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第21届全国中学生物理竞赛复赛答案


第 21 届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、开始时 U 形管右管中空气的体积和压强分别为 V2 = HA p2= p1 经过 2 小时,U 形管右管中空气的体积和压强分别为
V 2? ? ( H ? ? H ) A

(1)

(2)

? p2 ?

p 2V 2 V 2?



(3)

渗透室下部连同 U 形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为
V 1? ? V 1 ? ? HA ? p1 ? p 2 ? 2 ? gΔ H

(4) (5)

式中??为水的密度,g 为重力加速度.由理想气体状态方程 pV ? nRT 可知,经过 2 小时,薄膜下部增加的空气 的摩尔数
?n ? ? p 1V 1? RT ? p 1V 1 RT

(6)

在 2 个小时内,通过薄膜渗透过去的分子数
N ? ? nN
A

(7)

式中 NA 为阿伏伽德罗常量. 渗透室上部空气的摩尔数减少,压强下降.下降了?p
?p ? ΔnRT V0

(8)

经过 2 小时渗透室上部分中空气的压强为
? p0 ? p0 ? ?p

(9)

测试过程的平均压强差
?p ? 1 2

?( p 0

? ? ? p 1 ) ? (p 0 ? p 1 ) ?

(10)

根据定义,由以上各式和有关数据,可求得该薄膜材料在 0℃时对空气的透气系数
k ? Nd ? p tS ? 2 . 4 ? 10
11

Pa

?1

m

?1

s

?1

(11)

评分标准: 本题 20 分.(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各 1 分,(6)式 3 分,(7)、(8)、(9)、(10) 式各 2 分,(11) 式 4 分. 二、如图,卫星绕地球运动的轨道为一椭圆,地心位于轨道椭圆的一个焦点 O 处,设待测量星体位于 C 处.根 据题意,当一个卫星运动到轨道的近地点 A 时,另一个卫星恰好到达远地点 B 处,只要位于 A 点的卫星用角度 测量仪测出 AO 和 AC 的夹角?1,位于 B 点的卫星用角度测量仪测出 BO 和 BC 的夹角?2,就可以计算出此时星 体 C 与地心的距离 OC. 因卫星椭圆轨道长轴的长度

AB ? r 近 + r远

(1)

式中 r 近、与 r 远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离.由角动量守恒
mv


r 近 = m v 远 r远

(2) A
GMm r远

式中 m 为卫星的质量.由机械能守恒
1 2 m v 近-
2

O

?1

B

GMm r近

?

1 2

m v 远-

2

(3)

已知
r近 = 2 R



v 近=

3 GM 4 R

C
r远 ? 6 R

得 所以 在△ABC 中用正弦定理
sin ? 1 BC

(4) (5)

AB ? 2 R ? 6 R ? 8 R

?

sin ? π ? ? 1 ? ? AB
sin ? 1 AB

2

?

(6)

所以

BC ?

sin ?? 1 ? ?

2

?

(7)

地心与星体之间的距离为 OC ,在△BOC 中用余弦定理
2

OC

? r远 ? BC
2

2

? 2 r远 ? BC cos ? 2

(8)

由式(4)、(5)、(7)得

OC ? 2 R

9 ? 16 sin

sin
2

2

?1
??

?? 1

? 2

? 24

sin ? 1 cos ? sin ?? 1 ? ?
2

2

?

(9)

评分标准: 本题 20 分.(1)式 2 分,(2)、(3)式各 3 分,(6) 、(8)式各 3 分, (9) 式 6 分. 三、因?子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命 根据时间膨胀效应,在地球上观测到的?子平均寿命为?,
? ? ?0
1 ? ?v c ?
2

? 0 ? 2 . 0 ? 10

?6

s

(1)

代入数据得

? = 1.4×10-5s
相对地面,若?子到达地面所需时间为 t,则在 t 时刻剩余的?子数为
N ?t ? ? N ? 0 ?e
?t ?

(2)

(3)

根据题意有

N ?t ? N ?0 ?

