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二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础) (2)


二倍角的正弦、余弦和正切公式 【要点梳理】 要点一:二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2? ? 2sin ? ? cos ? (S2? )
cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? (C2? ) ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?
tan 2? ? 2 tan ?

(T2? ) 1 ? tan 2 ?

2.和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式 S? ? ? , C? ? ? , T? ? ? 中,当? ? ? 时,就可得到二倍角的三角 函数公式,它们的内在联系如下: 要点二:二倍角公式的逆用及变形 1.公式的逆用

2sin ? cos ? ? sin 2? ; sin ? cos ? ?

1 sin 2? . 2

cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ? cos 2? .
2 tan ? ? tan 2? . 1 ? tan 2 ?
2.公式的变形

1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? )2 ;
降幂公式: cos ? ?
2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ,sin 2 ? ? 2 2
2

升幂公式: 1 ? cos 2? ? 2cos

? ,1 ? cos 2? ? 2sin 2 ?

要点三:两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1.对公式会“正着用” , “逆着用” ,也会运用代数变换中的常用方法:因式分解、配方、 凑项、添项、换元等; 2.掌握“角的演变”规律,寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系,如

? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 等等,把握式子的变形方向,准确运用公式,
也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等);

3.将公式和其它知识衔接起来使用,尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】 类型一:二倍角公式的简单应用 例 1.化简下列各式: (1) 4sin

?
2

cos

?
2

; (2) sin

2

?
8

? cos 2

?
8

; (3 )

tan 37.5? . 1 ? tan 2 37.5?

举一反三: 【变式 1】求值: (1) ? cos

? ?

?
12

? sin

? ? ? 2 ? ?1 ; (2) 2 cos (3) ?? cos ? sin ? ; 8 12 ?? 12 12 ?

? ??

2 tan 75? . 1 ? tan 2 75?




类型二:利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值 例 2. 求 sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

举一反三: 【变式 1】求值:sin10°cos40°sin70°.

类型三:利用二倍角公式化简三角函数式 例 3.化简下列各式: (1)

sin ? ? sin 2? 1 ? cos ? ? cos 2?

(2) 1 ? sin 4

2 cos 2 ? ? 1 例 4.化简: . ?? ? ? 2 ?? 2 tan ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?

举一反三: 【变式 1】 (1) 1 ? sin 6 的化简结果是




(2)已知 sin ? ?

3 ? sin 2? ,且α ∈( ,π ),则 的值为 cos 2 ? 5 2

类型四:二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用 例 5.求值: (1)已知 sin(

? 3 ? ? ) ? ,求 cos(? ? ) . 12 2 5 6

?

(2)已知 sin(? ?

?

4

) ? m ,求 sin 2? .

举一反三: 【变式 1】 已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,且 0 ? ? ? ? ,求 sin 2? , cos 2? , tan 2? 的值. 3

【变式 2】已知 tan ?

sin 2? ? cos 2 ? ?? ? 1 (1)求 tan ? 的值; (2)求 的值. ?? ? ? , 1 ? cos 2? ?4 ? 2


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