1.2.1任意角三角函数

1.2.1 任意角三角函数（1）
编稿人：刘振国

一．学习目标
1. 理解任意角三角函数定义； 2. 会用任意角三角函数定义求三角函数值

二. 预习新知
(一)单位圆:在直角坐标系中，称以_________为圆心，以___________为半径的圆为单位圆. (二)三角函数的定义 1.定义:设 ? 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P ? x, y ? ，那么 (1)_________叫做 ? 的正弦(sine),记作_________，即_________ (2)_________叫做 ? 的余弦(cose),记作_________，即_________ (3)_________叫做 ? 的正切(tangent),记作_________，即_________ 2.当 ? ? __________________时, ? 的终边在 y 轴上,这时_________无意义.除此之外,对 于确定的角 ? ,上述的三个值都是 ? __________________.所以,正弦,余弦,正切都是以 __________________ ,以单位圆上的点的坐标或坐标的________为函数值的函数,我们统称 为________________ . 3.三角函数的定义域和值域 三角函数 定义域 值域

y ? sin ?
y ? cos ?

y ? tan ?
4.温馨提示 (1)角 ? 的终边与 x 轴的非负半轴重合,三角函数值只与角 ? 的终边的位置有关,与点 P 在 终边上的位置无关. (2)三角函数值是一个数值,没有单位. (3)一 般的 , 对于任 意角 ? , 在 ? 的 终边 上任 取一 点 P ( 异于原 点 )其 坐标为 ? x, y ? ,且

r ? OP ? x 2 ? y 2 ,则
①比值

y y 叫做 ? 的正弦,记作 sin ? ，即 sin ? ? r r

x x r r y y ③比值 叫做 ? 的正切,记作 tan ? ，即 tan ? ? x x
②比值 叫做 ? 的余弦,记作 cos ? ，即 cos ? ?

三、新知应用
例 1.已知角 ? 的终边与单位圆的交点的坐标为 ? , ? ,求 ? 的正弦、余弦、正切值

?3 4? ?5 5?

例 2.求 ? 的正弦、余弦、正切值

5 3

例 3.已知角 ? 经过点 P0 ( ?3,?4) ，求角 ? 的正弦、余弦、正切值

四、课内练习
教材第 15 页练习 1、2、3

五、总结提升
借助单位圆掌握任意角的三角函数定义， 理解三角函数是以实数为自变量的函数， 并从 任意角三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域、值域

六、课后作业
1. tan (A) ?

7? ? 6
3 3
(B) 3 (C)

3 3

(D) ? 3

2. ? 是第二象限角， P x, 5 为其终边上一点，且 cos ? ?

?

?

2 x ，则 sin ? ? 4
(D) ?

（A）

10 4

(B)

6 4

(C)

2 4

10 4

3.已知角 ? 的终边经过点 P ( 2,3) ，则 （A） tan ? ?

2 3

(B) cos ? ?

13 2 3 13 13

(C) sin ? ?

2 13 13

(D) sin ? ?

4.已知点 P (3r ,?4r )(r ? 0) 在 ? 的终边上，求 sin ? ， cos ? ， tan ? 的值.

5.已知角 ? 的终边在射线 y ? ?

3 x( x ? 0) 上， 4

求 sin ? ， cos ? ， tan ? 的值.

6.已知角 ? 的终边落在直线 y ? ?3 x 上，求 2 sin ? ? 3 cos ? 的值

1.2.1 任意角三角函数（2）
编稿人：任志伟

一．学习目标
1. 熟记三角函数在各象限的符号 2. 掌握诱导公式一，并会用公式一解题

二．预习新知
（一）三角函数在各象限的符号

y
（ ） + （ ）

y
+ （ ）

y
+

x
O （ ） （ ） （ ） O （ ）

x
O （ ） （ ）

x

三角函数值的符号在以后的学习中经常用到，必须熟记．一是根据定义，即正弦的函数 值符号与______的符号相同， 余弦的函数值符号与______的符号相同， 正切的函数值符号与 ______的符号相同． 二是看口诀：___________， ___________，___________，___________． （二）诱导公式一 终边相同的角的统一三角函数值___________．即

sin k ? 360? ? ? ? ___________； cos k ? 360? ? ? ? ___________； tan k ? 360? ? ? ? ___________．其中 k ? Z
这组公式的作用是可以把任意角三角函数值问题转化为 0 到 360 的角的三角函数值．
0 0

?

?

?

?

?

?

三、新知应用
例 1.确定下列三角函数值的符号 (1) cos 250 ； （2） sin( ?
0

?
4

0 )； （3） tan( ?672 ) ； （4） tan

11? 3

例 2．当 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 时，角 ? 为第三象限角．反之也成立．

例 3．已知 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 （1）求角 ? 的集合； （2）求角

?
2

终边所在的象限；

（3）试判断 tan

?
2

， sin

?
2

， cos

?
2

．

例 3．求下列三角函数值 （1） cos

9? 11? 11? ； （2） tan( ? ) ； （3） sin( ?672 0 ) ； （4） tan 4 6 3

四、课内练习
教材第 15 页 4、5、6

五、总结提升
1.熟记三角函数在各个象限三角函数值的符号； 2.掌握诱导公式一，体会三角函数周而复始的变化规律．

六、课后作业
1.给出下列各函数值：① sin ? 1000 ；② cos ? 2200 ；③ tan ?? 10 ? ；④
0 0

?

