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《三角恒等变换》单元测试题


必修④第三章《三角恒等变换》

普通高中课程标准实验教科书·数学·必修④第三章

《三角恒等变换》单元测试题 三角恒等变换》
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一个是符合题目要求的) 1、已知 cos α = ?

3 12 ?π ? ,α ∈ ? , π ? , sin β = ? , β 是第三象限角,则 5 13 ?2 ?
( B、 )

cos ( β ? α ) 的值是
A、 ?

33 65

63 65

C、

56 65

D、 ?

16 65

1、∵ cos α = ?

3 4 12 ?π ? ,α ∈ ? , π ? ,∴ sin α = ,又 sin β = ? , β ∈ Ⅲ, 5 5 13 ?2 ?

∴ cos β = ?

5 5 ? 3 ? ? 12 ? 4 33 ,∴ cos ( β ? α ) = ? × ? ? ? + ? ? ? × = ? 13 13 ? 5 ? ? 13 ? 5 65 5 4 , cos (α + β ) = ? ,则 sin β 的 13 5
( )

2、已知 α 和 β 都是锐角,且 sin α = 值是 A、

16 56 63 C、 D、 65 65 65 5 12 4 2 、 依 题 意 , ∵ sin α = , ∴ cos α = , 又 cos (α + β ) = ? , ∴ 13 13 5 π 3 < α + β < π , sin (α + β ) = , sin β = sin[(α + β ) ? α ] , ∴ ∵ 因此有, 2 5
B、

33 65

3 12 ? 4 ? 5 56 sin β = × ? ? ? ? × = 5 13 ? 5 ? 13 65
3 、 已 知 x ∈ ? 2 kπ ?

? ?

3 π? 3 ?π ? π , 2kπ + ? ( k ∈ Z ) , 且 cos ? ? x ? = ? , 则 4 4? 5 ?4 ?
( )

cos 2x 的值是

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必修④第三章《三角恒等变换》

A、 ?

7 25
? ? 3 4

B、 ?

24 25

C、

24 25

D、

7 25

3、∵ x∈? 2kπ ? π,2kπ + ? ,∴ cosx?sinx>0,即 sin? ?x?=

π?
4?

?π ? 2 ( cosx?sinx) >0, ?4 ? 2

∴ sin ?

?π ? 4 ?π ? ?π ? ?π ? ? x ? = ,又∵ cos 2x = sin ? ? 2x ? = 2sin ? ? x ? cos ? ? x ? , ?4 ? 5 ?2 ? ?4 ? ?4 ? 4 ? 3? 24 ×?? ? = ? 5 ? 5? 25 12 ,且 y 是第四象限角,则 13
( B、 ± )

∴ cos 2 x = 2 ×

4、设 cos ( x + y ) sin x ? sin ( x + y ) cos x =

tan

2 3 12 12 4、由 cos ( x + y ) sin x ? sin ( x + y ) cos x = 得 sin ? x ? ( x + y ) ? = ? sin y = , ? ? 13 13 y 2sin 2 5 y 2 = 1 ? cos y 又∵ y 是第四象限角,∴ cos y = ,∵ tan = 13 2 2sin y cos y sin y 2 2 5 1? 2 = 13 = ? 12 3 ? 13
C、 ? D、 ? 5、 函数 f ( x ) = sin A、 π 5 因为

y 的值是 2 2 A、 ± 3

3 2

3 2

π
2

x + cos

π
2

x 的最小正周期是
C、 1 D、 2





B、 2π

f ( x +1) = sin

π
2

( x +1) + cos ( x +1)
2

π

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必修④第三章《三角恒等变换》

π π ?π π ? ?π π ? = sin ? + x ? + cos ? + x ? = cos x + ? sin x = f ( x ) , 2 2 ?2 2 ? ?2 2 ?
∴最小正周期是 T = 1

5′ 、若函数 g ( x ) = f ( x ) sin (π x ) 为以 2 为最小正周期的奇函数,则函数

f ( x ) 可以是
A、 sin (π x ) B、 cos ?





?π ?2

? x? ?

C、 sin ?

?π ?2

? x? ?

D、 sin ?

?π ?2

? x? ?

