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物理竞赛高中力学


一. 质点运动学 二. 牛顿运动定律

三. 动量定理 动量守恒定律
四. 动能定理 机械能守恒定律 五. 质心运动定律 六. 角动量定理 角动量守恒定律 七. 刚体的平衡 八. 万有引力与天体运动 九. 简谐振动

1.质点运动的一般描述
1.1 运动方程与轨道方程 运动方程
y P(x,y)

/>
? ? ? ? r ? r (t ) ? x(t )i ? y(t ) j

y

? x ? x(t ) ? ? y ? y (t )
轨道方程

r
O x x

? x ? x(t ) 消去t ??? f ( x, y ) ? 0 ? ? ? y ? y (t )

1.2 速度
反映质点运动的快慢和方向的物理量

? ? ?r v? ?t

y A ?r rA rB O x B

? ? ?r dr ? v ? lim ? dt ?t ?0 ?t

dx ? ?v x ? dt ? ? ?v ? dy ? y dt ?

? 瞬时速度沿轨道切线方向

1.3 加速度
反映速度(大小和方向) 变化快慢的物理量 ? ? ?v a? ?t ? ? ?

z A rA rB O

vA

B
vB

?v dv d r ? a ? lim ? ? 2 ?t ?0 ?t dt dt
2

y

x (a)

dv x d x ? ? 2 ?a x ? ? dt dt ? dv y d 2 y ?a ? ? 2 y ? dt dt ?
2

vA
?v vB (b)

? 加速度与速度的方向一般不同。

2. 抛体运动
速度:
y

?vx ? v0 cos ? ? ? ?v y ? v0 sin ? ? gt ?
运动方程:
? x ? v0 cos ? t ? ? 1 2 ? y ? v0 sin ? t ? 2 gt ?
g O

v0

?
x

轨道方程:
g y ? x tan ? ? 2 x2 2v0 cos 2 ?

y

推论
1)飞行时间:

v0

2v0 sin ? T? g
2)上升高度:

g O

?
x

H ? ymax
3)射程:
2 0

2 v0 sin 2 ? ? 2g

v sin 2? s? g

思考 甲、乙两小孩在做游戏,甲在树上,乙在地上 用枪描准甲,乙一开枪,甲就从树上跳下(初速度为 零) 。问:甲是否被击中?若被击中,求出被击中的 时间和地点。


? v0

h



?

s

3. 圆周运动
3.1 圆周运动的加速度

? ? ? a ? a?? 0 ? an n0 dv ? a? ? ? ? dt ? 2 ?a ? v ? n R ?
?a ? a 2 ? a 2 n ? ? ? an ? tan ? ? a? ?

?0
v

a?
a an
?

P s

O
n0

R

P0

x

3.2 圆周运动的角量描述 角位置:?=?(t)

?? d? ? 角速度: ? ? lim dt ?t ?0 ?t ?? d? 角加速度: ? ? lim ? dt ?t ?0 ?t
3.3 角量和线量的关系

P

?
O R

s

P0

x

v ? R?

?an ? R? 2 ? ? ?a? ? R ? ?

4.相对运动
4.1 运动描述与参照系:对物体运动的描述与参照系 有关——位移、速度、加速度的测量与参照系有关。 4.2 不同参照系间位移、速度和加速度的变换

? ? ? v ? v0 ? v?

? ? ? r ? r0 ? r ?

y S

y?
S?
P

O?
r0 O r

r?
x?

? ? ? a ? a0 ? a ?

x

1.一般曲线运动
1.1 一般曲线运动中的加速度

? ? ? a ? a?? 0 ? an n0

dv ? ?a? ? dt : 切向加速度 ? ? v2 ?an ? : 法向加速度 ? ? ?

?
an
a

a?

?a ? a 2 ? a 2 n ? ? ? an ? tan ? ? a? ?

1.2 曲率半径的物理求法

v2 an ? ? ? ? ? an
椭圆的曲率半径:

v2

y B b O

x2 y 2 轨道方程: 2 ? 2 ? 1 a b ? x ? a cos ?t 对应运动方程:? ? y ? b sin ?t

a

A

x

A点:v ? v y ,max ? b? , an ? ax ,max ? a?

2

v b ?A ? ? an a

2

2

a2 同理:? B ? b

抛物线的曲率半径:

y ? Ax 2 轨道方程:
? x ? v0t ? 对应运动方程: ? 1 2 ? y ? 2 at ? a 其中: 2 ? A 2v0

y

vy
?

v
vx

a
an ?
x

a?

O

?vx ? v0 av0 ? 2 2 2 2 ? v ? v0 ? a t an ? a cos ? ? 2 ? v0 ? a 2t 2 ?v y ? at ?
2 2 2 2 2 2 3/ 2 v 2 (v0 ? a 2t 2 )3/ 2 v0 a x 3/ 2 (1 ? 4 A x ) ?? ? ? ? (1 ? 4 ) ? an av0 a v0 2A

2. 连体运动问题
解题方法一:运动的分解 情形1:两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连, 他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。
?
v1 v1 cos ? ? v2 cos ?

v2

?

例 1.1 如图, 一人拉着绳子的一端在水平面上以速度 v0 匀速前进。求当绳子与水平面夹角为 ? 时,重物上 升的速度。

解:v ? v||

? v0 cos ?

h

v0

?

?
v||

v0

情形2:两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。
v1

?

?
v2

v1 cos ? ? v2 cos ?

例1.2 如图示,一半径为R的半圆柱体沿水平方向

以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P
的角位置为? 时竖直杆运动的速度。 解: v0 sin ? ? vP cos ?
vP

vP ? v0 tan ?
O

?
P

v0

? R

练习:顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动,其下端由

凸轮M推动,凸轮绕过O点的水平轴以角速度 ?转
动。在图示的瞬时,OA=r,凸轮轮缘与A接触处 法线n与OA夹角为?,试求此瞬时顶杆AB的速度。
B K

参考答案: A ? r? tan ? v
A
r?

? O n M

情形3:两直线相交点的运动等于各直线沿对方 直线方向运动的合运动:

v2

? ? ? ? ? vP ? v1 ? v2

? v2
? v1
v1

P

例1.3 水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速

v0竖直下落,如图所示,试求套在该直线和圆圈的
交点处小环M的速度。

v0 解:vM ? v1 ? sin ?

v2

M

?
v0 O

R v0 v1

v0

练习:如图,一平面内有两根夹角为? 细杆l1和l2,

两细杆各自以垂直于自己的速度v1 和v2 在该平面内
运动,试求两细杆交点P的速率。
v1
P

?

v2

解:
v1 v2 ? ? v1 ? , v2 ? , sin ? sin ?
? v1 v? 2

v1

v1

P
v2

? ? ? ? vP ? v1 2 ? v22 ? 2v1 v2 cos ?
1 2 ? v12 ? v2 ? 2v1 v2 cos ? sin ?
v2

?

解题方法二:运动的合成(相对运动) 一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换:

? ? ? B对地:rB、vB、aB ? ? ? ? ? ? ? ? ? A对地:rA ? rAB ? rB、vA ? vAB ? vB、aA ? aAB ? aAB

? ? ? A对B:rAB、vAB、aAB

例1.4 如图,缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光

滑钉子A上。今以恒定速度v拉绳,当绳与竖直方向
夹角为 ?时,求线轴中心O的运动速度v。设线轴的 外半径为R,内半径为r,线轴沿水平面作无滑动滚 动。
?
R r O B C A

v

情况1:线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为??。 解: B点相对O的速度大小: B ? r? v?

? ? ? ? ? B点相对于地面的速度:vB ? vB ? vO ? vB|| ? vB|| ? vO|| vB沿绳子方向的分量与v相等: ? r? ? vO sin ? …….(1) v 线轴与地面无滑动: O ? R? ……………………..….(2) v Rv ……..…..….(3) 联立(1)、(2)得: vO ? r ? R sin ? 由式(3)可知,情况1出现的条件为: r ? R sin ?
A

?
vO
R r O B C

? vB

v

? / 2 ??

情况2:线轴座顺时针方向转动。同理可得:

Rv vO ? R sin ? ? r 出现情况2的条件为: ? R sin ? r
A

r R O ? vB B C

? / 2 ??
vO

?
v

例1.5 续例11,求重物上升的加速度。
O

h

l

B

? a A|| ? A

v?

?
v||

v0

解:
以O点为参照系,绳子末端A作圆周运动,其加 速度沿绳子方向的分量,即向心加速度大小为
2 2 v? v0 sin 3 ? ? aA|| ? ? l h

以地面为参照系,A的加速度

? ? ? ? aA ? aO ? aA
? aA|| ? aO|| ? aA||
v sin ? 0 ? ?aB ? h 2 v0 sin 3 ? aB ? h
2 0 3

O

h

l
B

? aA||

v?

?
A

?
v||

v0

例1.6 续例12,求竖直杆运动的加速度。 解: 以O为参照系,P点作圆周运动,其速度:

向心加速度:

? ? ? v0 v? ? vP ? vO ? v? ? cos ?
2 ?2 v0 v ? an ? ? R R cos 2 ?

v?

?

vP

R

?

a? n

P

?

at? v 0

P点相当于地面的加速度:

O

? ? ? ? ? ? ? aP ? a? ? a0 ? a? ? at? ? an 2 ? an v0 aP ? ? ?? 3 cos ? R cos ?

aP

解题方法三:微积分
关键:找出各物体间位移间的关系,进而得到速

度、加速度之间的关系。
?f dx1 ?f dx2 ? ?0 f ( x1 , x2 ) ? 0 ? ?x1 dt ?x2 dt ?f ?f v1 ? v2 ? 0 ?x1 ?x2 dv2 ?v2 dv1 ?v2 dx1 ?v2 dx2 v2 ? v2 (v1 , x1 , x2 ) ? a2 ? ? ? ? dt ?v1 dt ?x1 dt ?x2 dt ?v2 ?v2 ?v2 ? a1 ? v1 ? v2 ?v1 ?x1 ?x2

例 1.7

如图, 一人拉着绳子的一端在水平面上以速度

v0 匀速前进。求当绳子与水平面夹角为 ? 时,重物上

升的速度和加速度。

h y x

v0

?

解:

y ? h ? x 2 ? h2 ? L (1) dy d y dy dx ? v0 ? v? ? dx d t dx dt

v0 x
2 2

x ?h 2 2 v0 d v dv dx dv v0 h 2 ? ? v0 ? sin 3 ? (2) a ? ? 2 d t dx dt dx ( x ? h2 )3/ 2 h

? v0 cos ?

h y x

v0

?

例1.8 如图示,一半径为R的半圆柱体沿水平方向

以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P
的角位置为? 时竖直杆运动的速度和加速度。

vP P

?
O

R
y x A

v0

解:y ? R 2 ? x 2 x dy dy dx dy ? v0 tan ? ? v0 vP ? ? ? ?v0 dt dx dt dx R2 ? x2 2 dvP dvP dx dvP R 2v0 aP ? ? ? ?v0 ?? 2 dt dx dt dx ( R ? x 2 )3/ 2 2 v0 ?? R cos3 ?
vP P

?
O

R y x A

v0

例1.9 水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速

v0竖直下落,如图所示,试求套在该直线和圆圈的
交点处小环M的速度和加速度。
x y? v0 O R M

v0

解: ? R 2 ? y 2 x
vMx dx dx dy dx ? ? ? ?v0 dt dy dt dy y ? v0 ? v0 cot ? v0 2 2 R ?y
x y? O R M v0

vMy ? v0

vM ? v
aMx

2 Mx

?v

2 My

v0 ? sin ?

2 2 dvMx dvMx dy dvMx R 2v0 v0 ? ? ? ?v0 ?? 2 2 3/ 2 ? ? dt dy dt dy (R ? y ) R cos3 ?

aMy ?

dvMy dt

?0

1.牛顿运动定律
第一定律:定性反映了物体的运动与其受力之间 的关系,引入惯性参照系的概念。 第二定律:定量性反映了物体的运动规律与其受

力之间的关系:

? ? F ? ma

第三定律:反映了力的来源: 力来自物体间的相互作用。

——正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状 态不断发生改变,使得自然界不断地变化发展。

2.自然界中的力
2.1 万有引力

任何物体之间都存在的相互吸引力:
M
r

m F

? mM ? F ? ?G 2 er r
G ? 6.6726 ?10 N ? m ? kg
2 ?11 -2

2.2 重力:使物体产生重力加速度的力。 ? 重力来源于地球对物体的引力,若忽略地球的 惯性离心力,则

mM P ? G 2 ? mg R
M g ?G 2 R
——重力加速度与物体质量无关

比萨铁塔落体实验

逻辑推理

slow fast

?

2.3 弹力:物体由于形变而对引起形变的物体产 生的作用力。 弹簧:F

? ?kx (在弹性范围内)

2.4 摩擦力:相互接触的物体间产生的一对阻止相

对运动或相对运动趋势的力。
滑动摩擦力: f k

? ?N

? 摩擦力总是阻止相对运动。

摩擦力总是阻止相对运动

一人被困在冰面上(冰面水平光滑)无法离开。
请你替他想一个办法使他能够离开该冰面。

自行车在粗糙的水平面上起动时,前轮

和后轮所受的摩擦力方向如何?

