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2013年浙江省高中数学竞赛试题


2013 年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括 号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分)
1. 集合 P ? {x x ? R, x ?1 ? 1 }, ( Q ? {x x ? R, x ? a ? 1}, 且 P ? Q ? ? , 则实数 a 取值范为 A.

a ? 3 B. a ? ?1 . C. a ? ?1 或 a ? 3 ) D. ?1 ? a ? 3 )

2. 若 ? , ? ? R, 则 ? ? ? ? 90 是 sin ? ? sin ? ? 1 的( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 B. 必要而不充分条件

D. 既不充分也不必要条件 )

3. 已知等比数列{ a n }: a1 ? 3, 且第一项至第八项的几何平均数为 9,则第三项是( A. 3 9 81 B. 3 7 81 C.
3

9

D. 3 3 )

4. 已知复数 z ? x ? yi( x, y ? R, i 为虚数单位) ,且 z 2 ? 8i ,则 z ? ( A. z ? 2 ? 2i C. z ? ?2 ? 2i, 或 z ? 2 ? 2i
2

B. z ? ?2 ? 2i D. z ? 2 ? 2i, 或 z ? ?2 ? 2i

C 为抛物线上一个动点, M 为 AB 的中点, 5. 已知直线 AB 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点, 若 C0
满足 C0 A ? C0 B ? min{CA ? CB},则下列一定成立的是( A. C0 M ? AB C. C0 A ? C0 B B. C0 M ? l , 其中 l 是抛物线过 C0 的切线 D. C0 M ? ) 开 始

6. 某程序框图如下,当 E ? 0.96 时,则输出的 K=( A. 20 C. 24 B. 22 D. 25

1 AB 2



K=1, S=0

S=S+1/(K(K+1))

7. 若三位数 abc 被 7 整除,且 a, b, c 成公差非零的等差数列, 则这样的整数共有( A.4 B. 6 C. 7 D8 )


)个。 S>=E?



K=K+1

8. 已知一个立体图形的三视图如下, 则该立体的体积为 (

A. 3 3

B.

3 3 2

输出 K

C.

9 3 2

D.

9 3 4

9. 设函数 f ( x) ? x( x ? 1)2 ( x ? 2)3 ( x ? 3)4 , 则函数 y ? f ( x) 的极大值点为( )

A. x ? 0 C. x ? 2

B. x ? 1 D. x ? 3

10. 已知 f ( x), g ( x), h( x) 为一次函数,若对实 数 x 满足

??1, x ? ?1 ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? ?3 x ? 2, ?1 ? x ? 0 , ??2 x ? 2, x ? 0 ?
则 h( x ) 的表达式为( ) 。

A. h( x ) ? x ?

1 2

B. h( x) ? ? x ?

1 2

C. h( x) ? ? x ?

1 2

D. h( x ) ? x ?

1 2

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后 的横线上,每空 7 分,共 49 分) 1 11. 若 tan x tan y ? 2,sin x sin y ? ,则 x ? y ? _________________。 3
12. 已知 f ( x) ? x2 ? (k ? 1) x ? 2 ,若当 x ? 0 时 f ( x ) 恒大于零,则 k 的取值范围为________ 。 13. 数列 {n n}, n ? 1, 2, ,则数列中最大项的值为___________。 ,y= 。

14. 若 x, y ? R ,满足 2 x ? 2 x2 y 2 ? 2 y( x ? x2 ) ? x2 ? 5 ,则 x=

15. 设直线 l 与曲线 y ? x3 ? x ? 1 有三个不同的交点 A, B, C , 且 AB ? BC ? 5 , 则直线 l 的方程为___。

1 1 ? 2 )} ? ________________________。 2 a b 17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动 (含第一象限 x, y 轴上的整点) , 其运动规律为:
16. 若 a ? 0, b ? 0, 则 min{max(a, b, 若该动点从原点出发, 经过 6 步运动到 (6,2) 点, (m, n) ? (m ? 1, n ? 1) 或 (m, n) ? (m ? 1, n ? 1) 。 则有_____________种不同的运动轨迹。

三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分)

18. 已知抛物线 y ? 4 x ,过 x 轴上一点 K 的直线与抛物线交于点 P、Q 两点。证明,存在唯一一点
2

K ,使得

1 PK
2

?

1 KQ
2

为常数,并确定 K 点的坐标。

19. 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? (2b ? 1) x ? a ? 2(a, b ? R, a ? 0) 在[3,4]上至少有一个零点, 求 a 2 ? b 2 的最小值。

20. 设 x ? N 满足 ?

? 1? x ? ? ? x ?

2013

?

