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2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.4解析几何初步--教师用


信心、专心、 信心、专心、恒心
课后检测 课后检测 一.选择题: 1. 原点在直线 l 上的射影是 P(-2,1),则直线 l 的方程是( A.x+2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x-y+5=0 D.2x+y+3=0 [解析] C.[ OP ⊥ l , kOP = ? ∴ kl = 2 ] 2. 已知点的集合 A = {( x, y , z ) || x ? a | + | y ? a |= 0, z ∈ R} ,则,( A. A 中的每个点到 x 轴的距离相等 C. A 中的每个点到 z 轴的距离相等 [解析] C.[点集 A 是一条平行于 z 轴的直线] 3. 若直线 x + 2 y + m = 0 按向量 a = ( ?1,?2) 平移后与 C : x 2 + y 2 + 2 x ? 4 y = 0 相切, 则实数 m 的值等于 A 3 或 13
新疆 王新敞
奎屯



1 2



B. A 中的每个点到 y 轴的距离相等 D. A 中的每个点到 xoy 平面的距离相等

( ) B 3 或-13
新疆 王新敞 奎屯

C

新疆 王新敞 奎屯

-3 或 7

D

新疆 王新敞 奎屯

-3 或-13

[解析]D.[直线 x + 2 y + m = 0 按向量 a = ( ?1,?2) 平移后,方程为 x + 2 y + 5 + m = 0



| m +8| = 5 ? m = -3 或-13] 5

4. (山东省济南市 2008 年 2 月高三统一考试)已知圆 C:( x ? a ) 2 + ( y ? 2) 2 = 4 及直线 l :

x ? y + 3 = 0 ,当直线 l 被 C 截得的弦长为 2 3 时,则 a 等于(
A. 2 [解析] C B. 2 ? 3 C. ±

) D. 2 + 1

2 ?1

| a ? 2 +3| = 1 ,∴a = ± 2 ? 1 ] 2 5. 若直线 l1 : y ? 2 = (k ? 1) x 和直线 l 2 关于直线 y = x + 1 对称,那么直线 l 2 恒过定点
[易知圆心 C(a,2)到直线的距离为 1,∴ A.(2,0) B.(1,-1) C.(1,1) D.(-2,0) [解析] C[直线 l1 经过定点 P (0,2) , P (0,2) 关于直线 y = x + 1 的对称点为(1,1),直线

l 2 恒过定点(1,1)]

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6. 已知过点 P (1,1) 作直线 l 与两坐标轴正半轴相交,所围成的三角形面积为 2,则这样的 直线 l 有( A. 1 条 ) B.2 条 C.3 条 D.0 条

[解析]A.[设直线 l 的方程为 根,只有一解 a = b = 2 ]

?a + b = ab x y 2 + = 1 ,则 ? ,∴ a, b 是方程 x ? 4 x + 4 = 0 的 a b ?ab = 4

7. 已知半径为 1 的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16 相切,则动圆圆心的轨迹方程是( A (x-5)2+(y+7)2=25 B(x-5)2+(y+7) 2=17 或(x-5)2+(y+7)2=15 2 2 D(x-5)2+(y+7) 2=25 或(x-5)2+(y+7)2=9 C (x-5) +(y+7) =9 [解析] D[分内切和外切两种情况]; 8. 直线 a ( x + 1) + b( y + 1) = 0 与圆 x 2 + y 2 = 2 的位置关系是 ( A.相离 [解析] D [圆心 O 到直线 a ( x + 1) + b( y + 1) = 0 的距离 d = B.相切 C.相交或相切 D.不能确定 )



|a+b| a 2 + b2



Q (a + b) 2 ? (a 2 + b 2 ) = 2ab ∴ a, b 同号时 d =
| a+b| a +b
2 2

|a +b| a2 + b2

>1;

ab = 0 时, d =

= 1 ; a, b 异号时, d =

| a+b| a2 + b2

< 1 ,]