1.关于弹力
1.1 弹力的大小

N ? N ( x) ? ?k1 x ? k2 x ? ? ???? k1 x ??
2

微小形变

——微小振动为简谐振动 1.2 弹力的方向:弹力的方向总是与形变方向相反. 接触面:沿法线方向 绳子:沿绳子方向 杆:较复杂
N
T F Fn F?

1.3 弹簧的串联与并联
k1
k2 F k1 F k2

1 1 1 ? ? k k1 k2

k ? k1 ? k2

2.关于摩擦力
2.1 摩擦力的大小 无滑动:决定于物体的运动和所受的其他力:

? ? ? ? ? ? f s ? F其他 =ma ? f s ? ma ? F其他

有滑动:f k ? ? N ? 两接触物体相对滑动的条件:fs=?N 2.2 摩擦力的方向 f 摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。 无滑动:决定于物体的运动和所受的其他力: N

? ? ? f s ? ma ? F其他
有滑动:与相对运动速度方向相反。

例 2.1 如图所示,有一固定的斜面,其倾角?=300,一质 量为 m=0.5kg 的物体置于斜面上, 它与斜面之间的摩擦系 数为 ?=0.8。起初物体静止在斜面上。现用一与斜面上边 缘平行的力 F 作用在物体上,F 从零逐渐增大。问:F 为 多大时,物体开始运动,开始运动的方向怎样?

解:

F 2 ? (mg sin ? ) 2 ? f ? mg ? cos ?

F

Fmin ? mg ? 2 cos 2 ? ? sin 2 ?

?
f

? 2.40( N )
mg sin ? tan ? sin ? ? ? ? 0.722 ? ? 46.20 f max ?

?

F

mg sin ?

例 2.2 如图所示,有一质量为 m=20kg 的钢件,架在两根 相同的、平行的长直圆柱上。钢件的重心与两柱的轴线在 同一水平面内。圆柱的半径为 r=0.025m,钢件与圆柱间的 动摩擦因数?=0.20.两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转 动,角速度?=40rad/s。若沿平行于柱轴的方向施力推着钢 件作速度 v0=0.050m/s 的匀速运动, 推力为多大?设钢件左 右受光滑导槽限制(图中未画出),不发生横向运动。

解:f ? 1 ? mg

F
v0 ? v?

2 F ? 2 f cos ?

2 ? ? v0 ? r 2? 2 v v0 cos ? ? 2 v0 ? r 2? 2

r?

?
f f

?

F?

? mgv0
2 v0 ? r 2? 2

? 2.0(N)

2.3 摩擦力的作用时间

?t f ? t N ? 可能有两种情况: ? ?t f ? t N ?
m

v0=0

h

V0

?

v M V0

例2.3 一质量为M的平板沿光滑水平面以速度V0运
动。质量为m的小球从h处落下,与平板发生碰撞 后弹起,已知小球弹起时沿竖直方向的分速度大小 与碰撞前速度大小之比为e,球与平板间的摩擦系 数为?。求小球碰撞后的速度与水平方向的夹角。
m h v M V0

?

解:
情况1:?tf= ?tN

m h v y v ? vx M

v0 y ? ? 2 gh v y ? ?ev0 y ? e 2 gh

V

f ?t f ? ? N ?t f ? mvx ? ? ? N ?t N ? m(e ? 1) 2 gh ? ? vx ? ? (e ? 1) 2 gh ? ?t N ? ?t f ? ? vy e tan ? ? ? vx ? (e ? 1) m m MV0 ? MV ? mvx ? V ? V0 ? vx ? V0 ? ? (e ? 1) 2 gh M M ?tf = ?tN的条件:vx?V,即

h?

? MV0 1 ? 2 g ? ( M ? m) ? (e ? 1) ? ? ?

2

情况2:?tf < ?tN
v y ? e 2 gh
?v x ? V ? ? ? MV0 ? MV ? mvx MV0 vx ? V ? m?M vy e m tan ? ? ? ( ? 1) 2 gh vx V0 M
?tf < ?tN的条件:
? MV0 1 ? h? 2 g ? ( M ? m) ? (e ? 1) ? ? ?
2

m h v y v ? vx M

V

3.四种基本力

?万有引力 ? ?电磁力 ? ?强力 ?弱力 ?
? 宏观世界里除了重力来源于万有引力外,其它的 力几乎都源于电磁力

4. 非惯性参照系的动力学问题 4.1 惯性参照系与非惯性参照系
惯性系: 牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作 匀速直线运动的参考系也是惯性系。 非惯性系: 相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性 系内牛顿定律不成立。

4.2 非惯性参照系中的牛顿第二定律

? ? ? F ? FI ? ma '
其中

? ? FI ? ?ma0

为惯性力

例 2.4 如图,设所有的接触面都光滑,求物体 m 相 对于斜面 M 的加速度和斜面 M 相对于地面的加速度。

m M

?

解1:
?mg sin ? ? ma x ? ? N 1 ? mg cos ? ? ma y ? ? N 1 sin ? ? Ma 0

N1

a?

y O x

?a x ? ?a 0 cos ? ? a' ? ? ? a ? a0 ? a ' ? ? ?a y ? ?a 0 sin ? ?mg sin ? ? m( ? a 0 cos ? ? a ' ) ? ? N 1 ? mg cos ? ? ? ma 0 sin ? ? N sin ? ? Ma 0 ? 1
( M ? m) g sin ? ? ?a ' ? M ? m sin 2 ? ? ? ?a ? mg sin ? cos ? ? 0 M ? m sin 2 ? ?

mg
N2
a0

?

? N1

Mg

解1:

?mg sin ? ? ma 0 cos ? ? ma' ? ? N 1 ? mg cos ? ? ma 0 sin ? ? 0 ? N sin ? ? Ma 0 ? 1
( M ? m) g sin ? ? ?a ' ? M ? m sin 2 ? ? ? ?a ? mg sin ? cos ? ? 0 M ? m sin 2 ? ?
a0
? N1

Y

y N1
?

N2
X
a?

? ma0
x

Mg

mg

例2.5 如图,物体A和B的质量分别为m1和m2,绳子 不可伸长,滑轮质量可忽略不计。求当左边绳上端

剪断后,两重物的加速度。

A

B

解:m1 g ? T ? m1a1
m2 g ? 2T ? m2 a2 l ? 2 x2 ? x1 0 ? 2?x2 ? ?x1 v1 ? 2v2 a1 ? 2a2
联立(1)-(3)得

(1) (2)
2T x1

A

B
a2 m2g

A

x2

(3)

a1 m1g T

2(m2 ? 2m1 ) a1 ? g m2 ? 4m1 m2 ? 2m1 a2 ? g m2 ? 4m1

B

例 2.6 如图所示,三块尺寸相同,质量相同的长方块 1、2、 3 叠在一起放在水平桌面上,1 和 2 之间、2 和 3 之间以及 3 和桌面之间的摩擦系数分别为?、2?和 3?。用小榔头沿水平 方向敲击最上面的长方块,结果经过 t0=3s 的时间后系统恢 复静止状态。现用沿水平方向敲击最下面的长方块,其冲量 与敲击最上面的长方块时相同,则经过多少时间后系统恢复 静止状态?(设长方块的长度足够长,使得长方块 1 和 2 在 运动过程中均未滑落。 )
1 2 3 (a)

? 2? 3?

1 2 3 (b)

? 2? 3?

? 敲击最上面的长方块: 只有1运动,2、3均保持静止。
1与2一定相对滑动 假设2、3保持不动,则2、3之间以及 3与地面之间的摩擦力为?mg 小于2、3间的最大静摩擦力:4?mg 小于3与地面间的最大静摩擦力: 9?mg

1 2 3 (a)

? 2? 3?

1的加速度:

a0 ? ?? g

设 1 的初度为 v0 ,则
0 ? v0 ? a0t0 ? v0 ? ?a0t0 ? ? gt0
? 敲击最下面的长方块: 长方块的运动可分为三个阶段:
1 2 3 (b)

? 2? 3?

(1)长方块1、2、3均有相对滑动? 2、3速度相等: 开始时,1、2、3均相对滑动。
3与2一定相对滑动 假设2与1无相对滑动,则

1、2的加速度为:2?g 2对1的作用力为:2?mg
大于1、2间的最大静摩擦力


1 2 3 (b)

? 2? 3?

1、2也相对滑动

1、2、3的初速度分别为:0、0、v0;加速度分别为:

a1 ? ? g a2 ? 3? g a3 ? ?13? g

设经过 ?t1 时间,2、3 速度相等,则 v 3? g ?t1 ? v0 ? 13? g ?t1 ? ?t1 ? 0 16? g 此时,三长方块的速度分别为 1 3 v1 ? a1?t1 ? v0 v2 ? v3 ? a2 ?t1 ? v0 16 16

(2)长方块2、3速度相等 ?长方块1、2、3速度相等:

2、3速度相等后仍保持无相对滑动。
假设2、3速度相等后仍保持无相对滑动,则 2、3的加速度为:-5?g 3对2的作用力大小:-4?mg
其绝对值不大于2、3间的最大静摩擦力:4?mg

1 2 3 (b)

? 2? 3?

此过程中三长方块的加速度分别为:

? a1 ? ? g

? ? a2 ? a3 ? ?5? g

设经过 ?t2 时间,1、2、3 速度相等,则 3 1 1 v0 v0 ? 5? g ?t2 ? v0 ? ? g ?t2 ? ?t2 ? 16 16 48 ? g 此时,三长方块的速度: 1 ? ? ? v1 ? v2 ? v3 ? v0 12

(3)长方块1、2、3速度相等? 长方块1、2、3静止: 1、2、3速度相等后,三物块间均有相对滑动。
假设1、2、3速度相等后仍保持无相对滑动,则 1、2、3的加速度为:-3?g 2对1的作用力:-3?mg 其绝对值大于1、2间最大静摩擦力大小:?mg 假设1、2相对滑动,2、3无相对滑动,则 2、3的加速度为:-4?g

1 2 3 (b)

? 2? 3?

3对4的作用力:-5?mg
其绝对值大于2、3间最大静摩擦力大小:4?mg

此过程中三长方块的加速度分别为:

?? ?? ?? a1 ? ? ? g a2 ? ?3? g a3 ? ?5? g

显然 1 最后停下来。设经过 ?t3 时间 1 停下来,则
1 1 v0 0 ? v0 ? ? g ?t3 ? ?t3 ? 12 12 ? g

综上,系统恢复静止状态所需的时间:
v0 1 ?t ? ?t1 ? ?t2 ? ?t3 ? ? t0 ? 0.5s 6? g 6
1 2 3 (b)

? 2? 3?

例 2.7 一小环 A 套在半径为 a 的竖直大圆环上, 小环与大环之间的摩擦系数为?,证明:当大环 以匀角速? 绕它自己水平轴 O 转动时,如果

? ? ( g / a )1 / 2 (1 ? 1 / ? 2 )1 / 4
则小环与大环之间无相对运动。
A O a

?

解:
? N ? mg cos ? ? ma? 2 ? ? f ? mg sin ? ? 0 ? N ? m(a? ? g cos ? ) ? ? f ? mg sin ?
2

? f
? N

a
? mg

?
O

?

无滑动条件:f<?N
mg sin ? ? ? (ma? 2 ? mg cos ? )
? g sin ? ? ??? ( ? cos ? ) ? ?a ? ?
1/ 2


f (? ) ? sin ?

?

? cos ? ? 1 ?

1

?

2

cos(? ? ? )

为使大、小环间始终无滑动,以上不等式对任意

? 都要成立。因此

g 1/ 2 1 1/ 4 ? ? ( ) (1 ? 2 ) a ?

例 2.9 一根不可伸长的细轻绳,穿上一粒质量为 m 的珠子(视为质 点) ,绳的下端固定在 A 点,上端系在轻质小环上,小环可沿固定的 水平细杆滑动(小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计) ,细杆与 A 在同一竖直平面内。开始时,珠子紧靠小环,绳被拉直,如图所示, 已知,绳长为 l , A 点到杆的距离为 h ,绳能承受的最大张力为 Td , 珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断,求细绳被拉断时珠子的 位置和速度的大小(珠子与绳子之间无摩擦) 。



珠子 h
A l

细杆

注:质点在平面内做曲线运动时,它在任一点的加速度沿该点轨道 法线方向的分量称为法向加速度 an ,可以证明,an ? v 2 / ? ,v 为质 点在该点时速度的大小, ? 为轨道曲线在该点的“曲率半径” ,所谓 平面曲线上某点的曲率半径,就是在曲线上取包含该点在内的一段 弧,当这段弧极小时,可以把它看做是某个“圆”的弧,则此圆的 半径就是曲线在该点的曲率半径.如图中曲线在 A 点的曲率半径为

? A ,在 B 点的曲率半径为 ? B 。

A

?B
B

?A

解:
珠子运动的轨道:


珠子 h l

细杆

OA ? OB ? (l ? h) / 2 x 2 ? 2(l ? h) y
牛顿第二定律:

(1)

A
y C B

2T cos ? ? mg cos ? ? m
机械能守恒:

v2

?

