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高一数学辅导讲义6---数列通项公式的求解


高一数学辅导讲义---数列通项公式的求解
【方法与技巧】 1、观察法 2、公式法:(1)、等差数列通项公式;(2)、等比数列通项公式。 3、作差、商法:
S ,(n ? 1) (1)、已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ? S1 ? S ,(n ? 2) ; n n ?1

?



f (1),(n ? 1) ? ? f (n) a ? (2)、已知 a1 ? a2 ? a3 ? ?an ? f ?n? 求 an ,用作商法: n ? ,(n ? 2) 。 ? f ( n ? 1) ?
注意:已知条件中既有 Sn 还有 an ,有时先求 Sn ,再求 an ;有时也可直接求 an 。 4、累加法:若 an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2)
an ?1 ? f (n) 求 an , an

5、累乘法:已知

用累乘法: an ?

an an ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an ?1 an ? 2 a1

6、构造法:已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。 (1) 、形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转 化为公比为 k 的等比数列后, 再求 an ; 形如 an ? kan?1 ? k n 的递推数列都可以除以 k n 得到一个 等差数列后,再求 an ; (2) 、形如 an ?
an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项; kan ?1 ? b

(3) 、形如 an?1 ? an k 的递推数列都可以用对数法求通项。 【专项训练】 1、根据数列前 4 项,写出它的通项公式:
1

22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 52 ? 1 (1)1,3,5,7……; (2) , , , ……; 2 3 4 5

(3) ?

1 1 1 1 , ,? , …… 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5

2 2、等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 ,a 9 成等比数列, S5 ? a5 .求数列 ?an ? 的通 项公式?

3、已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ? 3n ,求数列 {an } 的通项公式?
1 1 1 4、若数列 ?a n ?满足 a1 ? 2 a 2 ? ?? ? n a n ? 2n ? 5 ,求 {an } 的通项公式? 2 2 2

5、数列 {an } 中, a1 ? 3,

a n?1 n ? ,求 an ? an n ?1

6、 数列?a n ?,a1 ? 1,a n ? 3n?1 ? a n?1 ?n ? 2?,求a n ? 7、已知数列 {an } 满足 a1=1,且 an?1 ? 3an ? 2 求 an ? 8、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? 3n?1 ? 2an?1 (n ? 2) 求 an ? 2 1 9、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? a n ?1 ? a n 求 an ? 3 3 2an 10、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? ,求 an ? an ? 2 【巩固训练】 1 1 1 1 1、已知数列 3 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________ 4 8 16 32 2、已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ?; 3、数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足, a1 ?

1 , a n ? 2S n S n ?1 ? 0?n ? 2? 2

?1? (1) 、求证: ? ? 是等差数列;2) 、求 an 的表达式? ? Sn ?

4、 数列?a n ?满足S n ? S n ?1 ?

5 a n ?1 ,a 1 ? 4 ,求a n 3

5、 数列

?a n ?满足a1 ? 9,3a n?1 ? a n

? 4,求a n ?

6、数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n 2 ,则 a3 ? a5 ? ______ 1 (n ? 2) ,求 an ? 7、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? n ?1 ? n
2


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