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14圆锥曲线定义性质作业


13--14 高三二轮复习

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数学作业
14
一、选择题

专题十四:圆锥曲线热点问题 电磁场和电磁波
组题人:刘存稳 审题人:崔焕英

x2 1.以双曲线 -y2=1 的左焦点为焦点,顶点在原点的抛物线方程

是 3 ( ). B.y2=-4x 2x D.y2=-8x

A.y2=4x C.y2=-4

x2 y2 2.双曲线 - =1(m>0,n>0)的离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y2=4mx 的焦点重合,则 m n n 的值为( A.1 ). B.4 C.8 D.12

x2 y2 3.已知 A1,A2 分别为椭圆 C: + =1(a>b>0)的左右顶点,椭圆 C 上异于 A1,A2 的点 P a2 b2 4 恒满足 kPA1· kPA2=- ,则椭圆 C 的离心率为( 9 4 A. 9 2 B. 3 5 C. 9 D. 5 3 ).

4.已知长方形 ABCD 的边长 AB=2,BC=1,若以 A、B 为焦点的双曲线恰好过点 C、D,则 此双曲线的离心率 e=( A. 5+1 2 ). B.2( 5-1) D. 2+1

C. 5-1

x2 y2 a2 5.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线 x= 上存在 P,使线段 a2 b2 c PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆离心率的取值范围是 ( ).

A.?0,

?

2? 2?

B.?0,

?

3 ? 3 ?

C.?

2 ? ? 2 ,1?

D.?

3 ? ? 3 ,1?

累了也要坚持,哭也要微笑面对

6.已知动圆圆心在抛物线 y2=4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相切,则此动圆必过定点 ( ). B.(1,0) D.(0,-1)

A.(2,0) C.(0,1)

x2 y2 7.设 AB 是过椭圆 + =1(a>b>0)中心的弦,椭圆的左焦点为 F1(-c,0),则△F1AB 的面积 a2 b2 最大为 ( ).

A.bc B.ab C.ac D.b2 x2 y2 8.已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲线的 a2 b2 右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( ). B.(-1,2) D.[2,+∞)

A.(1,2) C.(2,+∞)

x2 y2 9.若 AB 是过椭圆 + =1(a>b>0)中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且 AM、BM 与两 a2 b2 坐标轴均不平行,kAM、kBM 分别表示直线 AM、BM 的斜率,则 kAM· kBM= ( ). b2 B.- a2 C.- c2 b2 D.- a2 b2

c2 A.- a2

10.已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别 |AF| 交于 A、B 两点,则 的值为 |BF| ( A.5 ). B.4 C.3 D.2

二、填空题 11.点 P 在抛物线 x2=4y 的图象上,F 为其焦点,点 A(-1,3),若使|PF|+|PA|最小,则相应 P 的坐标为________. b2+1 x2 y2 12.若双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率是 2,则 的最小值为________. a2 b2 3a

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x2 y2 → → 13.已知 F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆 + =1 的两个焦点,P 为椭圆上一点,且PF1· PF2=c2,则 a2 b2 此椭圆离心率的取值范围是________. x2 y2 14.若双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-2)2+y2=3 相切,则此双曲线的离心率为________. a2 b2 x2 y2 15.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1 的左、右焦点分别是 F1、F2,P 为椭圆 C 25 9 上的一点,且 PF1⊥PF2,则△PF1F2 的面积为________. 三、解答题(本题共 3 小题 x2 y2 3 16.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 e= ,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径 a2 b2 3 的圆与直线 x-y+2=0 相切,A,B 分别是椭圆的左右两个顶点,P 为椭圆 C 上的动点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 与 A,B 均不重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1,k2,证明:k1· k2 为定值.[]

x2 y2 17.设椭圆 C: + =1(a>b>0)的一个顶点与抛物线:x2=4 a2 b2 是椭圆的左、右焦点,离心率 e= (1)求椭圆 C 的方程;

2y 的焦点重合,F1、F2 分别

3 ,过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点. 3

→ → (2)是否存在直线 l,使得OM· ON=-1,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

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x2 y2 18.如图,椭圆 C0: + =1(a>b>0,a,b 为常数),动圆 C1:x2+y2=t2 1, b<t1<a.点 a2 b2 A1,A2 分别为 C0 的左,右顶点,C1 与 C0 相交于 A,B,C,D 四点.

(1)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程; (2)设动圆 C2:x2+y2=t2 2与 C0 相交于 A′,B′,C′,D′四点,其中 b<t2<a,t1≠t2.若矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等,证明:t2 1+t2 2为定值.

19.设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为 半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90° ,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程;

(2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原 点到 m,n 距离的比值.

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参考答案
1.B [因为动圆的圆心在抛物线 y2=4x 上,且 x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线,所以由 抛物线的定义知,动圆一定过抛物线的焦点(1,0),所以选 B.] 2.A [如图,由椭圆对称性知 O 为 AB 的中点,则△F1OB 的面积为△F1AB 面积的一

半.又 OF1=c,△F1OB 边 OF1 上的高为 yB,而 yB 的最大值为 b.所以△F1OB 的面积 1 最大值为2cb.所以△F1AB 的面积最大值为 cb.]

