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矢量图解法求运动


V=V1+V2
v2 V v1

V12=V1-V2
V12

v1

v2

v1

v2

运动的合成与分解遵循的原理:
构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、 互不相干的,物体的任意一个分运动,都按其自身规律进行, 不会因有其它分运动的存在而发生改变.
的结果,对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义.

独立性原理

合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动 等时性原理

描述运动状态的位移、速度、加速度等 物理量都是矢量,对运动进行合成与分解时应按矢量法则即 平行四边形定则作上述物理量的运算.

矢量性原理

若设质点A对静止参考系C的速度(绝对速度)为vAC,动 参考系B对C的速度(牵连速度)为vBC,而A对动参考系B的速 度(相对速度)为vAB,则有 v ?v ?v

*

引入中介参照系.

位移的合成与分解为 加速度的合成与分解为

v AB ? v AC ? v BC S AC ? S AB ? S BC S AB ? S AC ? S BC a AC ? a AB ? a BC a AB ? a AC ? a BC v ? v1 ? v2

AC

AB

BC

* 根据实际效果分解运动.

例1:雨滴在空中以4 m/s速度竖直下落,人打着伞以3 m/s的速度向东急行,如果希望让雨滴垂直打向伞的截面 而少淋雨,伞柄应指向什么方向?
雨对地的速度(绝对速度) v雨=4 m/s 竖直向下

人对地的速度(牵连速度)v人=3 m/s 向东
雨对人的速度(相对速度)V雨对人 三速度矢量关系为 伞柄方向与竖直成

? ? ? v雨对人 ? v雨 ? v人
v人 3 tan ? ? = v雨 4

3 ?=arctan ? 37o 4

例2:一质点从A点出发沿AC方向以v1速度匀速运动,与此同时, 另一质点以v2速度从B点出发做匀速运动,如图所示,已知A、C 相距l,B、C相距d,且BC⊥AC,若要两质点相遇,v2的最小速 率为多少?其方向如何? v1 A C l 由“两质点相遇”知A处质 θ 点相对于B处质点的速度vAB d 方向沿AB连线 v2 θ AB 1 2 B

? ? ? v ?v ?v ? ? ? v1 ? v AB ? v2

由几何三角形与矢量三角形关系得: d v2m ? v1 sin? = 2 2 v1 d ?l d 方向与BC成 ? ? arcsin d 2 ? l2

⑴航行时间

船对岸的速度(绝对速度) v 水对岸的速度(牵连速度)v水 船对水的速度(相对速度)v舟

渡河时间取决于船对水的速度v舟: t ?

s舟 v舟

当v舟方向垂直于河岸时,船相对于水的分运动位移S舟=d最小, d 故可使渡河时间最短: t ?
min

河岸 d v舟 v

v舟

S

S舟

v v 舟
河岸 v水

v水

水速大小不影响渡河时间!

S水

⑵实际航程
为使航程最小,应使v舟与v水的合速度v与河岸的垂线间的夹角θ 尽量地小! 若v舟>v水,船的实际位移为河宽d航程即最短,故 v舟的方向 v 与船的航线成 ? ? arc sin 水 船头指向上游
若v舟<v水,船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在 船头指向上游且与实际航线垂直,与上游河岸成 ? ? arc cos v水 v水 d? 这时船的实际航程为 v舟 v舟 v θ
v水
河岸
河岸 河岸

v舟

v舟

d

d

v舟

v

v

θ

v水

θ v水
河岸

v舟

当船的航程最短时,航行时间不是最短.

例3: 某一恒力作用在以初速度v运动的物体上,经过时间t,物 体的速率减少一半,经过同样的时间速率又减少一半,试求经过 了3t时间后,物体的速度v3t之大小.

