桂林市第十八中学 13 级高一下学期期中考试卷 数 学
注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分。考试时间： 120 分钟 。答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置，将条形 码张贴在指定位置。 2、选择题答案用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案；不能答在试题卷上。 3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定 区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写 上新的答案。 一.选择题 1.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则 A.{2,3} B.{4,5} C.{1,4,5}
CU ? A ? B ? ?
(
)
D.{1,5}
2.设平面向量 A.(7,3)
? ? a ? ?3,5? , b ? ? ?2,1?
B.(7,7)
? ? a ，则 ? 2b ? (
)
C.(1,7)
D.(1,3)
3.函数 y ? 1 ? x ? x 的定义域为（ A. {x | x ? 1} C. {x | x ? 0或x ? 1}
）
B. {x | x ? 0} D. {x | 0 ? x ? 1}
4.已知 ? 为第二象限角，
sin ? ? 12 25
3 5 ，则 sin 2? ? (
)
?
A.
24 25
?
B.
12 C. 25
24 D. 25
5.执行右面的框图,若输入的 N 是 6,则输出 p 的值是( ) A.120 B.720 C.1440 D.5040
-1-
6.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体 积为( ) A. 2? ? 8 D. 6? ? 8 B. 8? ? 8 C. 4? ? 8
1 1
a ? log 2 3 ? log 2 3 ，b ? log 2 9 ? log 2 3 ， 7.已知
2
正视图
4
侧视图
c ? log 3 2 则 a, b, c 的大小关系是（ ）
A. a ? b ? c C. a ? b ? c B. a ? b ? c D. a ? b ? c
2
俯视图
2
8.已知向量 | a |? 10, | b |? 12 ,且 a ? b ? ?60 ，则向量 a 与 b 的夹角为( ) A.60° B.120° C.135° D.150°
2 2 9.已知 tan ? ? 2 ，则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? （
）
4 A. 3 ?
5 B. 4
3 C. 4 ?
4 D. 5
10.已知 ? , ? 都是锐角,
cos ? ?
11 1 cos ?? ? ? ? ? ? 14 ,则 cos ? ? ( 7,
)
3 A. 3
1 B. 3
2 C. 2
1 D. 2
? AB AC ? ?, | AB |? 2, | AC |? 4 AD ? ? ? ? ? | AB | | AC | ? ? ? 11.在△ABC 中,D 是 BC 边上的一点, . ? ? ? ? 若记 AB ? a, AC ? b ,则用 a, b 表示 BD 所得的结果为( )
1 ? 1? a? b 2 A. 2 1 ? 1? a? b 3 B. 3 1 ? 1? ? a? b 3 C. 3 1 ? 1? a? b 3 D. 2
12.已知函数
f ? x ? ? sin x ? a cos x
x?
的图像关于直线 )
?
? ?? ? 0, ? 6 对称,且方程 f ? x ? ? m 在 ? 2 ?
上恰好有两个不同的实数根,则实数 m 的取值范围是(
-2-
A.[0,1] 二.填空题
B.[1,2]
C. ?
? 3, 2
?
D. ?
?1, 3 ? ?
? ? ? ? a , b | a 13.若向量 的夹角为 60°, |?| b |? 1,
则
? ? ? a? a ?b ?
?
?
_______.
14. 已知函数 f ( x) ? sin ??x ? ? ? ( ? >0, 像如右图所示，则 ? =_______.
0?? ?
?
2 ) 的图
15.已知圆 x ? y ? 2 x ? 0 上的点到直线 l : y ? kx ? 2 的最近距离为 1,则 k ? ______.
2 2
2 3 3 16.已知 sin ? ,cos ? 是关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 0 的两个根，则 sin ? ? cos ? =___.
-3-
三.解答题
?? ?1 y ? sin ? x ? ? 3 ?. ?2 17.已知函数
⑴求函数的最小正周期; ⑵求函数在
x ? ??2? , 2? ?
上的单调增区间.
18.已知
? ? a ? ?1, 2? b ? ? ?3, 2?
,
.