3.D

b b b2 [由题意知,双曲线的渐近线 y=ax 的斜率需大于或等于 3,即a≥ 3.∴a2≥3,

c2 c a2≥4,∴a≥2,即 e≥2.] 4.B [(特殊值法)因为四个选项为确定值,取 A(a,0),B(-a,0),M(0,b),可得 kAM· kBM b2 =-a2.] 5.C [由题意设直线 l 的方程为 y= y p ? p? 3?x-2?,即 x= +2,代入抛物线方程 y2=2px ? ? 3

中,整理得 3y2-2py- |AF| ?yA? p,所以|BF|=?y ?=3.] ? B? 6.解析

3 3p2=0,设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 yA= 3p,yB=- 3

由抛物线定义可知 PF 的长等于点 P 到抛物线准线的距离,所以过点 A 作抛物

1? ? 线准线的垂线,与抛物线的交点 ?-1,4? 即为所求点 P 的坐标,此时 |PF|+ |PA|最 ? ? 小.
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答案 7.解析

1? ? ?-1,4? ? ? b2+1 3a2+1 c 1 由离心率 e=2 得,a=2,从而 b= 3a>0,所以 3a = 3a =a+3a≥2 1 2 3 1 3 3= 3 ,当且仅当 a=3a,即 a= 3 时,“=”成立. 3 3 设 P(x,y),则

1 a· 3a=2 答案 8.解析 2

→· → PF (c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,① 1 PF2=(-c-x,-y)· ?3c2-a2?a2 b2 将 y2=b2-a2x2 代入①式解得 x2= ,又 x2∈[0,a2],所以 2c2≤a2≤3c2,所 c2 c ? 3 2? 以离心率 e=a∈? , ?. 3 2 ? ? 答案 9.(1)解 ? 3 2? ? , ? 2? ?3 由题意可得圆的方程为 x2+y2=b2,

∵直线 x-y+2=0 与圆相切, ∴ d= 2 =b,即 b= 2, 2

c 3 又 e=a= 3 ,即 a= 3c,a2=b2+c2,解得 a= 3,c=1, x2 y2 所以椭圆方程为 3 + 2 =1. (2)证明 设 P(x0,y0)(y0≠0),A(- 3,0),B( 3,0),

2 x2 2 0 y0 2 则 3 + 2 =1,即 y0 =2-3x2 0,

y0 y0 则 k1 = , k2 = , x0+ 3 x0- 3

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2 2 2 2-3x2 ?3-x0 ? 0 3 y2 2 0 即 k1 · k2= 2 = 2 = 2 =-3, x0-3 x0-3 x0-3 2 ∴ k1 · k2 为定值-3. 10.解 (1)椭圆的顶点为(0, 2),即 b= 2. b2 3 1-a2= 3 ,解得 a= 3,
[]

c e=a=

x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 3 + 2 =1. (2)由题可知,直线 l 与椭圆必相交. ①当直线斜率不存在时,经检验不合题意. ②设存在直线 l 为 y=k(x-1),且 M(x1,y1),N(x2,y2), x2 y2 ? ? + =1, 由? 3 2 ? ?y=k?x-1? 得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0.

3k2-6 6k2 x1+x2= ,x · x= , 2+3k2 1 2 2+3k2 →· → =x x +y y =x x +k2[x x -(x +x )+1] OM ON 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3k2-6 2?3k2-6 6k2 ? -k2-6 - + 1 ? ?= = +k 2 2 2 =-1. 2+3k2 ?2+3k 2+3k ? 2+3k 所以 k=± 2,故直线 l 的方程为 y= 2(x-1)或 y=- 2(x-1). 11.(1)解 = 设 A(x1,y1),B(x1,-y1),又知 A1(-a,0),A2(a,0),则直线 A1A 的方程为 y

y1 (x+a),① x1+a -y1 (x-a).② x1-a
[ZXXK]

直线 A2B 的方程为 y=
2

-y2 1 由①②得 y = 2 (x2-a2).③ x1-a2

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x2 x2 y2 x2 y2 1? 1 1 2 2? 由点 A(x1,y1)在椭圆 C0 上,故a2+b2=1.从而 y1=b ?1-a2?,代入③得a2-b2=1(x< ? ? -a,y<0). (2)证明 设 A′(x2,y2),由矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等,得 4|x1||y1|

=4|x2||y2|,
2 2 2 故 x2 1y1=x2y2. 2 2 x1 x2 ? ? ? 2? 1 - ?1-a2?=b2x2 ? 因为点 A,A′均在椭圆上,所以 b2x1 2?. 2 ? ? ? a? 2 2 2 2 2 由 t1≠t2,知 x1≠x2,所以 x2 1+x2=a .从而 y1+y2=b , 2 2 因此 t1 +t2 =a2+b2 为定值.