5′ 、∵ g ( ? x ) = ? g ( x ) ,∴ f ( ? x ) sin ( ?π x ) = ? f ( x ) sin (π x ) ,即得:

f ( ? x ) = f ( x ) 成 立 , ∴ f ( x ) 为 偶 函 数 , 又 ∵ g ( x + 2) = g ( x ) , ∴ f ( x + 2 ) = f ( x ) ,即 f ( x ) 的周期为 2 ,选 C
6、某物体受到恒力是 F = 1, 3 ,产生的位移为 s = ( sin t , ? cos t ) ,则恒 力物体所做的功是 A、 3 + 1 B、 2 C、 2 2 ( D、 3 )

(

)

∵功 w = F i s = sin t ? 3 cos t = 2 sin ? t ?

? ?

π?

? ,∴ w ≤ 2 3?

6′ 、已知向量 a = ( 2 cos ? , 2 sin ? ) ,? ∈ ( 90 ,180 ) ,b = (1,1) ,则向量 a
与 b 的夹角为 A、 ? B、 ? ? 45 C、 135 ? ? ( )

D、 45 + ?

∵ a ib = 2 cos ? + 2 sin ? = 2 2 sin 45 + ? , a = 2 , b =

(

)

2 ,因此,

cos a, b =

a ib aib

= sin ( 45 + ? ) = cos ?90 ? ( 45 + ? ) ? = cos (? ? 45 ? ?

)

第 3 页 共 12 页

必修④第三章《三角恒等变换》

,∴ a, b = ? ? 45 8、已知 sin ?

cos 2 x π? ?π ? 12 ? π 的值为( + x ? = ? < x < ? ,则式子 2? ?π ? ?4 ? 13 ? 4 cos ? ? x ? ?4 ?
B、



A、 ? ∵

10 13

24 13

C、

5 13

D、 ?

12 13

π
4

<x<

π
2

,∴

π
2

< x+

π
4

<

5π π? 5 ? , 则 cos ? x + ? = ? ,则式为 4 4? 13 ?

?π ? ?π ? ?π ? sin ? ? 2x ? 2sin ? ? x ? cos ? ? x ? 2 ?= ? 4 ? ? 4 ? = 2sin ? π ? x ? = 2 cos ? π + x ? = ? ? ? ? ? ?π ? ?π ? ?4 ? ?4 ? cos ? ? x ? cos ? ? x ? ?4 ? ?4 ?
9、函数 y = sin A、 x = ∵

11 π 3

x x + 3 cos 的图像的一条对称轴方程是 ( ) 2 2 5π 5π π B、 x = C、 x = ? D、 x = ? 3 3 3 x x + 3 cos 2 2

y = sin

?x π? = 2 sin ? + ? ?2 3?





x π π π 5π + = kπ + ? x = 2kπ + ( k ∈ Z ) ,当 k = ?1 时, x = ? 2 3 2 3 3 1 ? cos x + sin x 10、已知 = ?2 ,则 sin x 的值为 ( ) 1 + cos x + sin x
A、

4 5

B、 ?

4 5

C、 ?

3 5

D、 ?

15 5



(1 ? cos x ) + sin x = (1 + cos x ) + sin x

x x ? x? 2sin 2 ? ? + 2 sin cos x 2 2 ?2? = tan x x x 2 2 cos 2 + 2 sin cos 2 2 2

= ?2 , ∴

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必修④第三章《三角恒等变换》

x 2 =?4 sin x = x 5 1 + tan 2 2 2 tan
11、已知 α ∈ ? 0,

1 1 ? π? ? , β ∈ ( 0, π ) ,且 tan (α ? β ) = , tan β = ? ,则 2 7 ? 4?
( B、 ? )

2α ? β 的值是
A、 ?

5π 6

2π 3

C、 ?

7π 12

D、 ?

3π 4



1 1 ? 1 2 7 tan α = tan ?(α ? β ) + β ? = = ? ? 1 ? 1? 3 1? × ? ? ? 2 ? 7?





