1.2.1 任意角三角函数(1)
编稿人:刘振国
一.学习目标
1. 理解任意角三角函数定义; 2. 会用任意角三角函数定义求三角函数值
二. 预习新知
(一)单位圆:在直角坐标系中,称以_________为圆心,以___________为半径的圆为单位圆. (二)三角函数的定义 1.定义:设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ? x, y ? ,那么 (1)_________叫做 ? 的正弦(sine),记作_________,即_________ (2)_________叫做 ? 的余弦(cose),记作_________,即_________ (3)_________叫做 ? 的正切(tangent),记作_________,即_________ 2.当 ? ? __________________时, ? 的终边在 y 轴上,这时_________无意义.除此之外,对 于确定的角 ? ,上述的三个值都是 ? __________________.所以,正弦,余弦,正切都是以 __________________ ,以单位圆上的点的坐标或坐标的________为函数值的函数,我们统称 为________________ . 3.三角函数的定义域和值域 三角函数 定义域 值域
y ? sin ?
y ? cos ?
y ? tan ?
4.温馨提示 (1)角 ? 的终边与 x 轴的非负半轴重合,三角函数值只与角 ? 的终边的位置有关,与点 P 在 终边上的位置无关. (2)三角函数值是一个数值,没有单位. (3)一 般的 , 对于任 意角 ? , 在 ? 的 终边 上任 取一 点 P ( 异于原 点 )其 坐标为 ? x, y ? ,且
r ? OP ? x 2 ? y 2 ,则
①比值
y y 叫做 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? r r
x x r r y y ③比值 叫做 ? 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? x x
②比值 叫做 ? 的余弦,记作 cos ? ,即 cos ? ?
三、新知应用
例 1.已知角 ? 的终边与单位圆的交点的坐标为 ? , ? ,求 ? 的正弦、余弦、正切值
?3 4? ?5 5?
例 2.求 ? 的正弦、余弦、正切值
5 3
例 3.已知角 ? 经过点 P0 ( ?3,?4) ,求角 ? 的正弦、余弦、正切值
四、课内练习
教材第 15 页练习 1、2、3
五、总结提升
借助单位圆掌握任意角的三角函数定义, 理解三角函数是以实数为自变量的函数, 并从 任意角三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域、值域
六、课后作业
1. tan (A) ?
7? ? 6
3 3
(B) 3 (C)
3 3
(D) ? 3
2. ? 是第二象限角, P x, 5 为其终边上一点,且 cos ? ?
?
?
2 x ,则 sin ? ? 4
(D) ?
(A)
10 4
(B)
6 4
(C)
2 4
10 4
3.已知角 ? 的终边经过点 P ( 2,3) ,则 (A) tan ? ?
2 3
(B) cos ? ?
13 2 3 13 13
(C) sin ? ?
2 13 13
(D) sin ? ?
4.已知点 P (3r ,?4r )(r ? 0) 在 ? 的终边上,求 sin ? , cos ? , tan ? 的值.
5.已知角 ? 的终边在射线 y ? ?
3 x( x ? 0) 上, 4
求 sin ? , cos ? , tan ? 的值.
6.已知角 ? 的终边落在直线 y ? ?3 x 上,求 2 sin ? ? 3 cos ? 的值
1.2.1 任意角三角函数(2)
编稿人:任志伟
一.学习目标
1. 熟记三角函数在各象限的符号 2. 掌握诱导公式一,并会用公式一解题
二.预习新知
(一)三角函数在各象限的符号
y
( ) + ( )
y
+ ( )
y
+
x
O ( ) ( ) ( ) O ( )
x
O ( ) ( )
x
三角函数值的符号在以后的学习中经常用到,必须熟记.一是根据定义,即正弦的函数 值符号与______的符号相同, 余弦的函数值符号与______的符号相同, 正切的函数值符号与 ______的符号相同. 二是看口诀:___________, ___________,___________,___________. (二)诱导公式一 终边相同的角的统一三角函数值___________.即
sin k ? 360? ? ? ? ___________; cos k ? 360? ? ? ? ___________; tan k ? 360? ? ? ? ___________.其中 k ? Z
这组公式的作用是可以把任意角三角函数值问题转化为 0 到 360 的角的三角函数值.
0 0
?
?
?
?
?
?
三、新知应用
例 1.确定下列三角函数值的符号 (1) cos 250 ; (2) sin( ?
0
?
4
0 ); (3) tan( ?672 ) ; (4) tan
11? 3
例 2.当 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 时,角 ? 为第三象限角.反之也成立.
例 3.已知 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 (1)求角 ? 的集合; (2)求角
?
2
终边所在的象限;
(3)试判断 tan
?
2
, sin
?
2
, cos
?
2
.
例 3.求下列三角函数值 (1) cos
9? 11? 11? ; (2) tan( ? ) ; (3) sin( ?672 0 ) ; (4) tan 4 6 3
四、课内练习
教材第 15 页 4、5、6
五、总结提升
1.熟记三角函数在各个象限三角函数值的符号; 2.掌握诱导公式一,体会三角函数周而复始的变化规律.
六、课后作业
1.给出下列各函数值:① sin ? 1000 ;② cos ? 2200 ;③ tan ?? 10 ? ;④
0 0
?
