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数列求和


题目:数列的求和

1

一、公式法
等差数列的求和公式:

sn ?

n ( a1 ? a n ) 2

? na 1 ?

1 2

n ( n ? 1) d

等比数列的求和公式:

>?q ?q

? 1?

? 1?

直接利用公式求和时, 注意公式的应用范围要记死 公式,用活公式,尤其需注 意地地方定要留心。

3

常见数列的前n项和

n( n ? 1) 2

(1)1+2+3+…+n=
(2)2+4+6+…+2n=

;

n2+n ;
n( n ? 1)(2n ? 1)

(3)1+3+5+…+(2n-1)= n2 ; (4)12+22+32+…+n2=
6 [ n( n ? 1) 2 ]
2

;

(5)13+23+33+…+n3=

.
4

练一练
n(n ? 2 n) 2

1、2+4+6+·+ 2n = · ·
2、

1?

1 2

?

1

· · 4·

?

1 2
n

?

2?( ) 2

1

n

0 (x=0)
x ? x ? x ?·? xn ? 3、 · ·
1 2 3

n (x=1)
x (1 -x ) 1 -x
n

( x ? 1且 x ? 0 )
5

二、分组求和法

把数列中的每一项分解 成两项,使其转化为n个等 差数列或等比数列,再求和, 即为分组转化求和法

6

想一想
例1:求通项为 的数列的前n项和

· · ·

· · ·

练一练
1、求和: =(2+4+·+2n) · · · · · · · ·

8

三、通项化归求和法

如果题中的第n项本身就 是一个和式,那么可先将通 项变形再求和,即通项化归 法

9

想一想
例:求和 解:由题知

· · · · · ·

· · ·

· · · · · ·

练一练

求和:

· · ·

· · ·

11

四、裂项相消求和法

将数列的每一项拆成两 项或多项,使数列中的项出 现有规律的抵消项,从而达 到求和的目的

12

常见的拆项公式有
(1 ) 1 n ( n ? 1) ? 1 n ? 1 n ?1 ? ; 1 ? 1 2n ? 1

(2)

1 ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 1 n? n ?1 ?

1

2 2n ? 1 n.

(

);

(3)

n ?1?

13

想一想
例:求和 · · ·

· · ·

14

练习1
求和
· · ·

练习2
求数列的和 1+



解:由题知 · · · · · · · · · · · ·

· · ·

五、倒序相加求和法
如果一个数列{ an},与首末两项等距 的两项之和等于首末两项之和,可采 用把正着写和与倒着写和的两个和式 相加,就得到一个常数列的和,这一 求和的方法称为倒序相加法.

17

等差数列的前n项和公式的推导
由等差数列
a1 , a 2 ,
a3 ,

…,

an ,

…,

的前n项和

S n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? a n 得 S n ? a 1 ? ( a 1 ? d ) ? ( a 1 ? 2 d ) ? ? ? [ a 1 ? ( n ? 1) d ] S n ? a n ? ( a n ? d ) ? ( a n ? 2 d ) ? ? ? [ a n ? ( n ? 1) d ]
n个 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? 2 S n ? a1 ? a n ) ? a1 ? a n ) ? ? ? a1 ? a n ) ( ( (

? n ( a1 ? a n )
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2
18

练一练

已知在等差数列{an}的前n项中, 前四项之和为21,后四项之和为67, 前n项之和为286,试求数列的项数 n.
析:
a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 21

a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? a n ? 3 ? 67
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2 ? 286

a1 ? a n ?

21 ? 67 4

? 22

n ? 26
19

六、错位相减法

适用于一个等差数列和一 个等比数列对应项相乘构 成的数列求和

20

【例】设数列{an}满足a1+3a2 n∈N+. (1)求数列{an}的通项; (2)设bn=
n an

+32a

3

+…+3n-1a

n=

n 3

,

,求数列{bn}的前n项和Sn.

思维启迪 (1)由已知写出前n-1项之和,两式相 减.(2)bn=n·3n 的特点是数列{n}与{3n}之积可 用错位相减法.



(1)∵a1+3a2

+32a

3

+…+3n-1a

n=

n 3

,



∴当n≥2时,
n a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1= ? 1 , 3


21

①-②得3n-1a

n=

1 3

,∴an=
1 3

1 3
n

. 1 3
n

在①中,令n=1,得a1= ∴an=
1 3
n

,适合an=

,

.

(2)∵bn= ③

n an

,∴bn=n·3n.

∴Sn=3+2×32+3×33+…+n·3n

∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n·3n+1.
④-③得2Sn=n·3n+1-(3+32+33+…+3n), 即2Sn =n3n+13 (1 ? 3 ) 1? 3
n


n ?1

,? S n ?

( 2 n ? 1) 3 4

?

3 4
22

七、分组转化求和法

把数列的每一项分成两项,或把 数列的项“集”在一块重新组合, 或把整个数列分成两部分,使其 转化为等差或等比数列,这一求 和方法称为分组转化法.

23

练习

若数列{an}中,an=-2[n-(-1) n], 求S10和S99.

24

1、本节主要讲了4种数列求和方法 公式法 分组转化法 通项化归法 裂项相消法 倒序相加求和法 总结 错位相减法 分组转化求和法

2、求和时应首先注意观察数列特点和规 律考察此数列,是否是基本数列求和或 者可转化为基本数列求和 3、要熟练运用这些方法,还需要我 们在练习中不断摸索

25

随堂作业
1、数列 2、数列 3、数列 , , , , , , · 的前n项和 · · · 的前n项和 · · · 的前n项和 · ·

实战演练
已知正数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,又a1=b1 =1 ,a2b2=2,a3 b3 =
7 4



(1) 求数列{an}及数列{bn}的通项公式; (2) 设cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn

解析:

设等差数列 {an} 的公差为d,等比数列 {bn} 的公比为 q ,则由题意得

(1) ? (1 ? d ) q ? 2 1 ? ? d ? 3, q ? 7 ? 2 2 (1 ? 2 d ) q ? (2) ? 4 ? 1 1 c n ? a n ? b n ? ( 3 n ? 2 ) ? n ?1 b n ? n ?1 ? a n ? 3n ? 2 2 2

通项特征: 由等差数列通项与等比数列通项相乘而得 求和方法: 错位相减法——错项法

27

c n ? a n ? bn ? (3 n ? 2 ) ?

1 2
n ?1

S n ? c1 ? c 2 ? c 3 ? ? ? ? ? c n

解析:
S n ? 1? 1 2
0

? 4?

1 2
1

? 7?

1 2
2

? ? ? ?? (3 n ? 5 ) ?

1 2
n?2

? (3n ? 2) ?

1 2
n ?1

错位相 减法

1 2

S n ? 1?

1 2
1

? 4?

1 2
2

? 7?

1 2
3

? ??? ? (3 n ? 5 ) ?
2

1
n ?1

? (3n ? 2) ?

1 2
n

两式相减:
1 1 2 Sn ? 1 ? 3 ? 1 2
1

? 3?

1 2
2

? ? ? 3?

1 2
n ?1

? (3n ? 2) ?

1 2
n

(1 ? 1?

1 2 1
n ?1

) ?

? 1? 3 2

3n ? 2 2
n

2

? S n ? 2(4 ?

3 2
n ?1

?

3n ? 2 2
n

) ? 8?

6 2
n ?1

?

6n ? 4 2
n

28


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