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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第1讲 不等关系与不等式


第七章
第1讲
一、选择题

不等式

不等关系与不等式
1 1 < ”的( a-1 b-1

1.已知 a,b 为实数,则“a>b>1”是“ A.充分不必要条件 C.充分必要条件 解析 <

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 1 1 1 < , 又当 a=0, b=2 时, a-1 b-1 a-1

由 a>b>1?a-1>b-1>0?

1 /?a>b>1,故选 A. b-1 A )

答案

1 ?1 1? 2.已知 m∈(b,a)且 m≠0,m的取值范 围是?a,b?,则实数 a,b 满足( ? ? A.a>b>0 C.a<0<b 解析 B.a>0>b D.a<b<0

1 1 由题知 b<a,从而排除选项 C,D.若 ab<0,则由b>a可得 a<b,不

合题意,故选项 B 不正确. 从而知 A 正确. 答案 A

1 1 3.已知下列四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出a<b成 立的有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 ( ). D.4 个

1 1 解析 运用倒数性质,由 a>b,ab>0 可得a<b,②、④正确.又正数大于负数, ①正确,③错误,故选 C. 答案 C 4. 如果 a, b, c 满足 c<b<a, 且 ac<0, 那么下列选项中不一定成立的是 ( ).

A.ab>ac C.cb2<ab2

B.c(b-a)>0 D.ac(a-c)<0

解析 由题意知 c<0,a>0,则 A 一定正确;B 一定正确;D 一定正确;当 b =0 时 C 不正确. 答案 C 5.若 a、b 均为不等于零的实数,给出下列两个条件.条件甲:对于区间[-1,0] 上的一切 x 值,ax+b>0 恒成立;条件乙:2b-a>0,则甲是乙的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ).

解析 当 x∈[-1,0]时,恒有 ax+b>0 成立, ∴当 a>0 时,ax+b≥b-a>0, 当 a<0 时,ax+b≥b>0,∴b-a>0,b>0,∴2b-a>0, 3 ∴甲?乙,乙推不出甲,例如:a=2b,b>0 时, 1 则 2b-a=2b>0, 3 1 但是,当 x=-1 时,a· (-1)+b=-2b+b=-2b<0, ∴甲是乙的充分不必要条件. 答案 A 6.已知 a、b、c 是任意的实数,且 a>b,则下列不等式恒成立的为( A.(a+c)4>(b+c)4 C.lg |b+c|<lg|a+c| 解析 B.ac2>bc2 1 1 D.(a+c)3>(b+c)3 )

当 a>b,a+c 与 b+c 为负数时,由 0>a+c>b+c,得 0<-(a+c)

<-(b+c). ∴0<[-(a+c)]4<[-(b+c)]4,即(a+c)4<(b+c)4.∴A 不成立; 当 c=0 时,ac2=bc2,∴B 不成立; 当 a>b 时,a+c>b+c,但若 a+c、b+c 均为负数时,[来源 ZXXK] |a+c|<|b+c|,即 lg|a+c|<lg|b+c|. 故 C 不恒成立.故选 D.

答案

D

二、填空题 π π 7.若-2<α<β<2,则 α-β 的取值范围是________. π π π π 解析 由-2<α<2,-2<-β<2,α<β 得-π<α-β<0. 答案 (-π,0) 3? ? 8. 现给出三个不等式: ①a2+1>2a; ②a2+b2>2?a-b-2?; ③ 7+ 10> 3+ 14. ? ? 其中恒成立的不等式共有________个. 解析 因为 a2-2a+1=(a-1)2≥0,所以①不恒成立;对于②,a2+b2-2a