? ? ? ? ka ? b 与 a ? 3b 垂直,求 k 的值; ⑴若 ? ? ? ? ka ? b 与 a ? 3b 平行,求 k 的值. ⑵若
19.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 是 PD 的中点. ⑴证明:PB//平面 AEC; ⑵设 AP ? 1, AD ? 3 ,三棱锥 P-ABD 的体积
V?
3 4 ,求 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值.
-4-
20.设
? a?
?
? 3 sin x, cos x b ? ? cos x,cos x ?
?,
,记
? ? f ? x? ? a ? b
.
? ? 11? ? ? ， ? ? f ( x ) 12 12 ? 的 简 图 , 并 指 出 该 函 数 的 图 像 可 由 ? ⑴试用五点法画出函数 在区间
y ? sin x( x ? R) 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到;
? ? ?? x ? ?? ， ? ? 6 3 ? 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? m 的最小值为 2,试求出函数 g ( x) 的最大值并指出 x ⑵若
取何值时,函数 g ( x) 取得最大值.
21.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A,B 两点.
4 12 sin ?? ? ? ? ⑴若点 A 的纵坐标是 5 ,点 B 的纵坐标是 13 ,求 的值;
??? ? 3 ??? ? ??? ? | AB |? | OA ? 2 OB | 的值. 2 ⑵若 ,求
22. 定 义 向 量
???? ? OM ? ? a, b ?
的 “ 相 伴 函 数 ” 为
f ? x ? ? a sin x ? b cos x
; 函 数
-5-
f ? x ? ? a sin x ? b cos x
的“相伴向量”为
???? ? OM ? ? a, b ?
(其中 O 为坐标原点).
3? ? ? g ? x ? ? 3sin ? x ? ? ? 4sin x g ? x? 2 ? ? ⑴若 ,求 的“相伴向量”;
⑵已知
2 ???? ? C : ? x ? 2? ? y2 ? 1 f ? x? M ? a, b ? b ? 0 ( )为圆 上一点,向量 OM 的“相伴函数” 在
x ? x0 处取得最大值，当点 M 在圆 C 上运动时，求 tan 2 x0 的取值范围.
-6-
桂林市第十八中学 13 级高一下学期期中考试卷数学答案 一.选择题 1 1 1 6 7 8 9 题号 1 2 3 4 5 0 1 2 A B B D D C C 答案 C A D A B
???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AD - AB = m AC - AB BD = m BC 11.如图，B，D，C 三点共线，存在 μ，使 ；∴ ；
(
)
∴
??? ? ??? ? ??? ? AD = (1- m ) AB + mAC
???? l ??? ? l ???? l l 4 AD = AB + AC + =1 l = 2 4 3； ；又 ；∴ 2 4 ；∴
???? 2 ??? ? 1 ???? ??? ? ???? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? 1? 1? AD = AB + AC BD = AD - AB = AB + AC = - a + b 3 3 3 3 3 3 ．故选 C. ∴ ；∴
12.
二.填空题 题号 13 答案
14
15
16
1 2
? 3
4 0或 3 ?
2 ?2
?sin ? ? cos ? ? a ? sin ? .cos ? ? a ， 16.由韦达定理可得： ?
根据同角三角函数基本关系式可得：
? sin ? ? cos ? ?
2
? a 2 ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? 2a
，即
a 2 ? 2a ? 1 ? 0，
解得 a ? 1 ? 2 ，又因为 sin ? ? cos ? ? 2 ，所以 a ? 1 ? 2 ， 而
sin 3 ? ? cos3 ? ? ? sin ? ? cos ? ? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? ? ? a ? ?1 ? a ?
3
，
所以 sin
? ? cos3 ? ? 2 ? 2 ，故答案为 2 ? 2 .
-7-
三.解答题
? 5? ? ? , ? ?? 17.解:⑴ T ? 4? ;⑵ ? 3 3 ? .
18.解: ⑴
? ? ? ? ka ? b ? ? k ? 3, 2k ? 2? a ? 2b ? ?10, ?4?
,
; ,得 k ? 19 ;
?
? ? ? ? ka ? b a ? 2b ? 0
??
?
,得
10 ? k ? 3? ? 4 ? 2k ? 2?