? e

?t ?

? 5%

(4)

对上式等号两边取 e 为底的对数得
t ? ? ? ln 5 100

(5)

代入数据得
t ? 4 . 19 ? 10
?5

s

(6)

根据题意,可以把?子的运动看作匀速直线运动,有
h ? vt

(7)

代入数据得
h ? 1 . 24 ? 10 m
4

(8)

评分标准: 本题 15 分.

(1)式或(2)式 6 分,(4)式或(5)式 4 分,(7) 式 2 分,(8) 式 3 分.

四、1.考虑到使 3 个点光源的 3 束光分别通过 3 个透 镜都成实像于 P 点的要求,组合透镜所在的平面应垂 直于 z 轴,三个光心 O1、O2、O3 的连线平行于 3 个光 S1 源的连线,O2 位于 z 轴上,如图 1 所示.图中 M M ? 表 h S2 ? ? 示组合透镜的平面, S 1? 、 S 2 、 S 3 为三个光束中心光线 h 与该平面的交点. S 2 O 2 = u 就是物距.根据透镜成 圆2 像公式
1 u ? 1 L ?u ? 1 f

M

??

??
??
u

O1 O3

S 1?

O2(S2’) S3’ L M’
图1

P

z

(1)

可解得
u ? 1 2 [L ? L ? 4 fL ]
2

因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于 P 点, 来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉, 必须有 2utan? ≤ h 即 u≤2h.在上式中取“-”号,代入 f 和 L 的值,算得
u ? (6 ? 3 2 )h

≈1.757h

(2)

此解满足上面的条件. 分别作 3 个点光源与 P 点的连线.为使 3 个点光源都能同时成像于 P 点,3 个透镜的光心 O1、O2、O3 应分 别位于这 3 条连线上(如图 1) .由几何关系知,有
O 1O 2 ? O 2 O 3 ? L ?u L h ? ( 1 2 ? 1 4 2 ) h ? 0 . 854 h

(3)

即光心 O1 的位置应在 S 1? 之下与 S 1? 的距离为 (4) ? ? 同理,O3 的位置应在 S 3 之上与 S 3 的距离为 0.146h 处.由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等 于 0.854h,才能使 S1、S2、S3 都能成像于 P 点. 2.现在讨论如何把三个透镜 L1、L2、L3 加工组装成组合透镜. 因为三个透镜的半径 r = 0.75h,将它们的光心分别放置到 O1、O2、O3 处时,由于 O 1 O 2 =O 2 O 3 =0.854h<2r, 透镜必然发生相互重叠,必须对透镜进行加工,各切去一部分,然后再将它们粘起来,才能满足(3)式的要求.由 于对称关系,我们只需讨论上半部分的情况.
S 1? O 1 ? h ? O 1 O 2 ? 0 . 146 h

图 2 画出了 L1、L2 放在 M M ? 平面内时相互交叠的情况(纸面为 M M ? 平面) .图中 C1、C2 表示 L1、L2 的边 ? 、 S 2 为光束中心光线与透镜的交点,W1、W2 分别为 C1、C2 与 O1O2 的交点. ? 缘, S 1
S 1? 为圆心的圆 ? 1 和以 S 2(与 O2 重合) 为圆心的圆 2 分别是

光源 S1 和 S2 投射到 L1 和 L2 时产生的光斑的边缘,其半径 均为 ? ? u tan ? ? 0 . 439 h (5) 根据题意, 1 和圆 2 内的光线必须能全部进入透镜. 圆 首先, 圆 1 的 K 点(见图 2)是否落在 L1 上?由几何关系可知
? O 1 K ? ? ? O 1 S 1 ? ? 0 . 439 ? 0 . 146 ?h ? 0 . 585 h ? r ? 0 . 75 h

K
圆1 S1’ 0.439h h T N 0.439h Q O1 W2

C1

0.146h Q’ N’

x2
T’ 0.854h

(6)

W1 O2 (S2’) 圆2 C2’

x1

故从 S1 发出的光束能全部进入 L1.为了保证全部光束能进 入透镜组合,对 L1 和 L2 进行加工时必须保留圆 1 和圆 2 内 的透镜部分.