二.填空题: (本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 13~15 题是选做题,考 生只能选做二题,三题全答的,只计算前两题得分) 9. 已知两点 A(?2, 0), B (0, 2) , C 是圆 x 2 + y 2 ? 2 x = 0 上任意一点, ?ABC 面积的最大 点 则 值是 . 解析: 3 +

2 .[直线 AB 的方程为 y = x + 2 ,圆心到直线 AB 的距离为
3 2+2 , ?ABC 面积的最大值是 3 + 2 ] 2

3 2 , C 到直线 AB 2

的距离的最大值为

10. 点(4, a )在两条平行线 3 x + y ? 6 = 0,3 x + y + 3 = 0 之间,则 a 的取值范围是

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[ 解 析 ] (?15,?6) [ 直 线 x = 4 与 两 条 平 行 线 3 x + y ? 6 = 0,3 x + y + 3 = 0 分 别 交 于 点

(4,?6), (4,?15) ,∴ ?15 < a < ?6 ]
11. 已知圆 ( x ? 7) + ( y + 4) = 16 与圆 ( x + 5) + ( y ? 6) = 16 关于直线 l 对称 , 则直
2 2 2 2

线 l 的方程是

.

[解析] 6 x ? 5 y ? 1 = 0 [依题意得,两圆的圆心 A(7,?4) 与 B (?5,6) 关于直线 l 对称,故 直线 l 是线段 AB 的垂直平分线,直线 l 的方程为 6 x ? 5 y ? 1 = 0 ]. 12. 已知 2 x + 3 y ? 2 = 0 ,则 x 2 + y 2 的最小值为 [解析]

4 [ x2 + y 2 的 最 小 值 是 原 点 到 直 线 2x + 3 y ? 2 = 0 的 距 离 的 平 方 , 13 2 2 4 ) = ] 13 13

∴ x2 + y 2 = (

13. 一条光线从点 P ( 2, 3) 射出,经 x 轴反射,与圆 ( x + 3) 2 + ( y ? 2) 2 = 1 相切,则反射 光线所在直线的方程是 .

[解析] 4 x + 3 y + 1 = 0 或 3 x + 4 y + 6 = 0 [依题意得,点 P 关于 x 轴的对称点 P ' ( 2,?3) 在反射光线所在的直线上,故可设反射光 线所在直线的方程为 y + 3 = k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 3 = 0 .由反射光线与圆相切得

5k + 5 k +1
2

=1 , 解 得 k = ?

4 3 或 k=? ,∴反射光线所在直线的方程是 3 4

4 3 y + 3 = ? ( x ? 2) 或 y + 3 = ? ( x ? 2) ,即 4 x + 3 y + 1 = 0 或 3 x + 4 y + 6 = 0 ] 3 4
14. 若圆 x 2 + y 2 ? 2mx + m 2 ? 4 = 0 与圆 x 2 + y 2 + 2 x ? 4my + 4m 2 ? 8 = 0 相切,则 实数 m 的取值集合是 [解析] {? .

12 5 , ? , 0, 2} 5 2

[∵圆 ( x ? m) 2 + y 2 = 4 的圆心为 O1 (m,0) ,半径 r1 = 2 ,圆 ( x + 1) 2 + ( y ? 2m) 2 = 9 的

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圆心为 O2 (?1,2m) ,半径 r2 = 3 ,且两圆相切,∴ O1O2 = r1 + r2 或 O1O2 = r2 ? r1 , ∴ ( m + 1) + ( 2m) = 5 或 ( m + 1) + ( 2m) = 1 , 解得 m = ?
2 2 2 2

12 或m = 2, m = 0 或 5

或m = ?

