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1.1命题及其关系


某人请客,请了四人,赵二,张三,李四,王五, 吃饭时来了赵二,张三,李四三人,王五没来.主 人说: “该来的没来”.李四听了 “该来的没 来”,心想看来我是不该来的,就转身走了,主 人看李四走了,又说: “不该走的又走了”.张 三一听,起身走了,主人急了,忙去拖他: “我 说的不是你呀”这句话说完,赵二也走了.

思考:是主人不会说话还是客人误解?


1.1命题及其关系

思考
下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗?
(1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点; (2)2+4=7; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)若x2=1,则x=1;

(5)两个全等三角形的面积相等;
(6)3能被2整除.

特点:①都是陈述句 ②都可以判断真假 其中(1)(3)(5)为真,(2)(4)(6)为假.

一:命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符号 或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做 命题 判断为真的语句叫真命题。 分类 判断为假的语句叫假命题。
? 理解: 1)判断一个语句是不是命题,关键看这语句是否符合“是陈 述句”和“可以判断真假” 这两个条件,切记:判断的标 准必须确定,判断的结果可真可假。 2)注意不要把假命题误认为不是命题.

例1 判断下列语句中哪些是命题?是 真命题还是假命题?
(1)空集是任何集合的子集;
(2)若整数a是素数,则a是奇数; (3)指数函数是增函数吗?
疑问句 真命题 假命题

(4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行; 假命题
(5)

?? 2?2 ? 2;
祈使句

真命题

(6)x>15. (7)画线段AB=CD. (8) 一中的景色多美啊!
感叹句
判断标准不明确

(9)这是一条大河。

练习1:判断下列命题的真假:
(1)能被6整除的整数一定能被3整除;

真 假 真 真

(2)若一个四边形的四条边相等,则这个四边形
是正方形;

(3)二次函数的图象是一条抛物线;
(4)两个内角等于 45 的三角形是等腰直角三
?

角形.

二:命题形式“若p则q”
命题“若整数a是素数,则a是奇数。”具 q 有“若p则q”的形式。 p ?通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条 件,q叫做命题的结论。 ?“若p则q” “如果p,那么q” “只要p,就有q”

记作:

p?q

“若p则q”形式的命题的书写
“垂直于同一条直线的两个平面平行”。 ? “若p则q”: 若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平 面平行。
?

例2 指出下列命题中的条件p和结论q:
1) 2)

若整数a能被2整除,则a是偶数; 菱形的对角线互相垂直且平分。

解:1) 条件p:整数a能被2整除, 结论q:整数a 是偶数。 2) 写成若p,则q 的形式:若四边形是菱形, 则它的对角线互相垂直且平分。 条件p:四边形是菱形, 结论q:四边形的对角线互相垂直且平分。

例3 把下列命题改写成“若p则q”的形 式,并判定真假。
(1) 负数的平方是正数. (2)垂直于同一条直线的两条直线平行 (3)面积相等的两个三角形全等. (4)对顶角相等.

真命题 假命题 假命题 真命题

练习2:把下列命题改写成“若p,则q”的形式, 并判断它们的真假.
(1)等腰三角形两腰的中线相等;

(2)偶函数的图象关于y轴对称;
(3)垂直于同一个平面的两个平面平行。

(1)若三角形是等腰三角形,则三角形两腰的中线相等。 这是真命题。
(2)若函数是偶函数,则函数的图象关于y轴对称,这是真 命题。 (3)若两个平面垂直于同一平面,则这两个平面互相平行。 这是假命题。

观察:下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的 条件和结论之间分别有什么关系?

1. 2. 3. 4.

若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数。

观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间 分别有什么关系?
1.

2.

