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高中数学 新人教A版必修1 (25)


课题:1.2.1 函数的概念 精讲部分
学习目标展示 1. 理解区间的概念及写法; 2. 理解并掌握函数的概念; 3. 会用函数的符号及理解函数的三要素; 4. 理解两个函数相等并会判断两个函数是否同一函数 衔接性知识 1. 以前学过哪几种函数,它们的一般表达式是什么? 答 : 学 过 正 比 例 函 数 y ? kx(k ? 0) , 反 比 例 函 数 y ?

/>
k (k ? 0) , 一 次 函 数 x

y ? kx ? b(k ? 0) ,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0)
2. 它们的图象及性质,你知道哪些? 基础知识工具箱 要点 闭区间 定义 符号

{x | a ? x ? b} {x | a ? x ? b}

[a , b] (a , b)

{x | x ? b}
开区间

(??, b)
( a , ? ?)

{x | x ? a}
区间

R

(??, ? ?) (a , b]
(??, b] [a , b)

半开半 闭区间

{x | a ? x ? b}
{x | x ? b} {x | a ? x ? b}

半闭半 开区间

{x | x ? a}
设 A 、 B 是非空的数集,如 果按照某种的确定的对应

[ a , ? ?)
y ? f ( x) , x ? A
其中 x 叫自变量, f ( x ) 叫函 数值

函数

关系 f , 使对于集合 A 中的 任意一个实数

x ,在集合 B

中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么称

x 的取值范围 A 叫做函数的
定义域,函数值的集合

{ f ( x) | x ? A} 叫做函数的值


f : A ? B 为从集合 A 到集
合 B 的一个函数 函数的三要素

定义域、值域与对应法关系 f (定义域与对应关系决定值 域)

函数相等

如两个函数的定义域相同, 并且对应关系完全一致,那 么称两个函数相等 几个学过的函数的定义域与值域 定义域

f ( x) ? g ( x)

名称

值域

y ? kx(k ? 0) 与 (??, ? ?) y ? kx ? b(k ? 0)
y? k (k ? 0) x

(??, ? ?)

(??, 0) ? (0, ? ?)

(??, 0) ? (0, ? ?)

a?0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
a?0
典例精讲剖析 例 1. 已知 f ( x) ? 2 x ? 3 ,

(??, ? ?)

4ac ? b 2 [ , ? ?) 4a (??, 4ac ? b2 ] 4a

(1)求: f (1) , f (a ? 1) , f (2 x) , f [ f ( x)] ; (2)若 f (3m) ? 8 ,求实数 m 的值. 解: (1) f (1) ? 2 ?1 ? 3 ? 5 , f (a ? 1) ? 2(a ? 1) ? 3 ? 2a ? 5

f (2 x) ? 2(2 x) ? 3 ? 4 x ? 3 , f [ f ( x)] ? 2 f ( x) ? 3 ? 2(2 x ? 3) ? 3 ? 4 x ? 9
(2)? f (3m) ? 2(3m) ? 3 ? 6m ? 3 ? 8 ,? m ? 例 2. 求下列函数的定义域(要求用区间表示)

5 6

( 1) f ( x) ?

3x ? 2 5 ? 5x

x ?3 ( 2 ) f ( x) ? ? 2x 6? x

(3)

f ( x) ?

x ?1 | x ? 2 | ?1
3

解: ( 1 )使 f ( x ) 有意义,得 5 ? 5x ? 0,解得 x ? 1 所以 f ( x ) 的定义域为 (?? , 1)? (1 ,? ? ) ;

( 2 )使 f ( x ) 有意义,得 ?

?x ? 3 ? 0 ,解得 3 ? x ? 6 , 6 ? x ? 0 ?

所以 f ( x ) 的定义域为 [3 , 6) ( 3 )使 f ( x ) 有意义,得 | x ? 2 | ? 1 ? 0,解得 x ? ?1 且 x ? ?3 所以 f ( x ) 的定义域为 (?? , ? 3)? (? 3 , ? 1) ? ( ? 1 ,? ? ; ) 归纳:求函数定义域的方法,其中已知函数 y ? f ( x) (1)若 f ( x ) 为整式,则定义域为 R. (2)若 f ( x ) 为分式,则定义域是使分母不为零的实数的集合; (3)若 f ( x ) 是偶次根式,那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合; (4)若 f ( x ) 是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有 意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集) ; (5) 若 f ( x ) 是由实际问题列出的, 那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意 义的实数的集合. 例 3. 求下列函数的值域: ( 1 ) f ( x) ? 2x ?1 ? 4 (2)

f ( x) ?