图2 下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法.在 O1 和 O2 之间作垂直于 O1O2 且分别与圆 1 和圆 2 相切的切线 Q Q ? 和 NN ? . 若沿位于 Q Q ? 和 N N ? 之间且与它们平行的任意直线 T T ? 对透镜 L1 和 L2 进行切割, 去掉两透镜的弓形部 分,然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部.同理,对 L2 的下半部和 L3 进行切割,然后将 L2 的下半部和 L3 粘合起来,就得到符合需要的整个组合透镜.这个组合透镜可以将 S1、S2、S3 发出的全部光线都 会聚到 P 点. 现在计算 Q Q ? 和 N N ? 的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件.设透镜 L1 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x1,透镜 L2 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x2,如图 2 所示,则对任意一条切割线 T T ? , x1、x2 之和为
d ? x 1 ? x 2 ? 2 r ? O 1 O 2 ? 0 . 646 h

(7)

由于 T T ? 必须在 Q Q ? 和 N N ? 之间,从图 2 可看出,沿 Q Q ? 切割时,x1 达最大值(x1M),x2 达最小值(x2m),
x 1 M ? r ? S 1? O 1 ? ?

代入 r,??和 S 1? O 1 的值,得
x 1 M ? 0 . 457 h

(8) (9)

代入(7)式,得
x 2 m ? d ? x 1 M ? 0 . 189 h

由图 2 可看出,沿 N N ? 切割时,x2 达最大值(x2M),x1 达最小值(x1m),
x2M ? r ? ?

代入 r 和??的值,得
x 2 M ? 0 . 311 h x 1 m ? d ? x 2 M ? 0 . 335 h

(10) (11)

由对称性,对 L3 的加工与对 L1 相同,对 L2 下半部的加工与对上半部的加工相同. 评分标准: 本题 20 分.第 1 问 10 分,其中(2)式 5 分, (3)式 5 分, 第 2 问 10 分,其中(5)式 3 分,(6)式 3 分,(7)式 2 分,(8)式、(9)式共 1 分,(10)式、(11)式共 1 分. 如果学生解答中没有(7)—(11)式,但说了“将图 2 中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留,透镜其它部分 可根据需要磨去(或切割掉) ”给 3 分,再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证 O1O2=O1O2=0.854h, 再给 1 分,即给(7)—(11)式的全分(4 分) .

五、1.解法Ⅰ: 如图 1 所示, 为原空腔内表面所在位置, 1? 的位置应位于 OP 1 的延长线上的某点 B1 处, 2 的位置应位于 OP 2 S q q? 的延长线上的某点 B2 处.设 A1 为 S 面上的任意 A1 一点,根据题意有
k q1 A 1 P1 q2 A 1 P2 ? k ? q1 A1 B 1 ? q2 A1 B 2 ? 0

(1)

B2 S
1

O ?? P 2 a a P1 R
1

B1

k

? k

? 0

(2)

图1

怎样才能使 (1) 式成立呢?下面分析图 1 中 ? OP 1 A1 与 ? OA 1 B 1 的关系. 若等效电荷 q 1? 的位置 B1 使下式成立,即
OP 1 ? OB 1= R
2

(3)



OP 1 OA 1

?

OA 1 OB 1

(4)



△ OP 1 A1 ∽△ OA 1 B 1



A 1 P1 A1 B 1

?

