【吉林省2014届高三寒假作业 数学5Word版含答案

高三数学寒假作业（数列）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 22 小题，共 150 分，考 试时间 120 分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 ） 1.等差数列 {an } 前 n 项和 Sn , S15 ? 0, a8 ? a9 ? 0 ,则使 an ? A．10 B． 11 C. 12

Sn ? 0 的最小的 n 为（ n

）

D． 13

* 2. 数 列 ?a n ? 的 首 项 为 3 ， ?bn ? 为 等 差 数 列 且 bn ? an?1 ? an (n ? N ) . 若 则 b3 ? ?2 ，

b10 ? 12 ，则 a8 为
A. 0 B. 3 C. 8 D. 11

(

)

3.若 {an } 为等差数列， Sn 是其前 n 项和，且 S11 ?

22? ，则 tan a6 的值为（ 3

）

A.

3

B. ?

3

C. ?

3

D. ?

3 3

4.若 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线

x2 ?

y2 ?1 m 的离心率是

（

）

A．

5 2 或 5

B． 5

3 C． 2 或 5

3 5 或 2 D． 2

5.已知数列 A. C. 3 15

?an ?中， a1 ? 3, an?1 ? 2an ? 1，则 a3 ?
B. 7 D. 18

6.设

Sn

为等差数列

?an ? 的前项和，若 a1 ? 1 ，公差 d ? 2 ， S

k ?2

? Sk ? 24 ，则 k ? (

)

A．5

B．6

C．7

D． 8

7.等差数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ，若 a1 ? a2 ? 5 ， a3 ? a4 ? 9 ，则 S10 的值为（ A. 55 B. 65 C. 60 D. 70

）

8.数列

{an } 中，“ a1 ? a2 ? a3 ”是“数列 {an } 是递增数列”的
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

9.数列 ?an ? 中，若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ，则该数列的通项 an ? （
n A． 2 ? 3

）

B．

2n ? 1

C． 3 ? 2

n

D． 2

n ?1

a ?a ? 10.在等比数列 n 中，已知
（A） 5 （B） 4

1

?

9 2 1 , 公比 q ? , a m ? 8 3 3 ，则 m 等于（
（D） 2

）.

（C） 3

11.设 a n ? A．25

1 n? sin ， S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ，在 S1 , S 2 ,?, S100 中，正数的个数是（ n 25
B．50 C．75 D．100

）

12.设

Sn

{a } 为等比数列 n 的前 n 项和，若 8a2 ? a5 ? 0 ，则 S 2
B． 5 C． 8

S4

?

A． ?8

D． 15

第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 在等比数列

?an ? 中，若公比

q=4 ，且前 3 项之和等于 21 ，则该数列的通项公式

an ? __________．

S n 7n ? 2 ? , {a } {b } S ,T T n?3 14.两等差数列 n 和 n ,前 n 项和分别为 n n ,且 n a 2 ? a 20 b ? b15 等于______________。 则 7
15.已知等比数列{an}的项 a3、a10 是方程 x －3x－5＝0 的两根，则 a5·a8＝________.
2

16. 已知数列 { an } 满足 a1 ?

a a 1 , a n ?1 ? a n ? n n ?1 (n ? 2, n ? N * ) , 则该数列的通项公式 2 n(n ? 1)

an =
三、解答题：

.

17. （本题满分 10 分）设数列

?an ? 的前项

n 和为

S n ，若对于任意的正整数 n 都有

S n ? 2an ? 3n .
（1）设

bn ? an ? 3 ，求证：数列 ?bn ? 是等比数列，并求出 ?an ? 的通项公式。

（2）求数列

?nan? 的前 n 项和.

18.（本题满分 12 分） 已知正项等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ， 若 S3 ? 12 ， 且 2a ,1a, 2 a3 1 ? 成等比数列. （Ⅰ）求 ?an ? 的通项公式； （Ⅱ）记 bn ?

an 的前 n 项和为 Tn ，求 Tn . 3n

19. （本题满分 12 分）已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? 2 ( n ? N * ) , 数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且点 P (bn , bn ?1 ) ( n ? N * ) 在直线 y ? x ? 2 上. (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Dn ;

20.（本题满分 12 分） 设公比大于零的等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ， 且 a1 ? 1 ， S 4 ? 5S 2 ，
2 数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ，满足 b1 ? 1 ， Tn ? n bn ， n ? N ．
?

