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【吉林省2014届高三寒假作业 数学5Word版含答案


高三数学寒假作业(数列)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 22 小题,共 150 分,考 试时间 120 分钟,考生作答时将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求。 ) 1.等差数

列 {an } 前 n 项和 Sn , S15 ? 0, a8 ? a9 ? 0 ,则使 an ? A.10 B. 11 C. 12

Sn ? 0 的最小的 n 为( n



D. 13

* 2. 数 列 ?a n ? 的 首 项 为 3 , ?bn ? 为 等 差 数 列 且 bn ? an?1 ? an (n ? N ) . 若 则 b3 ? ?2 ,

b10 ? 12 ,则 a8 为
A. 0 B. 3 C. 8 D. 11

(

)

3.若 {an } 为等差数列, Sn 是其前 n 项和,且 S11 ?

22? ,则 tan a6 的值为( 3



A.

3

B. ?

3

C. ?

3

D. ?

3 3

4.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线

x2 ?

y2 ?1 m 的离心率是





A.

5 2 或 5

B. 5

3 C. 2 或 5

3 5 或 2 D. 2

5.已知数列 A. C. 3 15

?an ?中, a1 ? 3, an?1 ? 2an ? 1,则 a3 ?
B. 7 D. 18

6.设

Sn

为等差数列

?an ? 的前项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , S

k ?2

? Sk ? 24 ,则 k ? (

)

A.5

B.6

C.7

D. 8

7.等差数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ,若 a1 ? a2 ? 5 , a3 ? a4 ? 9 ,则 S10 的值为( A. 55 B. 65 C. 60 D. 70



8.数列

{an } 中,“ a1 ? a2 ? a3 ”是“数列 {an } 是递增数列”的
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

9.数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? (
n A. 2 ? 3



B.

2n ? 1

C. 3 ? 2

n

D. 2

n ?1

a ?a ? 10.在等比数列 n 中,已知
(A) 5 (B) 4

1

?

9 2 1 , 公比 q ? , a m ? 8 3 3 ,则 m 等于(
(D) 2

).

(C) 3

11.设 a n ? A.25

1 n? sin , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,在 S1 , S 2 ,?, S100 中,正数的个数是( n 25
B.50 C.75 D.100



12.设

Sn

{a } 为等比数列 n 的前 n 项和,若 8a2 ? a5 ? 0 ,则 S 2
B. 5 C. 8

S4

?

A. ?8

D. 15

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 在等比数列

?an ? 中,若公比

q=4 ,且前 3 项之和等于 21 ,则该数列的通项公式

an ? __________.

S n 7n ? 2 ? , {a } {b } S ,T T n?3 14.两等差数列 n 和 n ,前 n 项和分别为 n n ,且 n a 2 ? a 20 b ? b15 等于______________。 则 7
15.已知等比数列{an}的项 a3、a10 是方程 x -3x-5=0 的两根,则 a5·a8=________.
2

16. 已知数列 { an } 满足 a1 ?

a a 1 , a n ?1 ? a n ? n n ?1 (n ? 2, n ? N * ) , 则该数列的通项公式 2 n(n ? 1)

an =
三、解答题:

.

17. (本题满分 10 分)设数列

?an ? 的前项

n 和为

S n ,若对于任意的正整数 n 都有

S n ? 2an ? 3n .
(1)设

bn ? an ? 3 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求出 ?an ? 的通项公式。

(2)求数列

?nan? 的前 n 项和.

18.(本题满分 12 分) 已知正项等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 S3 ? 12 , 且 2a ,1a, 2 a3 1 ? 成等比数列. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ?

an 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 3n

19. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? 2 ( n ? N * ) , 数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且点 P (bn , bn ?1 ) ( n ? N * ) 在直线 y ? x ? 2 上. (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Dn ;

20.(本题满分 12 分) 设公比大于零的等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , 且 a1 ? 1 , S 4 ? 5S 2 ,
2 数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,满足 b1 ? 1 , Tn ? n bn , n ? N .
?