OP 1 OA 1

?

a R

(5)

由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷 q 1?
? q1 ? ? R a q1

(6)

由 (3) 式知,等效电荷 q 1? 的位置 B1 到原球壳中心位置 O 的距离
OB 1 ? R a
2

(7)

同理,B2 的位置应使 △ OP 2 A1 ∽△ OA 1 B 2 ,用类似的方法可求得等效电荷
? q2 ? ? R a q2

(8)

? 等效电荷 q 2 的位置 B2 到原球壳中心 O 位置的距离
OB ? R a
2

2

(9)

解法Ⅱ: 在图 1 中,设 A1 P1 ? r1 , A1 B 1 ? r1? , OB 1 ? d .根据题意, q 1 和 q 1? 两者在 A1 点产生的电势和为零.有
q1 r1 ? q1 r1?

k

? k

? 0

(1' )

式中

r1 ? ( R r1? ? ( R

2

? a ? d

2

? 2 Ra cos ? ) ? 2 Rd cos ? )

1 2

(2' ) (3' )

2

2

1 2

由(1'、 )(3' )(2'、 )式得
q1 ( R
2 2

? d

2

? ? 2 Rd cos ? ) ? q 1 ( R
2

2

? a

2

? 2 Ra cos ? )

(4' )

(4' )式是以 cos ? 为变量的一次多项式,要使(4' )式对任意 ? 均成立,等号两边的相应系数应相等,即
q1 ( R
2 2

? ? d ) ? q1 ( R
2 2

2

? a )
2

(5' ) (6' )

? q1 d ? q1 a
2 2

由(5'、 )式得 )(6'
ad
2

? (a
2

2

? R ) d ? aR
2
2

2

?0

(7' ) (8' )

解得

d ?

(a

2

? R ) ? (a 2a

? R )
2

由于等效电荷位于空腔外部,由(8' )式求得
d ? R a
2

(9' )

由(6'、 )式有 )(9'
2 2

? q1

2

?

R a

q1

2

(10' )

考虑到(1' )式,有
? q1 ? ? R a

q1

(11' )

同理可求得
? R a
2

OB

2

(12' )

? q2 ? ?

R a

q2

(13' )

? 2.A 点的位置如图 2 所示.A 的电势由 q1、 q 1? 、q2、 q 2 共同产生,即

U

A

? 1 R 1 1 R 1 ? kq ? ? ? ? ? P A a B1 A a B2 A P2 A ? 1

? ? ? ?

(10)



P1 A ?
? R2 ? 2r? ? a ? ? ? R2 ? ? cos ? ? ? ? ? ? a ? ? ? ?
2

r

2

? 2 ra cos ? ? a

2

2

B1 A ?

r

2

A B2 O ?? P 2 a a P1 R S
图2
1

B1

P2 A ?

r

2

? 2 ra cos ? ? a
? R2 ? 2r? ? a ?

B2 A ?

r

2

? ? R2 ? ? cos ? ? ? ? ? ? a ? ? ? ?

2

代入 (10) 式得
U ? ? kq ? ? ? 1 r ? 2 ra cos ? ? a
2 2

A

?
2 2

R a r ? 2 raR
2

cos ? ? R
R

4

? r
2

1 ? 2 ra cos ? ? a
2

? a r
2 2

? 2 raR

2

cos ? ? R

4

? ? ? ?

(11)

评分标准: 本题 20 分.第 1 问 18 分,解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各 3 分.解法Ⅱ的评分可参考解法Ⅰ. 第 2 问 2 分,即(11)式 2 分. 六、 I 表示题述极短时间?t 内挡板对 C 冲量的大小, 令 因为挡板对 C 无摩擦力作用, 可知冲量的方向垂直于 DE,如图所示;I ? 表示 B、C 间的杆对 B 或 C 冲量的大小, 其方向沿杆方向,对 B 和 C 皆为推力;v C 表示?t 末了时刻 C 沿平行于 DE 方向速 度的大小, v B 表示?t 末了时刻 B 沿平行于 DE 方向速度的大小, v B ? 表示?t 末了 时刻 B 沿垂直于 DE 方向速度的大小.由动量定理, 对C有
I ? sin ? ? m v C
I ? I ? cos ? ? m v

D B ????
A A

A

I

C
A A

E (1) (2)

对B有
I ? sin ? ? m v B

(3)

对 AB 有
I ? cos ? ? 2 m ? v ? v B ?

?

