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等差数列前n项和(2)


2.3 等差数列的前n项和(2)

等差数列{an}
n(a1 ? an ) 前n和公式:公式 1:Sn ? 2

倒序相加法

n( n ? 1) 公式 2:Sn ? na1 ? d 2

通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d
知三可求二. 共5个量,由三个公式联系,

例1. 已知一个等差数列{an}前10项和为 310,前20项的和为1220,由这些条件 能确定这个等差数列的前n项的和吗?
解:由题意知 10 ? 310, s20 ? 1220 s ,
n(n ? 1) ? S n ? na1 ? d 2 ?10a1 ? 45d ? 310 ? a ? 4, d ? 6, 1 ?? ?20a1 ? 190d ? 1220

n(n ? 1) 2 S n ? 4n ? ? 6 ? 3n ? n. 2

例2. 已知数列{an}的前n项和为

1 sn ? n ? n 2
2

求这个数列的通项公式. 这个数列 是等差数列吗?如果是,它的首项 与公差分别是什么?

n ? 1时,S1 ? a1
S n ? 2时, n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

Sn?1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1
? Sn ? Sn?1 ? an

若数列 {an }的前n项之和为Sn , 则

?S1 ? an ? ? ?S n ? S n ?1 ?

(n ? 1) (n ? 2)

解:当n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1
1 1 ? ? 2 ? n ? n ? ?(n ? 1) ? (n ? 1)? 2 2 ? ?
2

1 ? 2n ? 2
3 1 当n ? 1时, a1 ? S1 ? . 满足 an ? 2n ? 2 2 1 ? 数列?an ? 的通项公式是 an ? 2n ? 2
3 ? 数列?an ?是一个首项是 ,公差是 2的等差数列。 2

问题探究
一般地,如果一个数列{an}的前n项 和为Sn=pn2+qn+r,其中p、q、r为常 数,且p≠0,那么这个数列一定是等差 数列吗?如果是,它的首项与公差分别 是什么?

n( n ? 1)d S n ? na1 ? 2
可化成

d 2 d S n ? n ? (a1 ? )n 2 2

当d≠0时,是一个常数项为零的二次函数.

结论 :

若sn ? An ? Bn,则?an ?是等差数列 .
2

首项a1=A+B,公差d=2A.

等差数列{an} 的判定方法: (1) {an } 是等差数列

? an ? an ?1 ? d (d 是常数, ? 2) n (2) {an } 是等差数列 ? an ? kn ? b (k , 是常数) b
(3) {an } 是等差数列 an ?1 ? an ?1 ? an ? (n ? 2) 2 (4) {an } 是等差数列
? S n ? An2 ? Bn ( A , 是常数) B

练习. 根据数列{an}前n项和公式, 判断下列数列是否为等差数列.

(1) sn=2 n – n
2
2

(2) sn=2 n – n + 1

例1(变式)已知一个等差数列{an}前10项和310, 前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差 数列的前30项的和吗?

? 的前n项和 解:由题意可设数列an ?
S n ? An ? Bn,
2

? 100A ? 10B ? 310 解出A ? 3, B ? 1 ?? ?400A ? 20B ? 1220

? Sn ? 3n ? n
2

?S30 ? 2730

思考:
1. 等差数列中,S10,S20-S10,S30-S20 成等差数列吗?

2.已知数列?an ?是等差数列 S n是其前n项的和, , 求证 : S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k ?? 成等差数列 公差为k d . ,
2

性质1

例1(变式)已知一个等差数列{an}前10项和310, 前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差 数列的前30项的和吗?
解法2: S10 , S20 ? S10 , S30 ? S20成等差数列, ?

即310 910 S30 ?1220 , , 成等差数列
?S30 ? 2730

练习.设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B ) A.63 B.45 C.36 D.27

例2、已知{an}为等差数列,前10项的和为 S10=100,前100项的和S100=10,求前110 项的和S110

性质2 探究2:等差数列的前n项和为Sn,若
( S p ? , Sq ? p, ( p ? q S1)=q,Sq=p(p≠q)求S),则Sp?q ? ?( p ? q) P q p+q (用p,q表示) (2)若Sp ? Sq ( p ? q),则S p?q ? 0

课后作业 1.已知等差数列{an}的前m项的和为30, 前2m项的和为100,求数列的前3m项的和。
2.已知等差数列的前n项和为a,前2n项和为b,
求前3n项和.

2.3 等差数列的前n项和(3)

等差数列{an}
n(a1 ? an ) 前n和公式:公式 1:Sn ? 2

倒序相加法

n( n ? 1) 公式 2:Sn ? na1 ? d 2

通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d
知三可求二. 共5个量,由三个公式联系,

?3?若数列 {an}的前n项之和为Sn , 则
?S1 ? an ? ? ?S n ? S n ?1 ?
(4) {an } 是等差数列 ? S n ? An ? Bn ( A , 是常数) B
2

(n ? 1) (n ? 2)

例1. 已知数列{an}是等差数列,a1=50,d=-2. (1)从第几项开始有an<0; (2)求此数列的前n项和的最大值.

等差数列前n项和的最值问题有两种方法: 1.(1)当a1>0,d<0,前n项和有最大值. 可由an≥0,且an+1 ≤0,求得n的值; (2).当a1<0,d>0,前n项和有最小值. 可由an≤0,且an+1≥0,求得n的值.

d 2 d 2 .由 S n ? n ? (a1 ? )n 利用二次函 2 2 数配方法求得最值时n的值.

练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n, 要使此数列的前n项和最大,则n的值为( )C
A.12
练习2.

B.13

C.12或13

D.14

在等差数列{an}中,a4=-15,

公差d=3,求数列{an}的前n项和Sn的最小值.
n ? 8或n ? 9时,Sn有最大值- 98

? 中,a1 ? 0, S9 ? S12 , 例2、等差数列 an ?
该数列的前多少项之和 最小?

例3.数列{an}的前n项和Sn=100n-n2 (n∈N*)

(1){an}是什么数列?
(2)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和

1.(1)已知等差数列{an}的an=24-3n,则 前多少项和最大? (2)已知等差数列{bn}的通项bn=2n-17, 则前多少项和最小? 2. 数列{an}是首项为a1 =25的等差数列, 又S9= S17.问数列的前几项和最大? 3.若等差数列{an},an=4n-34, (1)求{|an|}的前10项和;(2)求{|an|}的前n项和Tn
2

? 的每一项都有bn ? an , 求?bn ?的前n项和Tn (3)设数列 bn ?

?a (1)求证: n ?是等差数列;( ) n ? 2 ?a 的前多少项之和最大;

4、数列?an ? 的前n项和S n ? 33n ? n .


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