2 ? 3 ( 3 ) f ( x) ? 2 x2 ? 4 x ? 1 x ?1

解: ( 1 ) ? 2x ? 1 ? 0 ? 2 x ?1 ? 4 ? 4 ,即 f ( x ) ? 4 ,所以 f ( x ) 的值域是 [4 , ? ? ) ( 2) ?

2 2 ?0 ? ? 3 ? 3 ,即 f ( x) ? 3 x ?1 x ?1

所以 f ( x ) 的值域是 (?? , 3)? (3 ,? ? ) ( 3 ) f ( x) ? 2x ? 4x ? 1 ? 2( x ? 2x) ? 1 ? 2( x ?1) ?1 ,
2 2 2

? 2( x ?1)2 ? 0 ? 2( x ?1)2 ?1 ? ?1,即 f ( x ) ? ? 1,

所以 f ( x ) 的值域是 [? 1 , ? ? ) 例 4. 已知 f ( x ) 为二次函数,且 f (0) ? 0 , f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ,求 f ( x ) 的表达式 解:设 f ( x) ? ax2 ? bx? c( a? 0),则 由 f (0) ? 0 ,得 c ? 0 而

f ( x ? 1) ? a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? ax2 ? (2a ? b) x ? a ? b f ( x) ? x ? 1 ? ax2 ? bx ? x ? 1 ? ax2 ? (b ? 1) x ? 1

1 ? a? ? ?2a ? b ? b ? 1 ? 2 ,解得 ? ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 , ? ? ?a ? b ? 1 ?b ? 1 ? ? 2
从而 f ( x ) 的表达式为 f ( x) ?

1 2 1 x ? x 2 2
精练部分

A 类试题(普通班用) 1. 下列函数中,定义域与值不相同的是( )

1 ?1 ( x ? 1) 2 解:A 中, f ( x ) 定义域与值域均为 R ;B 中, f ( x ) 定义域与值域均为 (?? , 0) ? (0 , ? ?) ; C 中, f ( x ) 定义域与值域均为 (0 , ? ?) ;D 中 f ( x ) 定义域 (?? , 1) ? (1, ? ?) ,值域均为 (1, ? ?) ,定义域与值不相同,选 D
A. f ( x ) ? 2 x ? 1 B. f ( x) ?

1 x

C. f ( x) ?

1 x

D. f ( x) ?

2. 下列各组中的两个函数是同一函数的为( ① f ( x) ?



( x ? 3)( x ? 5) , g ( x) ? x ? 5 ;② f ( x) ? x ?1 x ?1 , g ( x) ? ( x ? 1)( x ?1) ; x?3

③ f ( x ) ? x , g ( x) ? A

x 2 ;④ f ( x) ? 3 x 4 ? x3 , g ( x) ? x 3 x ?1 ;

⑤ f ( x) ? ( 2 x ? 5)2 , g ( x) ? 2 x ? 5 ①② B ②③ C ④ D ③⑤ 解:①中 f ( x ) 的定义域为 {x | x ? ?3} , g ( x) 的定义域为 R ,定义域不同,不是同一函

?x ?1 ? 0 ,得 f ( x ) 的定义域为 {x | x ? 1} ,由 ( x ? 1)( x ?1) ? 0 ,得 g ( x) 的 ? x ?1 ? 0 定义域为 {x | x ? 1 或 x ? ?1} ,定义域不同,不是同一函数;③中 f ( x) ? x , g ( x) ?| x | ,
数;②中,由 ? 对应关系不同,不是同一函数;④中, f ( x) ?
3

x 4 ? x3 ? x 3 x ?1 ? g (x) ,是同一函数;

⑤ f ( x ) 的定义域为 {x | x ? } , g ( x) 的定义域为 R ,定义域不同,不是同一函数。

5 2

选C 3. 求下列函数的定义域 (1) y ? ?

1 2 x ?1; 2

(2) y ?

x?2 ; x2 ? 4

(3) y ?

1 ; x? | x |

(4) y ?

(5) y ? x ?1 ? 4 ? x ? 2 ;

1 1 ? 2? x ? | x | ?3 4? x

解: (1)原函数定义域为 R
2 (2)使原函数有意义,得 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? ?2 ,

所以原函数的定义域为 (?? , ? 2) ? (2 , ? ?) (3) 使原函数有意义, 得 x? | x |? 0 , 即 | x |? ? x , 所以原函数的定义域为 (0 , ? ?) ? x ? 0,

(4)使原函数有意义,得 ?