(4)

因为 B、C 之间的杆不能伸、缩,因此 B、C 沿杆的方向的分速度必相等.故有
vC sin ? ? v B ? cos ? ? v B sin ?

(5)

由以上五式,可解得
I ? 3 ? sin 1 ? 3 sin
2 2

? ?

mv

(6)

评分标准: 本题 20 分. (1)、(2)、(3)、(4)式各 2 分. (5)式 7 分,(6)式 5 分.

七、解法Ⅰ: 当金属杆 ab 获得沿 x 轴正方向的初速 v0 时,因切割磁力线而产生感应电动势,由两金属杆与导轨构成的回 路中会出现感应电流.由于回路具有自感系数,感应电流的出现,又会在回路中产生自感电动势,自感电动势将 阻碍电流的增大,所以,虽然回路的电阻为零,但回路的电流并不会趋向无限大,当回路中一旦有了电流,磁场 作用于杆 ab 的安培力将使 ab 杆减速,作用于 cd 杆的安培力使 cd 杆运动. 设在任意时刻 t,ab 杆和 cd 杆的速度分别为 v1 和 v2(相对地面参考系 S) ,当 v1、v2 为正时,表示速度沿 x 轴正方向; 若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向, 则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动 势
E ? Bl ? v 1 ? v 2 ?

(1)

当回路中的电流 i 随时间的变化率为 ? i ? t 时,回路中的自感电动势
EL ? ? L ?i ?t

(2)

根据欧姆定律,注意到回路没有电阻,有
E ? EL ? 0

(3)

金属杆在导轨上运动过程中, 两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零, 系统的质心作匀速直线运动. 设 系统质心的速度为 VC,有
m v 0 ? 2 mV C

(4)


VC ? v0 2

(5)

VC 方向与 v0 相同,沿 x 轴的正方向. 现取一新的参考系 S ? ,它与质心固连在一起,并把质心作为坐标原点 O ? ,取坐标轴 O ?x ? 与 x 轴平行.设相 对 S ? 系,金属杆 ab 的速度为 u,cd 杆的速度为 u ? ,则有
v1 ? V C ? u v 2 ? VC ? u ?

(6) (7)

因相对 S ? 系,两杆的总动量为零,即有
mu ? m u ? ? 0

(8)

由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式,得
2 Blu ? L ?i ?t

(9)

在 S ? 系中,在 t 时刻,金属杆 ab 坐标为 x ? ,在 t+?t 时刻,它的坐标为 x ? ? ? x ? ,则由速度的定义
u ? ?x? ?t

(10)

代入 (9) 式得
2 Bl ? x ? ? L ? i

(11)

若将 x ? 视为 i 的函数,由(11)式知 ? x ? ? i 为常数,所以 x ? 与 i 的关系可用一直线方程表示
x? ? L 2 Bl i? b

(12)

式中 b 为常数,其值待定.现已知在 t=?时刻,金属杆 ab 在 S ? 系中的坐标 x ? =
x? ? L 2 Bl i? 1 2 x0

1 2

x0

,这时 i = 0,故得 (13)



i?

2 Bl ? 1 ? x0 ? ? x? ? L ? 2 ? ? ? ? x0 ? 2 ?

(14)

1 2

x0

表示 t=?时刻金属杆 ab 的位置. x ? 表示在任意时刻 t,杆 ab 的位置,故 ? x ? ?

1

就是杆 ab 在 t 时刻

相对初始位置的位移,用 X 表示,
X ? x? ? 1 2 x0

(15)

当 X>0 时,ab 杆位于其初始位置的右侧;当 X<0 时,ab 杆位于其初始位置的左侧.代入(14)式,得
i? 2 Bl L X

(16)

这时作用于 ab 杆的安培力
F ? ? iBl ? ? 2B l L
2 2

X

(17)

ab 杆在初始位置右侧时,安培力的方向指向左侧;ab 杆在初始位置左侧时,安培力的方向指向右侧,可知该 安培力具有弹性力的性质.金属杆 ab 的运动是简谐振动,振动的周期
T ? 2π

?2 B

m
2

l

2

L

?