互逆命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件,这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题:其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题:另一个命题叫做原命题的逆命题。 即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p

若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; p q 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; q p

例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆命题是“两 直线平行,同位角相等”。

q? p

四:原命题、逆命题、否命题、逆否命题

四种命题形式: 若 ? 原命题: 若 ? 逆命题: 若 ? 否命题: ? 逆否命题: 若

p, 则q q, 则p ┐p, 则┐q ┐q, 则┐p

p?q
q? p

? p ? ?q
? q ? ?p

注意:否命题既否定条件,又否定结论;

观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间 分别有什么关系?
若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; q p 3. 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数. ┐p ┐q
1.
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q” 互否命题 原命题 (原命题的)否命题

原命题:若p,则q

否命题:若┐p,则┐q

例如,命题“同位角相等,两直线平行”的否命题是“同 位角不相等,两直线不平行”。

观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间 分别有什么关系?
若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; q p 4. 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数. ┐q ┐p
1.

互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题
原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题是 “两直线不平行,同位角不相等”。

三:三个概念
1、互逆命题:如果一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的结论和条件,那么这两个命题叫互逆命题。其中一个命 题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题。 2、互否命题:如果一个命题的条件和结论是另一个命题的 条件的否定和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题。 其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的否命题。 3、互为逆否命题:如果一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论的否定和条件的否定,那么这两个命题叫做互 为逆否命题。

q? p

四:原命题、逆命题、否命题、逆否命题

四种命题形式: 若 ? 原命题: 若 ? 逆命题: 若 ? 否命题: ? 逆否命题: 若

p, 则q q, 则p ┐p, 则┐q ┐q, 则┐p

p?q
q? p

? p ? ?q
? q ? ?p

注意:否命题既否定条件,又否定结论;

例4:写出下列命题的原命题、逆命题、否命 题、逆否命题
原命题: 若一个整数的末位是 0 ,则这个整数可被5整除

真 逆命题: 若一个整数可被5整除,则这个整数的末位是0 假 否命题:若一个整数的末位不是 0 ,则这个整数不能被5整除 假
逆否命题: 若一个整数不能被5整除,则这个整数的末位不是0 真

例5:写出下列命题的原命题、逆命题、 否命题和逆否命题: 逆命题:如果一个四边形四边
相等,那么它是正方形。
(1)正方形的四条边相 等。



原命题:如果一个 四边形是正方形, 那么它的四条边相 等。 真

否命题:如果一个四边
形不是正方形,那么它的 四条边不相等。 假

逆否命题:如果一个
四边形四边不相等,那 么它不是正方形。 真

逆命题:
若X2-3X+2=0, 真 则X=1或X=2 。

否命题:

(2)若X=1或 X=2,则X2- 3X+2=0。


若X?1且X?2, 则X2-3X+2 ?0。 真

逆否命题:若X2-3
X+2 ? 0, 则X?1且X? 2 。



五:一般地,四种命题的真假性,有而且 仅有下面四种情况:
原命题 真 真 假 假 逆命题 真 假 假 真 否命题 真 假 假 真 逆否命题 真 真 假 假

注意:这4个命题中真命题的个数一定为 偶数个。

六: 四种命题之间的 关系
原 命 题 与 逆 否 命 题 同 真 假 。

原命题
若p则q

互逆

逆命题
若q则p

互 否

互 否
互逆

否命题
若﹁p则﹁q

逆否命题
若﹁q则﹁p

原 命 题 的 逆 命 题 与 否 命 题 同 真 假。

结论1:
1、两个命题互为逆否命 题,它们有相同的真假性; 2、两个命题为互逆命题 或互否命题,它们的真假性没有 关系。

七:下面是一些常见的结论的否定形式.
原结论 反设词 原结论 反设词 一个也没有

是 都是

不是

至少有一个

至少有两个 不都是 至多有一个 大于 至少有n个 至多有(n-1)个 不大于 小于 大于或等于 至多有n个 至少有(n+1)个 对所有x, 存在某x, 对任何x, 存在某x, 成立 不成立 成立 不成立
结论2:(1)“或”的否定为“且”, (2)“且”的否定为“或”, (3)“都”的否定为“不都”。