(2)

l?h 1 2 mg ( ? y ) ? mv 2 2 由(2)、(3)得

T

l?h y? 2
(x, y)

(3)

h A

?
T

?
mg

O

x

? l ? h ? 2y ? 1 T ? mg ?1 ? ? 2 2 ? cos ? ? (4) ?

B

D

l ?h y?? 2

? ? ? ? 设想一质点以初速度 v ? v i,加速度 a ? aj 作匀变速运动。 0
2 ? x ? v0t 2v0 ? ? x2 ? y ? 1 2 a ? y ? 2 at ? 比较式(5)和(1),可知

? cos ? ? ?

(5)
C a

y a an ?

v
at (x, y)

v ?l ?h a

2 0

(6)

?vx ? v0 ? 2 ? v 2 ? v0 ? 2ay (7) ? ?v y ? 2ay ?

O

v0

x

an ? a cos ? ?

v2

?
(8)

2 v 2 v0 ? cos ? ? ? ? 2 y ? l ? h ? 2 y a a

y

? cos ? ? ? (高数求法)
(1 ? y?2 )3/ 2 ?? y??
tan ? ? y? ? cos ? ? 1 1 ? y?
2

x 2 ? 2(l ? h) y
?

C

?
(x, y)

O

x

1 ? y ?2 ? cos ? ? y?? x2 x y? ? y? ? 2(l ? h) l ?h

1 y?? ? l ?h

1 ? y ?2 ? cos ? ? ? l ? h ? 2y y??

? l ? h ? 2y ? 1 T ? mg ?1 ? ? , ? cos ? ? l ? h ? 2 y 2 2 ? cos ? ? ?
y

? l ? h ? 2y ? 1 mgl C T ? mg ?1 ? ? ? 2 l ? h ? 2y ? l ? h ? 2y ?

B

y?

T

l?h 2

mgl l ? h T ? Td ? y ? ? 2Td 2
mgl (l ? h) x? ? (l ? h)2 Td

h A O

?
T

?
(x, y)

mg
y?

x

D

l ?h 2

l?h mg v ? 2g( ? y) ? 2 gl (1 ? ) 2 2Td

例 2.9 如图所示,A、B、C 为三个质点,A 的质量远远大于 B、 C 的质量,B 和 C 的质量相等。已知 A、B 之间、A、C 之间存 在相互吸引力, f AB ? k AB , f AC ? k AC , 且 其中 k 为比例系数; B、C 之间存在相互排斥力。三个质点在相互间引力或斥力的作 用下运动。试问 ? 的值在什么范围,系统存在如下形式的运动: A、B、C 的相对位置固定, 它们构成一个平面,三个质点绕 着位于这个平面内的某条轴匀速 转动;因为质点 A 的质量远大于 B、C 的质量,可认为该转轴过质 点 A 且固定不动;连线 AB 与转 轴的夹角 ?1 与连线 AC 与转轴的 夹角 ? 2 不相等,且 0 ? ?1 ? ? / 2 ,
0 ? ?2 ? ? 2 。
A B
? ?

?1
?2

C

解:先导出?与?1、 ?2 之间的关系。
根据牛顿第二定律可得: ??? ? ? ? ? 2 f AB ? T ? m? BE ? FC1 ??? ? ? ? ? 2 f AC ? T ? m? CF ? FC 2 有三角形相似可知:
? ? ? ? ? ? ? F f AB T ? C1 ? AB AD BD f AC FC 2 T ? ? AC AD CD
F A

T
E

FC1

B

?1
?2
f AC FC 2

f AB
D

两式相除:
f AC AB FC1 CD ? ? f AB AC FC 2 BD

C

T

依题意:
AB ? f AB ?( ) f AC AC

f AC AB FC1 CD ? ? f AB AC FC 2 BD
T
E

AB sin ?1 FC1 EB ? ? FC 2 FC AC sin ?2 CD BD ? AF AE ? AC cos ?2 AB cos ?1

FC1

B

?1
A

f AB
D

?2
f AC
F

由此可得:

(

AB AC

)

? ?1

?

AB sin ?1 AC sin ?2

?

AC cos ?2 AB cos ?1

FC 2

C

T

sin? ?1 cos? ?2 ?1 ? sin? ?2 cos? ?2 ?2

分析:

sin? ?1 cos? ?2 ?1 ? sin? ?2 cos? ?2 ?2

为实现题中所述运动,要求存在 ? 2 ? (0, ? / 2) ,使得 关于 ?1 的方程:

sin? ?1 cos? ?2 ?1 ? sin? ?2 cos? ?2 ?2 ? C

? 除了存在 ?1 ? ?2 的解外,还存在不等于 ? 2 的解 ?1 ? ? 2 。
这一条件要求函数

f (?1 ) ? sin ?1 cos

?

? ?2

?1

f (?1 )

在 (0, ? / 2) 中为非单调函数。
由此可得 ? 的取值范围为

C O ?2
? ?2

?1

? ?0



? ?2

1.质点的动量定理 1.1 牛顿第二定律的普遍形式

? ? ? ?p dp F? ? ?t dt
? ? dp ? ? ? F ? ma 与 F ? : dt ? ? F ? ma :适用条件: m ? 恒量 ? ? dp F? :普遍成立 dt

1.2 质点的动量定理

? ? ? ? I ? F (t ? t ) ? t Fdt ? 0 ?t0 ?? ? ? ? ? p0 ? mv0 , p ? mv ?
? 动量定理反映了力对时间的积累效应

? ? ? I ? p ? p0

2.质点系的动量定理

? ? ? ? I ? ? p ? ? p0
? ? ? ? I ? F (t ? t ) ? t ( F )dt ? i 0 ?t0 ? i ?? i i ? ? ? ? ? ?? p0 ? ? mi v0i , ? p ? ? mi vi i i ?
? 内力只是使系统内各质点产生动量的交换,
但不改变质点系的总动量

3.动量守恒定律

? ? ? p ? ? p0

? (? I ? 0)

?? px ? ? p x 0 (? I x ? 0) ? ? ?? p y ? ? p y 0 (? I y ? 0) ?
? 若系统在某一方向所受的合力的冲量为零,则 该方向动量守恒

1.变力的冲量
F ? F (t )

ti ? ti ? ?ti : ?Ii ? Fi ?ti
t0 ? t : I ? ? Fi ?ti
i ?ti ?0 i

F

I ? lim ? Fi ?ti ? ?S

?S
O t0

I ? ? Fdt ? F ?t
t0

t

ti ti+? ti

t

t

2.动量定理、定理守恒定律与参照系 动量定理、动量守恒定律只适用于惯性参照系。 在非惯性参照系中使用动量定理,需计入惯性力 的冲量。 在非惯性参照系中,动量守恒定律的适用条件为 外力与惯性力的合力为零。

3.碰撞问题
3.1 碰撞的物理过程

3.2 一般碰撞
动量守恒: m1 v10 ? m 2 v 20 ? m1 v1 ? m 2 v 2 v 2 ? v1 恢复系数: e ? v10 ? v 20
(1 ? e)m 2 (v10 ? v 20 ) ? ?v1 ? v10 ? m1 ? m 2 ? ? ?v ? v ? (1 ? e)m1 (v 20 ? v10 ) 20 ? 2 m 2 ? m1 ?

1 1 1 1 2 2 2 2 ?E k ? ( m1 v10 ? m2 v 20 ) ? ( m1 v1 ? m2 v 2 ) 2 2 2 2 m1 m2 1 2 ? (1 ? e ) (v10 ? v 20 ) 2 2 m1 ? m2

3.3 完全弹性碰撞 e ?1 (m1 ? m 2 )v10 ? 2m 2 v 20 ? ?v1 ? m1 ? m 2 ? ? ?v ? (m 2 ? m1 )v 20 ? 2m1 v10 ? 2 m 2 ? m1 ?

?Ek ? 0
特别地:

?v1 ? v 20 1) m1 ? m 2 ? ? ?v 2 ? v10
2) m1 ?? m 2 且v 20 3) m1 ?? m 2 且v 20

?v1 ? ?v10 ?0? ? ?v 2 ? 0
?v1 ? v10 ?0? ? ?v 2 ? 2v10

3.4

完全非弹性碰撞

e?0
m1 v10 ? m 2 v 20 v1 ? v 2 ? m1 ? m 2 1 m1 m 2 ?E k ? ? ? (v10 ? v 20 ) 2 2 m1 ? m 2

例3.1 一机枪质量为M,放置于光滑水平面上,内 装有n颗质量为m的子弹,当它在水平方向射出子 弹时,子弹的出口相对速度为u,假定在 1min内

连续发射了这n颗子弹,试求:
(1)发射结束后机枪的后退速度; (2)如果nm<<M,试讨论上述结果的近似值。

解: (1) ?[M ? (n ? k )m]vk ? m(u ? vk ) ? ?[M ? (n ? k ? 1)m]vk ?1
mu vk ? vk ?1 ? M ? (n ? k ? 1)m v0 ? 0 mu v1 ? M ? nm

?vk ?1 M ? (n ? k ? 1)m

?vk

M ? (n ? k )m

m u ? vk

v2 ?

mu mu ? M ? nm M ? (n ? 1)m

mu mu mu vn ? ? ??? M ? nm M ? (n ? 1)m M ?m
mu ?? k ?1 M ? ( n ? k ? 1) m
n

??

nm<<M

(2) vn ?
?

mu mu mu ? ??? M ? nm M ? (n ? 1)m M ?m mu 1 1 1 [ ? ??? ] M 1 ? nm / M 1 ? (n ? 1)m / M 1? m / M

mu nm (n ? 1)m m ? {(1 ? ) ? [1 ? ] ? ? ? (1 ? )} M M M M mu m ? [n ? (1 ? 2 ? ? ? n)] M M nmu m n ?1 ? (1 ? ) M M 2

例3.2 如图所示,有一列N节(含机车)的火车, 车厢之间由完全非弹性的车钩相连接,机车与每 节车厢的质量均为m,机车与每节车厢所受的阻

力均为自身重量的 ? 倍,火车以恒定牵引力启动。
(1)若启动时各节间的车钩已拉紧,求启动火 车所需的最小牵引力。 (2)若启动前每一车钩间隙等于L,则启动火车 所需的最小牵引力为多少?
F

N

N-1

……

2

1

vk N …… k+1 k …… 1 F

(a)

? vk
N (b)

……

k+1

k

……

1

F

vk+1 N
(c) ……

k+2

k+1

……

1

F

解: (1) Fmin ? n? mg

(2)ak ? F ? k ? mg ? F ? ? g
km

km 2 FL ?2 ? vk2 ? 2ak L ? vk ? 2? gL km

? kmvk ? (k ? 1)mvk ?1
v
2 k ?1

k 2 2 k 2 FL k 2 ?( ) vk ? ? 2( ) ? gL 2 k ?1 (k ? 1) m k ?1
2 2

2kFL [(k ? 1)vk ?1 ] ? (kvk ) ? ? 2k 2 ? gL m

2kFL [(k ? 1)vk ?1 ] ? (kvk ) ? ? 2k 2 ? gL m
2 2

v12 ? 0
FL ( NvN ) ? 2(1 ? 2 ? ? ? N ? 1) ? 2[12 ? 22 ? ? ? ( N ? 1) 2 ]? gL m
2

? FL 2 N ? 1 ? ? N ( N ? 1) ? ? ? gL ? 3 ?m ?
2 vN ? 0 ? F ?

2N ?1 ? mg 3

2N ?1 ? Fmin ? ? mg ? Fmin 3

1 ? k ? 6 N ( N ? 1)(2 N ? 1) k ?1
2

N ?1

例 3.3 足球射到球门横梁上时,因速度方向不同、射 在横梁上的位置有别,其落地点也是不同的。已知球 门的横梁为圆柱形, 设足球以水平方向的速度沿垂直 于横梁的方向射到横梁上, 球与横梁间的滑动摩擦系 数 ? ? 0.70 , 球与横梁碰撞时的恢复系数 e=0.70。 试 问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门 线内(含球门上)? 足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁 轴线的垂线与水平方向(垂直于横梁的轴线)的夹角

? (小于 90? )来表示。不计空气及重力的影响。

y
f
O1 v0
O2

B
? ?

x

N

O

?

? ??
O2

A

v

解:
f ?t ? ?mv sin(? ? ? ) ? mv0 sin ? (1) ? N ?t ? ?mv cos(? ? ? ) ? mv0 cos ? (2) v

y
B
O1

x

?

?

f ? ?N v cos(? ? ? ) e? v0 cos ?
若足球被球门横梁反弹后落在球 门线内, 则应有 ? ? 90? ; 若足球被 反弹后刚好落在球门线上,则

0

O

?

(3)
(4)
v

? ??
O2

A

f

N

O2

? ? 90?