(Ⅰ)求数列 ?an ?、 ? bn ?的通项公式; (Ⅱ)设 Cn ? (Sn ? 1)(nbn ? ? ) ,若数列 ?C n ? 是单调递减数列,求实数 ? 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)已知 {an } 是单调递增的等差数列,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ; 数列 {bn } 是等比数列,其中 b1 ? 1, 且a2 b2 ? 12, S3 ? b2 ? 20. (1)求 {an }和{bn }的通项公式; (2)令 cn ? S n cos(

an ? )( n ? N ? ), 求 {cn } 的前 20 项和 T20 3

22. (本小题满分 12 分)设公比大于零的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 ,

S 4 ? 5S 2 ,数列 ?bn ?

2 的前 n 项和为 Tn ,满足 b1 ? 1 , Tn ? n bn , n ? N .

?

(Ⅰ)求数列 ?an ?、 ? bn ?的通项公式; (Ⅱ)设 Cn ? (Sn ? 1)(nbn ? ? ) ,若数列 ?C n ? 是单调递减数列,求实数 ? 的取值范围.

试卷答案
1.B

2.B 略

3.B

4.C 略

5.C 略

6.B 略

7.B 略

8.B 略

9.C 略

10.B 略

11.D 略

12.B 略

13. 4 略

n ?1

14. 略

15.-5

16. an ?

n 3n ? 1

17.解: (1)? 两式相减,得 ∴

S n ? 2a n ? 3n 对于任意的正整数都成立, ? S n?1 ? 2an?1 ? 3?n ? 1?

S n?1 ? S n ? 2an?1 ? 3?n ? 1? ? 2an ? 3n

an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 3 , 即 an?1 ? 2an ? 3
bn ? an ?1 ? 3 ?2 an ? 3 对一切正整数都成立。

? an?1 ? 3 ? 2?an ? 3? ,即
∴数列

?bn ? 是等比数列。


由已知得 S1 ? 2a1 ? 3 ∴首项

a1 ? 2a1 ? 3,? a1 ? 3

b1 ? a1 ? 3 ? 6 , 公 比 q ? 2 , ?bn ? 6 ? 2n?1 。 ?an ? 6 ? 2n?1 ? 3 ? 3 ? 2n ? 3 。

(2)

nan ? 3 ? n ? 2n ? 3n, ? n ? 2n ) ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? n ? 2 ) ? 6(1 ? 2 ? 3 ?
n ?1 n ?1

? Sn ? 3(1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 2Sn ? 3(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?
2 3 4

? n), ? n), ? n),

? Sn ? 3(2 ? 2 ? 2 ?
2 3

? 2 ) ? 3n ? 2
n

? 3(1 ? 2 ? 3 ?

2(2 ? 1) 3n( n ? 1) ? 6n ? 2 n ? 2 ?1 2 3n(n ? 1) ? Sn ? (6n ? 6) ? 2n ? 6 ? . 2 ? 3?
n



18.解: (Ⅰ)∵ S3 ? 12 ,即 a1 ? a2 ? a3 ? 12 ,∴ 3a2 ? 12 ,所以 a2 ? 4 , 又∵ 2a1 , a2 , a3 ? 1 成等比数列,
2 2 ∴ a2 ? 2a1 ? (a3 ? 1) ,即 a2 ? 2(a2 ? d ) ? (a2 ? d ? 1) ,

解得, d ? 3 或 d ? ?4 (舍去) ,

∴ a1 ? a2 ? d ? 1 ,故 an ? 3n ? 2 ;

an 3n ? 2 1 ? ? (3n ? 2) ? n , n n 3 3 3 1 1 1 1 ∴ Tn ? 1? ? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ? ? (3n ? 2) ? n , ① 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 ① ? 得, Tn ? 1? 2 ? 4 ? 3 ? 7 ? 4 ? ? (3n ? 5) ? n ? (3n ? 2) ? n ?1 ② 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 ① ? ②得, Tn ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? 3 ? n ? (3n ? 2) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? n ?1 ) 2 1 1 5 1 1 1 3 ? ? 3? 3 ? (3n ? 2) ? n?1 ? ? ? n?1 ? (3n ? 2) ? n?1 1 3 3 6 2 3 3 1? 3 5 1 1 3n ? 2 1 5 6n ? 5 1 ? n ? ? ? n. ∴ Tn ? ? ? n ? 2 ? 4 4 3 2 3 4 4 3
(Ⅱ)法 1: bn ? 略

