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2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 新课标2卷(附答案)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(新课标卷Ⅱ) 第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 M={0,1,2} ,N= ?x | x2 ? 3x ? 2≤0? ,则 M ? N =( A. {1} B. {2} C. {0,1} )

D. {1,2} )

2. 设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? ( A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i )

3. 设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a ? b = ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

4. 钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(

2

)

A. 5

B.

5

C. 2

D. 1

5. 某地区空气质量监测资料表明, 一天的空气质量为优良的概率是 0.75, 连续两为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一 天的空气质量为优良的概率是( A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 ) D. 0.45

6. 如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的 是某零件的三视图, 该零件由一个底面半径为 3cm, 高为 6cm 的圆柱 体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( A. )

17 27
A. 4

B. 5

9

C. 10

27

D.

1 3


7. 执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( B. 5 C. 6 D. 7

8. 设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

? x ? y ? 7≤0 ? 9. 设 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3 x ? y ? 5≥0 ?
( ) A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

10. 设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△
第 1 页

OAB 的面积为( ) A.

3 3 4

B.

9 3 8


C.

63 32

D. 9

4

11. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( A. 1

10

B. 2

5

C.

30 10

D.

2 2
2

2 12. 设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x . 若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围是 m

( A. C.



? ??, ?6? ? ? 6, ?? ? ??, ?2? ? ? 2, ??

B.

? ??, ?4? ? ? 4, ??
第Ⅱ卷

D. ? ??, ?1? ? ? 4, ??

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题 13.

? x ? a?

10

的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)

14. 函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________. 15. 已知偶函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递减, f ? 2? ? 0 .若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是__________. 16.设点 M( x0 ,1) ,若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是________. 三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的 体积.
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19. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并 预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
?

b?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

2

? ? ? y ? bt ,a

20. (本小题满分 12 分)
2 x2 y 设F M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, 直线 MF1 1 , F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点,

a

b

与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a,b. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请写清题号.

22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图, P是 O 外一点, PA 是切线, A 为切点, 割线 PBC 与 O 相 E.

交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交
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O 于点

证明: (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)AD ? DE=2 PB 2

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点, x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为

? ?. ? ? 2 cos ? , ? ? ? ?0, 2 ? ? ?
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确 定 D 的坐标. 24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0)

a

(Ⅰ)证明: f ? x ? ≥ 2; (Ⅱ)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围.

第 4 页

参考答案
一、选择题 1. D 7. D 二、填空题 13. 2. A 8. D 3. A 9. B 4. B 10. D 5. A 11. C 6. C 12. C

1 2

14. 1

15. (?1,3)

16. [?1,1]

17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:由 an?1 ? 3an ? 1 得 an ?1 ? 又 a1 ?

1 1 ? 3(an ? ) 2 2

1 3 1 3 ? ,所以 {an ? } 是首项为 ,公比为 3 的等比数列 2 2 2 2

an ?

1 3n 3n ? 1 ? ,因此 {an } 的通项公式为 an ? 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 2 ? n an 3 ? 1
n n ?1

因为当 n ? 1 时, 3 ? 1 ? 2 ? 3

,所以

1 1 ? 3 ? 1 2 ? 3n ?1
n

于是

1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3
1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3

?

1 1 1 ? 1? 1 ? 2 ? an 3 3
1 3 ? an 2

1 n 1 3 1 3 ? n -1 ? 3 ? ( 1- n ) ? 1 2 3 3 2 13 1-

所以

?

18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 EO 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点, 又 E 为 PD 的中点,所以 EO // PB ,

EO ? 平面 AEC, PB ? 平面 AEC ,所以 PB // 平面 AEC
(Ⅱ)因为 PA ? 平面ABCD, ABCD 为矩形,所以 AB, AD, AP 两两垂直 如图, 以 A 为坐标原点,AB 的方向为 x 轴的正方向,| AP | 为单位长, 建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 D(0, 3, 0), E (0,

3 1 3 1 , ), AE ? (0, , ), 2 2 2 2

设 B(m,0,0)(m ? 0) ,则 C(m, 3,0), AC ? (m, 3,0)

第 5 页

设 n1 ( x, y, z) 为平面 ACE 的法向量,

? ? n1 ? AC ? 0, 则? ? ? n1 ? AE ? 0,
可取 n1 ? (

? mx ? 3 y ? 0, ? 即? 3 1 y? z ?0 ? ? 2 2

3 , ?1, 3) m

又 n2 ? (1,0,0) 为 平 面 D A E 的 法 向 量 , 由 题 设

| cos ? n1 , n2 ?|?

1 3 3 1 ,即 ? ,解得 m ? 2 2 2 3 ? 4m 2
1 ,三棱锥 E ? ACD 的体积 2

因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E ? ACD 的高为

1 1 3 1 3 V ? ? ? 3? ? ? 3 2 2 2 8
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由所给数据计算得

t? y?
7

1 (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7) ? 4 7 1 (2.9 ? 3.3 ? 3.6 ? 4.4 ? 4.8 ? 5.2 ? 5.9) ? 4.3 7
2 i

? (t ? t )
i ?1 7 i ?1 i

? 9 ? 4 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 ? 9 ? 28

? (t ? t )( y ? y )
i

? (?3) ? (?1.4) ? (?2) ? (?1) ? (?1) ? (?0.7) ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.5 ? 2 ? 0.9 ? 3 ?1.6
? 14
? 7

b?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

2

? 14 ? 0.5 , 28

? ? 4.3 ? 0.5 ? 4 ? 2.3 ? ? y ? bt a
所求回归方程为 y ? 0.5t ? 2.3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, b ? 0.5 ? 0 ,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平 均每年增加 0.5 千元。 将 2015 年的年份代号 t ? 9 代入(Ⅰ)中的回归方程,得
第 6 页
?