5 12 5 ,∴实数 m 的取值集合是 {? , ? , 0, 2} ] 2 5 2
2 2 2

15.过点 P (1,2) 向圆 x + y = r ( r <

5 ) 引两条切线 PA, PB , A, B 为切点,则三角形

PAB 的外接圆面积为 5π [Q PA ⊥ OA , PB ⊥ OB ,故 O、A、B、P 四点共圆,所以三角形 PAB 的外 [解析] 4 5π 接圆就是四边形 OAPB 的外接圆,直径为 OP= 5 , 外接圆面积为 ] 4
三.解答题: 16. (华南师大附中 2007—2008 学年度高三综合测试) 已 知 与 曲 线 C : x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y + 1 = 0相线的直线l分别交x轴 、 y 轴 于 A( a,0) 、

B(0, b)两点(a > 2, b > 2), O 为原点。
(1)求证: (a ? 2)(b ? 2) = 2 ; (2)求线段 AB 中点的轨迹方程; [解析](1)Q 圆C的方程为 : ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 = 1,∴ 其圆心为(1,1) ,半径为 1 依题设直线 l :

x y + = 1, a b

由圆 C 与 l 相切得: 1 =

| a + b ? ab | a2 + b2

? (a ? 2)(b ? 2) = 2 …………….6 分

a ? ?x = 2 ?a = 2 x (2)设线段 AB 中点为 M ( x, y ),由中点坐标公式得? ?? . ? ?b = 2 y ?y = b ? ? 2
代入 ( a ? 2)(b ? 2) = 2可得2( x ? 1)( y ? 1) = 1( x > 1) 即为所求的轨迹方程。…13 分 17.已知射线 l : y = 4 x( x > 1) 和点 M (6, 4) ,在射线 l 上求一点 N ,使直线 MN 与 l 及 x 轴围成的三角形面积 S 最小.

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[解析]设 N ( x0 ,4 x 0 )( x0 > 1) ,…………….1 分 则直线 MN 的方程为 (4 x0 ? 4)( x ? 6) ? ( x 0 ? 6)( y ? 4) = 0 . ……………3 分 令 y = 0得 x =

5 x0 ,…………………5 分 x0 ? 1
2

2 ∴ S = 1 ( 5 x 0 ) ? 4 x 0 = 10 x 0 = 10[( x 0 ? 1) + 1] = 10[( x 0 ? 1) + 1 + 2] ………………8 分 2 x0 ?1 x0 ?1 x0 ? 1 x0 ? 1

≥ 10[2 ( x0 ? 1) ?

1 1 即 x 0 = 2 时取等号…….11 分 + 2] = 40 ,当且仅当 x 0 ? 1 = x0 ? 1 x0 ? 1

,∴当 N 为(2,8)时,三角形面积 S 最小…………………13 分
18. 直线 l1 : ax ? 2 y = 2a ? 4 , l2 : 2 x + a y = 2a + 4 ,当 0 < a < 2 时,两直线与坐标轴
2 2

围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求 l1 , l2 的方程 分析:(1)当 a 变化时,注意观察 l1 , l2 是满足怎样的条件的直线系?(2)如何表示 四边形的面积?
[解析]将直线 l1 的方程化为 y =

1 a ( x ? 2) + 2 ,直线 l1 经过点 (2,2) ………………2 分 2

将直线 l2 的方程化为 a 2 ( y ? 2) = ?2( x ? 2) ,直线 l2 经过点 ( 2,2) …………………4 分 即直线 l1 , l2 相交于点 P ( 2,2) ,………………………………………………………5 分 连 OP ,设直线 l1 与 y 轴相交于点 A ,直线 l2 与 x 轴相交于点 B , 则 A(0,2 ? a ), B ( a 2 + 2,0) ,………………………………………………7 分 设四边形的面积为 S , 则 S = S ?PAO + S ?PBO =

1 1 1 15 | a ? 2 | ?2 + ( a 2 + 2 ) ? 2 = a 2 ? a + 4 = ( a ? ) 2 + 2 2 2 4

∴a =

1 时, S 取最小值,…………………………………………………………12 分 2

此时, l1 , l2 的方程分别为 x ? 4 y + 6 = 0,8 x + y ? 18 = 0 …………………………14 分

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19. 已知圆 C : x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 = 0, 直线l : y = x + b . (1)若直线 l 与圆 C 相切,求实数 b 的值; (2)是否存在直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,且 OA ⊥ OB (O 为坐标原点);如果存在, 求出直线 l 的方程,如果不存在,请说明理由. [解析](1)圆的方程化为 ( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 8 所以圆心为(1,2),半径为 2 2 ………………………………..2 分

