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2013届高三人教A版文科数学一轮复习课时作业(14)导数与函数单调性


课时作业(十四) [第 14 讲 导数与函数单调性] [时间:35 分钟 分值:80 分] 基础热身 1.[2011· 皖南八校联考] 若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是先增后减的函数, 则函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )

图 K14-1 2.函数 f(x)=(x-3)e 的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0

,3) C.(1,4) D.(2,+∞)
x

3. 设 f(x)、 g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x<0 时, f′(x)· g(x)+f(x)· g′(x) >0,且 f(-3)· g(-3)=0,则不等式 f(x)· g(x)<0 的解集是( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 4. 若函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的单调递减区间为[-1,2], 则 b=________, c=________. 能力提升 5. [2011· 东北三校联考] 函数 f(x)在定义域 R 内可导, 若 f(x)=f(2-x), 且当 x∈(-∞, 1 ? 1)时,(x-1)· f′(x)<0,设 a=f(0),b=f? ) ?2?,c=f(3),则( A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a ln3 ln5 ln7 6.若 a= ,b= ,c= ,则( ) 3 5 7 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 7.若函数 f(x)的导函数 f′(x)=x2-4x+3,则函数 f(x+1)的单调递减区间是( ) A.(2,4) B.(-3,-1) C.(1,3) D.(0,2) 3 3 8.若函数 y=a(x3-x)的递减区间为?- , ?,则 a 的取值范围是( ) ? 3 3? A.a>0 B.-1<a<0 C.a>1 D.0<a<1 9.[2011· 郴州二模] 若 x∈(0,2π),则函数 y=sinx-xcosx 的单调递增区间是________. 10. 已知 a>0, 函数 f(x)=x3-ax 在[1, +∞)上是单调增函数, 则 a 的最大值是________. 4π? ? 5π? 11.[2011· 宁波十校联考] 已知函数 f(x)=xsinx,x∈R,f(-4),f? ? 3 ?,f?- 4 ?的大小 关系为________________(用“<”连接). 12.(13 分)设函数 f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行,求:(1)a 的值; (2)函数 f(x)的单调区间.

难点突破 13.(12 分)[2011· 辽宁卷] 已知函数 f(x)=lnx-ax2+(2-a)x. (1)讨论 f(x)的单调性; 1 ? ?1 ? 1 (2)设 a>0,证明:当 0<x< 时,f? ?a+x?>f?a-x?; a (3)若函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A, B 两点, 线段 AB 中点的横坐标为 x0, 证明 f′(x0) <0.