?
?
?
sin
7? cos ? 10 . 17? tan 9
)
其中结果为负值的是
(
(A) ① 2.若是第二象限角, 那么 (A) sin
(B)②
(C)③
(D)④ ( )
?
2
?0
(B) cos
?
2
?0
(C) tan
?
2
?0
(D) tan
?
2
?0
( )
3.已知点 P ?cos ? , sin ? ? 在第三象限,则在 ?0,2? ? 范围内 ? 的取值范围 (A) ? 0,
? ?? ? ? 2?
(B) ?
?? ? ,? ? ?2 ?
(C) ? ? ,
? ?
3? ? ? 2 ?
(D) ?
? 3? ? ,2? ? ? 2 ?
4.函数 y ?
sin x cos x tan x ? ? 的值域是___________. sin x cos x tan x
?
5.求 sin 390 ? cos ? 660 ? tan
?
?
?
9? 的值. 4
1 sin ? ? 0 ,求 ? 是第几象限角. 6.已知 1 tan ? ? tan ? sin ? ?
7.判断下列三角函数值的符号 (1) sin 3 ? cos 4 ? tan 5 (2)
sin(cos ? ) ( ? 为第二象限角) cos(sin ? )
1.2.1 任意角三角函数(3)
编稿人:任志伟
一、学习目标
1. 会画给定角的正弦线、余弦线、正切线; 2. 会利用三角函数线比较函数值的大小和角的取值范围.
二、预习新知
(一)有向线段 1. 定义: 规定了___________ (即规定了___________和___________) 的线段叫做有向线段. 2. 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标轴方向相反时为负. (二)三角函数线 设任意角 ? 的顶点在坐标原点 O ,始边为 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交与 点 P ( x, y ) ,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ,过点 A?1,0 ? 作单位圆的切线,它与角 ? 的 终 边 或 反 向 延 长 线 交 于 点 T . 由 三 角 函 数 的 定 义 , 可 知 sin ? ? y , cos ? ? x ,
tan ? ?
y ( x ? 0) . x
由图象可以知道:当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x , MP ? y ,于是有
OM , MP , AT 都看作有向线段
所以, sin ? ? y ? MP
cos ? ? x ? OM
tan ? ?
y MP AT ? ? ? AT x OM OA
我们就分别称有向线段 OM , MP , AT 为正弦线、余弦线、正切线. 三、新知应用 例1. 作出下列各角的正弦线,余弦线,正切线
(1)
?
3
;
(2)
5? ; 6
(3) ?
2? ; 3
(4) ?
13? . 6
例2. 利用三角函数线比较下列各组数的大小. (1) sin
2? 4? 和 sin 3 5
(2) cos
2? 4? 和 cos 3 5
(3) tan
2? 4? 和 tan . 3 5
例3. 利用单位圆寻找适合下列条件的 0 到 360 的角
?
?
(1) sin x ?
1 ; 2
(2) cos x ?
1 ; 2
(3) tan x ?
3 . 3
例4. 利用三角函数线证明: 0 ? x ?
?
2
,则 sin ? ? ? ? tan ? .
例5.求下列函数的定义域 (1) y ?
2 sin x ? 3 ;
2
(2) y ? lg(1 ? 4 cos x ) ; (3) y ?
cos x ? tan x
四、课内练习
教材第 17 页练习 1、2、3、4
五、总结提升
1.三角函数线是三角函数的几何表示, 它只管的刻画了三角函数的概念, 与三级哦啊函 数的定义结合起来, 可以从数与形两个方面认识三角函数的定义, 并使得对三角函数的定义 域、函数值的符号的变化规律、公式的理解更容易. 2.利用三角函数线解题有着不可以比拟的直观优势, 在有关比较大小, 不等式的证明中 起着十分重要的作用. 3.利用单位圆中的三角函数线, 确定简单的三角不等式的解集, 是一种有效的数学方法, 同时也是数形结合的思想,先确定角 ? 的临界位置,再结合图形观察三角函数先的取值范 围,就能得出结论.
六、课后作业
1.设 MP 和 OM 分别是
17? 的正弦线和余弦线,则有 18
( (B) MP ? 0 ? OM (D) OM ? 0 ? MP
(
)
(A) MP ? OM ? 0 (C) OM ? MP ? 0
2. sin 1 , cos 1 , tan 1 的大小关系是
)
(A) sin 1 ? cos1 ? tan 1 (C) cos1 ? sin 1 ? tan 1
3.有三个命题:①
(B) sin 1 ? cos1 ? tan 1 (D) tan 1 ? sin 1 ? cos1
5? ? 4? ? 5? 的正弦线相等;② 和 的正切线相等;③ 和 的余弦 6 3 3 4 4
( )
?
6
和
线相等.其中真命题有 (A) 0个 (B)1个 (C)2 个 (D) 3个
4.分别根据下列条件,写出角 ? 的取值范围
(1) cos ? ?
3 ; 2
(2) tan ? ? ?1 ;
(3) sin ? ? ?
3 . 2
5.若函数 f (x) 的定义域为 ?0,1? ,求函数 f (sin x ? ) 的定义域.
1 2
6.求函数 y ?
sin x ? cos x 的定义域. tan x