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现代中学高三数学回归课本知识点总结


现代中学高三数学回归课本知识点总结 2016.6
补充不等式的解法与二次函数(方程)的性质 1、a>0 时, | x |? a ? x ? ?a或x ? a , | x |? a ? ?a ? x ? a

b 2 4ac ? b 2 ) ? 2、配方: ax ? bx ? c ? a ( x ? 2a 4a
2

2 3、△>0 时, ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个根为 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ),则

x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a
ax2 ? bx ? c ? 0 ? x1 ? x ? x2
b ,则 2a

ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? x1或x ? x2 ,

2 4、△=0 时, ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个等根为 x0 ? ?

ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? x0 , ax 2 ? bx ? c ? 0 无解 ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? R , ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? x0
2 5、△<0 时, ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )无解,则

ax2 ? bx ? c ? 0 ? x ? R , ax 2 ? bx ? c ? 0 无解
6.根与系数的关系
2 若 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个根为 x1 , x2

则 x1 ? x2 ? ?

b c , x1 ? x2 ? a a

第一章:基础知识 一、集合有关概念 1、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性. 2、集合的表示方法:列举法与描述法。 常用数集及其记法: 非负整数集 (即自然数集) 记作: N 0,1, 2,3........ n? 正整数集 N*或 N+

?

?1, 2,3........ n?

整数集 Z

?....... ? 3, ?2, ?1.0,1,2,3........ n?

有理数集 Q 实数集 R

3、a 属于集合 A 记作 a∈A ,a 不属于集合 A 记作 a?A 4、 “包含”关系—子集 A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 5、A∩B={x|x∈A,且 x∈B} , A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ = φ , A∩B = B∩A, A∪A = A, A∪φ = A ,A∪B = B∪A. 全集与补集(CSA ={x ? x?S 且 x?A},性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ

⑶(CUA)∪A=U,

1

CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB;
二、函数的有关概念 1、能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的 主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数( ? )不小于零; (3)对 数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由 一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组 成的集合. (6) 指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题 有意义. 2、分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 3、函数的奇偶性(定义域关于原点对称) . (1)一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫 做偶函数. (2) .一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x) 就叫做奇函数. 4、偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的格 式步骤:○ 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;○ 3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 第二章 直线与圆 1、x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或 重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° 2、 k ? tan ? , k ?

当 ? ? 90 ,180 时, k ? 0 当 ? ? 90 (即 x1 ? x 2 )时, k 不存在。 3、直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b
? ?
?

?

?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

? ? 当 ? ? 0 ,90 时, k ? 0 ;

?

?

③两点式: ④截矩式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C

? 0 (A,B 不全为 0)
平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ;

平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ;

4 、 平 行 于 已 知 直 线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ) 的 直 线 系 :

A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数) 5 、 垂 直 于 已 知 直 线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ) 的 直 线 系 :
2

B0 x ? A0 y ? C ? 0 (C 为常数)
6、过两条直线 l1 :

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

,其中直线 l 2 不在直线系中。 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ?? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) 7、当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ;

l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1

B x2 , y2) 8、两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是两个点,则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
A2 ? B 2

9、点到直线距离公式:点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By0 ? C 10、两平行直线距离公式 d ? C1 ? C2 二、圆的方程

A2 ? B 2
2

1、圆的标准方程 ?x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心 a, b ,半径为 r; 2、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断: (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为
2

?

?

d?

(2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,先将方程联立消元,得到 一个一元二次方程之后,令其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与C相交 3、过圆上一点的切线方程: 2 ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r (课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广).
2 2

Aa ? Bb ? C ,则有 d A2 ? B 2

? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交

4、圆与圆的位置关系: 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 第三章 立体几何初步 柱、锥、台、球的结构特征

1、棱柱:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且 相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 2、棱锥:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到 截面距离与高的比的平方。
3

棱台定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱台、四棱台、五棱台等 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 3、圆柱定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图 是一个矩形。 4、圆锥定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征: ①上下底面是两个圆; ②侧面母线交于原圆锥的顶点; ③侧面展开图是一个弓形。 5、球体定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 6、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影) ;侧视图(从左向右) 、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。

7、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 8、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)
'

S直棱柱侧面积 ? ch
S正棱台侧面积 ?

S圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? ch '
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

1 2

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?
V柱 ? Sh

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆 锥 表? ?r ?r ? l ?

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

?

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

V圆柱 ? S h ? ? 2r h V锥 ? 1 S h
3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 ' V圆台 ? (S ' ? S S ? S )h ? ? (r 2? rR ? R )2 h 3 3
2

球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R 3 ; S 球面 = 4? R
3

9、空间直角坐标系 (1)定义:如图, OBCD ? D, A, B,C , 是单位正方体.以 A 为原点, 分别以 OD,O A , ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x轴.y轴.z轴 。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. (1)O 叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
4

(2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇指指向 为 x 轴正方向,食指指向为 y 轴正向,中指指向则为 z 轴正向,这样也可以决定三轴间的 相位置。 (或 y 轴在 x 轴逆时针 90 度方向) (3)任意点坐标表示:空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,有序实数组 ( x, y, z ) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M ( x, y, z ) (x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标) (4)空间两点距离坐标公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 第四章 统计 1、样本均值: x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn n
n

数学期望 E ( X ) ?

? x ?P( x ? x ) ? x f
k ?1 i i

1 1

? x2 f 2 ? ....... ? xn f n

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 2、 .样本标准差: s ? s ? n
2

方差: Dx ?

? P( x ? x ) ? ( x
k ?1 k

n

k

? E ( X ))2 ;

3、若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥 4、若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 5、古典概型大题步骤; ①设“??”为事件 A ②总的基本事件有?? ③A 包含的基本事件有?? ④P(A) ?

A包含的基本事件数 总的基本事件个数

6、 几何概型的概率公式:P( A) ?

构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

7、条件概率 P( B | A) ?

P( A ? B) P( A)

8、众数将所有数中出现次数最多且次数超过 1 次的数叫做这一列数的众数。一列数的众数 可以有多个,也可以没有。 频率分布直方图 :众数最高矩形中点 9、中位数将所有的数从大到小排或者从小到大排,若共有奇数个数,则正中间的那个数叫 做这一列数的中位数; 若共有偶数个数, 那么正中间那两个数的平均数叫做这一列数的中位 数。 频率分布直方图: 中位数:把矩形面积平分 10、期望和方差的性质: 性质 1: E (c) ? c ;

5

性质 2: E (ax ? b) ? aEx ? b ; 性质 3: E( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? Ex1 ? Ex2 ? ? ? Exn ; 性质 4: D(c) ? 0 ; 性质 5: D(ax ? b) ? a 2 D( x) ; 11、认识频率分布直方图:

横标是分组的情况;纵标不是频率,而是频率/组距; 小方框的面积才是频率;所有的面积和为 1; 12、茎叶图; 定义:若数据为整数,一般用中间的数表示个位数以上的部分,两边的数表示个位数字;若 数据是小数,一般用中间的数表示整数部分,两边的数表示小数部分形成的图表;

第五章:常见的概率分布及期望、方差; 类型一:离散型随机变量的概率分布; 1、 两点分布(贝努利分布或 0、1 分布) : 特点:随机变量 x 只能取两个值 0、1;分布列如下:

x
P

0

1

1? p

p

6

期望: E ( x) ? p ; 2、 二项分布:

方差: D( x) ? p(1 ? p) ;

特点:在 n 次独立重复的贝努利实验中,每次实验中 A 事件发生的概率都是 p;每次试验只 有两个结果 A 或 A ;随机变量 x 表示 n 次试验中 A 事件发生的次数; 即: P ( x ? k ) ?

C

k n

p k (1 ? p ) n ? k ;则称随机变量 x 服从二项分布;记为: x ? B(n, p) ;
方差: D( x) ? np(1 ? p) ;

期望: E ( x) ? np ; 3、 超几何分布:

特点:一般的共有 N 个个体,A 类个体有 M 个,从中任取 n 个,随机变量 x 表示取到的 A 类 个体的个数,则称 x 服从超几何分布,记为: x ? H (n, M , N ) ;
k n?k CM CN ?M P( x ? k ) ;(k ? 0,1, 2,3,?, min{M , n}) ; n CN

期望: E ( x) ? N ;

Mn

方差: D ( x) ? N (1 ? N ) N ? 1 ;
( x ? ? )2 2? 2

nM

M N ?n

? 1 4、 正态分布的定义:如果连续型随机变量 x 的密度函数是: f ( x) ? e 2??