y ? 0.5 ? 9 ? 2.3 ? 6.8 ,
故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 608 千元。 20. (本小题满分 12 分)

b2 2 解: (Ⅰ)根据 c ? a ? b 及题设知 M (c, ), 2b ? 3ac a
2 2

将 b ? a ? c 代入 2b ? 3ac ,解得
2 2 2 2

c 1 c ? , ? ?2 (舍去) a 2 a

故 C 的离心率为

1 2

(Ⅱ)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点, MF2 // y 轴,所以直线 MF2 与 y 轴的交点 D(0, 2) 是线段 MF1 的中

b2 ? 4 ,即 点,故 a
b2 ? 4a
由 | MN |? 5 | F 1 N | 得 | DF 1 |? 2 | F 1N | 设 N ( x1 , y1 ) ,由题意知 y1 ? 0 ,则 ①

?2(?c ? x1 ) ? c, ? ??2 y1 ? 2,
代入 C 的方程,得

3 ? ? x1 ? ? c, 即? 2 ? ? y ? ?1,

9c 2 1 ? ?1 4a 2 b 2 9(a 2 ? 4a) 1 ? ?1 4a 2 4a



将①及 c ? a2 ? b2 代入②得 解得 a ? 7, b ? 4a ? 28 ,故
2

a ? 7, b ? 2 7
21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? e ? e
x ?x

? 2 ? 0 ,等号仅当 x ? 0 时成立

所以 f ( x ) 在 (??, ??) 单调递增 (Ⅱ) g ( x) ? f (2x) ? 4bf ( x) ? e
2x

? e?2 x ? 4b(ex ? e? x ) ? (8b ? 4) x ,

g?( x) ? 2[e2 x ? e?2 x ? 2b(ex ? e? x ) ? (4b ? 2)] ? 2(ex ? e? x ? 2)(ex ? e? x ? 2b ? 2)
(ⅰ) 当 b ? 2 时,g ?( x) ? 0 , 等号仅当 x ? 0 时成立, 所以 g ( x) 在 (??, ??) 单调递增, 而 g (0) ? 0 , 所以对任意 x ? 0, g ( x) ? 0 ;

第 7 页

(ⅱ)当 b ? 2 时,若 x 满足 2 ? e ? e
x

?x

? 2b ? 2 ,即 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) 时 g ?( x) ? 0 ,而

g (0) ? 0 ,因此当 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) 时, g ( x) ? 0 。
综上, b 的最大值为 2. (Ⅲ)由(Ⅱ)知, g (ln 2) ? 当 b ? 2 时, g (ln 2) ?

3 ? 2 2b ? 2(2b ? 1) ln 2 2

3 8 2 ?3 ? 4 2 ? 6 ln 2 ? 0 , ln 2 ? ? 0.6928 ; 2 12

当b ?

3 2 ? 1 时, ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) ? ln 2 4
3 g (ln 2) ? ? ? 2 2 ? (3 2 ? 2) ln 2 ? 0 2

ln 2 ?

18 ? 2 ? 0.6934 28

所以 ln 2 的近似值为 0.693 22.(本小题满分 10) 证明: (Ⅰ)连结 AB,AC,由题设知 PA=PD,故 ?PAD ? ?PDA 因为 ?PDA ? ?DAC ? ?DCA

?PAD ? ?BAD ? ?PAB

?DCA ? ?PAB
所以 ?DAC ? ?BAD ,从而 BE ? EC 因此 BE ? EC (Ⅱ)由切割线定理得 PA ? PB ? PC
2

因为 PA ? PD ? DC ,所以 DC ? 2PB, BD ? PB 由相交弦定理得 AD ? DE ? BD ? DC 所以 AD ? DE ? 2PB 23. (本小题满分 10) 解: (Ⅰ) C 的普通方程为
2

( x ?1)2 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1)

第 8 页

可得 C 的参数方程为

? x ? 1 ? cos t ( t 为参数, 0 ? t ? ? ) ? ? y ? sin t
(Ⅱ)设 D(1 ? cos t ,sin t ) 由(Ⅰ)知 C 是以 G (1, 0) 为圆心,1 为半径的上半圆,因为 C 在点 D 处的切线 与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同。

tan t ? 3, t ?
故 D 的直角坐标为 (1 ? cos 24. (本小题满分 10) 解: (Ⅰ)由 a ? 0 ,有 f ( x) ?| x ? 所以 f ( x) ? 2 (Ⅱ) f (3) ?| 3 ?

?
3

?

? 3 3 ,sin ) ,即 ( , ) 3 3 2 2

1 1 1 | ? | x ? a |?| x ? ? ( x ? a ) |? ? a ? 2 a a a

1 | ? |3? a | a
1 5 ? 21 ,由 f (3) ? 5 得 3 ? a ? a 2 1 1? 5 ?a?3 ,由 f (3) ? 5 得 a 2

当 a ? 3 时, f (3) ? a ?

当 0 ? a ? 3 时, f (3) ? 6 ? a ?

综上, a 的取值范围是 (

1 ? 5 5 ? 21 , ) 2 2

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