参考答案
1.D 8x.] 2.D

[来源:.Com]

[由题意知:抛物线的焦点为 (-2,0).又顶点在原点,所以抛物线方程为 y2=- [抛物线焦点 F(m,0)为双曲线一个焦点,∴m+n=m2,又双曲线离心率为 2,∴1

n +m=4,即 n=3m,所以 4m=m2,可得 m=4,n=12.] 3.D y0 y0 4 x2 y2 b2 4 0 0 [ 设 P(x0 , y0),则 × =- 9 ,化简得 a2 + 4a2 = 1 可以判断 a2 = 9 , e = x0+a x0-a 9 ?b? 1-?a?2= ? ? 4.A 5.D 4 5 1-9= 3 .] 5+1 2 = 2 .] 5-1

2c [由题意可知 c=1, 5-1=2a,所以 e=2a=
2 2 ?a ? ? b y? [设 P? c ,y?,F1P 的中点 Q 的坐标为?2c,2?, ? ? ? ?

cy cy 则 kF1P= 2 .由 kF1P· kQF2=-1, 2,kQF2= 2 b +2c b -2c2 4c4-b4 ?2c2-b2??2c2+b2? 得 y = c2 = . c2
2

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因为 y2≥0,但注意 b2+2c2≠0, 所以 2c2-b2>0, 即 3c2-a2>0. 1 3 即 e2>3.故 3 <e<1. a2 3 当 b2-2c2=0 时,y=0,此时 kQF2 不存在,此时 F2 为中点, c -c=2c,得 e= 3 . 3 综上得, 3 ≤e<1.] 6.解析 则 依题意得:双曲线的渐近线方程为:bx± ay=0,

|2b| = 3,即:b2=3a2,又 c2=a2+b2, a2+b2

∴c2=4a2,∴e=2. 答案 7.解析 2 ∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由椭圆方程知 a=5,b=3,∴c=4,

2 2 2 ?|PF1| +|PF2| =4c =64, ∴? ?|PF1|+|PF2|=2a=10,

解得|PF1||PF2|=18, 1 1 ∴△PF1F2 的面积为2|PF1|· |PF2|=2×18=9. 答案 8.解析 9 点 A 在抛物线的外部,所以当 P、A、F 三点共线时,|PA|+|PF|最小,其中焦

113 点 F 的坐标为(0,1),故|PA|+|PF|的最小值为|AF|= 8 . 答案 9.解 113 8 (1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),

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x =x, ? ? P 由已知得? 5 yP=4y, ? ?

∵P 在圆上,

x2 y2 ?5 ? ∴x2+?4y?2=25,即轨迹 C 的方程为25+16=1. ? ? 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为5的直线方程为 y=5(x-3), 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B (x2,y2), 4 将直线方程 y=5(x-3)代入 C 的方程,得 x2 ?x-3? 2 25+ 25 =1,即 x -3x-8=0. ∴x1= 3- 41 3+ 41 , x 2= 2 2 .
2

∴线段 AB 的长度为|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = 10.解 16? ? ?1+25??x1-x2?2= ? ? 41 41 × 41 = 25 5.

a2-4 y2 x2 3 (1)由已知可设椭圆 C2 的方程为a2+ 4 =1(a>2),其离心率为 2 ,故 a =

3 2 ,则 a=4, y2 x2 故椭圆 C2 的方程为16+ 4 =1. (2)法一 → = 2 OA → 及(1)知,O, A,B 两点的坐标分别记为 (xA , yA) , (xB , yB),由 OB

A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 将 y=kx 代入 4 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 所以 x2 A= 4 . 1+4k2

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y2 x2 将 y=kx 代入16+ 4 =1 中,得(4+k2)x2=16, 所以 x2 B= 16 , 4+k2

→ =2 OA → ,得 x2 =4x2 ,即 16 = 16 , 又由OB B A 4+k2 1+4k2 解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 法二 A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),

→ =2 OA → 及(1)知, O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 由OB 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 2 将 y=kx 代入 4 +y =1 中,得(1+4k2)x2=4, 所以 将 x2 A= 16k2 4 16 → → 2 2 ,由OB=2 OA,得 xB= ,y = , 1+4k2 1+4k2 B 1+4k2 16 4 4+k2 中,得 =1,则 4+k2=1+4k2, 1+4k2

y2 x2 2 2 xB,yB代入 + =1

解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 11.解 (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆 F 的半径|FA|= 2p. 2p. 2,

由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d=|FA|= 因为△ABD 的面积为 4 1 即 2· 2p· 2p=4 1 2,所以2|BD|· d=4

2,解得 p=-2(舍去)或 p=2.

所以 F(0,1),圆 F 的方程为 x2+(y-1)2=8. (2)因为 A,B,F 三点在同一直线 m 上,所以 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90° . 1 由抛物线定义知|AD|=|FA|=2|AB|. 3 3 所以∠ABD=30° ,m 的斜率为 3 或- 3 .
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3 3 2 3 当 m 的斜率为 3 时,由已知可设 n:y= 3 x+b,代入 x2=2py 得 x2- 3 px-2pb =0. 4 p 由于 n 与 C 只有一个公共点,故 Δ=3p2+8pb=0,解得 b=-6. p |b1| 因为 m 的纵截距 b1=2, |b| =3,所以坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 当 m 的斜率为- 为 3. 综上,坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 3 时,由图形对称性可知,坐标原点到 m,n 距离的比值 3

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