;则称

随机变量 x 服从正态分布,记为: x ? N (?, ? 2 ) 5、 正态分布的期望与方差:若 x ? N (?, ? 2 ) 期望: E ( x) ? ? ; 6、 正态分布的 3? 原则: (1) P(? ? ? ? x ? ? ? ? ) ? 0.6826 ; (2) P(? ? 2? ? x ? ? ? 2? ) ? 0.9544 ; (3) P(? ? 3? ? x ? ? ? 3? ) ? 0.9974 ; 7、独立性检验: (1)用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,这种变量称为分类变量.例如:是否吸 烟,宗教信仰,国籍等. (2)列出的两个分类变量的频数表,称为列联表. (3)一般地,假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频 数列联表(称为 2×2 列联表)为: 方差: D( x) ? ? ;
2

7

y1 x1 x2 总计
2

y2 b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

a c a+c

n(ad ? bc)2 (其中 n=a+b+c+d 为样本容量),可利用独立性检验 K ? (a ? b)(a ? c)(c ? d )(b ? d )
判断表来判断“x 与 y 的关系” .这种利用随机变量 K 来确定在多大程度上可以认为“两个 分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. 附表: 0.001 10.828
2

P(K ≥k) k
2

2

0.050 3.841

0.010 6.635

(1) K 越大相关性越强,反之越弱; (2)附表中 P(K ≥k)是两个统计学变量无关的概率; 第六章:三角函数 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?
2

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? . 2 2

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
? . ?

3、 ? sin ? ? ? cos ? ?

4、三角形中恒等式 Sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosc,tan(A+B)=-tanC
8

正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ?? 2 ? ?

??1,1?
当 x ? 2 k? ? 时 ,

??1,1?
? k ? ??
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

?
2

最 值

ymax ? 1 ; 当

ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2 k? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性

2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

在 ? 2k? ? 单 调 性

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?


?2k? ? ? , 2k? ?? k ???

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

上 是 增 函 数 ; 在

在 ? k? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ? ? ? 上是减函数.
心 对 称 中 心

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对 对 称 性 称 中

? k? ,0?? k ???
对 称 轴









? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ?? ?

x ? k? ?

?
2

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

?k ? ??

9

1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
圆的半径,则有 4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,
2 2 2 2 2 2

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ac 2ab
2 2 2 ?

6、设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ; ②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2 ? 2 2 2 ?

第七章 向量 1、⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . ⑶设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时, 向量 a 、 b b ? 0 共线. 2、若 a ? ? x, y ? ,则 a

?

?

? ?

??? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?2

? ? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2 .

? ? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 ? ? . a ? b ? x1 y2 ? x2 y1 ? ? ? ? ? ? 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则 ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ?? ? ? ? . 2 2 2 a b x1 ? y 12 x 2 ?y 2
10

? ? a ?b ? ? a在b 上的射影长为 ? b
第八章 数列

1、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ?1? d .

2、通项公式的变形:① an ③d

? am ? ? n ? m? d ;
an ? a1 ?1; d

② a1 ? an ? ⑤d

? n ?1? d ;


?

an ? a1 ; n ?1

④n ?

?

an ? am n?m

3、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an
* 若 ?an ? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2an

? ap ? aq ;

? ap ? aq .

4、等差数列的前 n 项和的公式:① S n

?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d. ;② Sn ? na1 ? 2 2
通项公式的变形:①

n ?1 5 、 若 等 比 数 列 ?an ? 的 首 项 是 a1 , 公 比 是 q , 则 an ? a 1q

an ? amqn?m ;② a1 ? an q?? n?1? ;③ q n ?1

?

a n?m an ? n . ;④ q am a1

* 6、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若

2 ,则 an ? a p ? aq . ?an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* )

?na1 ? q ? 1? ? 7、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . 1 n ? q ? 1 ? ? ? 1? q ? 1? q
⑴等差数列中 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等差数列. ⑵等比数列中 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列.