(18)

在任意时刻 t, ab 杆离开其初始位置的位移
? 2π ? X ? A cos ? t ??? ? T ?

(19)

A 为简谐振动的振幅,??为初相位,都是待定的常量.通过参考圆可求得 ab 杆的振动速度
? 2π ? ? 2π ? u ? ? A? t ??? ? sin ? ? T ? ? T ?

(20)

(19)、 (20)式分别表示任意时刻 ab 杆离开初始位置的位移和运动速度. 现已知在 t=0 时刻, 杆位于初始位置, ab 即 X=0 速度
u ? v0 ? VC ? v0 ? 1 2 v0 ? 1 2 v0

故有
0 ? A cos ?
v0 ? 2π ? ? ? A? ? sin ? 2 ? T ?

解这两式,并注意到(18)式得
? ? 3π 2

(21)

A ?

v0 4?

T ?

v0 2 Bl

mL 2

(22)

由此得 ab 杆的位移
X ? v0 2 Bl mL 2 v0 3π ? ? 2π cos ? t ? ?? 2 ? 2 Bl ? T mL 2 sin 2π T t

(23)

由 (15) 式可求得 ab 杆在 S ? 系中的位置
? x ab ? 1 2 x0 ? v0 2 Bl mL 2 sin 2π T t

(24)

因相对质心,任意时刻 ab 杆和 cd 杆都在质心两侧,到质心的距离相等,故在 S ? 系中,cd 杆的位置
? x cd ? ? 1 2 x0 ? v0 2 Bl mL 2 sin 2? T t

(25)

相对地面参考系 S,质心以 V C ?

1 2

v 0 的速度向右运动,并注意到(18)式,得
1 2 v0 2 Bl mL 2 ? sin ? Bl ? ? 2 ? ?t mL ? ?

ab 杆在地面参考系中的位置

x ab ? x 0 ?

v0t ?

(26)

cd 杆在 S 系中的位置
x cd ? 1 2 v0t ? v0 2 Bl mL 2 ? sin ? Bl ? ? 2 ? ?t mL ? ?

(27)

回路中的电流由 (16) 式得
i? 2 Bl L v0 2 Bl mL 2 sin 2π T t ? v0 ? sin ? Bl ? 2L ? m 2 ? ?t mL ? ?

(28)

解法Ⅱ: 当金属杆在磁场中运动时,因切割磁力线而产生感应电动势,回路中出现电流时,两金属杆都要受到安培力 的作用,安培力使 ab 杆的速度改变,使 cd 杆运动.设任意时刻 t,两杆的速度分别为 v1 和 v2(相对地面参考系 S) ,若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向,则由两金属杆与导轨构成的回路中,因杆在磁场中运动而 出现的感应电动势为
E ? Bl ? v 1 ? v 2 ?

(1’)

令 u 表示 ab 杆相对于 cd 杆的速度,有
EL ? Blu

(2’)

当回路中的电流 i 变化时,回路中有自感电动势 EL,其大小与电流的变化率成正比,即有
EL ? ? L ?i ?t

(3’)

根据欧姆定律,注意到回路没有电阻,有
E ? EL ? 0

由式(2’)、(3’)两式得

Blu ? L

?i ?t

(4’)

设在 t 时刻,金属杆 ab 相对于 cd 杆的距离为 x ? ,在 t+?t 时刻,ab 相对于 cd 杆的距离为 x ? + ? x ? ,则由速 度的定义,有
u ? ?x? ?t

(5’)

代入 ( 4 ? ) 式得
Bl ? x ? ? L ? i

(6’)

若将 x ? 视为 i 的函数,由(6’)式可知, ? x ? ? i 为常量,所以 x ? 与 i 的关系可以用一直线方程表示,即
x? ? L Bl i? b

(7’)

式中 b 为常数,其值待定.现已知在 t=?时刻,金属杆 ab 相对于 cd 杆的距离为 x 0 ,这时 i = 0,故得
x? ? L Bl i ? x0 x0

(8’)



i?