(5)

根据(1)—(5)可得

tan 2 ? ? ? ?1 ? e ? tan ? ? e ? 0
tan ? ?

? ?1 ? e ? ? ? ?1 ? e ? ? 4e
2 2

2

? 1.6

? ? 580

球要落在球门线内,要求 ? ? 58

?

例 3.4 图为一种名为 astroblaster 的玩具, 它由 4 个大小不同的弹性小球构成,其中 最下方的球上面固定有 1 根光滑的细杆。 其余 3 个小球的中心都钻有一个圆孔,孔 的直径略大于细杆的直径。将 3 个带孔的 小球穿进细杆,用手抓住杆的上端,将体 系移至特定的高度,然后松手使它竖直下 落。当落到平整的硬地上后,可以发现最 上面的小球高高弹起,远超过初始下落的 位置。下表为一组实测数据,其中 m1、m2、m3 和 m4 为从下到上 4 个小球的质量,h0 为初始下落的高度,h 为最上面的小球弹起后达 到的最大高度。 m1(g) 62.7 m2(g) 28.7 m3(g) 10.9 m4(g) 3.8 h/h0 10.4

若忽略空气阻力以及小球与杆的摩擦力。请解答以下问题: (1) 假设小球与地面以及小球之间的碰撞为的恢复系数都等 于 e 。根据实测数据计算恢复系数 e 。 (2)如果恢复系数 e 取第(1)问的数值,在 m4 与 m1 保持不 变的条件下,调节 m2 与 m3 到何值时 h / h0 能够达到最大?最 大值是多少?

解:
(1)系统落地时的速度:

v0 ? 2 gh
在以速度 v0 向下运动的参考系中观测, 碰撞前四个小球都处 于静止状态,而地球(设质量为 m0)以速度 v0 向上与最下 面的小球碰撞,然后依次引起小球之间的 3 次碰撞。
考虑如图的两体碰撞:

?mi vi ? mi ?1vi ?1 ? mi ui ? ? vi ?1 ? ui ?e ? v i ? (1 ? e)mi ? vi ?1 ? vi mi ?1 ? mi

vi mi ui mi

mi ?1

v?0
vi ?1

mi ?1

v0 ? 2 gh , vi ?1 ?

(1 ? e)mi vi mi ?1 ? mi

最上面的小球(m4)碰撞后的速度为

(1 ? e)4 m0 m1m2 m3 v4 ? 2 gh0 (m0 ? m1 )(m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 )

m0 ?? m1 ?
(1 ? e)4 m1m2 m3 v4 ? 2 gh0 (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 )
m 4 相对于地面的速度

? ? (1 ? e)4 m1m2 m3 ? v4 ? v4 ? v0 ? ? ? 1? 2 gh0 ? (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 ) ?

m4 上升的高度

? ? (1 ? e) m1m2 m3 v4 ? h? ?? ? 1? h0 2 g ? (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 ) ?
4

2

恢复系数

? h 1/ 2 (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 ) ? e ? ?[( ) ? 1] ? m1m2 m3 ? h0 ?

1/ 4

? 1 ? 0.84

? ? (1 ? e) m1m2 m3 h?? ? 1? h0 ? (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 ) ?
4

2

(2)?(m2 , m3 ) ?

m1m2 m3 (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 )
?1

? m3 m2 m4 ? ? ?(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? m1 m2 m3 ? ?

? m2 m3 m4 m1 m1 m2 m3 m4 ? ?? ? ? ? ( ? ? )? ? 1? m1 ? ? m1 m2 m3 m4 m2 m3 m4
m2 m3 m4 ? (m2 , m3 ) 有极大值的条件为: ? ? ,即 m1 m2 m3
2 m2 ? (m12 m4 )1/ 3 ? 24.6(g) , m3 ? (m1m4 )1/ 3 ? 9.7(g)

?1

对应的极大值
? max ? m4 1/ 3 ? ? ?( ) ? 1? ? m1 ?
?3

? ? ? h ? ? 4 ? m4 1/ 3 ( )max ? ?(1 ? e) ?( ) ? 1? ? 1? ? 10.5 h0 ? m1 ? ? ? ? ?
?3

2

1.质点的动能定理

W ? Ek ? Ek 0
? ? ? r ? ? ?W ? F ? ?r ? F ? dr ?r?0 ? ? 1 2 1 ? Ek 0 ? mv0 , Ek ? mv 2 ? 2 2

? 动能定理反映了力对空间的积累效应

2.质点系的动能定理

? A ? ?E ??E
k

k0

??W ? ? A外 ? ? A内 ? ? 1 1 2 2 Ek ? ? mi vi , ? Ek 0 ? ? mi v0i ?? i 2 i 2 ?
? 内力所做的总功一般不为零,即内力一般要改 变系统的总动能

例: mv 0 mv 0 ? (m ? M )V ? V ? m?M ?p ? 0 1 1 1 M 2 2 2 ?E k ? (m ? M )V ? mv 0 ? ? mv 0 2 2 2 m?M
? v0

? V0 ? 0

? V

m

M

m+M

内力可以改变系统的总动能

3.势能 3.1 保守力:做功只与物体的始、末位置有关,而 与物体的运动路径无关的力。

? 3.2 势能:若质点从空间某一点 r0 沿任一路径移动 ? 到 r ,保守力对质点所做的功可表为 ? ? W保= ? [ E p (r ) ? E p (r0 )]


? E p=E p (r ) ? 称为质点在 r 处的势能。

? 系统共有:某一质点的势能为该质点与对该质点 施加保守力的其它质点构成的质点系所共有。 ? 相对值: E p 的值与零势能参考点的选择有关 ? ? 位置的函数: E p ? E p (r )

几种常见保守力的势能: 重力势能:

E p ? mgh

弹力势能:

1 2 E p ? kx 2
万有引力势能:

mM E p ? ?G r

4.功能原理
4.1 功能原理

机械能守恒定律

?W ? ?W


非保内

? ? E ? ? E0

? ? ?? W外 : 所有外力对系统做功的和 ? ?? W非保内 : 所有非保守内力对系统做功的和 ? ? ? E ? E ? E ? Ek : 系统总动能 ? k ? p ? E : 系统的势能 ?? ? p ? ?

4.2 机械能守恒定律

?封闭 : ?W外 ? 0 ? 封闭保守系统: ? ?保守 : ?W非保内 ? 0 ?

?E ? ?E

0

1.变力做功
F ? F ( x)

xi ? xi ? ?xi :

x0 ? x : W ? ? Fi ?xi W ? lim
x
?xi ? 0

?Wi ? Fi ?xi

F

? F ?x
i i

i

i

? ?S
O x0

?S
xi xi+?xi x t

W ? ? Fdx
x0

2.功、能与参照系
? 动能定理、机械能守恒定律只适用于惯性参照系。在非 惯性参照系中使用动能定理,需计入惯性力所做的功;在 非惯性参照系中,机械能守恒定律的适用条件为外力、非 保守内力及惯性力所做的总功为零。 ? 力做功一般与参照系(即使是惯性系)有关,但成对相互

作用力做功与参照系无关(例4.6)。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? P ? f12 ? v1 ? f 21 ? v2 ? f12 ? (v1 ? v2 ) ? f12 ? v12

? ? ? ? ? ?W ? f12 ? (?r1 ? ?r2 ) ? f12 ? ?r12

f 21 1 2 f12

v1 v2

? 在某一过程中,动能的增量一般与参照系(即使是惯性系) 有关,但势能的增量(与成对保守力做功相联系)与参照系 无关。所以相同的过程对某一参照系机械能守恒,但对另一 参照系却可能不守恒。

一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组 成一体系,置于光滑水平桌面上,弹簧的另一端与 固定墙面相连,小球做一维自由振动。试问:若视

弹簧和物体m为一个体系,则在一沿此弹簧长度方
向以速度u作匀速运动的参考系里观察,此体系的 机械能是否守恒,并说明理由。
k O m x u x

例 4.1 在竖直面内将一半圆形光滑导轨固定在 A、B 两点,导轨 直径 AB =2R ,AB 与竖直方向间的夹角为 60? ,在导轨上套一质量 为 m 的光滑小圆环。一劲度系数为 k 的轻而细的光滑弹性绳穿过 圆环,其两端系于 A、B 两点,如图所示。当圆环位于 A 点正下 方 C 点时,弹性绳刚好为原长。现将圆环从 C 点无初速度释放, 圆环在某时刻运动到 C ' 点, C ' O 与半径 OB 的夹角为 ? 。重力加 速度为 g.试分别对下述两种情形,求导轨对圆环的作用力的大 小: (1) ? ? 90? ; (2) ? ? 30? 。

A

D

?
C C?

60?

解:
(1)弹性绳伸长量:
?L ? 4 R cos 45? ? 2 R(cos 30? ? sin 30?) ? (2 2 ? 3 ? 1) R ? 0 (1)
A
45?

机械能守恒: 1 1 mgH ? mv 2 ? k ?L2 2 2

D

(2)
C

90?

60?

H ? 2 R sin(45? ? 30?)
由(1)-(3)得:

H
C?

15?

(3)

mv2 ? ( 3 ? 1)mgR ? 2(6 ? 2 6 ? 3 ? 2 2)kR 2

(4)

牛顿运动定律:

mv2 N ? 2T cos 45? ? mg cos30? ? R T ? k ?L ? (2 2 ? 3 ? 1)kR
由(4)-(6)得:

(5)

(6)

?3 3 ? N ?? ? 1? mg ? (16 ? 2 3 ? 5 2 ? 5 6)kR ? 1.6mg ? 0.15kR ? 2 ?
A
45?

D
90? 60?

C

T N
C?
30?

T mg

(2)弹性绳伸长量:
?L ? 2 R(cos15? ? sin15?) ? 2 R(cos 30? ? sin 30?) ? ( 6 ? 3 ? 1) R ? ?0.28 R ? 0
A
15? 30
?

弹性绳处于松弛状态, T=0。 机械能守恒: 1 2 mgH ? mv 2

D
60?

H ? 2R sin15? sin 45?
mv2 ? 2mgH ? ( 3 ? 1)mgR

C

N

H
C?
30?

牛顿运动定律:

mg

mv 2 ?3 3 ? ?N ?? N ? mg cos 30? ? ? 1? mg ? 1.6mg R ? 2 ?

例 4.2 如图所示, AA1 和 BB1 是两根沿竖直方向固定于天花 板上的光滑直杆, A、B 之间的距离为 L。一长度为 2L 的绳 子,其一端固定于 B 点,另一端拴在套于 AA1 杆中的珠子 C 上。另有一个珠子 D 穿过绳子及杆 BB1 。开始时,珠子 D 位于杆 BB1 的顶端 B,绳子处于拉直状态。现将珠子 C、D 同时从静止释放。 珠子 D 滑落距离为 h ? 2(1 ? 3 / 3) L 时, 求: 两珠子的速度。
A B D
h

D?
C? C
A1

L
B1

解:
珠子C上升的距离:

DE ? (2 L)2 ? L2 ? 3L

A

B D
h

C ?D? ? 2 L ? h ?

2 3 L 3 L 3 ? cos ? ? ? ?? ? C ?D? 2 6 h? ? DE ? h ? D?E? 3 ? 3L ? 2(1 ? ) L ? L tan ? 3 2 3 ? 2( ? 1) L (1) 3

D?
C? C

?
L

E? h? E
B1

A1

珠子C、D速度大小的关系:

珠子C相对于珠子D的速度:

A

B D
h

? vC sin ? ? vD
? vC ? vD / sin ? ? 2vD
珠子C相对于地面的速度:
C? C

D?