练习3:用否定的形式填空:
(1)a > 0; (2)a ≥0或b<0; (3)a、b都是正数; a、b不都是正数。 a≤0。 a<0且b≥0。

练习4、写出下列命题的逆命题、否命题、逆 否命题

2 x ? 7x ? 8 ? 0 原命题: 若

,则 x ? 1 或 x ? ?8 。 。

逆命题: 若 x ? 1 或

2 x ? ?8 , 则 x ? 7 x ? 8 ? 0

否命题: 若 x 2 ? 7 x ? 8 ? 0

,则 x ? 1 且 x ? ?8 。 。

逆否命题: 若 x ? 1 且 x ? ?8 ,则 x 2 ? 7 x ? 8 ? 0

高考链接
1. 下列命题是真命题的为( A) 1 1 A.若 x ? y ,则 x=y B.若x2=1,则 x=1 C.若x=y,则 x ? y D.若x<y,则x2<y2

2. 命题“若一个数是负数,则它的平方是正数” 的逆命题是(B ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 解析: 因为一个命题的逆命题是将原命题的 条件与结论进行交换,因此逆命题为 “若一个 数的平方是正数,则它是负数”.

3. 命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为 若a ? b,则2a ?2b-1 ______________________.
解析:因为一个命题的否命题是同时否 定原命题的条件和结论,所得的命题,因 此答案为若a<=b,则2a<=2b-1 .

4. 命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是(D) A.若x2 ≥ 1,则x ≥ 1; B.若-1<x<1,则x2<1; C.若x>1或x<-1,则x2>1; D.若x ≥ 1或x ≤ -1,则x2 ≥ 1 解析:交换原命题的条件和结论,并且同时 否定,所得的命题,因此答案为D.

5.有下列四个命题: ①“若x+y=0 , 则互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≦1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; 其中真命题为( C ) A.①② B.②③ C.①③ D.③④

解答题:
提高练习 : 1.已知命题 P: lg(x 2 ?2 x ? 2) ≥ 0 的解集是 A; 命题 Q: x(4 ? x) ≤ 0 的解集是 B.若 P 是真命题,Q 是真命题,求 A∩ B.

2 、设有两个命题:p:|x|+1≥m的解集为R;q: 函数f(x)= - (7-3m)x 是减函数,若两个命题中 有且只有一个真命题,求实数m的取值范围。

提高练习 : 1.已知命题 P: lg(x 2 ?2 x ? 2) ≥ 0 的解集是 A; 命题 Q: x(4 ? x) ≤ 0 的解集是 B.若 P 是真命题,Q 也是真命题,求 A∩ B.

解:由 lg(x - 2x- 2)≥ 0,得 x - 2x- 2≥ 1 ∴ x≥ 3 或 x≤- 1,∴ A ? ? ??, ?1? ? ?3, ??? 由 x(4 ? x) ≤ 0 得 x≤ 0 或 x≥ 4 ∵命题 Q 真,∴ B={x|x≤ 0 或 x≥ 4}. 则 {x| x≥ 3 或 x≤- 1}∩ {x| x≤ 0 或 x≥ 4} ={x| x≤- 1 或 x≥ 4}; ∴ A∩B=(-∞ ,- 1]∪ [4, +∞)

2

2

2 、设有两个命题:p:|x|+1≥m的解集为R;q:函数f(x)= - (73m)x 是减函数,若两个命题中有且只有一个真命题,求实数m 的取值范围。

解:若命题p为真命题,则m≤1,若命题q为真命 题,则7-3m>1,即m<2. ?m ? 1, m ??, ? 当p真q假时, ?m ? 2, ?m ? 1, ?1 ? m ? 2 ? 当p假q真时, ?m ? 2, 故m取值范围是1<m<2

总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现: 从命 题结论的反面出发 , 引出矛盾 ( 如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.


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