??? ? ? ? ? ? ? ?v ? vt ? v ? vt 2 ? vt 1 ? vt 3 ? vt 2
A α
v vt

在矢量三角形中运用 余弦定理:
2

O
v2t

?v? 2 2 ? ? ? v ? ? 2?v ? ? 2v ? 2?v ? cos ? ? 4?
2 v3 t

B ?v? 2 2 ? ? ? v ? ?v ? 2v ? ?v ? cos ? ? 2?
2

C

v3t

? v ? ? 3?v ? ? 2v ? 3?v ? cos ?
2 2

7 v3 t ? v 4

D

例4:从h高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体,讨论抛出角θ 为多大时物体落地的水平位移最大. 物体做抛体运动时,只受重力作用.在落下h高度的 时间t内,速度增量△v恒为竖直向下,大小为gt; 落地时速度v的大小为 vt ? 矢量关系:

矢量△“面积”S ? 1 gt ? v cos ? ? 0 2 1 1 ? gx ? v0 ? vt ? sin ?? ? ? ? 2 2
x?
2 v0 v0 ? 2 gh

??? ? ? ?v ? vt ? v0

2 v0

? 2 gh
θ

v0

h
θ

?

g

? sin ?? ? ? ?
v0 v ? 2 gh
2 0

x
时x
max 2 v0 v0 ? 2 gh v t ? g

△v

当?? ? ? ? ?

?
2

即 ? ? arc tan

练习1:如图所示,甲、乙两船在静水中航行速度分别 为 v甲和v乙 ,两船从同一渡口向河对岸划去.已知甲 船想以最短时间过河,乙船想以最短航程过河,结果两 船抵达对岸的地点恰好相同,则甲、乙两船渡河所用时 2 2 v乙 :v甲 间之比t甲∶t乙= .
V 甲合

起、止点相同,甲、乙合速度 方向一致,运动合成情况如示: 两船航程相同,时间应与合速度成反比,由图

α

V甲

t甲 t乙

?

v乙合 v甲合

?

v水 sin ? v水 / sin ?
2

? sin 2 ?
t甲 t乙 ? v乙 ?? ?v ? 甲 ? ? ? ?
2

? v乙 ? 2 而 sin ? ? ? ?v ? ? ? 甲?

V 乙合

V乙



α
V水

练习2: 骑自行车的人以20 km/h 的速率向东行驶,感到风从 正北方吹来,以40 km/h 的速率向东行驶,感到风从东北方向 吹来,试求风向和风速.
人对地的速度 V人1=20 km/h ,V人2=40 km/h,方向正东 风对人的速度 V风对人1方向正南, V风对人2方向西南

风对地的速度V风?
速度矢量V风= V风对人+ V人的关系如图 由图中几何关系易得

v风 ? 2v人1 ? 28km / h
风向西北

v风对人2

v风 v风对人1 v人 1 v人 2

练习3:从离地面同一高度h、相距l的两处同时各抛出一个石块, 一个以速度v1竖直上抛,另一个石块以速度v2向第一个石块原来位 置水平抛出,求这两个石块在运动过程中,它们之间的最短距离. 一个石块对地的速度为 v1+vy 另一个石块对地的速度为 v2+vy 两者相对速度为 v1 l

??? ? ? ? ? ? ? v21 ? v2 ? v y ? v1 ? v y ? v2 ? v1

?

?

v21
v2

? ?

以石块1为参考系,石块2的位移方向 与v21相同: 以石块1为参考系,两石块初始距离为l: 由图 d ? l ? sin?

v1 而 sin ? ? ? v21
l cos ? 即 ? v21

v1
2 v1 2 ? v2

x21

d?

v1 l
2 2 v1 ? v2

这个最短距离适用于 另一石块落地之前

lv 2h ? 2 2 2 v1 ? v2 g

练习4:如图所示,一条船平行于平直海岸线航行,船离岸的距离为D, 船速为v0 ,一艘速率为v(v<v0 )的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行 去拦截这条船.⑴证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A之前出

发,这点在港口后面的

2 v0 ? v2

v

? D 处.⑵如果快艇在尽可能迟的瞬时出发,

它在什么时候和什么地方截住这条船?

A A v0 v0 ⑴艇拦截到船即相遇,有艇相对于船的速度 V ? ? ? ? 方向沿AB连线 两者相对速度为 V ? v0 ? v D v v、V夹角不会超过90° 2 ? v0 ? v2 由速度矢量三角形得 ? ? arc cot B v 2 ? v2 则 S ? D ? cot ? ? v0 ?D
v

V
?

