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2012年全国高中数学联赛(山东)赛区竞赛试卷


山东省 2012 届高中数学夏令营数学竞赛 一.填空题(本题共 5 道小题,每小题 8 分,满分 40 分) 1.函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ? 3 ? 2 x 的最大值是________________ ; 解: f ( x) ? 1 ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 2 2 ,其等号仅当 1 ? 2 x ? 立,所以,f(x)最大= 2 3 ? 2x 即 x

? 1 时成 2 2. 2.如果自然数 a 的各位数字之和等于 5,那么称 a 为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到 大排成一列 a1,a2,?,an.若 an=2012.则 n=_______________. (王继忠 供题) 解:设 x1 x2 xm 为吉祥数,则 x1+x2+?+xm=5,由 x1≥1 和 x2,?,xm≥0 得 4 xm 为第 Cm ? 3 个吉祥数. 1x2 4 4 xm 为第 Cm ? 2 个吉祥数. (x1-1)+x2+?+xm=4,所以, x1 x2 由此得:一位吉祥数共 1 个,二位吉祥数共 C5 因以 1 为首位的四位吉祥数共 C6 4 ? 5 个,三位吉祥数共 C64 ? 15 个, ? 15 个,以 2 为首位的前两个四位吉祥数为: 2003 和 2012.故 n=1+5+15+15+2=38. 3.已知 f(x)是 2011 次多项式,当 n=0,1,?,2011 时, f ( n) ? n . n ?1 则 f(2012)=______; (王 林 供题) 解:当 n=0,1,?,2011 时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x 有 2012 个根, 设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)?(x-2011). 取 x=-1,则 1=2012!a.故 a ? 1 , 2012! D A f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 2011) x ? , 2012!( x ? 1) x ?1 B E O I C F 2012! 2012 2013 f (2012) ? ? ? ?1. 2012!2013 2013 2013 4.将圆周上 5 个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第 1 步转 过 1 个间隔将到达的那个点染红,第 2 步转过 2 个间隔将到达的那个点染红,第 k 步转过 k 个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈 供题) 解:将 5 个点依次编号 0—4,且不妨设开始染红的是 0 号点,则第 1 步染红的是 1 号点, 第 2 步染红的是 3 号点,第 3 步染红的又是 1 号点.故共可得 3 个红点. 5.如图,设 O , I 分别为 ?ABC 的外心、内心,且 ?B ? 60 , AB > BC , ?A 的外角 平分线交⊙ O 于 D ,已知 AD ? 18 ,则 OI ? _____________. (李耀文 供题) 解: 连接 BI 并延长交⊙ O 于 E ,则 E 为弧 AC 的中点.连 OE 、 AE 、 CE 、 OC ,由 ?B ? 60 ,易知 ?AOE 、 ?COE 均为 正三角形.由内心的性质得知: AE ? IE ? CE ,所以 A 、 O 、 I 、 C 四点共圆,且圆心为 E .再延长 AI 交⊙ O 于 F , 由题设知 D 、 O 、 F 共线,于是 ?OEI ? 2?OAI , ?AOD ? 2?AFD ? 2?

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