?
L

E? h? E
B1

? vC ? vC ? vD ? vD
机械能守恒:

(2)

A1

1 2 1 2 ? ? mvC ? mvD mgh ? mgh 2 2
由(1)-(3)解得:

(3)

vC ? vD ? 2(2 ? 3) gL

(4)

例 4.3 一质量为 M 的圆环用线悬挂着,两质量为 m 的有孔小珠套在此环上,小珠可在环上无摩擦滑动, 如图所示。今将两小珠从环的顶部释放,使之沿相反 方向自由滑下。

(1)证明:为使小珠下滑过程 中大环能升起,m 和 M 必须满

3 足: m ? M ; 2
(2)在满足上述条件下,求大 环开始升起时小珠与环中心连 线与竖直线的夹角。

m

m

?
O M

解:
1 2 ? (1) ?mgR(1 ? cos ? ) ? mv ? 2 ? N ? mg (2 ? 3cos ? ) ? 2 ?mg cos ? ? N ? mv ? ? R 上升条件: 2 N cos ? ? Mg ,即

2mg (2 ? 3cos ? ) cos ? ? Mg
2 M cos ? ? cos ? ? ?0 3 6m
2

m N mg

m

?
O M

以上不等式有解:

4 4M 3 ?? ? ?0?m? M 9 6m 2

3 (2) 当m ? M 时,以上不等式的解为: 2
1 3M 1 3M (1 ? 1 ? ) ? cos? ? (1 ? 1 ? ) 3 2m 3 2m
即开始上升时,

?1 3M ? ? ? cos? ? (1 ? 1 ? )? 2m ? ?3
?1

m N mg

m

?
O M

例 4.4 用一弹簧把质量各为 m1 和 m2 的两木块连起 来,一起放在地面上,弹簧的质量可不计,而 m2>m1 , 对上面的木块必须施加多大的压力F, 问: 以便在F突然撒去而上面的木块跳起来时,恰能使 下面的木块提离地面?
F

m1

m2

解:
M1受力平衡:

F ? m1 g ? kx1 (1)
m2刚好能被提起的条件:

m1

F

x2 x1 x=0

m2 g ? kx2
机械能守恒:

(2) m2

1 2 1 2 kx1 ? m1 gx1 ? kx2 ? m1 gx2 (3) 2 2
由(1)~(3)得:

F ? (m1 ? m2 ) g

例 4.5 如图所示,有一劲度系数 k=18.0N/m 的弹簧,其一 端固定,另一端连着一质量 m=0.5kg 的物体,该物体置于 水平面上,物体与水平面之间的摩擦系数为?=0.1。起初 弹簧无形变,物体保持静止。今用一大小为 12.0N,方向 水平向右的恒力 F 作用在物体上。问 (1)物体最终停止在什么位置? (2)物体从开始运动到最终停止所经历的路程是多少? (3)物体从开始运动到最终停止所经历的时间是多少?
k m F

解:
? (1)考察物体第n次来回运动: n ? xn ? xn?1 x 1 1 2 ? ? xn ) ? kxn2 ? kxn ? ( F ? ? mg )( xn 2 2 1 2 1 2 ? ? ?( F ? ? mg )( xn ? xn ?1 ) ? kxn ?1 ? kxn 2 2

2( F ? ? mg ) k 2( F ? ? mg ) ? xn ? xn ?1 ? m k k 4? mg xn ?1 ? xn ? k O xn xn ?1 x1 ? 0 4(n ? 1) ? mg 2[ F ? (2n ? 1) ? mg ] ? xn ? xn ? k k ? xn ? xn ?

? xn

x

物体停止在位置x?n的条件:

? F ? kxn ? ? mg 1 F 1 F ? ( ? 1) ? n ? ( ? 3) ? ? 4 ? mg 4 ? mg ?kxn ? F ? ? mg
即:6.25 ? n ? 6.75 对整数n,这是不可能的。

物体停止在位置xn的条件:

? ?kxn ?1 ? F ? ? mg 1 F 1 F ? ( ? 3) ? n ? ( ? 5) ? 4 ? mg 4 ? mg ? F ? kxn ? ? mg
即:6.75 ? n ? 7.25 即n=7。 物体最终停止的位置为: k m

24? mg x7 ? ? 0.67(m) k

O

xn xn ?1

? xn

x

(2)根据功能原理: 1 2 Fx7 ? ? mgs ? kx7 2

k

m

Fx7 ? kx / 2 s? ? 8.0(m) ? mg
2 7

O

x7

x

(3)物体来回一次的时间:

m ? T ? 2? ? (s) k 3
物体从开始运动到最终停止所经历的时间:

?t ? 6 ? T ? 2? ? 6.3(s)

例 4.6 图示为一利用 传输带输送货物的装 置. 物块(视为质点) 自平台经斜面滑到一
h

V

以恒定速度 V 运动的 水平长传输带上,再 由传输带输送到远处

?
L d

目的地. 已知斜面高 h=2.0m, 水平边长 L=4.0m, 传输带宽 d =2.0m, 传输带的运动速度 V=3.0m/s,物块与斜面间的摩擦系数?1=0.30, 物块自斜面顶端下滑的初速度为零,沿斜面下滑的速度方向与传输 带运动方向垂直. 设物块通过斜面与传输带交界处时无动能损失. 重力加速度 g=10m/s2.

(1)为使物块滑到传输带上后不会从传输带边缘脱 离,物块与传输带之间的摩擦系数?2 至少为多少? (2) 当货物的平均流量 (单位时间里输送的货物质量) 稳定在?=40kg/s 时,求单位时间里物块对传送带所做 的功以及传送带对物块所做的功。
V

h

?
L

d

解:
(1) 物块在斜面上滑动的加速度:

mg sin ? ? ?1mg cos ? a? ? g (sin ? ? ?1 cos ? ) m
物块滑到斜面底端的速度:

v0 ? 2ah / sin ? ? 2 gh(1 ? ?1 cot ? ) ? 4.0m/s
a h

?

v0

以传输带为参照系,物块滑到传输带的初速度大小:

v? ? v0 2 ? V 2 ? 5.0m/s 0
运动方向与传输带边缘的夹角? 满足: 4 ? v0 tan ? ? V ? 3 v0 物块在传输带上作减速运动,加速度大小: ? mg ?? 2 d a ? ?2 g m 当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离:

v?2 v?2 s? ? 0 ? 0 2a? 2?2 g
物块不超过传输带宽的边缘对应的最小摩擦系数?2 应满足: ? v02 sin ? v? 2 sin ? 0 s? sin ? ? ? d ?2 ? ? 0.5 2?2 g 2gd

(2)
传输带上与传送带间存在相对滑动的货物质量:

? v? m? ? ? ? Δt ? 0 ?2 g
物块对传输带的摩擦力大小:

? F ? ?2 ? m?g ? ? v0
单位时间内物块对传输带所做的功:

V ?

? v0
v0

? W ? FV cos(? ? ? ) ? ?? v? cos ?V 0
? ??V 2 ? ?360(J/s)
单位时间内传输带对物块所做的功:

d

? ? ? 1 ?V 2 ? 1 ? v 2 ? ?140(J/s) W 0 2 2

摩擦力所作的总功:

1 1 2 ? ? W ? W ? ? ?( ?V 2 ? ? v0 ) ? ?500(W) 2 2


? ? W ? ? ? Fv? ? ? 1 Fv0 ? ? 1 ? v02 ? ? W ? 2 2 1 2 ? ? ? (V 2 ? v0 ) ? ?500(W) 2

V ?

? v0
v0

d

? 力做功一般与参照系(即使是惯性 系)有关,但成对相互作用力做功与 参照系无关。
以地面为参照系,单位时间内摩擦力对传输
V ?

? v0
v0

带和物块所做的功分别为:

d

1 1 2 ? ? W ? FV cos(? ? ? ) ? ??V 2 W ? ? ?V 2 ? ? v0 2 2 ? ? W ? ? ? 1 ? (V 2 ? v 2 ) W ? 0 2 以传送带为参照系,单位时间内摩擦力对传输带和物块所做 的功分别为: 2 ? ? ? 0 W ? ? ? 1 ? v02 ? ? 1 ? (V 2 ? v0 ) ? W 2 2 ? ? W ? ? ? 1 ? (V 2 ? v 2 ) W ? 0 2

1. 质心

? 由下式决定的位置矢量 rC [位置坐标 C, yC) (x 所对应
的点 C,称为质点系的质心:

? rC ?

? ? mi ri M

y

? ? mi xi ? ? xdm ? xC ? ? M M ? ? ? mi yi ? ? ydm ? yC ? ? M M

C

? rC
O x

2.质点系的动量

? ? p ? MvC

3.质心运动定理

系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小
成正比,与系统的总质量成反比,加速度的方向沿 合外力的方向。

? ? F ? MaC

? 内力不影响系统质心的运动。

1.柯尼希定理 质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动 能之和。此结论称为柯尼希定理。

1 1 1 2 2 ?2 Ek ? ? mi vi ? Mvc ? ? mi vi 2 i 2 i 2
特别地:两质点构成的质点系统的总动能为

推论:质心参照系中两质点构成的质点系统的总 动能为

1 1 2 m1m2 2 ) Ek ? Mvc ? ? vr ( ? ? m1 ? m2 2 2 1 2 ? Ek ? ? vr 2

2.质心参照系 取质心为坐标原点建立的参考系称为质心参考系 或质心系。 ? 在讨论孤立质点系的运动时,采用质心系是方 便的。在质心系里,体系的动量恒为零,且孤立 体系的质心系是惯性系,功能定理和机械能守恒 定律都能适用。

? 即使讨论非孤立体系的运动,采用质心系也是 方便的,可以证明,当质心系为非惯性参考系时, 功能定理和机械能守恒定律也仍然正确。(这是 因为在质心参照系中,作用在各质点上的惯性力 所做的总功为零。)

证明:

? ? ? ? ? ?Ai ? FIi ? ?ri? ? ?mi aC ? ?(ri ? rC ) ? ? ? ? ?aC ? ?(mi ri ? mi rC ) ? ? ? ?A ? ? [?aC ? ?(mi ri ? mi rC )]
? ? ? ? ?aC ? ?? (mi ri ? mi rC ) i ? ? ? ? ? ? ?aC ? ? ? ? mi ri ? MrC ? ? i ? ?0 ? ? mi ri ? rC ? i M
i

y

FIi
C

ri?

ri rC
O

x

例5.1 解:

如图,求当人从小车的一端走到另一端时,
y M x l y x

小车相对与地面移动的距离。
m

ml ? Ml / 2 xC1 ? m?M xC 2 ms ? M ( s ? l / 2) ? m?M
2

由 xC1 ? x C 得:

ml s? m?M

s

l

例 5.2 如图所示,半径为 R、质量为 M、表面光滑 的半球放在光滑的水平面上,在其顶部有一质量为 m 的小滑块,从静止开始沿球面下滑。试求:小滑 块脱离球面之前的轨迹。
m M

R
O

解: xC 0 ? 0
mx ? M (? s) xC ? m?M 由 x C1 ? x C 得:
2

y m s M O'
2 2 2

x R y O x

m s? x M
根据 ( s ? x) ? y ? R 可得

x y ? 2 ?1 M R 2 ( R) m?M

2

2

例 5.3 如图,长为 2L,质量可忽略的杆的两 端固定有两质量均为 m 的小球 A、B。开始 时系统竖直放在光滑的水平桌面上。系统受 外界微扰而在竖直面内倒下。求当细棒与水 平面夹角为? 时,A、B 两球的速度。
A m L

L
m

C

?

B

解: 1 1 2 2 mg ? 2 L ? 2 ? mv? ? (2m)vC ? mg ? 2 L sin ? 2 2 ? ? ? vB ? vC ? v? ? vC ? v? cos ?
? 2 gl (1 ? sin ? ) ?v? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ?v ? cos ? 2 gl (1 ? sin ? ) ? C 1 ? cos 2 ? ? ? ? ? vA ? v? ? vC A

m A m

y L
x C vC m

?

v'

? ? ? v? sin ? i ? (vC ? v? cos ? ) j

vC ?

v'
vB B

L

?

? ? 2 gl (1 ? sin ? ) ? (sin ? i ? 2cos ? j ) 2 1 ? cos ? ? ? 2 gl (1 ? sin ? ) ? vB ? ?v? sin ? i ? ? sin ? i 2 1 ? cos ?

例 5.4 如图,在水平地面上有一质量为 M 、长度为 L 的小车。车内两端 靠近底部处分别固定两个轻弹簧,两弹簧位于同一直线上,其原长分别为

l1 和 l2 ,劲度系数分别为 k1 和 k2 ;两弹簧的另一端前分别放着一质量为

m1 、 m2 的小球,弹簧与小球都不相连。
开始时,小球 1 压缩弹簧 1 并保持整个系统处于静止状态,小球 2 被 锁定在车底板上,小球 2 与小车右端的距离等于弹簧 2 的原长。现无初速 释放小球 1,当弹簧 1 的长度等于其原长时,立即解除对小球 2 的锁定; 小球 1 与小球 2 碰撞后合为一体,碰撞时间极短。已知所有接触都是光滑 的;从释放小球 1 至弹簧 2 达到最大压缩量时,小车移动了距离 l3 。试求 开始时弹簧 1 的长度 l 和后来弹簧 2 所达到的最大压缩量 ?l2 。

M L
l1 l2
m1

l

m2

解: 第一过程:在小球1从释放至运 动到与小球2刚好接触的过程:
m1v0 ? ? M ? m2 ?V ? 0
l1

M L
l
l2 m1 m2

(1)

1 1 1 2 m1v0 ? ? M ? m2 ?V 2 ? k1 (l1 ? l )2 2 2 2 (2) V

v0

V

第二过程:小球1和2相碰至两 小球合为一体时的碰撞过程:

m1v0 ? m2V ? ? ? m1 ? m2 ? v (3)

V

v

第三过程:1、2小球压缩弹簧2的过程:

当弹簧2达到最大压缩时,小 球1、2与小车三者相对静止, 由于系统总动量为零可知,这 V 时1、2与小车相对于地面的速 度均为零。

v

1 1 1 2 2 2 MV0 ? ? m1 ? m2 ? v ? k2 ?l2 2 2 2
(4) 由(1)-(4)可得

V? ? 0

v? ?l2

k1 ?l2 ? k2

Mm1 (l1 ? l ) ( M ? m2 )(m1 ? m2 )

(5)

从初态到末态,系统质心位置不变: (6) m1 x10 ? m2 x20 ? MX 0 ? (m1 ? m2 ) x ? MX L L m1l ? m2 ( L ? l2 ) ? M ? (m1 ? m2 )( L ? l2 ? l3 ? ?l2 ) ? M ( ? l3 ) (7) 2 2
M L
l1 l2 m1 m2

l

l3

O x10

X

X0

x x20
?l2

x

由(5)、(7)解得
l ? l1 ? M ? m1 ? m2 l1 ? l2 ? L ? l3 m1 k1 1? k2 M (m1 ? m2 ) ( M ? m2 )m1

?l2 ?