8 、求通项常法( 等差等比通用) : ( 1)已知数列的前 n 项和 s n , 求通项 a n , (n ? 1) ? S1 可利用公式an ? ? (n ? 2) ?Sn ? S n ?1 9、常见和: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) , 12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 2 6

n(n ? 1) 2 ] 2 10、分组法求数列的和:如 an=2n+3n 、 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [

11

①错位相减法求和:如 an=(2n-1)2n、 ②裂项法求和:如求和: 1 ?
1 1 1 ? ??? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

③递推式为 a n+1 = a n +f(n) (采用累加法); 如已知数列 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?
1 n ?1 ? n
(n ? 2) ,则 an =_

④递推式为 a n+1 = a n ×f(n) (采用累积法); ⑤构造法形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列 如①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ⑥倒数法形如 an ?
an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b an ?1 ,求 an 3an ?1 ? 1

如①已知 a1 ? 1, an ?

②已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? an an?1 ,求 an
第九章 立几
a // b ? ? ? ?? ? // ? ? ? ? 1、常用定理:①线面平行 b ? ? ? ? a // ? ; ? ? a // ? ; a ? ? ? ? a // ? a ? ? ? a ? ?? a ?? ? ? ?

②线线平行: a ? ?

? // ? ? ? a ? ?? a // b ? ? ? ? ? a // b ; b ? ? ? ? a // b ; ? ? ? ? a ? ? a // b ; a // c ? ? c // b ? ? ? ? ? ? ? ? b? ? ? ? ? b?

a // ?

a ? ?,b ? ? ? ③面面平行: a ? b ? O ? ? ? ? // ? a // ? , b // ? ? ?
b ? ??

;

a ??? ? ? ? // ? a ? ??

;

? // ? ? ? ? ? // ? ? // ? ?

0 ④线线垂直: a ? ? ? ? ? a ? b ;所成角 90 ;

⑤线面垂直: a ? b ? O

??? a ? ?,b ? ? ? ? ? ? ; ; ? // ? ? ; a // b ? ? ? ? ? l ? l ? ? ? ? a ? ? a ? ?? ? a ? ? a ? ?? ? b ? ? ? ? ? a ? ?, a ? l? l ? a, l ? b ? ? ?

⑥面面垂直:二面角 900;

a ? ?? ??? ? ? a ?? ?

;

a // ? ? ??? ? ? a ? ??

性质: (1) l ? ? , a ? ? ? l ? a (线面垂直 ? 线线垂直) ; (2) a ? ? , b ? ? ? a // b ;

12

??? ? ? // ? ? a ? ? ? b? ? (3) (4) ??a ? ? ; ? ? a ? ? (面面垂直 ? 线面垂直) a ??? a ?? ?
a?b
2

? ?

2 、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方 和; 【如图】 AC ? AB ? AD ? AA ? 球的直径的平方
2 1 2 2 1

D1 A1 D A B1

C1

3、球的性质: ①球心与截面圆心的连线垂直于截面; ②r ?

C B

R ? d (其中,球心到截面的距离为 d、
2 2

球的半径为 R、截面的半径为 r) 4、球与多面体的组合体:球与正四面体,球与长方 体,球与正方体等的内接与外切.
D' A' O B' O C' A' C'

球面 球心 轴 半径 O R A r

d O1

B

D A B

C A c

注:球的有关问题转化为圆的问题解决. 5、球面积、体积公式: S球 ? 4? R ,V球 ?
2

4 3 ? R (其中 R 为球的半径) 3
32 ? ,则正方体的棱 3

例: (06 年福建卷)已知正方体的八个顶点都在球面上,且球的体积为 长为_________ 第十章 空间向量与立体几何 1、共线向量

(1)共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) , a // b 存在实数 λ,使 a =λ b 。 (2)三点共线:A、B、C 三点共线<=>

?

?

?

?

? ?

?

?

AB ? ? AC

???? ??? ? ??? ? <=> OC ? xOA ? yOB,(其中 x ? y ? 1)

(3)与 a 共线的单位向量为 ?

a a

(4)四点共面:若 A、B、C、P 四点共面<=> <=> OP ?

AP ? x AB ? y AC

xOA ? yOB ? zOC(其中x ? y ? z ? 1)
13

2、空间向量的直角坐标运算律:

? ? ? ? ①若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b 1 , b2 , b3 ) ,则 a ? b ? (a1 ? b 1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,
? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 , ? ? a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) , ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 。

? ? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) ,

?? ? B ? x( 2 x ? y1, 2 y? z1 2 , z ? ) B( x2 , y2 , z2 ) , ②若 A( x1 , y1 , z1 ) , 则A 1
3、Δ ABC 的五心: 内心 P:内切圆的圆心,角平分线的交点。 AP ? ? (



AB AB

?

