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导数的任意性及存在性问题


恒成立问题及存在性问题 知识方法总结: 恒成立问题及存在性问题重要结论:

2015.02.09

(1)对于任意的 x1 ?[a, b] ,总存在 x2 ?[m, n] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 )max ? g ( x2 )max ; (2)对于任意的 x1 ?[a, b] ,总存在 x2 ?[m, n] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 )min ? g ( x2 )min ; (3)若存在 x1 ?[a, b] ,对任意的 x2 ?[m, n] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 )min ? g ( x2 )min ; (4)若存在 x1 ?[a, b] ,对任意的 x2 ?[m, n] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 )max ? g ( x2 )max ; (5)对于任意的 x1 ?[a, b] , x2 ?[m, n] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 )max ? g ( x2 )min ; (6)对于任意的 x1 ?[a, b] , x2 ?[m, n] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 )min ? g ( x2 )max ; (7)若存在 x1 ?[a, b] ,总存在 x2 ?[m, n] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 )min ? g ( x2 )max ; (8)若存在 x1 ?[a, b] ,总存在 x2 ?[m, n] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 )max ? g ( x2 )min ; 1. [2014· 湖北卷] 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若?x∈R, 2
f(x-1)≤ f(x),则实数 a 的取值范围为( 6 6? ? ? 1 1? A.?-6,6? B.?- 6 , 6 ? ) 1 1? ? C.?-3,3? 3 3? ? D.?- 3 , 3 ? 1

2. [2014· B 表示具有如下性质的函数 φ(x)组成的集合: 四川卷] 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, 对于函数 φ(x),
3 M]. φ2(x)=sin x 时, φ1(x)∈A, φ2(x) 存在一个正数 M, 使得函数 φ(x)的值域包含于区间[-M, 例如, 当 φ1(x)=x ,

∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B; x ④若函数 f(x)=aln(x+2)+x2+1(x>-2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B.其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)

3. (2013 年高考四川卷(理))设函数 f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).若曲线 y ? sin x 上存在

( x0 , y0 ) 使得 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是(
(A) [1, e] 4. 已知函数 f ( x) ? (B) [e?1 ,-11] ,
4x 2 ? 7 , x ? [0,1]. 2? x

) (D) [e?1 -1, e ? 1]

(C) [1, e ? 1]

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间和值域;

(Ⅱ)设 a ? 1 ,函数 g ( x) ? x3 ? 3a2 x ? 2a, x ?[0,1]. 若对于任意 x1 ?[0,1] ,总存在 x0 ?[0,1] ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围.

1 2 7 ax ? (a ? 1) x ? ln x , g ( x) ? x2 ? 2bx ? . 2 8 (Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
5、 已知函数 f ( x) ?

(Ⅱ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)当 a ? 围.

1 时,函数 f ( x) 在 (0, 2] 上的最大值为 M ,若存在 x ?[1,2] ,使得 g ( x) ? M 成立,求实数 b 的取值范 4

6、已知函数 f ( x) ? ax2 ? 4ln( x ?1) , a ? R .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间;

(Ⅱ)已知点 P(1, 1) 和函数 f ( x ) 图象上动点 M (m, f (m)) ,对任意 m ?[2, e? 1] ,直线 PM 倾斜角都是钝角, 求 a 的取值范围.

x 7、 [2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=e -ax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为-1.

(1)求 a 的值及函数 f(x)的极值;

(2)证明:当 x>0 时,x2<ex;

(3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.

8.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值;

1? a , (a ? R). x
(Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间;

(Ⅲ)若在 ?1,e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

9.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a 1 ? 1 (a ? R) . (Ⅰ)当 a ? 时,讨论 f ( x) 的单调性; x 2
1 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1,2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取 4

(Ⅱ)设 g ( x) ? x2 ? 2bx ? 4.当 a ? 值范围.


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