+2b+3=(a-1)2+(b+1)2+1>0,所以②恒成立;对于③,因为( 7+ 10)2 - ( 3 + 14)2 = 2 70 - 2 42>0 ,且 7 + 10>0 , 3 + 14>0 ,所以 7 + 10> 3+ 14,即③恒成立. 答案 2 9. 已知奇函数 f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调减函数,α, β,γ∈R,且 α+β>0, β+γ>0,γ+α>0,则 f(α)+f(β)+f(γ)与 0 的关系是________. 解析 ∵f(x)在 R 上是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∵α+β>0,β+γ>0,γ+α>0, ∴α>-β,β>-γ,γ>-α,而 f(x)在 R 上是单调减函数, ∴f(α)<f(-β)=-f(β),f(β)<f(-γ)=-f(γ),f(γ)<f(-α)=-f(α), 以上三式相加得:2[f(α)+f(β)+f(γ)]<0, 即 f(α)+f(β)+f(γ)<0. 答案 f(α)+f(β)+f(γ)<0 1 10. 给出下列条件: ①1<a<b; ②0<a<b<1; ③0<a<1<b.其中, 能推出 logbb 1 <logab<logab 成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号). 解析 1 ∵logbb=-1

1 1 若 1<a<b,则b<a<1<b.

1 1 ∴logab<logaa=-1,故条件①不可以; 1 1 若 0<a<b<1,则 b<1<b<a, 1 1 1 ∴logab>logab>logaa=-1=logbb,故条件②可以; 1 若 0<a<1<b,则 0<b<1, 1 ∴logab>0,logab<0,条件③不可以. 答案 ②

三、解答题 11.已知 a>2,b>2,试比较 a+b 与 ab 的大小. 解 法一(作差法):ab-(a+b)=(a-1)(b-1)-1,

∵a>2,b>2,∴a-1>1,b-1>1. ∴(a-1)(b-1)-1>0.∴ab-(a+b)>0. ∴ab>a+b. a+b 1 1 法二(作商法):∵ ab =b+a,且 a>2,b>2, 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴a<2,b<2.∴b+a<2+2=1. a+b ∴ ab <1.又∵ab>4>0,∴a+b<ab. 12.已知 f(x)=ax2-c 且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围. ?a-c=f?1?, 解 由题意,得? ?4a-c=f?2?, 1 a = ? ? 3[f?2?-f?1?], 解得? 4 1 ? ?c=-3f?1?+3f?2?.

5 8 所以 f(3)=9a-c=-3f(1)+3f(2). 5 5 20 因为-4≤f(1)≤-1,所以3≤-3f(1)≤ 3 , 8 8 40 因为-1≤f(2)≤5,所以-3≤3f(2)≤ 3 . 两式相加,得-1≤f(3)≤20,故 f(3)的取值范围是[-1,20].

13. (1)设 x≥1,y≥1,证明 1 1 1 x+y+xy≤ x+ y+xy; (2)设 1<a≤b≤c,证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 证明 (1)由于 x≥1,y≥1,所以 1 1 1 x+y+xy≤ x+ y+xy?xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. 将上式中的右式减左式,得 [y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1) -(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1). 既然 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0, 从而所要证明的不等式成立. (2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 1 1 1 logca=xy,logba= x,logcb=y,logac=xy. 于是,所要证明的不等式即为 1 1 1 x+y+xy≤ x+ y+xy 其中 x=logab≥1,y=logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立. 14. 已知 f(x)是定义在(-∞, 4]上的减函数, 是否存在实数 m, 使得 f(m-sin x)≤ 7 ? ? f ? 1+2m-4+cos2x?对定义域内的一切实数 x 均成立?若存在, 求出实数 m ? ? 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解 假设实数 m 存在,依题意, m-sin x≤4, ? ? 可得? 7 m-sin x≥ 1+2m-4+cos2x, ? ? m-4≤sin x, ? ? 即? 1? 1 ? m- 1+2m+2≥-?sin x-2?2. ? ? ? ? 1 因为 sin x 的最小值为-1,且-(sin x-2)2 的最大值为 0,要满足题意,必须

m-4≤-1, ? ? 有? 1 m- 1+2m+2≥0, ? ? 1 3 解得 m=-2或2≤m≤3. ?3 ? ? 1? 所以实数 m 的取值范围是?2,3?∪?-2?. ? ? ? ?


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