1 1 + tan ( 2α ? β ) = tan ?(α ? β ) + α ? = 3 2 = 1 , 又 ∵ β ∈ ( 0, π ) , ? ? 1 1 1? × 3 2 1 3π ? π? tan β = ? , α ∈ ? 0, ? ,∴ ?π < 2α ? β < 0 ,∴ 2α ? β = ? 7 4 ? 4?
12、已知不等式 f ( x ) = 3 2 sin 意的 ?

x x x 6 cos + 6 cos 2 ? ? m ≤ 0 对于任 4 4 4 2
( )

5π π ≤ x ≤ 恒成立, 则实数 m 的取值范围是 6 6 3
B、 m ≤

A、 m ≥

3

C、 m ≤ ? 3

D、 ? 3 ≤ m ≤

3

∵ f ( x) =

5π π ?x π? ≤x≤ 恒成立,即 6 sin ? + ? ? m ≤ 0 对 于 ? 6 6 ?2 6?

m ≥ f ( x )max = 3
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在题中 的横线上)
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必修④第三章《三角恒等变换》

13、已知 sin x =

1 , sin ( x + y ) = 1 ,则 sin ( 2 y + x ) = 3

∵ sin ( x + y ) = 1 , ∴ x + y = 2kπ +

π

2

, ∴ y = 2 kπ +

π
2

?x , ∴

π ? ? sin ( 2 y + x ) = sin ?(2kπ + ) + y ? 2 ? ? π 1 ? ? ?π ? = cos ? 2kπ + ? x ? = cos ? ? x ? = sin x = 2 3 ?2 ? ? ?
14、函数 y = sin 2 x + 2 2 cos ?

?π ? = sin ? + y ? = cos y ?2 ?

?π ? + x ? + 3 的最小值是 ?4 ?

令 t = cos ?

?π ? ?π ? ?π ? + x ? ,∴ y = ? cos ? + 2 x ? + 2 2 cos ? + x ? + 3 ?4 ? ?2 ? ?4 ?
2 2

? ? 2? 2? = ?2 ? t ? ? + 5 ≥ ?2 ? ?1 ? ? +5= 2?2 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 1 ? cosx 15、函数 y = 图像的对称中心是(写出通式) sin x 1 ? cos x x ∵y= = tan ∴对称中心为 ( kπ , 0 )( k ∈ Z ) sin x 2
16、关于函数 f ( x ) = cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ,下列命题: ①、若存在 x1 , x2 有 x1 ? x2 = π 时, f ( x1 ) = f ( x2 ) 成立; ②、 f ( x ) 在区间 ? ?

? π π? 上是单调递增; , ? 6 3? ? ?π ? , 0 ? 成中心对称图像; ? 12 ? 5π 个单位后将与 y = 2sin 2 x 的图像重 12
(注:把你认为正确的序号都填上)

③、函数 f ( x ) 的图像关于点 ?

④、将函数 f ( x ) 的图像向左平移 合.其中正确的命题序号

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必修④第三章《三角恒等变换》

∵ f ( x ) = 2sin ?

5π ?π ? ? ? 2 x ? = 2sin ? 2 x + 6 ?6 ? ?

5π ? ? ? ? = 2 sin 2 ? x + ? ,∴周期 12 ? ? ?

T = π ,①正确;∵递减区间是

π
2

≤ 2x +

5π 3π ? π π? ≤ ,解之为 ? ? , ? , 6 2 ? 6 3?

②错误;∵对称中心的横坐标 2 x +

5π kπ 5π = kπ ? x = ? ,当 k = 1 时, 6 2 12

得③正确;应该是向右平移,④不正确. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤) 17、 (本小题满分 12 分) 已知 0 < α <

π
2

, tan

α
2

+

1 tan

α
2

=

5 π? ? ,试求 sin ? α ? ? 的值. 2 3? ?

解:由 tan

α
2

+

1 tan

α
2

=

5 1 ? cos α 1 + cos α 5 4 ,得 + = ? sin α = ,又 2 sin α sin α 2 5

0 <α <

π
2

,∴ cos α =

3 π ? 4 1 3 3 4?3 3 ? ,所以 sin ? α ? ? = × ? × = 5 3? 5 2 5 2 10 ?

18、 (本小题满分 12 分) 已知 a = ? 3 sin ω x, cos ω x , b = ( cos ω x, cos ω x )

(

)

(ω > 0 ) ,令函数

f ( x ) = a ib ,且 f ( x ) 的最小正周期为 π .
(1) 求 ω 的值; (2) 求 f ( x ) 的单调区间. (1)∵ f ( x ) = a ib ,∴ f ( x ) = ? 3 sin ω xicos ω x + cos
2

ωx
, 即

=

1 1 cos 2ω x ? 3 sin 2ω x + 2 2

(

)

?π ? 1 = sin ? ? 2ω x ? + ?6 ? 2

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必修④第三章《三角恒等变换》

2π 2π 5π ? 1 ? = ? ω =1; f ( x ) = sin ? 2ω x + ? + ,∴ 2ω = T π 6 ? 2 ?
( 2 ) 令 2 kπ ?