Bl L

?x ? ?

?

(9’)

x x 0 表示 t=?时刻金属杆 ab 相对于 cd 杆的位置. ? 表示在任意时刻 t 时 ab 杆相对于 cd 杆的位置, ? x ? ? x 0 ? 故

就是杆 ab 在 t 时刻相对于 cd 杆的相对位置相对于它们在 t=?时刻的相对位置的位移, 即从 t=?到 t=t 时间内 ab 杆相对于 cd 杆的位移 X ? x? ? x0 (10') 于是有
i? Bl L X

(11’)

任意时刻 t,ab 杆和 cd 杆因受安培力作用而分别有加速度 aab 和 acd,由牛顿定律有
? iBl ? ma ab iBl ? ma cd

(12’) (13’)

两式相减并注意到( 9 ? )式得
m ? a ab ? a cd

??

? 2 iBl ? ?

2B l L

2

2

X

(14’)
2B l L
2 2

式中 ? a ab ? a cd ? 为金属杆 ab 相对于 cd 杆的加速度,而 X 是 ab 杆相对 cd 杆相对位置的位移. 明这个相对运动是简谐振动,它的振动的周期
T ? 2π

是常数,表

?2 B

m
2

l

2

L

?

(15’)

在任意时刻 t,ab 杆相对 cd 杆相对位置相对它们初始位置的位移
? 2π ? X ? A cos ? t??? ? T ?

(16’)

A 为简谐振动的振幅,??为初相位,都是待定的常量.通过参考圆可求得 X 随时间的变化率即速度
? 2π ? ? 2π ? V ? A? ??? ? sin ? ? T ? ? T ?

(17’)

现已知在 t=0 时刻,杆位于初始位置,即 X = 0,速度 V ? v 0 故有
0 ? A cos ?
? 2π ? v 0 ? ? A? ? sin ? ? T ?

解这两式,并注意到(15’) 式得
? ? 3π 2

A ?

v0 2π

T ?

v0 Bl

mL 2

由此得
X ? v0 Bl mL 2 v0 3π ? ? 2π cos ? t ? ?? 2 ? Bl ? T mL 2 ? sin ? Bl ? ? 2 ? ?t mL ? ?

(18’)

因 t = 0 时刻, 杆位于 x = 0 处, 杆位于 x = x0 处, cd ab 两者的相对位置由 x0 表示; t 时刻, 杆位于 x = xcd 处, 设 cd ab 杆位于 x = xab 处,两者的相对位置由 xab-xcd 表示,故两杆的相对位置的位移又可表示为 X = xab-xcd-x0 (19’) 所以
x ab ? x cd ? x 0 ? v0 Bl mL 2 ? sin ? Bl ? ? 2 ? ?t mL ? ?

(20’)

(12’)和(13’)式相加,
m ? a ab ? a cd ? ? ? iBl ? iBl ? 0



? a ab

? a cd

?? 0

由此可知,两杆速度之和为一常数即 v0,所以两杆的位置 xab 和 xcd 之和应为 xab+xcd = x0+v0t 由(20’)和(21’)式相加和相减,注意到(15’)式,得
x ab ? x 0 ? 1 2 v 0t ? v0 2 Bl mL ? sin ? Bl ? 2 ? ? sin ? Bl ? ? 2 ? ?t mL ? ? 2 ? ?t mL ? ?

(21’)

(22’)

x cd ?

1 2

v0t ?

v0 2 Bl

mL 2

(23’)

由(11’)、 (19’)(22’)、(23’)式得回路中电流
i ? v0 ? sin ? Bl ? 2L ? m 2 ? ?t mL ? ?

(24’)

评分标准:本题 25 分. 解法Ⅰ 求得(16)式 8 分,(17)、(18)、(19)三式各 2 分. (23)式 4 分,(24)、(25)二式各 2 分,(26)、(27)、(28) 三式各 1 分.

解法Ⅱ的评分可参照解法Ⅰ评分标准中的相应式子给分.


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