课时作业(十四) 【基础热身】 1.C [解析] 根据题意 f′(x)在[a,b]上是先增后减的函数,则在函数 f(x)的图象上, 各点的切线斜率是先随 x 的增大而增大,然后随 x 的增大而减小,由四个选项的图形对比可 以看出,只有选项 C 满足题意. 2.D [解析] f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令 f′(x)>0,解得 x>2,故 选 D. 3.D [解析] f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,∴f(x)· g(x)为奇函数,x <0 时,f′(x)· g(x)+f(x)g′(x)>0,即 x<0 时,[f(x)· g(x)]′>0,∴f(x)· g(x)为增函数,且 f(- 3)· g(-3)=0,根据奇函数性质可知,f(x)· g(x)<0 的解集为(-∞,-3)∪(0,3). 3 4.- -6 [解析] 因为 f′(x)=3x2+2bx+c,由题设知-1<x<2 是不等式 3x2+2bx 2 3 +c<0 的解,所以-1,2 是方程 3x2+2bx+c=0 的两个根,由根与系数的关系得 b=- ,c 2 =-6. 【能力提升】 5.B [解析] 由 f(x)=f(2-x)得 f(3)=f(2-3)=f(-1), 又 x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,可知 f′(x)>0,即 f(x)在(-∞,1)上单调递增,f(- 1? 1)<f(0)<f? ?2?,即 c<a<b. 1-lnx lnx 6.B [解析] 令 f(x)= ,∴f′(x)= 2 ,∴当 x>e 时,f′(x)<0,函数为减函数, x x 又 e<3<5<7,因此 a>b>c. 7.D [解析] 由 f′(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3)知,当 x∈(1,3)时,f′(x)<0.函数 f(x) 在(1,3)上为减函数,函数 f(x+1)的图象是由函数 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位长度得到 的,所以(0,2)为函数 y=f(x+1)的单调减区间. 3 3 3 3 8. A [解析] y′=a(3x2-1), 解 3x2-1<0 得- <x< , ∴f(x)=x3-x 在?- , ? 3 3 ? 3 3? 3 3 上为减函数,又 y=a· (x3-x)的递减区间为?- , ?,∴a>0. ? 3 3? 9.(0,π) [解析] 由 y=sinx-xcosx 得 y′=xsinx.令 y′>0,即 xsinx>0,得 0<x<π(因 为 x∈(0,2π)),所以单调递增区间是(0,π). 10.3 [解析] f′(x)=3x2-a,在[1,+∞)上 f′(x)≥0,则 a≤3x2,则 a≤3. 4π? ?-5π? [解析] f′(x)=sinx+xcosx, ?5π,4π?时, 11. f? < f ( - 4)< f 当 x ∈ cosx<0, ?3? ? 4? ? 4 3 ? sinx<0, 5π 4π? ∴f′(x)=sinx+xcosx<0,则 f(x)在? ? 4 , 3 ?上为减函数, 4π? ?5π? ?4π? ? 5π? ∴f? ? 3 ?<f(4)<f? 4 ?,又函数 f(x)为偶函数,∴f? 3 ?<f(-4)<f?- 4 ?. a a2 x+ ?2-9- . 12.[解答] (1)因为 f(x)=x3+ax2-9x-1,所以 f′(x)=3x2+2ax-9=3? ? 3? 3 2 a a 即当 x=- 时,f′(x)取得最小值-9- . 3 3 因为斜率最小的切线与 12x+y=6 平行,即该切线的斜率为-12, a2 所以-9- =-12,即 a2=9. 3 解得 a=± 3,由题设 a<0,所以 a=-3. (2)由(1)知 a=-3,因此 f(x)=x3-3x2-9x-1, f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1), 令 f′(x)=0,解得 x1=-1,x2=3. 当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,-1)上为增函数; 当 x∈(-1,3)时,f′(x)<0,故 f(x)在(-1,3)上为减函数;

当 x∈(3,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(3,+∞)上为增函数. 由此可见, 函数 f(x)的单调递增区间为(-∞, -1)和(3, +∞), 单调递减区间为(-1,3). 【难点突破】 ?2x+1??ax-1? 1 13.[解答] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= -2ax+(2-a)=- . x x ①若 a≤0,则 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 1? 1 ?1 ? ②若 a>0,则由 f′(x)=0 得 x= ,且当 x∈? ?0,a?时,f′(x)>0,当 x∈?a,+∞?时, a 1 1 0, ?上单调递增,在? ,+∞?上单调递减. f′(x)<0.所以 f(x)在? ? a? ?a ? 1? 综上,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当 a>0 时,f(x)在? ?0,a?上单调递增, 1 ? 在? ?a,+∞?上单调递减. 1 ? ?1 ? (2)证明:设函数 g(x)=f? ?a+x?-f?a-x?,则 g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax, a a 2a3x2 g′(x)= + -2a= . 1+ax 1-ax 1-a2x2 1 当 0<x< 时,g′(x)>0,而 g(0)=0,所以 g(x)>0. a 1 ? ?1 ? 1 故当 0<x< 时,f? ?a+x?>f?a-x?. a (3)由(1)可得, 当 a≤0 时, 函数 y=f(x)的图象与 x 轴至多有一个交点, 故 a>0, 从而 f(x) 1 1 ? ? ? 的最大值为 f? ?a?,且 f?a?>0. 1 不妨设 A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2,则 0<x1< <x2. a 2 1 1 ? ? ? 由(2)得 f? ?a-x1?=f?a+a-x1?>f(x1)=0. x1+x2 1 2 从而 x2> -x1,于是 x0= > . a 2 a 由(1)知,f′(x0)<0.


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