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函数的单调性与导数


1.3.1 函数的单调性与导数

一、复习回顾:基本初等函数的导数公式
(1)常函数:(C)/ ? 0, (c为常数);

(2)幂函数: (xn)/ ? nxn?1
(3) 三角函数:
(cos x)? ? ? sin x ( 1) (sin x)? ? cos x (2)
x

(4)对数函数的导数: 1 (1) (ln x )? ? . (2) (log a x)? ?

(5)指数函数的导数:
x ? (1) (e ) ? e . x
x x ? (2) (a ) ? a ln a(a ? 0, a ? 1).

1 . x ln a

二、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时 1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数; 2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数; G=(a,b) y y

o a b x o 若 f(x) 在G上是增函数或减函数, 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。

a

b

x

G 称为单调区间

概念回顾
画出下列函数的图像,并根据图像指出每个函数的单调区间

1 y? x
y

y ? x ? 2x ? 1
2

y ?3
y

x

y

o

x

o

1

x

1 o

x

在(- ∞ ,0)和(0, +∞) 在(- ∞ ,1)上是减 上分别是减函数。 函数,在(1, +∞)上 是增函数。 但在定义域上不是减函数。

在(- ∞,+∞)上 是增函数

(1)函数的单调性也叫函数的增减性;
(2)函数的单调性是对某个区间而言的,它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间:针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数,则为单调递增区间;

若函数在此区间上是减函数,则为单调递减区间。
以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的 前提下,比较f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂 的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用 导数来判断函数的单调性就比较简单.

观 察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的
函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10的图象, 图(2)表示高台跳水运
动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t ) ? ?4.9t ? 6.5 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到
h
v

(1)
O t O a b

(2)
a
t b

最高点,离水面的高度h
随时间t 的增加而增加, 即h(t)是增函数.相应 地,v(t ) ? h?(t ) ? 0.

②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的 增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, v(t ) ? h?(t ) ? 0.

观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系.
y y=x y
y= x2 y

y=

x3

y

y?
x O

1 x
x

O

x x O

O

在某个区间(a,b)内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数

y ? f ( x)在这个区间内单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那
么函数 y

? f ( x)

在这个区间内单调递减.

如果恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 是常数。

当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ?( x) ? 0. 试画出函数 f ( x) 的图象的大致形状.

例1 已知导函数 f ?( x ) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0;

解:

当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0, 可知 f ( x)在此区间内 单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0, 可知 f ( x) 在此区 间内单调递减; y 当 x = 4 , 或 x = 1时 ,

f ?( x) ? 0.
综上, 函数 f ( x)图象 的大致形状如右图所示.
O
1 4

x

例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x3 ? 3x; (2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3; (3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ); (4) f ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1. 解: (1) 因为 f ( x) ? x 3 ? 3x , 所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x 2 ? 1) ? 0. 3 因此, 函数 f ( x) ? x ? 3x 在 x ? R 上单调递增.
(2) 因为 f ( x) ?

x ? 2 x ? 3, 所以
2

f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 2( x ? 1). 2 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 1 时, 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3单调递增; 2 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 1时, 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3单调递减.

例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x3 ? 3x; (2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3; (3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ); (4) f ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1. 解: (3) 因为 f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) , 所以 f ?( x) ? cos x ? 1 ? 0. 因此, 函数 f ( x) ? sin x ? x 在 x ? (0, ? ) 上单调递减. (4) 因为 f ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1 , 所以 2 ? f ( x) ? 6 x ? 6 x ? 24
? 1 ? 17 ? 1 ? 17 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 时, 函 或x ? 2 2 数 f ( x) 单调递增; ? 1 ? 17 ? 1 ? 17 当 f ?( x) ? 0 , 即 时, 函数 f ( x) ?x? 2 2 单调递减.

1、求可导函数f(x)单调区间的步骤:
(1)求f’(x)

(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间(或递减区间) 2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法:

(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号

(3)作出结论

练习
1、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x ? 2 x ? 4;
2

(2) f ( x) ? e ? x;
x

(3) f ( x) ? 3x ? x ;
3

(4) f ( x) ? x ? x ? x.
3 2

例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象.

h

h

h

h

O

(A)

t

O

t (B)

O

t
(C)

O

t (D)

一般地, 如果一个函数在某一范围内导数
的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得

快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上
或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 y ? f ( x) 在 (0, b) 或 (a,0)内的图

象“陡峭”,在 (b,??)
或 (??, a)

内的图象平缓.

练习

2.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示, 试画出导函数 f ?( x)图象 的大致形状

练习

3.讨论二次函数 f ( x) ? ax 2

? bx ? c(a ? 0) 的单调区间.

解:

? f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ? f ?( x) ? 2ax ? b.
2

(1) a ? 0 b 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? ? , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 (? ,??); 相应地, 函数的递减区间是 (??,? ) 2a 2a (2) a ? 0 b 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? ? , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 ( ??,? ) ; 相应地, 函数的递减区间是 (? ,??) 2a 2a

练习
4.求证: 函数

f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 7在 (0,2) 内是减函数.
3 2

解:

? f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 7
3 2

? f ?( x) ? 6 x ? 12 x.
2

x ? 2 , 所以函数 f ( x) 的递减区间是 (0,2) , 即函数 f ( x) 在 (0,2) 内是减
函数.

由 f ?( x) ? 0, 解得 0 ?

例4 方程根的问题
1 求证:方程 x ? sin x ? 0 只有一个根。 2

1 f ( x ) ? x - sin x,x ? ( ?? , ?? ) 2 1 f '( x ) ? 1 ? cos x ? 0 2 ? f(x)在( ? ?, ? ?)上是单调函数, 而当x ? 0时,( f x )=0 1 ? 方程x ? sin x ? 0有唯一的根x ? 0. 2

小结:
1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确 定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数 的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数 的单调区间. 2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导 数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续 点和不可导点.

3.注意在某一区间内 f ?( x ) >(<)0只是函 数f(x)在该区间 上为增(减)函数的充分不 必要条件.

4、求可导函数f(x)单调区间的步骤: (1)求f’(x) (2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0) (3)确认并指出递增区间(或递减区间) 5、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法:

(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论


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