2014 . 数列 a1 , a2 , 2013

, a2013 是公差为 x 2013 ,首项 a1 ? ( x ? 1)2 x2012 ?1

的等差数列; 数列 b1 , b2 , 求证: b1 ? a1 ? b2 ?

, b2013 是公比为

1? x , 首项 b1 ? ( x ? 1) x2013 的等比数列。 x

? a2012 ? b2013 。

附加题
21. 设 a, b, c ? R , ab ? bc ? ca ? 3, 证明 a5 ? b5 ? c5 ? a3 (b2 ? c2 ) ? b3 (c2 ? a 2 ) ? c3 (a 2 ? b2 ) ? 9 。
?

22. 从 0,1,2,…,10 中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”,若各条线段相 连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同,则称这样的填法为“完美填法”。 试问:对图 1 和图 2 是否存在完美填法?若存在,请给出一种完美填法;若不存在,请说明理由。 A1 6 10 A3 5 A2

A4

7

A5 A7

1 (图 1 )

9 A6 (图 2) A8

2013 年浙江省高中数学竞赛试题解析
1. 答案 C

P ? {x 0 ? x ? 2}, Q ? {x a ?1 ? x ? a ?1}, 要使 P ? Q ? ? ,则 a ? 1 ? 2 或 a ? 1 ? 0 。

解得 a ? ?1 或 a ? 3 。 2. 答 案 D 若 ? ? 0, ? ? 90 ? sin ? ? sin ? ? 1 。 当 ? ?

? ? 60 ? si n? ? si n ? ?

3? , 1但

? ? ? ? 90 。
3. 答案 B 4. 答案 D 5. 答案 B
2

计算得 q ? 37 , a3 ? 3 7 81 。

2

CA ? CB ? (CM ? AM ) ? (CM ? BM ) ? CM ? CM ( AM ? BM ) ? AM ? BM
2 min

2

? CM ? AM ? min{CA ? CB} ? CM
6. 答案 C

? CM ? l 。

S?

1 1 ? ? 1? 2 2 ? 3

?

1 1 ? 1? ? 0.96 ? k ? 24. k ? (k ? 1) k ?1

7. 答案 D 设三位数为 (b ? d )b(b ? d ) ? 111b ? 99d (0 ? b ? 9, ?9 ? d ? 9, d ? 0), 由 7 (111b ? 99d ) ? 7 (b ? d ) ? b ? 1, d ? ?1; b ? 2, d ? ?2; b ? 3, d ? ?3; b ? 4, d ? 3, ?4;

b ? 5, d ? 2; b ? 6, d ? 1; b ? 8, d ? ?1 。所以,所有的三位数为 210, 420,630,147,840,357,567,987
8. 答案 D 9. 答案 B 10. 答案 C 从图中可知,立体是由两个三棱柱组成。 由图象可知 x ? 1 为函数极大值点, x ? 3 是极小值点, x ? 0, 2 不是极值点。

?2 x ? 2 ? (?1) 1 ? ?x ? 。 2 2 1 y ? 2 , sxi n y s? in ? 11. 解 答 : 由 t a nx t a n 3 h( x ) ? 2 k? ?

?

1 xc o s y?c o s ? 6

1 x?c o y s? (, 所 以 ) x? y ? 2

3


2

12. 解答 由 x ? (k ? 1) x ? 2 ? 0 ? k ? 1 ? x ?
1 x 1 ln x x 1 x

2 2 , x ? ? 2 2 等号在 x ? 2 取得, 即 k ? 2 2 ?1 。 x x

13. 解答 f ( x) ? x ? e 其值为 3 3 。

? f / ( x) ?

x (1 ? ln x) ? x ? e 为极大值点,所以数列最大项为第三项, x2

14. 解答 把等式看成关于 x 的一元二次方程

2 ? ? 4( y ? 1)2 ? 20(2 y 2 ? 2 y ? 1) ? 0 ? (3 y ? 2)2 ? 0 ? y ? ? , x ? 3 。 3
15. 解答 曲线关于(0,1)点对称,设直线方程为 y ? kx ? 1, A( x, y) ,

? y ? kx ? 1 ? ? 则 ? y ? x3 ? x ? 1 ? (k ? 2)(k 2 ? k ? 2) ? 0 ? k ? 2 。所求直线方程为 y ? 2 x ? 1 。 ? 2 2 ? ? x ? ( y ? 1) ? 5
1 1 1 1 2 ? 2 } ? m ? a ? m, b ? m, 2 ? 2 ? m ? m ? 2 ? m ? 3 2 , 2 a b a b m 1 1 所以 min{max(a, b, 2 ? 2 )} ? 3 2 。 a b
16. 解答 max{a, b, 17. 解答
2 1 C6 ? C6 ?9.

18. 解答 设 K ( a , 0 ) ,过 K 点直线方程为 y ? k ( x ? a) ,交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 联立方程 组?