? ka ? b ? / / ? a ? 2b ? ,得 ?4 ? k ? 3? ? 10 ? 2k ? 2? ,得 k ? ? 3 . ⑵
19.解:⑴设 BD 和 AC 交于点 O,连接 EO,因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点,又 E 为 PD 的中 点,所以 EO//PB,且 EO 在平面 AEC 内,所以 PB//平面 AEC;
?
?
?
?
1
V?
⑵
3 1 3 AB ? PA ? AB ? AD ? 2 ,作 AH⊥PB 交 PB 于 H,由 BC⊥面 PAB,所以 BC⊥AH, 6 4 ,得
AH ?
所以 AH⊥平面 PBC,故
PA ? AB 3 13 ? PB 13 ,故 AC 与平面 PBC 所成角的平面角为∠ACH,
sin ?ACH ?
AH 2 273 ? AC 91 .
f ( x) ? a ? b ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?
20. 解：⑴
? 1 3 1 ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ? sin 2 x ? 6 2 2 2
-8-
? ? y ? sin( x ? ) y ? sin x 向左平移 6 得到 6 ，再保持纵坐标不变，
1 ? 1 y?si n ( x2 ? ) 6 ，最后再向上平移 2 个单位得到 横坐标缩短为原的 2 变为 y?s i n ( x2 ?
?
1 ?) 6 2.
? 1 g ( x) ? f ( x) ? m ? sin(2 x ? ) ? ? m， 6 2 ⑵
? ? ? 5? ? ? ?1 ? ? ? ?? ? x ? ? ? ， ? ,? 2 x ? ? ?? ， ? ,? sin(2 x ? ) ? ? ,1? , 6 ? 6 6 ? 6 ?2 ? ? 6 3?
3 7 ? 3 ? ? g ( x) ? ? m, ? m ? ,? m ? 2,? g max ( x) ? ? m= . 2 2 ? 2 ?
2x ?
当
?
6
=
?
2即
x=
? 7 . 6 时 g ( x) 取得最大，最大值为 2
sin ? ?
21.解:⑴由三角函数的定义得,
4 12 sin ? ? 5, 13 .由角 ? ? 的终边分别在第一和第二象限,
-9-
cos ? ?
所以
3 5 cos ? ? ? 5, 13 ,
所以
sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?
16 65 ;
??? ? ??? ? ??? ? | AB | ? | OB ? OA |, ⑵
??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? | AB |? 3 2, 则有 | OB ? OA | ? OB ? 2OB ? OA ? OA ? 2 ? 2OB ? OA ,又
??? ? ??? ? 9 ??? ? ??? ? 1 2 ? 2OB ? OA ? OA ? OB ? ? 4 ,得 8, 故
??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? 9 | OA ? 2OB |2 ? OA ? 4OA ? OB ? 4OB ? 5 ? 4OB ? OA ? 2.
22.解:⑴
g ? x ? ? 4sin x ? 3cos x
,其相伴向量为
???? ? OM ? ? 4, ?3?
;
???? ? f ? x ? ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? OM ⑵ 的相伴函数为 ,
cos ? ?
其中
a a 2 ? b2 ,
sin ? ?
b a 2 ? b2 ,
x ? ? ? 2k ? ?
当
?
2
?k ? Z ?
时,
f ? x?
取到最大值,故
x0 ? 2k? ?
?
2
??
,
a b ? 2 tan 2 x0 ? 2 b a ? 1 a ?a? ? ? ? 1? ? ? tan x0 ? tan ? 2k? ? ? ? ? ? ? a b b 2 tan ? b ? ? ? ? , , 2?
? 3 ? ? 3? b m ? ? , 0 ? 0, ? ? ? ? m? ? ? ? 3 ? ? 3 ?, a 为直线 OM 的斜率,由几何意义知
?
当
3 ?m?0 3 时, 3 3 时,
tan 2 x0 ?
2 m? 2 1 m 单调递减,所以 0 ? tan 2x0 ? 3 ;
0?m?
当
tan 2 x0 ?
m?
1 m 单调递减,所以 ? 3 ? tan 2x0 ? 0 ,
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所以
? tan 2 x0 ? ? ? ? 3, 0 ? 0, 3 ? .
? ?
- 11 -