π
2

≤ 2x +

5π π ≤ 2k π + , k ∈ Z , 解 之 f ( x ) 在 6 2
上 递 增 ; 同 理 可 求 递 减 区 间 为

2π π? ? ? kπ ? 3 , kπ ? 6 ? ? ?

(k ∈ Z )

π π? ? k π ? , kπ + ? ( k ∈ Z ) . ? 6 3? ?
18′ 、 设 a = (1 + cos α ,sin α ) , b = (1 ? cos β ,sin β ) , c = (1, 0 ) ,

α ∈ ( 0, π ) , β ∈ (π , 2π ) ,设 a 与 c 的夹角为 θ1 , b 与 c 夹角为 θ 2 ,且
θ1 ? θ 2 = π
6
.求 sin

α ?β
8 a ib

的值.

依 题 意 : cos θ1 =

a b

=

1 + cos α 1 + cos α α = = cos , 又 2 2 2 + 2 cos α
, ∴

α ∈ ( 0, π )
cos θ 2 = sin
∴ θ2 =





α

? π? ∈ ? 0, ? 2 ? 2?

θ1 =

α
2







β π
2

β π ? π? ?β π ? = cos ? ? ? ,因 β ∈ (π , 2π ) ,所以 ? ∈ ? 0, ? , 2 2 2 ? 2? ? 2 2?
, 将 θ1 、 θ 2 代 入 θ1 ? θ 2 =

β
2

?

π
6



α ?β
2

=?

π
3

,从而有

sin

α ?β
8

2? 6 ? π ? ?π π ? = sin ? ? ? = sin ? ? ? = . 4 ? 12 ? ?6 4?

19、 (本小题满分 12 分) 已知 tan ?

sin 2α ? 2 cos 2 α 1 ?π ? 的值. + α ? = ? ,试求式子 1 ? tan α 2 ?4 ?

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必修④第三章《三角恒等变换》

sin 2α ? 2 cos 2 α 1 ? tan α

=

2 cos 2 α ( tan α ? 1) π? ? = 2 cos 2 α i tan ? α ? ? 1 + tan α 4? ?

?π ? π ?? cos ? + ?α ? ?? 2 ? 4 ?? 1 + cos 2α = ?2i i ? 2 π ?? ?π ? sin ? + ?α ? ?? 4 ?? ?2 ?

=?(1+ cos2α)

1 ? π? tan?α + ? ? 4?

= 2 + 2cos2α

π? ? ? 1? 4 tan ? α + ? 4i? ? ? 2 4? 2? ?π ? ? = 2 + 2 sin ? + 2α ? = 2 + = 2+ ? = 2 π? 5 ? ?2 ? ? 1? 1 + tan 2 ? α + ? 1+ ? ? ? 4? ? ? 2?
20、 (本小题满分 12 分)

? ? x? 1 2 ? 1 3 cos 2 x . 已知 x ∈ R , f ( x ) = sin x ? ? tan ? + x 2 2? 2 ? tan 2 ? ?
(1) 若 0 < x < (2) 若 f ( x ) =

π
2

,求 f ( x ) 的单调的递减区间;

3 ,求 x 的值. 2

1 3 ? 1 + cos x 1 ? cos x ? f ( x ) = sin 2 x ? ? cos 2 x ?+ 2 sin x ? 2 ? sin x 1 2 cos x 3 1 3 = sin 2 xi + cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x 2 sin x 2 2 2

π? ? = sin ? 2 x + ? 3? ?
(1)∵ 0 < x <

π
2

,∴

π
2

≤ 2x +

π
3

<

4π π π ,即 ≤ x < 时, f ( x ) 为减 3 12 2

函数,故 f ( x ) 的递减区间为 ?

π? 3 ?π π ? ? (2)∵ sin ? 2 x + ? = ,∴ , ?; 3? 2 ?12 2 ? ?

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必修④第三章《三角恒等变换》

x = kπ ( k ∈ Z ) ,或 x =

π
6

+ kπ ( k ∈ Z ) .

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 满足下列关系式: (i)对于任意的 x, y ∈ R ,恒有

?π ? 2 f ( x) f ( y) = f ? ? x + y ? ? ?2 ?
(ii) f ?