? y2 ? 4x ? y ? k ( x ? a)

? k 2 x 2 ? 2(ak 2 ? 2) x ? a 2 k 2 ? 0 ? x1 ? x2 ?

2(ak 2 ? 2) , x1 x2 ? a 2 …5 分 2 k

2 ……………………………………7 分 ? PK 2 ? ( x1 ? a ) 2 ? y12 , KQ 2 ? ( x2 ? a ) 2 ? y2

a 1? k 2 1 1 ? ? ? 2 2 2 ,……………………………………………………12 分 PK 2 KQ 2 a (1 ? k )
令a ? 2 ?

1 1 1 ? ? , K (2,0) 。…………………………………………17 分 2 2 4 PK KQ

19. 解法 1 由已知得,设 t 为二次函数在[3,4]上的零点,则有 at 2 ? (2b ? 1)t ? a ? 2 ? 0 ,变形

(2 ? t )2 ? [a(t 2 ?1) ? 2bt ]2 ? (a2 ? b2 )((t 2 ?1)2 ? t 2 ) ? (a2 ? b2 )(1 ? t 2 )2 ,……5 分
t ?2 2 1 1 ,……………………………12 分 ) ? ? 2 5 1? t 100 2 (t ? 2 ? ? 4) t ?2 5 2 3 2 2 , t ? [3, 4] 是减函数,上述式子在 t ? 3, a ? ? , b ? ? 因为 t ? 2 ? 时取等号,故 a ? b 的 t ?2 25 50 1 最小值为 。………………………………………………………………17 分 100
于是 a 2 ? b2 ? ( 解法 2 把等式看成关于 a , b 的直线方程 : ( x ?1)a ? 2xb ? x ? 2 ? 0 ,利用直线上一点( a , b )到
2

原点的距离大于原点到直线的距离,即 a 2 ? b 2 ?

x?2 ( x ? 1) 2 ? (2 x) 2
2

(以下同上) 。

20. 解:首先, ai ? ( x ? 1) 2 x 2012 ? 1 ? (i ? 1) x 2013 ,

------------2 分 -----------4 分 ……………6 分

1 ? x i ?1 bi ? ( x ? 1) x 2013 ( ) ? ( x ? 1) i x 2014 ?i 。 x 1? x i bi ?1 ? bi ? x 2013 ( ) x 2014 ? i 用归纳法证明 ai ? bi ? x 2013 , 1 ? i ? 2013 。 2013

由于 a1 ? b1 ? x 2013 ? x 2012 ? 1 ? x 2013 ,即 i=1 成立。 假设 1 ? i ? 2012成立,

…………8 分

1? x i ) ? (ai ? bi ) 则 ai ?1 ? bi ?1 ? (ai ?1 ? ai ) ? (bi ?1 ? bi ) ? (ai ? bi ) ? x 2013 ? x 2013 ( x 1 ? x 203 1 ? x 2013 ? x 2013 ( ) ? (ai ? bi ) ? ? x 2013 ? (ai ? bi ) x 2013 1 2013 ? i ? 1 2014 ? (i ? 1) ? ? x 2013 ? x 2013 ? x 2013 。 …………14 分 2013 2013 2013

所以, ai ? bi , i ? 1,2,?,2013。 归纳证 明 bi ?1 ? ai , i ? 1,2,?,2012,首先 b2 ? a1 ? 1 ? 0 ,假设
1 ? i ? 2011成立,则

1 ? x i ?1 ) ? x 2013 ? (b i ?1 ?ai ) ? 0 。 bi ?2 ? ai ?1 ? (bi ?2 ? bi ?1 ) ? (ai ?1 ? ai ) ? (bi ?1 ? ai ) ? x 2013 ( x 故命题成立。…………………………………………17 分
21. 解答 原命题等价于 (a3 ? b3 ? c3 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? 9 ,………………………………10 分

a 2 ? b2 ? c 2 3 ) , …………………………………………………20 分 又 (a ? b ? c ) ? 9( 3
3 3 3 2

故只需要证明 a ? b ? c ? 3 成立。…………………………………………………25 分
2 2 2

利用已知条件,这是显然的。 22. 解答 对图 1,上述填法即为完美(答案不唯一) 。………………………………10 分 对于图 2 不存在完美填法。因为图中一共有 10 条连线,因此各连线上两数之差的绝对值恰好为, 1,2,3,……,10, …………… ……………………………………………… 15 分 其和 s ? a1 ? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a3 ?

? a7 ? a8 ? 55 为奇数。……………… 20 分

另一方面,图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述 S 的表达式中 出现偶数次。因此 S 应为偶数,矛盾。………………………………………25 分 所以,不存在完美填法。


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