?x ?1 ? 0 ,解得 1 ? x ? 4 ,所以原函数的定义域为 [1 , 4] ?4 ? x ? 0

?4 ? x ? 0 ? ?4 ? x ? 2 ? (5)使原函数有意义,得 ? 2 ? x ? 0 ? ? ,解得 ?4 ? x ? 2 且 x ? ?3 | x | ? 3 ? ?| x | ?3 ? 0 ?
所以原函数的定义域为 [?4 , ? 3) ? (?3 , 2] 4. 已知 f ( x) ? 2 x ?1 , g ( x) ? 3x ? 2 (1)求 f (1) ? g( ?2) 的值; (2)求 f [ g ( x)] (3)若 f (a) ? 5 ,求 a 的值 解: (1) f (1) ? g (?2) ? (2 ?1 ? 1) ? [3 ? (?2) ? 2] ? 1 (2) f [ g ( x)] ? 2 g ( x) ? 1 ? 2(3x ? 2) ? 1 ? 6 x ? 5 (3)? f (a) ? 5 ,? 2a ? 1 ? 5 ,即 a ? 2 5. 已知 f ? x ? 是一次函数,且满足 3 f ? x ?1? ? 2 f ? x ?1? ? 2x ?17 ,求 f ? x ? 解:设 f ( x) ? kx ? b (b ? 0) ,则

f ( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? b ? kx ? k ? b , f ( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? b ? kx ? k ? b

?3 f ? x ?1? ? 2 f ? x ?1? ? 3(kx ? k ? b) ? 2(kx ? k ? b) ? kx ? 5k ? b

?k ? 2 ?k ? 2 ,解得 ? ?3 f ? x ?1? ? 2 f ? x ?1? ? 2x ?17 ,? ? ?b ? 7 ?5k ? b ? 17
从而, f ? x ? ? 2x ? 7 B 类试题(尖子班用) 1. 设集合 A ? {x | 0 ? x ? 6} , B ? {x | 0 ? y ? 2} ,下列对应关系 f : A ? B 是从 A 到 B 函数的是( A. f : x ? y ? )

1 x 2

B. f : x ? y ?

1 x 3

C. f : x ? y ?

x

D. f : x ? y ? x ? 1

x ? 3 ,在集合 A 取 x ? 6 ,在集合 B 中找不到元素与 2 x 它对应,所以 f : A ? B 不是从 A 到 B 函数;B 选项中,若 0 ? x ? 6 ,则 0 ? ? 2 ,A 中 3 x 的任何一个元素 x 在 B 中都有有唯一的一个数 与它对应,所以 f : A ? B 是从 A 到 B 函 3 数;C 选项中,若 0 ? x ? 6 ,则 0 ? x ? 6 ,在集合 A 取 x ? 6 在集合 B 中找不到元素与 它对应,所以 f : A ? B 不是从 A 到 B 函数;D 选项中,若 0 ? x ? 6 ,则 1 ? x ? 1 ? 7 ,在 集合 A 取 x ? 0 在集合 B 中找不到元素与它对应,所以 f : A ? B 不是从 A 到 B 函数。从而
解:A 选项中,若 0 ? x ? 6 ,则 0 ? 选B 2. 下列函数中,定义域与值不相同的是( )

1 ?1 ( x ? 1) 2 解:A 中, f ( x ) 定义域与值域均为 R ;B 中, f ( x ) 定义域与值域均为 (?? , 0) ? (0 , ? ?) ; C 中, f ( x ) 定义域与值域均为 (0 , ? ?) ;D 中 f ( x ) 定义域 (?? , 1) ? (1, ? ?) ,值域均为 (1, ? ?) ,定义域与值不相同,选 D
A. f ( x ) ? 2 x ? 1 B. f ( x) ?

1 x

C. f ( x) ?

1 x

D. f ( x) ?

3. 下列各组中的两个函数是同一函数的为( ① f ( x) ?



( x ? 3)( x ? 5) , g ( x) ? x ? 5 ;② f ( x) ? x ?1 x ?1 , g ( x) ? ( x ? 1)( x ?1) ; x?3

③ f ( x ) ? x , g ( x) ? A

x 2 ;④ f ( x) ? 3 x 4 ? x3 , g ( x) ? x 3 x ?1 ; ⑤ f ( x) ? ( 2 x ? 5)2 , g ( x) ? 2 x ? 5
①② B ②③ C ④ D ③⑤ 解:①中 f ( x ) 的定义域为 {x | x ? ?3} , g ( x) 的定义域为 R ,定义域不同,不是同一函

