)的函数关系式,当每个房间的定价为多 少元时,w 有最大值?最大值是多少?

2.蔬菜基地种植某种蔬菜,由市场行情分析知,1 月份至 6 月份这种蔬菜的上市时间 x(月 份)与市场售价 P(元/千克)的关系如下表:
上市时间 x/(月份) 市场售价 P(元/千克) 1 10.5 2 9 3 7.5 4 6 5 4.5 6 3

第 12 课时

实际问题与二次函数(3)

这种蔬菜每千克的种植成本 y(元/千克)与上市时间 x(月份)满足一个函数关系,这个 函数的图象是抛物线的一段(如图) . (1)写出上表中表示的市场售价 P(元/千克)关于上市时间 x(月份)的函数关系式; (2)若图中抛物线过 A、B、C 三点,写出抛物线对应的函数关系式; (3)由以上信息分析,哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大?最大值为多少? (收益=市场售价-种植成本)

一、阅读课本:第 25 页探究 3 二、学习目标: 1.会建立直角坐标系解决实际问题; 2.会解决桥洞水面宽度问题. 三、基本知识练习 1.以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐标系时,可设这条抛物线 的关系式为___________________________________. 2.拱桥呈抛物线形,其函数关系式为 y=- 1 2 x ,当拱桥下水位线在 AB 位置时,水面宽为 4 ) C.4 3 m D.9m

12m,这时水面离桥拱顶端的高度 h 是( A.3m
15

B.2 6 m

3.有一抛物线拱桥,已知水位线在 AB 位置时,水面的宽为 4 6 米,水位上升 4 米,就达到 警戒线 CD,这时水面宽为 4 3 米.若洪水到来时,水位以每小时 0.5 米的速度上升,则 水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端 M 处?

2.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面 AB 的宽为 20m,如果水位上升 3m 时,水 面 CD 的宽是 10m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式. (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥 280km(桥长忽略不计) .货车正以每小时 40km 的速度开往乙地,当行驶 1h 时,忽 然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小 0.25m 的速度持续上涨(货车接到 通知时水位在 CD 处,当水位达到桥拱最高点 O 时,禁止车辆通行) .试问:如果货 车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由.若不能,要使货车安全 通过此桥,速度应超过每小时多少千米?

四、课堂练习 1.一座拱桥的轮廓是抛物线(如图①所示) ,拱高 6m,跨度 20m,相邻两支柱间的距离均为 5m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②所示) ,其关系式 y=ax2+c 的形式,请根 据所给的数据求出 a、c 的值; (2)求支柱 MN 的长度; (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽 2m 的隔离带) ,其中的一条行车道能否 并排行驶宽 2m,高 3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由.

第 13 课时

二次函数综合应用

一、复习二次函数的基本性质 二、学习目标: 灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题. 三、课前训练 1.二次函数 y=kx2+2x+1(k<0)的图象可能是(



图①

16

(1)求点 P 从点 A 运动到点 D 所需的时间. (2)设点 P 运动时间为 t(秒) ①当 t=5 时,求出点 P 的坐标. ②若△OAP 的面积为 S,试求出 S 与 t 之间的函数关系式(并写出相应 的自变量 t 的取值范围) . 2.如图: (1)当 x 为何范围时,y1>y2?

(2)当 x 为何范围时,y1=y2? 五、目标检测 如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过 A(-1,0) ,B(3,0)两交点,且交 y 轴于 点 C. (1)求 b、c 的值; (2)过点 C 作 CD∥x 轴交抛物线于点 D,点 M 为此抛物线的顶点,试确定△MCD 的形状.

(3)当 x 为何范围时,y1<y2?

3.如图,是二次函数 y=ax2-x+a2-1 的 图象,则 a=____________.

13 5 4.若 A(- ,y1) ,B(-1,y2) ,C( ,y3)为二次函数 y=-x2-4x+5 图象上的三点,则 4 3 y1、y2、y3 的大小关系是( ) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3 5.抛物线 y=(x-2) (x+5)与坐标轴的交点分别为 A、B、C,则△ABC 的面积为__________. 6.如图,已知在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AD 在 x 轴上,点 A 在原点,AB=3,AD =5.若矩形以每秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向做匀速运动,同时点 P 从 A 点出发以每秒 1 个 单位长度沿 A→B→C→D 的路线做匀速运动.当点 P 运动到点 D 时停止运动,矩形 ABCD 也 随之停止运动.
17


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