（Ⅰ）求数列 ?an ?、 ? bn ?的通项公式； （Ⅱ）设 Cn ? (Sn ? 1)(nbn ? ? ) ，若数列 ?C n ? 是单调递减数列，求实数 ? 的取值范围．

21.（本小题满分 12 分）已知 {an } 是单调递增的等差数列，首项 a1 ? 3 ，前 n 项和为 S n ； 数列 {bn } 是等比数列，其中 b1 ? 1, 且a2 b2 ? 12, S3 ? b2 ? 20. （1）求 {an }和{bn }的通项公式； （2）令 cn ? S n cos(

an ? )( n ? N ? ), 求 {cn } 的前 20 项和 T20 3

22. （本小题满分 12 分）设公比大于零的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ，且 a1 ? 1 ，

S 4 ? 5S 2 ，数列 ?bn ?

2 的前 n 项和为 Tn ，满足 b1 ? 1 ， Tn ? n bn ， n ? N ．

?

（Ⅰ）求数列 ?an ?、 ? bn ?的通项公式； （Ⅱ）设 Cn ? (Sn ? 1)(nbn ? ? ) ，若数列 ?C n ? 是单调递减数列，求实数 ? 的取值范围．

试卷答案
1.B

2.B 略

3.B

4.C 略

5.C 略

6.B 略

7.B 略

8.B 略

9.C 略

10.B 略

11.D 略

12.B 略

13. 4 略

n ?1

14. 略

15.-5

16. an ?

n 3n ? 1

17.解： （1）? 两式相减，得 ∴

S n ? 2a n ? 3n 对于任意的正整数都成立， ? S n?1 ? 2an?1 ? 3?n ? 1?

S n?1 ? S n ? 2an?1 ? 3?n ? 1? ? 2an ? 3n

an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 3 ， 即 an?1 ? 2an ? 3
bn ? an ?1 ? 3 ?2 an ? 3 对一切正整数都成立。

? an?1 ? 3 ? 2?an ? 3? ，即
∴数列

?bn ? 是等比数列。
即

由已知得 S1 ? 2a1 ? 3 ∴首项

a1 ? 2a1 ? 3,? a1 ? 3

b1 ? a1 ? 3 ? 6 ， 公 比 q ? 2 ， ?bn ? 6 ? 2n?1 。 ?an ? 6 ? 2n?1 ? 3 ? 3 ? 2n ? 3 。

(2)

nan ? 3 ? n ? 2n ? 3n, ? n ? 2n ) ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? n ? 2 ) ? 6(1 ? 2 ? 3 ?
n ?1 n ?1

? Sn ? 3(1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 2Sn ? 3(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?
2 3 4

? n), ? n), ? n),

? Sn ? 3(2 ? 2 ? 2 ?
2 3

? 2 ) ? 3n ? 2
n

? 3(1 ? 2 ? 3 ?

2(2 ? 1) 3n( n ? 1) ? 6n ? 2 n ? 2 ?1 2 3n(n ? 1) ? Sn ? (6n ? 6) ? 2n ? 6 ? . 2 ? 3?
n

略

18.解： （Ⅰ）∵ S3 ? 12 ，即 a1 ? a2 ? a3 ? 12 ，∴ 3a2 ? 12 ，所以 a2 ? 4 ， 又∵ 2a1 ， a2 ， a3 ? 1 成等比数列，
2 2 ∴ a2 ? 2a1 ? (a3 ? 1) ，即 a2 ? 2(a2 ? d ) ? (a2 ? d ? 1) ，