?π ? f ? ? x? y?; ?2 ?

?π ? ? = 1. ?2?

求证: (1) f ( 0 ) = 0 ; (2) f ( x ) 为奇函数; (3) f ( x ) 是以 2π 为周期的周期函数. (1)令 x = y = 0 , 2 f 2 ( 0 ) = f ?

?π ? ?? ?2?

?π ? f ? ? = 0 ? f ( 0) = 0 ; ?2? ?π ? f ? ? =1, ?2?

(2) x = 令

π
2

, y ∈ R ,2 f ?

?π ? ? f ( y ) = f ( y ) ? f ( ? y ) ,∵ ?2?

∴ f ( y ) = ? f ( ? y ) ,故 f ( x ) 为奇函数; (3)令 y =

π
2

, x ∈ R ,有

2 f ( x )i1 = f ( π ? x ) ? f ( ? x ) , 即 f (π ? x ) = f ( x ) … … ① , 再 令
x=?
即 f

π
2

, y = x 有 2i( ?1) f ( x ) = f

(π + x ) ? f (π ? x ) f (π + x ) ? f ( x ) ,

(π + x ) = ? f ( x ) = f ( x ? π ) ,令 x ? π = t ,则 x + π = 2π + t ,所

以 f ( t ) = f ( 2π + t ) ,即 f ( x ) 是以 2π 为周期的周期函数.

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必修④第三章《三角恒等变换》

21′ 、求

3 tan12 ? 3 的值. sin12 ( 4 cos 2 ? 2 )

原式 =

3 sin12 ? 3cos12 3 sin12 ? 3cos12 cos12 = sin12 i2 cos 24 sin 24 cos 24
4 3 ( sin12 cos 60 ? cos12 sin 60 2sin 24 cos 24 sin ( ?48 sin 48

=

)

=4 3

) = ?4

3

22、 (本小题满分 14 分) 将 函 数 f ( x) =

2 3 cos x ? 2sin x +2 的 图 像 按 向 量 5 + 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x

?π ? a = ? , ?2 ? 平移,得到函数 g ( x ) 的图像. ?6 ?
(1) 化简 f ( x ) 的表达式,并求出函数 g ( x ) 的表示式; (2) 指出函数 g ( x ) 在 ? ?

? π π? 上的单调性; , ? 2 2? ? ? ? 9? 问在 y = g ( x ) 的图像上是否存在一点 P , ?, 2?

(3) 已知 A ? ?2, ? , ? 2, B 使得 AP ⊥ BP . (1)

? ?

3? 2?

π ? π ? ? π? 4? cos cos x ? sin sin x ? 4cos ? x + ? 6 6 ? +2 = ? 6? f ( x) = ? +2 π ? π ? 5 + (1+ cox2x) ? 3sin 2x 6 + 2? cos cos2x ? sin sin2x ? 3 ? 3 ?

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必修④第三章《三角恒等变换》

π? ? 2 cos ? x + ? π? 6? ?π ? ? ? = + 2 ,∵ a = ? , ?2 ? ,即 g ( x ) = f ? x ? ? ? 2 ,∴ π? 6? ? ?6 ? ? 3 + cos ? 2 x + ? 3? ?
g ( x) = 2 cos x cos x = ; 3 + cos 2 x cos 2 x + 1

(2)∵ g ? ±

1 ? π? ? π π? , (i) ? = 0 ,当 x ∈ ? ? , ? 时, g ( x ) = 1 ? 2 2? ? 2? cos x + cos x
1

当 x ∈? ?

1 ? +∞ ? π ? ? 2 , 0 ? 时,? cos x + ? ↓2 ,∴ g ( x ) ↑0 ,∴ g ( x ) 为增函数; 2 ? cos x ? ? ?
1

1 ? +∞ ? π? ? 2 (ii)当 x ∈ ? 0, ? 时, ? cos x + ? ↑2 ,∴ g ( x ) ↓0 ,∴ g ( x ) 为减 2? cos x ? ? ?
函数. (3) y = g ( x ) 图像上存在点 P ? 0, 在

? ?

1 1? 使得 AP ⊥ BP , 因为 g ( x ) ≤ , ?, 2 2?
2

且 g ( 0) =

1 2 ?5? ,所以圆 x 2 + ( y ? 3) = ? ? 与 y = g ( x ) 图像有唯一交点 2 ?2?

? 1? P ? 0, ? . ? 2?

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