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2.5等比数列前n项和的性质


等差数列

等比数列
an ?1 ?q an

定义 通项 公式 性质
前项 和Sn

an?1 ? an ? d
an ? a1 ? (n ?1)d

an ? am ? (n ? m)d

an ? a1q n?1 n ?m an ? amq

若m ? n ? p ? q,则am ? an ? ap ? aq 若m ? n ? p ? q,则aman ? a p aq

若m ? n ? 2 p, 则am ? an ? 2a p 若m ? n ? 2 p, 则a a ? a 2 m n p

n(a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

a1 (1 ? q n ) Sn ? (q ? 1) 1? q a1 ? an q Sn ? (q ? 1) 1? q

a 3 ?a6 ? 36 , 练1、在等比数列{an}中, a4 ? a7 ? 18 ,求Sn

a 3 ?a6 ? 36 解: a4 ? a7 ? 18

a 1 q2 ? a1q5 ? 36 a 1 q3 ? a1q6 ? 18

a 1 ? 128 1 q? 2

1 n 128 ? [1 ? ( ) ] 1 n 2 ? Sn ? ? 256 ? [1 ? ( ) ] 1 2 1? 2

提升:
解: ? an?1 ? 2an an?1 ? ? 2, an
已知{an }中,an?1 ? 2an , a2 ? 3, 求S6 .

3 ?{an }为等比数列, 且a1 ? , q ? 2; 2 3 (1 ? 26 ) 189 2 ? S6 ? ? . 1? 2 2

等比数列前n项和性质
人生的奔跑,不在于瞬间的爆发,而在于途中的坚持。

等比数列和的性质
等比数列?an ?的前n项和为Sn , 则Sk , S2 k ? Sk , S3k ? S2k 也成等比数列。
例:等比数列前n项和为54,前2n项和为60,则 前3n项和为? 182 3
练:正项等比数列中,S2=7,S6=91,则S4? 28

三维设计:P 4 34例2、题组集训

课时训练(十二) P 89 5.

例、某制糖厂第1年制糖5万吨,如果平均

每年的产量比上一年增加10%,那么 从第1年起,约几年内可使总产量达到 30万吨(保留到个位)?
5

分析:第1年产量为

第2年产量为 5×(1+10%)=5×1.1 第3年产量为 5×(1+10%) ×(1+10%)=5×1.12 …… n ?1 第n年产量为 5 ?1.1 则n年内的总产量为:

5 ? 5 ?1.1 ? 5 ?1.1 ? ? ? 5 ?1.1
2

n ?1

解:由题意,从第1年起,每年的产量

组成一个等比数列 其中
∴ Sn ?

?an ?,

5 ?1 ? 1.1n ?

a1 ? 5, q ? 1 ? 10% ? 1.1, Sn ? 30,
n 即 1 . 1 ? 1.6. ? 30.

1 ? 1.1 两边取对数,得 n ? lg1.1 ? lg1.6 lg1.6 0.20 ∴ n? ? ? 5 (年) lg1.1 0.041

答:约5年内可以使总产量达到30万吨.

课本P 58 3. 课本P 3 61 A组2、

数列求和
一、分组求和法

1 1 1 1 例1、求数列1 ,3 ,5 ,7 ?的前n项和。 2 4 8 16 1 2 Sn ? n ? 1 ? n 2

练习1:P (1) 61 A组4.

(n ? 1)n (1)当a ? 1时, S n ? ? 2 a (1 ? a n ) n( n ? 1) (2)当a ? 1时, S n ? ? 1? a 2

二、裂项求和法
2 2 2 2 例2、求和: ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

2n Sn ? 2n ? 1

1 1 1 1 例3、求和: 2 + 2 + 2 +? + 2 (n ? 2). 2 -1 3 -1 4 -1 n ?1
1 1 1 1 3 2n ? 1 Sn ? (1 ? ? ? )? ? (n ? 2) 2 2 n n ? 1 4 2n(n ? 1)

练习2、

x

1 1 1 1 求和: + + +? + . 2+1 3+ 2 4+ 3 n ?1 ? n

Sn ? n ? 1 ?1

作业、1.P61 A组.4(2) 1 1 1 1 2.求和: ? ? ??? 2? 4 4? 6 6?8 2n ? (2n ? 1)

三、错位相减法
1 3 2n ? 1 例4、求数列 2 , 4 , ? , 2 n , ? 的前n项和 1 3 5 7 2n ? 1 解:Sn ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ? 2 n (1)
1 1 3 5 2n ? 3 2n ?1 Sn ? ? ? ??? ? n ?1 (2) n 2 4 8 16 2 2

1 1 2 2 2 2 2n ? 1 S n ? ? ? ? ? ? ? n ? n ?1 (1)-(2),得: 2 2 4 8 16 2 2 1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 S n ? 2 ? ? ? ? ? n?2 ? n ? 3 ? n 2 4 2 2 2

练习3、 求和:a ? 3a ? 5a ? ? ? (2n ? 1)a .
2 3 n

(1)当a ? 1时, Sn ? n 2 a 2a 2 (1 ? a n ?1 ) (2n ? 1)a n ?1 (2)当a ? 1时, S n ? ? ? 2 1? a (1 ? a) 1? a

作业:P61 A组. ( 4 3)

n(n ? 1) (1)当x ? 1时, Sn ? 2 1 ? xn nx n (2)当x ? 1时, Sn ? ? 2 (1 ? x) 1 ? x


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