M ? m1 ? m2 l1 ? l2 ? L ? l3 m1 m1 ? m2 k2 ? m1 k1 ( M ? m2 )(m1 ? m2 ) Mm1

1.力矩

? 力 F 对参考点 O 的力矩:

? ? ? M ? r ?F

?大小:M ? Fr sin ? ? Fd ? ? ? 沿 ?方向: r ? F 方向
M

O d

r P ?

F

2.质点的角动量 质点对参考点O的角动量:

? ? ? ? ? L ? r ? p ? r ? mv

?大小 : L ? rp sin ? ? pd ? mvd ? ? ? ?方向 : 沿r ? p方向
L

O

r
m ?

d

v

3.质点的角动量定理和角动量守恒定律

? 若M ?0?

? ? ? ?L dL M? ? ?t dt ? ? ? ? ? t ? M (t ? t0 ) ? L ? L0 ? ? Mdt ? L ? L0
t0

? ? L ? L0 ——质点的角动量守恒

? 角动量守恒,动量未必守恒

4.质点系的角动量定理和角动量守恒定律 ? ? ? ?? L d? L ? M ? ?t ? dt ? ? ? ? ? ? t ? M (t ? t0 ) ? ? L ? ? L0 ? ? ? Mdt ? ? L ? ? L0

? 若?M ? 0 ? ? ? ? L ? ? L0 ——质点系的角动量守恒
? 内力不改变系统的总角动量

t0

5.对质心的角动量定理和角动量守恒定律
? ? MC ? ? ? ? LC ?t ? ? d ? LC dt
t0

? ? ? ? ? ? t ? M C (t ? t0 ) ? ? LC ? ? LC 0 ? ? ? M C dt ? ? LC ? ? LC 0

? 若?MC ? 0 ? ? ? ? LC ? ? LC 0

? 惯性力产生的对质心的合力矩为零。

例 6.1 如图,质量为 m 的小球,拴于不可伸长的 轻绳上,在光滑水平桌面上作匀速圆周运动,其 半径为 R,角速度为?,绳的另一端通过光滑的竖 直管用手拉住,如把绳向下拉 R/2 时角速度 ? ? 为 多少?

m

R

F

解:

L ? mvR ? mR ?
2

R 1 2 L? ? mv? ? mR ? ? 2 4

L ? L?

? ? 4?

m

R

F

解:

机械能守恒: 1 1 2 ? 2 ?0 ? mgl sin ? ? 2mgl sin ? ? (2m)v1 ? mv 2 2 2 ? ?v1 ? v 2 ? l? B ?
2 g sin ? ?? 3l
2 B m O 1

角动量定理:

l

l

?L ? ?2mgl cos ? ? mgl cos ? ? ?t ? ? L = 2mlv1 ? mlv 2 = 3ml 2? ? ? ?L ?? ? ? 3ml 2 ? 3ml 2 ? ? ?t ?t ?
g cos ? ?? 3l

?

A 2m

A

对小球1:

?2mg cos ? ? N1 ? 2ma1t ? 2ml ? ? ? f1 ? 2mg sin ? ? 2ma1n ? 2ml? 2 ? ?
4 ? N1 ? mg cos ? ? ? 3 ? ? f ? 10 mg sin ? ? 1 3 ?
f2 2 l
.

N2

mg

O

同理对小球2:

?
f1 l 1 N1

4 ? ? N 2 ? 3 mg cos ? ? ? ? f ? 1 mg sin ? ? 2 3 ?

2mg

小球 1 与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力, 故小球 1 先滑动. 设球 1 开始滑动时,细杆与水平线夹角为 ?1 ,则

f1 (?1 ) ? ? N1 (?1 )
10 4 mg sin ?1 ? ? mg cos ?1 3 3
2 tan ?1 ? ? 5
.

f2 2

N2

l mg

O

?
f1 l 1 2mg

N1

2? ?1 ? arc tan( ) 5

例 6.3 如图, 长为 2l,质量可忽略的杆的两端和中点分 别固定有质量均为 m 的小球 A、B、C,系统放在光滑 的水平面桌上。一质量为 M 的小球 D 沿与杆垂直的方 向以速度 v0 运动并与 B 球发生完全弹性碰撞。 (1)求碰撞后小球各球的速度; (2)讨论碰撞以后可能发生运动的情况。
m l m C l m B

A

v0
M D

解: (1)
动量守恒:

A (1)

m

l

m C

l

m v0
M D vB

B

Mv0 ? 3mvC ? MvD
守恒:

对与B球重合的固定点的角动量

0 ? 2mvAl ? mvC l
机械能守恒:

(2)

A

vA m l

vC m C l

m vD M D

B

1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 Mv0 ? mvA ? mvB ? mvC ? MvD (3) 2 2 2 2 2
因为杆是刚性的,有:

vB ? vC ? vC ? vA
由(1)-(4)得:

(4)

2M 10M 4M 5M ? 6m vA ? , vB ? , vC ? , vD ? 5M ? 6m 5M ? 6m 5M ? 6m 5M ? 6m

以上已去掉不合理的解:vA= vB = vC =0、 vD = v0

(2)讨论: A、B、C组成的系统的质心已速度vC作匀速运动,同时系 统绕质心作匀速转动,其角速度大小
v ?v 6M v0 ?? B C ? l 5M ? 6m l 方向为逆时针。
vC

?
l

A

l C

B

小球D碰撞后的速度大小和方向与m、M的取值有关:
v (i) D ? 0 : M / m ? 6 / 5 时;
vD M D

(ii)0 ? vD ? vC : 6 / 5 ? M / m ? 6 时; (iii)vD ? vC : M / m ? 6 时。

若vD = vC,A、B、C组成的系统绕质心匀速转动一周后, 球A将与D发生第二次碰撞。
设碰撞后A、B、C、D的速度分别为:v? 、vB、vC、vD,则: ? ? ? A
m ? ? ? Mv0 ? 3mvC ? MvD A ?0 ? 2mv? l ? mv? l B C ? ? ?1 1 1 1 1 2 ? ? ? Mv0 ? mv?2 ? mvB2 ? mvC2 ? MvD2 A ?2 2 2 2 2 ? ? ?v? ? vC ? vC ? vB ? A ?

l

m C

l
v0 M

m

B

D

v? D ? vC
m l C l D M m

解得:

? ? ? v? = vB = vC = 0、vD ? v0 A
以上已去掉不合理的解:
vA ?

v? B
B m

v? A
A

10M 2M 4M 5M ? 6m , vB ? , vC ? , vD ? 5M ? 6m 5M ? 6m 5M ? 6m 5M ? 6m

解:
tan ? ?

m

?R 1 ? 2? R 2

h

v?

5 2 5 sin ? ? , cos ? ? 5 5 v0 ? R?

?

螺旋环的角动量:

L ? ? ?mi v0 R ? mv0 R ? mR 2?
i

根据角动量守恒和机械能守恒定律

1 2 1 ? mgh ? mv ? mR 2? 2 ? 2 2 ? ?0 ? mv|| R ? mR 2? ?

1 1 ? mgh ? mv 2 ? mR 2? 2 ? 2 2 ? ?0 ? mv|| R ? mR 2? ?

m
h
v0 ? R?

? ? ? v ? v? ? v0
?v|| ? v? cos ? ? ? R ? ?v? ? v? sin ?

v?

?

1 1 1 ? 2 2 2 2 2 ?mgh ? m(v? cos ? ? ? R) ? mv? sin ? ? mR ? 2 2 2 ? ?0 ? m(v? cos ? ? ? R) ? mR? ?
解得:

1 gh cos 2 ? 1 2 gh ?? ? 2 R 1 ? sin ? R 3

另解: 等效法:螺旋环等效于斜面,其倾斜角:

?R 1 tan ? ? ? 2? R 2
5 2 5 sin ? ? , cos ? ? 5 5 螺旋环的加速度:
h
v0 V R? ?

m

M

v? v?
?

V ?? R

?mvx ? mV ? 0 ? ?1 1 2 2 mV 2 ? m(vx ? v y ) ? mgh ?2 ? 2 ? ? ? v ? V ? v?

m
h
v0 V R? ?

y x

?vx ? v? cos ? ? V ? ? ?v y ? v? sin ? ?

M

v? v?
?

?m(v? cos ? ? V ) ? mV ? 0 ? ?1 1 2 mV ? m[(v? cos ? ? V )2 ? v?2 sin 2 ? ] ? mgh ?2 ? 2

gh cos 2 ? 2 gh V? ? 2 1 ? sin ? 3

V 1 2 gh ?? ? R R 3

例 6.5 在人造卫星运行的过程中,为了保持其对称环转轴稳定在 规定指向,一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕 自身的对称轴旋转。但有时为了改变卫星的指向,又要求减慢或 者消除卫星的旋转。减慢或者消除卫星旋转的一种方法是所谓的 “YO-YO”消旋法,其原理如图所示。

Q

m 2

P0?
O

P0

m 2

Q?

?0

解:(1)

MR 角动量守恒: 2?0 ? mR2?0 ? MR2? ? mRv? ? ml v?

(1)

1 1 1 1 2 2 2 2 2 机械能守恒: M ? R?0 ? ? m ? R?0 ? ? M ? R? ? ? m ? v? ? v? ? 2 2 2 2 (2) 绳子不可伸长:v? ? R? (3)

联立以上各式解得:l ? R

M ? m ?0 ? ? m ?0 ? ?
Q
m 2

P
l

v
v?

R
v?

v?

v?

O
Q?

l

v

P?

?

M ? m ?0 ? ? l?R m ?0 ? ?

(2) 令 ? ? 0得:

M ?m l?R m

(3) ??1 ? ??t ?? ? ?l 2 R ?l ?? ? ??1 ? ?? 2 ? ??t ? R ?? ? v ?t

v? ? ?v?

P??
Q
?? 2

?? ?

?

l v? ?l ? R( ? ? ) ?t l

?

??

l ? ?l P

??1

R

l

v?

O

(4)
?

由(1)-(3)可得:

v? ? l (? ? ?0 )
联立(4)、(5)得:

(5)

?l ? R?0 ?t 1 L 1 ?T ? ?l ? ? R?0 R?0 ?0

M ?m m

1.刚体平衡条件
1)物体受力的矢量和为零:

? ? Fi ? 0
2)对矩心的合力矩为零
i

? ? ? ? M i ? ? ri ? Fi ? 0
i i

重要推论:
刚体受三个非平行力作用而平衡时,此三个力的 合力为零,而且这三个力的力线(含延长线)相 交于一点。

2.刚体平衡的稳定性
满足平衡条件的刚体,若受到扰动,便离开 平衡位置。若它会自动回到平衡位置,则称为稳 定平衡;若它会更远离平衡位置,则称为不稳定

平衡;若平衡位置的周围仍是平衡位置,则称为
随遇平衡。

稳定平衡

不稳定平衡

随遇平衡

例7.1 匀质杆OA重P1 ,长为l1 ,能在竖直平面内 绕固定铰链O转动,此杆的A端用铰链连另一重

为P2、长为l2的均匀杆AB,在AB杆的B端加一水
平力F。求平衡时此两杆与水平线所成的角度?与

?的大小,以及OA与AB间的作用力。
O

?
?
B P2

P1

A

F

解:
(1) 以AB为研究对象,有
l2 Fl2 sin ? ? P2 cos ? 2 P tan ? ? 2 2F

O

? ?
B P2

P1

A

F

以OA+AB为研究对象,有

l1 l2 P cos ? ? P2 ( Fl1 cos ? ? ) ? F (l1 sin ? ? l2 sin ? ) 1 2 2 P ? 2 P2 tan ? ? 1 2F

(2) 以AB为研究对象,其所受的合力为零,因此
N ? F 2 ? P22

N A

N 的方向与水平线的夹角?满足:
P2 tan ? ? F

?B
P2

F

例 7.2 有 6 个完全相同 的刚性长条薄片 AiBi (i=l, 2…,6) ,其两端下方各有 一个小突起。薄片及突起 的重量均可以不计。现将 此 6 个薄片架在一只水平 的碗口上,使每个薄片一 端的小突起 Bi 恰在碗口 上。另一端小突起 Ai 位于 其下方薄片的正中,由正上方俯视如囹所示。若将一质量为 m 的质点放在薄片 A6B6 上一点, 这一点与此薄片中点的距离 等于它与小突起 A6 的距离,求薄片 A6B6 中点所受的(由另 一薄片的小突起 A1 所施的)压力。

解: 设任一小突起Ai对其的压力为Pi,则

Pi ? 2 Pi(i=2 … 6) ?1 P2 ? 2 P 1
P3 ? 2 P2 ? 22 P 1
Bi-1

Pi-1 Ai Pi
P6 Ai-1

??
P6 ? 25 P ? 32 P 1 1
考虑薄片A6B6,根据力矩平衡条件可得
l 3 P ? mg l ? P6l ? 0 1 2 4

B6

A1 C P1

A6

P6 ? 32 P 代入可解得: 1
1 P? mg 1 42

mg

例7.3

用20块质量均匀分布的相同光滑积木块,

在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥,如图
所示。已知每一积木块的长度为l,横截面是边长 为h=l/4的正方形。要求此桥具有最大跨度(即桥 孔底宽)。试计算跨度与桥孔高度的比值。
l

h

H

L

解:
x1 ? l 2 l mx1 ? m( x1 ? l / 2) l x2 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? 4 2m 4 m( x1 ? x2 ) ? m( x1 ? x2 ? l / 2) l x1 ? x2 ? x3 ? ? x1 ? x2 ? 2m 6

x3 ?