?x ?1 ? 0 ,得 f ( x ) 的定义域为 {x | x ? 1} ,由 ( x ? 1)( x ?1) ? 0 ,得 g ( x) 的 ? x ?1 ? 0 定义域为 {x | x ? 1 或 x ? ?1} ,定义域不同,不是同一函数;③中 f ( x) ? x , g ( x) ?| x | ,
数;②中,由 ? 对应关系不同,不是同一函数;④中, f ( x) ?
3

x 4 ? x3 ? x 3 x ?1 ? g (x) ,是同一函数;

⑤ f ( x ) 的定义域为 {x | x ? } , g ( x) 的定义域为 R ,定义域不同,不是同一函数。 选C

5 2

2x 的值域 x ?1 2x 2( x ? 1) ? 2 2 ? ? 2? ? 2 ,所以值域为 (?? , 2) ? (2 , ? ?) 解: y ? x ?1 x ?1 x ?1
4.函数 y ? 填 (?? , 2) ? (2 , ? ?) 5.函数 y ?

( x ? 1) 0 x ?x

的定义域是_____________________

解:由已知,得 ?

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ?? ? x ? 0 且 x ? ?1 ?| x | ? x ? 0 ? x ? 0

所以,原函数的定义域为 (?? , ? 1) ? (?1, 0) ,填 (?? , ?1) ? (?1, 0) 6. 已知 f (2 x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,则 f (3) = 解:令 2 x ? 1 ? 3 ,得 x ? 1 ,所以 f (3) ? 12 ? 2 ?1 ? ?1 ,填 ?1 7. 求下列函数的定义域 (1) y ? ?

1 2 x ?1; 2

(2) y ?

x?2 ; x2 ? 4

(3) y ?

1 ; x? | x |

(4) y ?

(5) y ? x ?1 ? 4 ? x ? 2 ;

1 1 ? 2? x ? | x | ?3 4? x

解: (1)原函数定义域为 R
2 (2)使原函数有意义,得 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? ?2 ,

所以原函数的定义域为 (?? , ? 2) ? (2 , ? ?) (3) 使原函数有意义, 得 x? | x |? 0 , 即 | x |? ? x , 所以原函数的定义域为 (0 , ? ?) ? x ? 0,

(4)使原函数有意义,得 ?

?x ?1 ? 0 ,解得 1 ? x ? 4 ,所以原函数的定义域为 [1 , 4] ?4 ? x ? 0

?4 ? x ? 0 ? ?4 ? x ? 2 ? (5)使原函数有意义,得 ? 2 ? x ? 0 ? ? ,解得 ?4 ? x ? 2 且 x ? ?3 ?| x |? 3 ?| x | ?3 ? 0 ?
所以原函数的定义域为 [?4 , ? 3) ? (?3 , 2] 8. 已知 f ( x) ? 2 x ?1 , g ( x) ? 3x ? 2

(1)求 f (1) ? g( ?2) 的值; (2)求 f [ g ( x)] (3)若 f (a) ? 5 ,求 a 的值 解: (1) f (1) ? g (?2) ? (2 ?1 ? 1) ? [3 ? (?2) ? 2] ? 1 (2) f [ g ( x)] ? 2 g ( x) ? 1 ? 2(3x ? 2) ? 1 ? 6 x ? 5 (3)? f (a) ? 5 ,? 2a ? 1 ? 5 ,即 a ? 2 9. 已知 f ? x ? 是一次函数,且满足 3 f ? x ?1? ? 2 f ? x ?1? ? 2x ?17 ,求 f ? x ? 解:设 f ( x) ? kx ? b (b ? 0) ,则

f ( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? b ? kx ? k ? b , f ( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? b ? kx ? k ? b

?3 f ? x ?1? ? 2 f ? x ?1? ? 3(kx ? k ? b) ? 2(kx ? k ? b) ? kx ? 5k ? b
?k ? 2 ?k ? 2 ,解得 ? ?3 f ? x ?1? ? 2 f ? x ?1? ? 2x ?17 ,? ? ?b ? 7 ?5k ? b ? 17
从而, f ? x ? ? 2x ? 7 10. 如图,有一块边长为 a 的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形,然 后折成一个无盖的盒子,求体积 V 关于 x 是的函数,并求它的定义域为多少。

解 : 由 已 知 , 这 个 盒 子 的 底 是 边 长 为 a ? 2x 的 正 方 形 , 高 为

x ,所以它的体积是

V ? x( a ? 2 x) 2
根据题意,得 ?

?0 ? x ? a a ,解得 0 ? x ? 2 ?a ? 2 x ? 0
2

所以体积 V 关于 x 是的函数是 V ( x) ? x(a ? 2 x) ,它的定义域是 (0 ,

a ) 2


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