?

?

?

sin

7? cos ? 10 . 17? tan 9
）

其中结果为负值的是

（

(A) ① 2.若是第二象限角， 那么 （A） sin

(B)②

(C)③

(D)④ （ ）

?
2

?0

(B) cos

?
2

?0

(C) tan

?
2

?0

(D) tan

?
2

?0
（ ）

3.已知点 P ?cos ? , sin ? ? 在第三象限，则在 ?0,2? ? 范围内 ? 的取值范围 （A） ? 0,

? ?? ? ? 2?

(B) ?

?? ? ,? ? ?2 ?

(C) ? ? ,

? ?

3? ? ? 2 ?

(D) ?

? 3? ? ,2? ? ? 2 ?

4.函数 y ?

sin x cos x tan x ? ? 的值域是___________. sin x cos x tan x
?

5.求 sin 390 ? cos ? 660 ? tan
?

?

?

9? 的值. 4

1 sin ? ? 0 ，求 ? 是第几象限角. 6.已知 1 tan ? ? tan ? sin ? ?

7.判断下列三角函数值的符号 （1） sin 3 ? cos 4 ? tan 5 （2）

sin(cos ? ) （ ? 为第二象限角） cos(sin ? )

1.2.1 任意角三角函数（3）
编稿人：任志伟

一、学习目标
1. 会画给定角的正弦线、余弦线、正切线； 2. 会利用三角函数线比较函数值的大小和角的取值范围.

二、预习新知
（一）有向线段 1. 定义： 规定了___________ （即规定了___________和___________） 的线段叫做有向线段. 2. 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标轴方向相反时为负. （二）三角函数线 设任意角 ? 的顶点在坐标原点 O ，始边为 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交与 点 P ( x, y ) ，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ，过点 A?1,0 ? 作单位圆的切线，它与角 ? 的 终 边 或 反 向 延 长 线 交 于 点 T . 由 三 角 函 数 的 定 义 ， 可 知 sin ? ? y ， cos ? ? x ，

tan ? ?

y ( x ? 0) . x

由图象可以知道：当角 ? 的终边不在坐标轴上时，有向线段 OM ? x ， MP ? y ，于是有

OM , MP , AT 都看作有向线段
所以， sin ? ? y ? MP

cos ? ? x ? OM

tan ? ?

y MP AT ? ? ? AT x OM OA

我们就分别称有向线段 OM , MP , AT 为正弦线、余弦线、正切线. 三、新知应用 例1. 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线

（1）

?
3

；

（2）

5? ； 6

（3） ?

2? ； 3

（4） ?

13? . 6

例2. 利用三角函数线比较下列各组数的大小. （1） sin

2? 4? 和 sin 3 5

（2） cos

2? 4? 和 cos 3 5

（3） tan

2? 4? 和 tan . 3 5

例3. 利用单位圆寻找适合下列条件的 0 到 360 的角

?

?

（1） sin x ?

1 ； 2

（2） cos x ?

1 ； 2

（3） tan x ?

3 . 3

例4. 利用三角函数线证明： 0 ? x ?

?
2

，则 sin ? ? ? ? tan ? .

例5.求下列函数的定义域 （1） y ?

2 sin x ? 3 ；
2

（2） y ? lg(1 ? 4 cos x ) ； （3） y ?

cos x ? tan x

四、课内练习
教材第 17 页练习 1、2、3、4

五、总结提升
1.三角函数线是三角函数的几何表示， 它只管的刻画了三角函数的概念， 与三级哦啊函 数的定义结合起来， 可以从数与形两个方面认识三角函数的定义， 并使得对三角函数的定义 域、函数值的符号的变化规律、公式的理解更容易. 2.利用三角函数线解题有着不可以比拟的直观优势， 在有关比较大小， 不等式的证明中 起着十分重要的作用. 3.利用单位圆中的三角函数线， 确定简单的三角不等式的解集， 是一种有效的数学方法， 同时也是数形结合的思想，先确定角 ? 的临界位置，再结合图形观察三角函数先的取值范 围，就能得出结论.

六、课后作业
1.设 MP 和 OM 分别是

17? 的正弦线和余弦线，则有 18

（ (B) MP ? 0 ? OM (D) OM ? 0 ? MP
（

）

(A) MP ? OM ? 0 (C) OM ? MP ? 0
2. sin 1 ， cos 1 ， tan 1 的大小关系是

）

(A) sin 1 ? cos1 ? tan 1 (C) cos1 ? sin 1 ? tan 1
3.有三个命题：①

(B) sin 1 ? cos1 ? tan 1 (D) tan 1 ? sin 1 ? cos1
5? ? 4? ? 5? 的正弦线相等；② 和 的正切线相等；③ 和 的余弦 6 3 3 4 4
（ ）

?
6

和

线相等.其中真命题有 （A） 0个 （B）1个 （C）2 个 (D) 3个

4.分别根据下列条件，写出角 ? 的取值范围

（1） cos ? ?

3 ； 2

（2） tan ? ? ?1 ；

（3） sin ? ? ?

3 . 2

5.若函数 f (x) 的定义域为 ?0,1? ，求函数 f (sin x ? ) 的定义域.

1 2

6.求函数 y ?

sin x ? cos x 的定义域. tan x