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11.3.1角平分线性质


A

人教版八年级数学(上)

11.3.1角平分线 的性质(1)

D

B C E
A B C

D

情境导入
活 动 1

不利用工具,请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法? (对折)
A C

再打开纸片 ,看看折 痕与这个角有何关系?

O

B

活 动 2

如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没 法折的角,又该怎么办呢?

探究一
1 、如图,是一个角平分仪, 其中AB=AD,BC=DC。 将点 A 放在角的顶点 ,AB 和 AD 沿着角的两边放下 , 沿 ACD 画一 条射线 AE,AE 就是角平分线, 你能说明它的道理吗? E

A

C

A

证明:
在△ACD和△ACB中 D AD=AB(已知) DC=BC(已知) C CA=CA(公共边) ∴ △ACD≌ △ACB(SSS) E ∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的 对应边相等) ∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)
B

探究二
根据角平分仪的制作原理怎样作 一个角的平分线?(不用角平分仪或 量角器)
N C
O A

E

N

C

E

M

O

B M

C

1〉平分平角∠AOB

B

O D

A

2〉通过上面的步骤,得到射线OC以后, 把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线 AB是什么关系?
3〉结论:作平角的平分线即可平分平角, 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。

探究3

角平分线的性质

(1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角 三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观 察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?

(2) 猜想 : 角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.

(3)验证猜想
A
D O
1 2

P

已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC 上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 证明:∵OC平分∠ AOB (已知) ∴ ∠1= ∠2(角平分线的定义) C

E

B

∵PD ⊥ OA,PE ⊥ OB(已知) ∴ ∠PDO= ∠PEO(垂直的定义) 在△PDO和△PEO中

∠PDO= ∠PEO(已证) ∠1= ∠2 (已证) OP=OP (公共边) ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)

角平分线上 的点到角两 边的距离相 等。
利用此性质 怎样书写推理过 A 程? D P O

E

B

反馈练习
1、要在S区建一个集贸市场,使它到公路, 铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处50 0米,应建在何处?(比例尺 1:20 000)


公路

铁路



A
2、 如图:在△ABC中, ∠ C=90° AD 是∠ BAC 的平分 线, DE⊥AB 于 E , F 在 AC 上, BD=DF; 求证:CF=EB

F

E

们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.

分析 : 要证 CF=EB, 首先我们想到的是要证它 D B C

现已有一个条件 BD=DF( 斜边相等 ), 还需 要我们找什么条件
DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.
试试自己写 证明。你一 定行!

一、过程小结: 情境→观察→作图→应用→探究→再应用 二、知识小结: 本节课学习了那些知识?有哪些运用?你 学了吗?做了吗?用了吗?

再 见

n m
D P O

O

m

n

A

P

B

C


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