截住船的位置在A前方 ⑵上述是最迟出发的临界情况! 2 v0 Dv 0 此时? S相 ? D ? csc? ? ? D v v0 D D ? csc? 2 v v0 ? v2 t? ? 2 2 2 V V ? v0 ? v v v0 ? v2

S

练习5:一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1 =30°,另一次安装成倾斜角度为β2=15°,问汽车两次速度 之比v1∶v2为多少时,司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的 正面玻璃上弹开?(冰雹相对地面是竖直下落的) 冰雹近、离车的速度遵守“反射定律” 第一次 第二次 由两矢量图

? ? ? v雹对车 ? v雹 ? v1 ? ? ? v雹对车 ? v雹 ? v2
v1 ? v雹 ? cot 30
v2 ? v雹 ? cot 60
?
?

v雹离车
30
?

v1
30?
30?

v雹

30?



v1 3 ? v2 1

v雹离车

15?

15?

v2
?

60 v雹

15?

练习6: 快艇系在湖面很大的湖的岸边.湖岸线可以认为是直 线.突然缆绳断开,风吹着快艇以恒定的速度v0=2.5 km/h沿与湖岸 成α=15°角的方向飘去.同时岸上一人从同一地点沿湖岸以速度v1 =4 km/h行走或在水中以速度v2=2 km/h游去,此人能否赶上快艇? 当快艇速度为多大时总可以被此人赶上? 设人以v1速度运动时间x,以v2速度运动时间y,则有 人赶上艇,两者位移矢量构成闭合三角形, v0(x+y) ? ? ? 位移的矢量关系 v v2y 0 ? x ? y ? ? v1 x ? v2 y
? ? ? ? 即? 2 y ? ? ? 4 x ? ? ? 2.5 x ? y ? 2 4 x 2.5 x ? y cos15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2

v

v

整理得

9 y 2 ? ? 50 ? 20 ?

?

6 ? 2 ? xy ? ? 89 ? 20 ? ?

?

?

6 ? 2 ? x2 ? 0 ?

?

v1x

15°

? ? ? ?50 ? 20 ?

?

6 ? 2 ? ? 4 ? 9 ?89 ? 20 ? ?

?

2

?

6? 2 ?> 0 ?

?

此式有解,即人能赶上以2.5 km/h飘行的快艇! 推至一般
??

?

3 ? 1 v2 ? 2

?

?

6 ? 2 v ? 16 ? 0

?

v ? 2 2 km/h 人总能赶上快艇!

雪比赛.运动员从坡上方A点开始下滑,到起跳点O时 借助设备和技巧,保持在该点的速率而以与水平成θ角 的方向起跳,最后落在坡上B点,坡上OB两点距离L为 此项运动的记录.已知A点高于O点h=50 m,忽略各种 阻力、摩擦,求运动员最远可跳多少米,此时起跳角为 多大?
A h θ

? 练习7:如图所示, 在仰角? ? 6 的雪坡上举行跳台滑

O

α B

在O点起跳速度v的大小为 在发生L位移的时间t内,速度增量 △v恒为竖直向下,大小为gt;

v0 ? 2 gh ? 10 10 m/s
A h O θ θ αB △v

矢量关系:

??? ? ? ?v ? v B ? v 0

1 1 ? v0 ? vB ? sin ?? ? 90? ? ? ? S? ? gt ? v0 cos ? 2 2

v0

其中v0 t cos ? ? L cos ?

2 v B ? v0 ? 2 gL sin ?

1 1 2 gL cos ? ? v0 ? v0 ? gL ? cos ?? ? ? ? 2 2
2 v0 v0 ? gL 3 L? ? cos ?? ? ? ? 2 g

?

3L 20 100 ? L

? cos ?? ? ? ? ? 1

vB

当 ?? ? ? ? ? 0即

? ? ?时
v0 vB ? sin ? sin 90? ? ?

Lmax ? 200 m

此时由

?

?

? ? 30?


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