19.(Ⅰ)当 n ? 1 , a1 ? 2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 2an ?1 ∴ an ? 2an ?1 (n ? 2) ,∴ {an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 ∴ an ? 2n 又点 P (bn , bn ?1 ) ( n ? N * ) 在直线 y ? x ? 2 上,∴ bn?1 ? bn ? 2 , ∴ {bn } 是等差数列,公差为 2,首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1 (Ⅱ)∴ an ? bn ? (2n ? 1) ? 2 n ∴ Dn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 2 4 ?

(2n ? 3) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n (2n ? 3) ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1

① ②

2 Dn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ? 7 ? 25 ?
①—②得

? Dn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? 2 ? 24 ?

2 ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1

4(1 ? 2n ?1 ) ? 2 ? 2? ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? 2n ?1 (3 ? 2n) ? 6 1? 2
Dn ? (2n ? 3)2n ?1 ? 6


20.解: (Ⅰ)由 S 4 ? 5S 2 , q ? 0, 得

q ? 2, an ? 2n?1

2 ? b n ?1 ?Tn ? n bn 又? ( n ? 1) , ? n ? 2 bn ?1 n ? 1 ? ?Tn ?1 ? (n ? 1) bn ?1

则得

bn bn?1 bn?2 b n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? bn?1 bn?2 bn?3 b1 n ? 1 n n ? 1 4 3 n(n ? 1)
2 ,当 n ? 1 时也满足. n(n ? 1)

所以 bn ?

(Ⅱ)Tn ? 2n ?1 ,所以 Cn ? 2n ( 是单调递减数列,求实数 ? 的取值范围.

2 ? ? ) ,使数列 ?C n ? 是单调递减)设,若数列 ?C n ? n ?1

4 2 ? ? ? ) ? 0 对 n ? N ? 都成立, n ? 2 n ?1 4 2 4 2 ? ?? ? 0? ? ? ( ? ) max , 即 n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1 4 2 2n 2 , ? ? ? n ? 2 n ? 1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 3 ? 2 n 1 4 2 1 当 n ? 1 或 2 时, ( ? )max ? , 所以 ? ? . 3 n ? 2 n ?1 3
n 则 Cn ?1 ? Cn ? 2 (



21.

22.解: (Ⅰ)由 S 4 ? 5S 2 , q ? 0, 得 又?
2 ? ?Tn ? n bn 2 ? ?Tn ?1 ? (n ? 1) bn ?1

q ? 2, an ? 2n?1

?

bn n ?1 ? ( n ? 1) , bn ?1 n ? 1

则得

bn bn?1 bn?2 b n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? bn?1 bn?2 bn?3 b1 n ? 1 n n ? 1 4 3 n(n ? 1)
2 ,当 n ? 1 时也满足. n( n ? 1)

所以 bn ?

(Ⅱ)Tn ? 2n ?1 ,所以 Cn ? 2n ( 是单调递减数列,求实数 ? 的取值范围.

2 ? ? ) ,使数列 ?C n ? 是单调递减)设,若数列 ?C n ? n ?1

4 2 ? ? ? ) ? 0 对 n ? N ? 都成立, n ? 2 n ?1 4 2 4 2 ? ?? ? 0? ? ? ( ? ) max , 即 n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1 4 2 2n 2 , ? ? ? n ? 2 n ? 1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 3 ? 2 n 1 4 2 1 当 n ? 1 或 2 时, ( ? )max ? , 所以 ? ? . 3 n ? 2 n ?1 3
n 则 Cn ?1 ? Cn ? 2 (




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