AC AC

) (单位向量)

外心 P:外接圆的圆心,中垂线的交点。 垂心 P:高的交点: PA? PB ?

PA ? PB ? PC

PA? PC ? PB ? PC (移项,内积为 0,则垂直)
1 ? ( AB ? AC ) 3

重心 P:中线的交点,三等分点(中位线比) AP 中心:正三角形的所有心的合一。

4、线线夹角 ? (共面与异面) [0 ,90 ] ? 两线的方向向量 n1 , n 2 的夹角或夹角的补角,
O O

?? ? ?? ? cos ? ? cos ? n1 , n2 ?
5、线面夹角 ? [0 ,90 ] :求线面夹角的步骤:先求线的方向向量 AP 与面的法向量 n 的夹
O O

角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角;再求其余角,即是线面的夹 角. sin ? ? cos ? AP, n ? 6、面面夹角(二面角) ?

[0O ,180O ] : cos?

? ? cos ? n1 , n2 ? 再由图确定符号

7、点面距离 h :求点 P ? x0 , y0 ? 到平面 ? 的距离: 在平面 ? 上找一点 Q ? x, y ? ,得向量

??? ? PQ ? n ? PQ ;; 计算平面 ? 的法向量 n ;. h ?
n
7-1 线面距离(线面平行) :转化为点面距离
14

7-2 面面距离(面面平行) :转化为点面距离 第十一章 导数 1、基本求导公式 ⑴ (C )? ? 0 (C 为常数)⑵ ( x n )? ? nxn?1 ;一般地, ( x? )? ? ?x? ?1 。 特别地: ( x)? ? 1 , ( x 2 )? ? 2 x , ( )? ? ?

1 x

1 1 , ( x )? ? 。 2 x 2 x

⑶ (e x )? ? e x ;一般地, (a x )? ? a x ln a (a ? 0, a ? 1) 。 ⑷ (ln x ) ? ? ⑸

1 1 (a ? 0, a ? 1) 。 ;一般地, (log a x)? ? x x ln a
(cosx)? ? ? sin x

(sin x)? ? cos x

2、求导法则(Ⅰ) ( f ( x) ? g ( x))? ? f ?( x) ? g ?( x) ; (Ⅱ) ( f ( x) g ( x))? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ,特别 (Cf ( x))? ? Cf ?( x) (C 为常数) ; (Ⅲ) (

1 g ?( x) f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) 。 )? ? , ( g ( x) ? 0) ,特别 ( )? ? ? 2 2 g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)
2

例1

设 y=(1+x )ln x,求: y ?

解: y? ? (1 ? x )? ln x ? (1 ? x )(ln x)? ? 2 x ln x ?
2 2

1 ? x2 x

例2

设y?

ex ,求: y ? 1? x

解: y? ? 第十二章

(e x )?(1 ? x) ? e x (1 ? x)? xe x ? (1 ? x) 2 (1 ? x) 2

1、椭圆的的内外部
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ?1. 的内部 a 2 b2 a 2 b2 2 2 x0 y0 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 2 ? 2 ? 1 . a b a b 2、 椭圆的切线方程 xx y y x2 y 2 (1)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b

(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

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x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ( 3 ) 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 A x? B ? y C ? 0 相切的条件是 a b A2 a 2? B2 b ?2 .c 2 3、双曲线的方程与渐近线方程的关系 x2 y2 x2 y 2 b (1)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . a b a a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x a b a b 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). 4、抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式 p 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2 p p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2
1 n?1 2 n?2 2 r n?r r n n 4、二项式定理 (a ? b)n ? Cn0a n ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b

特别地:(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+?+Cnrxr+?+Cnnxn 二项展开式通项: Tr+1= Cnran-rbr 5、复数的相等 a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R )
| z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . a?b ? ab . 6、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 2

复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)

7、常用的基本不等式:① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;② ab ?
2 2
2 2

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ③ ab ? ? ;④ a ? 0, b ? 0 ?? ? ? ? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ?

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