??

l 6

l xn ? 2n

l
1

L 10 l 10 1 ? ? xn ? ? 2 n ?1 2 n ?1 n
9 H ? 9h ? l 4
L ? H

1 L ? l? n ?1 n

10

2 3

x2 x3

x1

4
……

?

10

n ?1

1/ n

9/4

? 1.258

10

例7.4 有一半径为R的圆柱A,静止

在水平地面上,并与竖直墙面相接 触。现有另一质量与A相同,半径 为r的较细圆柱B,用手扶着圆柱A, 将B放在A的上面,并使之与墙面 相接触,如图所示,然后放手。己 知圆柱A与地面的静摩擦系数为 0.20,两圆柱之间的静摩擦系数为 0.30。若放手后,两圆柱体能保持 图示的平衡,问圆柱B与墙面间的 静摩擦系数和圆柱B的半径的值各 应满足什么条件?

B

r

A

R

解: 对A球:
mg ? N1 ? N3 sin ? ? F3 cos? ? 0(1) (2) F1 ? N3 cos? ? F3 sin ? ? 0 F1R ? F3 R (3)

B

? N2

? F2

对B球: mg ? F2 ? N3 sin ? ? F3 cos? ? 0 (4)
N2 ? N3 cos? ? F3 sin ? ? 0 F3r ? F2 r

? ? ? N ? mg 3 F3? ? ? F3 N3

(5) (6) A

?
? ? mg N1
? F1

联立(1)~(6)解得:
N1 ? 2 ? cos ? ? 2sin ? mg 1 ? cos ? ? sin ?

cos ? N 2 ? F1 ? F2 ? F3 ? mg 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? sin ? N3 ? mg 1 ? cos ? ? sin ?

圆柱B与墙面的接触点不发生滑动:

F2 ? ?2 N2 ? ?2 ? 1
圆柱A在地面上不发生滑动:

F1 cos ? F1 ? ?1 N1 ? ?1 ? ? N1 2 ? cos ? ? 2sin ? R?r 2 Rr cos ? ? , sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? R?r R?r
两圆柱的接触点不发生滑动:

1 r? R 9

2 F3 cos ? ?7? ? F3 ? ?3 N3 ? ?3 ? ? r ? ? ? R ? 0.29 R N3 1 ? sin ? ? 13 ?

综合上述结果,可得到r满足的条件:

R ? r ? 0.29R

1.开普勒三定律
第一定律:行星围绕太阳运动的轨道为椭圆,太

阳在椭圆轨道的一个焦点上。
第二定律:行星与太阳的连线在相等的时间内扫

过相等的面积:

?S 1 2 ?? ? r ? 常量 ?t 2 ?t ?t ?0 第三定律:各行星绕太阳运动的周期平方与轨道 半长轴立方之比值相等:

T 2 4? 2 ? 3 a GM

2.万有引力与引力势能
2.1 万有引力

? mM ? 0 F ? ?G 2 r r
2.2 引力势能

mM E p ? ?G r

3.解题技巧
? 开普勒定律
? 角动量守恒

? 机械能守恒
1. 已知轨道(即已知a、b),可求其他各量;

2. 已知发射速度和位置,可求其他各量。
y v2

v1 m
M0

b a x

1.行星运动机械能的表达式
例8.1 行星和太阳的质量分别为m和M ,行星绕太阳 作椭圆运动,轨道的半长轴为a,证明行星-太阳系

统的 机械能为:

GmM E?? 2a
b a O m

M

解: 考察A→B,根据角动量守恒和机械能守恒得:

? a ? c GM ?mvA (a ? c) ? mvB (a ? c) ?v A ? ? a?c a ? ? 1 2 GmM 1 2 GmM ? ? ? 2 mvA ? a ? c ? 2 mvB ? a ? c ?v ? a ? c GM ? ? B a?c a ? 1 2 GmM GmM E ? mv A ? ?? 2 a?c 2a

vA
b M c

B

a

O

A m

vB

2.第一宇宙速度与人造卫星
2.1 牛顿的草图
(1)物体沿椭圆轨道运动。发射点 为远地点或近地点。 (2)v0 较小时,发射点为远地点, 近地点到地心距离小于地球半径, 物体沿抛物线落地(曲线1、2)。 (3)随着v0 增大,近地点到地心的 距离增大,当近地点到地心距离等于 远地点到地心距离时,物体沿园轨道 绕地球运动(曲线3)

m
1

v0

O

2

R

3 6 4 5

(4)v0继续增大,轨道又变为椭圆,此时发射点为近地点(曲线4、5) 。 (5)v0进一步增大,椭圆的远地点增到无限大,轨道为抛物线。物体将 沿抛物线轨道离开地球(曲线6) 。

定量分析: 运动轨道:
p r? 1 ? e cos?
rmin

m

v0

?

m

M

r
b

c a

证明:

c 2 EL2 e ? ? 1? 2 2 2 a G M m L2 p ? a(1 ? e2 ) ? GMm2
GMm a?? 2E

x

L ? mv0 rmin ? mv0 (a ? c)
2 a?c

? 1 2 GMm GMm ? ? L2 ? E ? mv0 ? ?? c ? a2 ?
2a
e? c 2 EL ? 1? 2 2 2 a G M m
2

2mE

L2 p ? a(1 ? e2 ) ? GMm2

发射速度:
1 2 GMm GMm E ? mv0 ? ?? 2 rmin 2a
rmin GM GM a?c v0 ? (2 ? )? (2 ? ) rmin a rmin a
GM ? (1 ? e) rmin
rmin

m

v0

?

m

M

r
b

c a

x

v0 ?

GM (1 ? e) rmin

m
rmin

v0

2.2 第一宇宙速度 在相同高度发射卫星,园轨道(e=0) 所需的发射速度v0最小。最小速度:
M

?

m

r
b

c a

GM v0 ? rmin
若在地面发射,则

GM ? gR2

x

GM v0 ? ? gR ? 7.9km/s ——第一宇宙速度。 R
第一宇宙速度的两种物理意义: 1)近地卫星的最小发射速度(同一发射高度,不同轨道);

2)卫星绕地球作圆周运动的最大速度(不同发射高度,园轨道)。

2.3 发射卫星所需能量
物理情景:要在地球上发射一质量为m,沿绕赤道运行的卫 星,至少对卫星所做的功为多少?设地球赤道上自转的线 速度为v0。 解法1: 发射前,卫星已具有与地球一起自转动能

1 2 Ek 0 ? mv0 2 发射后,卫星的动能 1 2 (v为第一宇宙速度) Ek ? mv 2 根据动能定理,发射时至少对卫星所做的功 1 2 1 2 W1 ? mv ? mv0 2 2

解法2: 发射卫星做功的多少与发射方向有关,顺着地球自转的方 向发射时做功最少。此时对卫星所做的功为

1 W2 ? m(v ? v0 )2 2

显然, W1 ?W2。
哪个答案对?
两个答案都对! W1表示在地心参照系测得对卫星所做的功; W2表示在地面(赤道)参照系测得对卫星所做的功。

做功与参照系有关!

另问:假设卫星是通过运载火箭来发射的,则至少所消耗 的燃料能量是多少?假设发射时燃料为一次性喷出,喷出 的燃料质量为?m。忽略火箭(不含燃料)的质量。 解: 以地心为参照系: v1 v0

(m ? ?m)v0 ? mv ? ?mv1 m ?m m ?m m v1 ? (v ? v0 ) ? v0 ?m 1 2 1 1 1 m 2 2 ?E1 ? mv ? ?mv1 ? (m ? ?m)v0 ? m(1 ? )(v ? v0 )2 2 2 2 2 ?m 以地面(赤道)参照系为参照系:
0 ? ??mv2 ? m(v ? v0 ) m v2 ? (v ? v0 ) ?m m ?m 1 1 1 m 2 2 ?E2 ? m(v ? v0 ) ? ?mv2 ? m(1 ? )(v ? v0 )2 2 2 2 ?m

v

v?0

v2 v ? v0

?m

m

?E1 ? ?E2

3.第二宇宙速度与行星际航行
3.1 第二宇宙速度
为实现行星际航,飞行器首先要摆脱地球引力的束缚,进 入与地球同步绕太阳运行的轨道,这种情况下所需要的发

射速度为第二宇宙速度。

1 2 GmM mv ? ?0 2 R GM ? gR2
2GM v? ? 2 gR ? 11.2km/s R
——第二宇宙速度。

GM v? (1 ? e) R 2GM ??? v ? R
e ?1

? 11.2km/s

3.2 行星际航行的速度
最佳航线: 在飞行器从地球航行到某 行星中,如果沿相切于地球和行星轨 道的椭圆飞行,所需的发射速度最小, 这种轨道称为最佳航线。 行星际航行的速度:
MS

a

R

m

v

GmM S 1 2 GmM S mv ? ?? 2 R 2a
GM S R v? (2 ? ) R a

地球轨道 行星轨道 最佳轨道

火星航行:
M S ? 1.99 ?1030 kg R ? 1.49 ?1011 m a ? 1.89 ?1011 m
v? GM S R (2 ? ) ? 32.8km/s R a

飞行器逃脱地球引力后,具有与地球绕 太阳公转的速度:29.8km/s,所以飞行器 进入最佳航线所需要的转移速度(相对 于地球的速度):
v? ? 32.8 ? 29.8 ? 3.00km/s

a
MS

R

设飞行器在地面发射时所需的速度v0,则 1 2 GmM 1 mv0 ? ? mv?2 2 R 2 2GM 2 ? v0 ? ? v?2 ? 11.82 ? 3.002 ? 11.6km/s R

m

v

地球轨道 行星轨道

最佳轨道

3.3 行星际航行的飞行时间
a

Te2 T 2 ? 3 3 R a a 3/ 2 T ? Te ( ) R T Te a 3/ 2 t? ? ( ) 2 2 R
火星航行时间:

MS

R

m

v

地球轨道 行星轨道 最佳轨道

365 1.89 ?1011 3/ 2 t? ( ) ? 261天 11 2 1.49 ?10

3.4 行星际航行的出发日期
物理情景:从地球表面向火星发射火星探测器,当探测器 脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行之后,在某年3月1日 零时测得探测器与火星之间的角距离为600,如图所示。设 火星的运行的周期为686天。问应在何年何月点燃探测器上 的火箭发动机方能使得探测器恰好沿最佳航线落在火星表 面(忽略火箭加速探测器的时间,时间计算精确到日)。

600

探测器

火星

解:
要使探测器恰好沿最佳航线与火星在A点相会,探测器变轨 时,火星M相对与探测器D的角位置

3600 TD ? ? 1800 ? TM 2

A

3600 ? 1800 ? ? 261 ? 43.00 686 设点燃探测器上火箭发动机的时间为3 月1日零时后第t天,则
360 360 t? t ? 600 ? ? Te TM
600 ? ? 1 1 ?1 t? ( ? ) ? 37天 0 360 Te TM

600

?
D

M

探测器

火星

例8.2

地球和太阳的质量分别为m和M ,地球绕太

阳作椭圆运动,轨道的半长轴为a,半短轴为b ,如
图所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动 速度大小及轨迹在A、B、C 三点的曲率半径。
C m b A a O M A

解:
1 2 GmM GmM mvA ? ?? 2 a?c 2a
a ? c GM ? vA ? b a 同理: vB ? a ? c GM b a
B vB vC m C vA a M

b
a O

c

A

GM vC ? a

?

c ? a 2 ? b2

?