∴d =

1? 2 + b 2

=2 2

∴ b = 5或 ? 3

………………………………………………………………6 分

(2)设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) Q OA ⊥ OB,∴

y1 y 2 ? = ?1 ,即 x1 x 2 + y1 y 2 = 0 x1 x 2

Q y1 = x1 + b, y 2 = x 2 + b,∴ x1 x 2 + ( x1 + b)( x 2 + b) = 0 ∴ 2 x1 x 2 + b( x1 + x 2 ) + b 2 = 0
将 y = x + b 代入圆方程得: 2 x 2 + 2(b ? 3) x + b 2 ? 4b ? 3 = 0

∴ x1 + x 2 = 3 ? b, x1 x 2 =

b 2 ? 4b ? 3 2

∴ b 2 ? 4b ? 3 + b(3 ? b) + b 2 = 0, b 2 ? b ? 3 = 0 b= 1 ± 13 2
…………………………………………13 分

所以所求直线方程为

y=x+

1 ± 13 2

………………………14 分

20. 据气象台预报:在 A 城正东方 300 km 的海面 B 处有一台风中心,正以每小时 40 km 的速度向西北方向移动,在距台风中心 250 km 以内的地区将受其影响.问从现在起经过 约几小时后台风将影响 A 城?持续时间约为几小时?(结果精确到 0.1 小时) [解析]以 B 为原点,正东方向所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,……………1 分 则台风中心的移动轨迹是 y = ? x ,………………………………………………2 分 受台风影响的区域边界的曲线方程是 ( x ? a ) 2 + ( y + a ) 2 = 250 2 …………………4 分
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依题意有 ( ?300 ? a ) + a ≤ 250 ,
2 2 2

解得 ? 150 ? 25 14 ≤ a ≤ ?150 + 25 14 ………………………………8 分 当 a1 = ?150 + 25 14 时台风开始影响 A 城, a2 = ?150 ? 25 14 时, 当 台风最后影响 A 城 ∴ t1 =

2 a1 40

=

2 ? 150 + 25 14 40

≈ 2.0, ?t =

2 a 2 ? a1 40

=

2 × 50 14 ≈ 6 .6 40

……………………12 分 ∴从现在起经过约 2.0 h ,台风将影响 A 城,持续时间约为 6.6 h …………………14 分 21. (08 韶关)已知圆 C 方程为: x 2 + y 2 = 4 . (Ⅰ)直线 l 过点 P (1, 2 ) ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |= 2 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量 uuur uuuu uuur r OQ = OM + ON ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线. [解析](Ⅰ)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x = 1 , l 与圆的两个交点坐标 为 1, 3 和 1,? 3 ,其距离为 2 3

(

) (

)

满足题意

……… 1 分

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 = k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k + 2 = 0 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 = 2 4 ? d ,得 d = 1
2

…………3 分

∴1 =

| ?k + 2 | k 2 +1

,k =

3 , 4

故所求直线方程为 3 x ? 4 y + 5 = 0 综上所述,所求直线为 3 x ? 4 y + 5 = 0 或 x = 1 …………6 分

(Ⅱ)设点 M 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ( y0 ≠ 0 ), Q 点坐标为 ( x, y ) 则 N 点坐标是 (0, y 0 ) ∵ OQ = OM + ON , …………7 分

uuur

uuuu uuur r

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∴ ( x, y ) = ( x0 , 2 y0 )
2 2

即 x0 = x ,
2

y0 =

y 2

…………9 分

又∵ x 0 + y 0 = 4 ,∴ x +

y2 = 4( y ≠ 0) 4

∴ Q 点的轨迹方程是

x2 y 2 + = 1( y ≠ 0) , …………11 分 4 16
…………12 分

轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆,除去短轴端点。

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