解得， d ? 3 或 d ? ?4 （舍去） ，

∴ a1 ? a2 ? d ? 1 ，故 an ? 3n ? 2 ；

an 3n ? 2 1 ? ? (3n ? 2) ? n ， n n 3 3 3 1 1 1 1 ∴ Tn ? 1? ? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ? ? (3n ? 2) ? n ， ① 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 ① ? 得， Tn ? 1? 2 ? 4 ? 3 ? 7 ? 4 ? ? (3n ? 5) ? n ? (3n ? 2) ? n ?1 ② 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 ① ? ②得， Tn ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? 3 ? n ? (3n ? 2) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? n ?1 ) 2 1 1 5 1 1 1 3 ? ? 3? 3 ? (3n ? 2) ? n?1 ? ? ? n?1 ? (3n ? 2) ? n?1 1 3 3 6 2 3 3 1? 3 5 1 1 3n ? 2 1 5 6n ? 5 1 ? n ? ? ? n． ∴ Tn ? ? ? n ? 2 ? 4 4 3 2 3 4 4 3
（Ⅱ）法 1： bn ? 略

19.(Ⅰ)当 n ? 1 , a1 ? 2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 2an ?1 ∴ an ? 2an ?1 (n ? 2) ,∴ {an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 ∴ an ? 2n 又点 P (bn , bn ?1 ) ( n ? N * ) 在直线 y ? x ? 2 上,∴ bn?1 ? bn ? 2 , ∴ {bn } 是等差数列,公差为 2,首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1 (Ⅱ)∴ an ? bn ? (2n ? 1) ? 2 n ∴ Dn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 2 4 ?

(2n ? 3) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n (2n ? 3) ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1

① ②

2 Dn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ? 7 ? 25 ?
①—②得

? Dn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? 2 ? 24 ?

2 ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1

4(1 ? 2n ?1 ) ? 2 ? 2? ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? 2n ?1 (3 ? 2n) ? 6 1? 2
Dn ? (2n ? 3)2n ?1 ? 6
略

20.解： （Ⅰ）由 S 4 ? 5S 2 ， q ? 0, 得

q ? 2, an ? 2n?1

2 ? b n ?1 ?Tn ? n bn 又? （ n ? 1) ， ? n ? 2 bn ?1 n ? 1 ? ?Tn ?1 ? (n ? 1) bn ?1

则得

bn bn?1 bn?2 b n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? bn?1 bn?2 bn?3 b1 n ? 1 n n ? 1 4 3 n(n ? 1)
2 ，当 n ? 1 时也满足． n(n ? 1)

所以 bn ?

（Ⅱ）Tn ? 2n ?1 ，所以 Cn ? 2n ( 是单调递减数列，求实数 ? 的取值范围．

2 ? ? ) ，使数列 ?C n ? 是单调递减）设，若数列 ?C n ? n ?1

4 2 ? ? ? ) ? 0 对 n ? N ? 都成立， n ? 2 n ?1 4 2 4 2 ? ?? ? 0? ? ? ( ? ) max ， 即 n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1 4 2 2n 2 ， ? ? ? n ? 2 n ? 1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 3 ? 2 n 1 4 2 1 当 n ? 1 或 2 时， ( ? )max ? , 所以 ? ? ． 3 n ? 2 n ?1 3
n 则 Cn ?1 ? Cn ? 2 (

略

21.

22.解： （Ⅰ）由 S 4 ? 5S 2 ， q ? 0, 得 又?
2 ? ?Tn ? n bn 2 ? ?Tn ?1 ? (n ? 1) bn ?1

q ? 2, an ? 2n?1

?

bn n ?1 ? （ n ? 1) ， bn ?1 n ? 1

则得

bn bn?1 bn?2 b n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? bn?1 bn?2 bn?3 b1 n ? 1 n n ? 1 4 3 n(n ? 1)
2 ，当 n ? 1 时也满足． n( n ? 1)

所以 bn ?

（Ⅱ）Tn ? 2n ?1 ，所以 Cn ? 2n ( 是单调递减数列，求实数 ? 的取值范围．

2 ? ? ) ，使数列 ?C n ? 是单调递减）设，若数列 ?C n ? n ?1

4 2 ? ? ? ) ? 0 对 n ? N ? 都成立， n ? 2 n ?1 4 2 4 2 ? ?? ? 0? ? ? ( ? ) max ， 即 n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1 4 2 2n 2 ， ? ? ? n ? 2 n ? 1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 3 ? 2 n 1 4 2 1 当 n ? 1 或 2 时， ( ? )max ? , 所以 ? ? ． 3 n ? 2 n ?1 3
n 则 Cn ?1 ? Cn ? 2 (

略