GmM b2 m ? ? ?A ? 2 ? A (a ? c) a

2 vA

GmM b2 m ? ? ?B ? 2 ? B (a ? c) a
GmM GmM b a2 m ? cos ? ? ? ?C ? 2 2 ?C a a a b
vC C b B a O
2 vC

2 vB

m

?
c

vA
a M A

vB

例 8.3 如图所示,哈雷彗星绕太阳 S 沿椭圆轨道逆时针方向运动, 其周期 T 为 76.1 年。1986 年它过近日点 P0 时,与太阳 S 的距离
r0 ? 0.591AU ,AU 是天文单位,它等于太阳与地球的平均距离。经

过一段时间, 彗星到达轨道上的 P 点, 与 SP0 的夹角为 ? P ? 72.0? 。 SP 已知: 1AU ? 1.50 ? 1011 m ,引力常数 G ? 6.67 ? 10 ?11 m 3 ? kg ?1 ? s ?2 ,太 阳质量 M S ? 1.99 ?1030 kg 。试求: (1)P 点到太阳 S 的距离 rP ; (2) 彗星过 P 点时速度大小和方向 (用速度方向与 SP0 的夹角表示) 。

P
MS
O S

?P
r0 P0

解:
(1)开普勒第三定律: a3 T 2 ? 2 3 ae Te T 2/3 ? a ? ( ) ae Te T 2/3 c ? a ? r0 ? ( ) ae ? r0 Te y b MS

vP

P ( x, y )
rP
a

O

c S

?P

?
x

r0 P0

b ? a2 ? c2
设P点的坐标为(x, y),则

x ? c ? rP cos ? P y ? rP sin ? P
x2 y 2 将x、y代入方程: ? ? 1 得: 2 2 a b

a 2 sin 2 ? P ? b2 cos 2 ? P ? rP2 ? 2b2crP cos ? P ? b 2c 2 ? a 2b 2 ? 0 ?

a 2 sin 2 ? P ? b2 cos 2 ? P ? rP2 ? 2b2crP cos ? P ? b 2c 2 ? a 2b 2 ? 0 ?
解得:

rP ?

b 2 ? a ? c cos ? P ? a 2 sin 2 ? P ? b 2 cos 2 ? P
y b

代入数据 ???? ? 0.896AU ?

vP

P ( x, y )
MS a O

rP

c S

?P

?
x

r0 P0

另解:采用极坐标系椭圆方程: p rP ? 1 ? e cos ? P

r0 c e ? ? 1? a a
代入数据得:

c2 p ? a ?1 ? e2 ? ? a(1 ? 2 ) a

rP ? 0.896AU
b

y

vP

P ( x, y )
MS a

rP

O

c S

?P

?
x

r0 P0

(2)机械能守恒:
GmM S 1 2 ? GmM S ? mvP ? ? ? ??? 2 rP ? 2a ?

2 1 vP ? GM S ( ? ) ? 4.39 ?104 m ? s?1 rP a
同理:

y b

vP

P ( x, y )
MS

2 1 v0 ? GM S ( ? ) r0 a
角动量守恒:

rP

a

O

c S

?P

?
x

r0 P0

mvP rP sin(? ? ? P ) ? mv0 r0
r0 sin(? ? ? P ) ? rP 2 / r0 ? 1/ a 2 / rP ? 1/ a

? ? 127?

例8.4

质量为M的宇航站和对接上的质量为m的

飞船沿圆形轨道绕地球运动着,其轨道半径是地

球半径的n倍(n=1.25)。某一瞬时,飞船从宇
航站沿原运动方向射出后沿椭圆轨道运动,其最 远点到地心的距离为8nR,求质量m/M为何值时, 飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇?
m
M+m M M0

解:
(m ? M ) M 0 GM 0 u2 M+m: G ? (m ? M ) ?u ? 2 (nR) nR nR

mM 0 mM 0 1 4 GM 0 m: mv12 ? G ? ?G ? v1 ? 2 nR 9nR 3 nR
m

M+m
u nR M0

v1
nR

8nR

3M ? m GM 0 (m ? M )u ? mv1 ? Mv2 ? v2 ? 3M nR
设M的最近点到地心的距离为x,则 M:

u

v2 v1

m?M M m
v2

mM 0 mM 0 1 2 mv2 ? G ? ?G 2 nR x ? nR 3M 2 x ? nR[2( ) ? 1]?1 3M ? m

M nR M0 x

3M 2 x ? nR[2( ) ? 1]?1 3M ? m

T1 a1 3/ 2 (nR ? 8nR) / 2 3/ 2 1 m 2 3/ 2 ? ( ) ?[ ) ] ?K ] ? 27[1 ? (1 ? T2 a2 2 3M (nR ? x) / 2 m ? 3 ? [2(9 ? K 2 / 3 )]1/ 2 M m 2 1/ 2 9n 3/ 2 R ? x ? nR ? ? 3[1 ? ( ) ]? K ? ( ) ? 11.18 M n ?1 n ?1 m 27 2 ?0?K ? ? 9.546 M 4 m
M nR M0 x 8nR

9.546 ? K ? 11.18
K ? 10、 11
m ? 3 ? [2(9 ? 102 / 3 )]1/ 2 ? 0.048 K ? 10, M m ? 3 ? [2(9 ? 112 / 3 )]1/ 2 ? 0.153 K ? 11, M
m M nR M0 x 8nR

1.简谐振动的基本概念 1.1 简谐振动的定义

物体在运动过程中所受的合力与离开平衡位置的位
移成正比而方向相反,即

F ? ?kx (k ? 0)
则物体所作的运动为简谐振动。

1.2 简谐振动的运动方程
x 运动方程: ? A cos(?t ? ? )

速度方程:v ? vm cos(?t ? ? ? 其中: ? k / m ?

?

2 2 加速度方程:a ? am cos(?t ? ? ? ? ) (am ? A? )

)

(vm ? A? )

1.3 简谐振动的特征量

x ? A cos(?t ? ? )
周期和频率:

振幅:A

1 ? T? ,?? ? ? T 2?

2?

位相与初相: t 时刻的位相: ?t+? 初相: ? ? 位相是描述物体振动状态的物理量

? 周期和频率:由振动系统的固有性质决定:

m ? 1 T? ? 2? ?? ? ? k 2? 2?
? 振幅和初相:由初始条件决定:
2 ? v0 2 ? x t ?0 ? x0 ? A ? x0 ? 2 ? ? ? ?? ? ?v t ?0 ? v0 ?tan ? ? ? v0 ? ? ?x0 ?

2?

k m

1.4 简谐振动的旋转矢量表示

振幅:旋转矢量的模A

圆频率:旋转矢量的角速度?
位相:旋转矢量与Ox轴的夹角?t+?
y

?
M M0 x

A

?t ? P
x

O

2.简谐振动的判别
2.1 简谐振动的判据

F ? ? kx 2 a ? ?? x
2.2 两种常见的简谐振动

m 1)弹簧振子:T ? 2? k

l 2)单摆:T ? 2? g

3.简谐振动的能量

1 2 2 Ek ? kA sin (?t ? ? ) 2 1 2 E p ? kA cos 2 (?t ? ? ) 2 1 2 E ? Ek ? E p ? kA 2 1 2 E p ? Ek ? kA 4
谐振子的动能和势能都随时间而变化,振动过程 中两者相互转换,但系统的总能保持不变。谐振 子系统是一个封闭保守系统。

x

O

t

1 2 E ? kA 2 Ek

O

Ep

t

4.简谐振动的合成
4.1 同频率同方向的简谐振动的合成 1)两个同频率同方向的简谐振动的合振动为与分 振动同频率的简谐振动。 2)合振动的振幅

A ? A ? A ? 2 A1 A2 cos(? 2 ? ?1 )
2 1 2 2

?? ? 2k? , A ? A1 ? A2 ?? ? (2k ? 1)? , A ? A1 ? A2

链接

4.2 同方向不同频率的简谐振动的合成:形成拍

4.3 相互垂直的同频率的简谐振动的合成:椭圆轨道

链接

4.4 相互垂直不同频率的简谐振动的合成:李萨如图

链接

例 9.1 如图,一正方体木块浮在水面,因外界扰动而沿 竖直方向上下振动,设木块的边长为 l,密度为 ? ,水的 密度为 ? 0 ( ? 0 ? ? ) 。 (1)证明木块作简谐振动,并求其振动周期; (2)若已知 t ? 0 时木块经过平衡位置以速度 v 0 向下运 动,试求出物体的振动方程(取平衡位置为坐标原点, 向下为坐标轴正方向) 。

mg ? ?0 gl 2 x0 (1) F ? mg ? ?0 gl 2 ( x ? x0 ) ? ? ?0 gl 2 x ? ?kx
?0 gl 2 k ?? ? ? 3 m ?l ?0 g ?l
x0 x

解:

O

?l T? ? 2? ? ?0 g
(2) x ? A cos(?t ? ? )

2?

x

? v ?l A ? 0 ? v0 ? ? x t ?0 ? 0 ? A cos ? ? 0 ? ? ? ?0 g ?? ?? ? ?? A? sin ? ? v0 ? ?v t ?0 ? v0 ? ? ? ?? ? ? 2 ?0 g ? ?l x ? v0 cos( t? ) ?0 g ?l 2

例 9.2 用一弹簧把质量各为 m1 和 m2 的两木块连起 来,一起放在地面上,弹簧的质量可不计,而 m2>m1 , 对上面的木块必须施加多大的压力F, 问: 以便在F突然撒去而上面的木块跳起来时,恰能使 下面的木块提离地面?
F

m1

m2

解:F 撤去后, m1 围绕其平衡位置 O 作简谐振动。

m1 在平衡位置时,弹簧的压缩量:

x
xm x0

x0 ? m1 g / k
m1 作简谐振动的振幅:

A O
A

A? F /k
m1 上升到最大高度时,弹簧的伸长量:
m1

F

xm ? A ? x0 ? ( F ? m1 g ) / k
m2 刚好能被提起的条件:

m2 g ? kxm ? F ? m1 g
由此可得: F ? ( m1 ? m2 ) g

m2

例 9.3 如图, 蹦极者将弹性绳索的一端固定在 桥梁上,另一端绑在自己脚踝上,然后从桥上 纵身跃下 (初速度为零) 将蹦极者简化为一个 。 质点,绳索简化为一根柔性的均匀线性弹簧, 并且忽略绳索的质量和所有的横向运动。设蹦 极者的质量为 m ? 64kg ,绳索的劲度系数为
k ? 16N/m , 自由状态时长度为 l0 ? 60m , 重力
蹦极者

加速度 g ? 10m/s 2 。求: (1)蹦极者达到的最低点离起跳点的距离 H ; (2)蹦极者从起跳至达到最低点的总时间 T 。

解:
(1) 机械能守恒:

1 ?mgH ? k ( H ? l0 ) 2 ? 0 2 2kl0 ? mg ? H ? l0 ? ?1 ? 1 ? ? ? 180m k ? mg ? ? ? (2) 第一阶段:从起跳到绳子拉直:
蹦极者作自由落体运动。

l0

H

2l0 t1 ? ? 2 3( s) g

第二阶段:从绳子拉直到蹦极者到达最低点:
蹦极者作简谐振动。
l0

k 1 ?1 ?? ? (s ) m 2

mg A ? H ? l0 ? x0 ? H ? l0 ? ? 80(m) k 1 设振动方程: x ? 80 cos( t ? ? ) 2 mg ? ? ?40 ? x t ?0 ? ? x0 ? ? k ? ?v ? 0 ? t ?0
1 ? 4? ?cos ? ? ? ?? 2 ?? ? 3 ?sin ? ? 0 ?

x0 H O

A

x

振动方程:
1 x ? 80 cos( t ? ? ) 2 设 t2 时刻蹦极者到达最低点,则 1 4? A ? A cos( t2 ? ) 2 3 4? 4? t2 ? 2(2? ? ) ? ( s) 3 3 4? T ? t1 ? t2 ? (2 3 ? )(s) 3
O

l0

x0 H

A

x

解:第一阶段:自烧断轻线至砝码1脱离弹簧。
mg x0 ? k ?T ? mg ? ma1 ? N ? mg ? 2T ? ma ? 1 ? ? N ? ma1 ? mg ? ma? ? N ? k ( x0 ? x?) ?
4k k a? ? ? x?, a1 ? ? x? 3m 3m 4k x? ? A cos( t ? ?) 3m
T
a1 2 mg N ma T
1

2T

a?
1 mg 3

a1 a1 mg

N

mg

x

2mg ? ? 2mg ? ? x t ?0 ? ?(l0 ? x0 ) ? ? ?A ? k ?? k ? ? v? ? 0 ? ?? ? ? ? t ?0

O E

x0 -x' l0

x? ?

2mg 4k cos( t ?? ) k 3m
? 4k 1 mg cos( t1 ? ? ) ? ? ? x0 ? 3m 2 ? k ?? ?v? ? ?2 g 4m sin( 4k t ? ? ) ? 0 ?0 1 ? 3k 3m ?

设t=t1时,砝码1与弹簧分离,则

? ? ? x t ?t1 ? ? v? ? t ?t1

? m ?t1 ? ? 3k ? ? ?v? ? 2 g m ? k ?

第二阶段:自砝码1脱离弹簧至至再次接触弹簧。

?T ? mg ? ma1 4 ? ? N ? mg ? 2T ? ma1 ? a? ? ? g 3 ?ma ? mg ? ma? ? 1

2v? m t2 ? ?3 a? k

3? m t ? t1 ? t2 ? (3 ? ) 3 k


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