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中考必做的36道数学压轴题


中考必做的 36 道数学压轴题
第一题夯实双基“步步高” ,强化条件是“路标” 例 1(2013 北京,23,7 分)在平面直角坐标系 x O y 中,抛物线
y ? mx2 ? 2mx ? 2 ( m ? 0 )与 y 轴交于点 A,其对称轴与 x 轴交于点 B.
(1)求点 A,B 的坐标; (2)设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称,求直线 l 的解析式; (3)若该抛物线在 ? 2 ? x ? ?1 这一段位于直线 l 的上方, 并且在 2 ? x ? 3 这一段位于 直线 AB 的下方,求该抛物线的解析式. 解: (1)当x = 0 时,y =-2 . ∴A(0,-2) . 抛物线对称轴为x= ?

?2m ? 1, 2m

∴B(1,0) . (2)易得A 点关于对称轴的对称点为A(2,-2) 则直线l 经过A 、B . 没直线的解析式为y=kx+b
?2k ? b ? ?2, ?k ? ?2, 解得 ? 则? ?k ? b ? 0. ?b ? 2.

∴直线的解析式为y=-2x +2. (3)∵抛物线对称轴为x =1 抛物体在2 <x<3 这一段与在-1<x <0 这一段关于对称 轴对称, 结合图象可以观察到抛物线在-2<x <1 这一段 位于直线l 的上方,在-1< x<0 这一段位于直线l 的下方. ∴抛物线与直线l 的交点横坐标为-1 ; 当x=-1 时,y=-2x(-1)+2 =4 则抛物线过点(-1,4) 当x=-1 时,m+2m -2=4 ,m=2 ∴抛物线解析为y=2 x2 -4x-2 .

连接(2013 江苏南京,26,9 分)已知二次函数 y=a(x-m)2-a(x-m) (a、m 为常
数,且 a≠0). (1)求证:不论 a 与 m 为何值,该函数的图象与 x 轴总有两个公共点; (2)设该函数的图象的顶点为 C.与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 D. ①当△ ABC 的面积等于 1 时,求 a 的值; ②当△ ABC 的面积与△ ABD 的面积相等时,求 m 的值. 【答案】 (1)证明:y=a(x-m)2-a(x-m)=ax2-(2am+a)x+am2+am. 因为当 a≠0 时, [-(2am+a) ]2-4a(am2+am)=a2>0.

所以,方程 ax2-(2am+a)x+am2+am=0 有两个不相等的实数根. 所以,不论 a 与 m 为何值,该函数的图象与 x 轴总有两个公共点. ………3 分 (2)解:①y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x- 所以,点 C 的坐标为(

2m ? 1 a ,- ). 2 4 1 a × 1× ? =1. 2 4

2m ? 1 2 a )- , 2 4

当 y=0 时,a(x-m)2-a(x-m)=0.解得 x1=m,x2=m+1.所以 AB=1. 当△ ABC 的面积等于 1 时,

所以

1 a 1 a × 1× (- )=1,或 × 1× =1. 2 4 2 4

所以 a=-8,或 a=8. ②当 x=0 时,y=am2+am.所以点 D 的坐标为(0,am2+am). 当△ ABC 的面积与△ ABD 的面积相等时,

1 a 1 2 × 1× ? = × 1× am ? am 2 4 2 1 a 1 1 a 1 × 1× (- )= × 1× (am2+am) ,或 × 1× = × 1× (am2+am). 2 4 2 2 4 2
所以 m=-

1 ?1? 2 ?1? 2 ,或 m= ,或 m= .………9 分 2 2 2
2

变式: (2012 北京,23,7 分)已知二次函数 y ? (t ? 1) x

? 2(t ? 2) x ?

3 在x?0和x?2时 2

的函数值相等。 (1) 求二次函数的解析式; (2) 若一次函数 y ? kx ? 6 的图象与二次函数的图象都经过点 A(?3,m) ,求 m 和 k 的值; (3) 设二次函数的图象与 x 轴交于点 B ,C (点 B 在点 C 的左侧) ,将二次函数的图象在 点 B ,C 间的部分(含点 B 和点 C )向左平移 n(n ? 0) 个单位后得到的图象记为 G ,同时将 (2)中得到的直线 y ? kx ? 6 向上平移 n 个单位。请结合图象回答:当平移后的直线与图象 G 有公共点时, n 的取值范围。 【答案】 (1) ①方法一: ∵二次函数 y ? (t ? 1) x2 ? 2(t ? 2) x ? 时的函数值相等
3 在x?0和x?2 2

3 3 ? 4(t ? 1) ? 4(t ? 2) ? . 2 2 3 ∴t ? ? . 2

1 3 ∴这个二次函数的解析式是 y ? ? x2 ? x ? 2 2 ②方法二:由题意可知:二次函数图象的对称轴为 x ? 1

2(t ? 2) ?1 2(t ? 1) 3 ∴t ? ? . 2
则?
1 3 ∴这个二次函数的解析式是 y ? ? x2 ? x ? 2 2. (2)∵二次函数的图象过 A(?3, m) 点.

∴m ? ?

1 3 (?3) 2 ? (?3) ? ? ?6 . 2 2

又∵一次函数 y ? kx ? 6 的图象经过点 A ∴ ?3k ? 6 ? ?6 ∴k ? 4 1 3 (3)令 y ? ? x2 ? x ? ? 0 2 2 解得: x1 ? ?1 x2 ? 3 由题意知,点 B、C 间的部分图象的解析式为 y ? ? 则向左平移后得到图象 G 的解析式为:y ? ?

1 ( x ? 3)( x ? 1) , ( ?1 ? x ? 3 ). 2

1 ( x ? 3 ? n)( x ? 1 ? n) , ( ?n ? 1 ? x ? 3 ? n ) . 2

此时平移后的一次函数的解析式为 y ? 4 x ? 6 ? n . 若平移后的直线 y ? 4 x ? 6 ? n 与平移后的抛物线 y ? ? 则 4x ? 6 ? n ? ?

1 ( x ? 3 ? n)( x ? 1 ? n) 相切. 2

1 ( x ? 3 ? n)( x ? 1 ? n) 有两个相等的实数根。 2 1 2 1 2 9 即一元二次方程 ? x ? (n ? 3) x ? n ? ? 0 有两个相等的实数的根。 2 2 2 1 1 2 9 2 ∴判别式= ? ?(n ? 3) ? ? 4 ? (? )(? n ? ) ? 0 2 2 2 解得: n ? 0 与 n ? 0 矛盾. 1 ∴平移后的直线 y ? 4 x ? 6 ? n 与平移后的抛物线 y ? ? ( x ? 3 ? n)( x ? 1 ? n) 不相切. 2 ∴结合图象可知,如果平移后的直线与图象 G 有公共点,则两个临界交点为 (?n ? 1,0) 和 (3 ? n, 0) .
则 4(?n ? 1) ? 6 ? n ? 0 ,解得: n ?
4(3 ? n) ? 6 ? n ? 0 ,解得: n ? 6

2 3



2 ?n?6 3
2

第 2 题“弓形问题”再相逢, “殊途同归”快突破 (例题) (2012 湖南湘潭,26,10 分) 如图,抛物线 y ? ax ?

轴交于 A 、 B 两点,与 y 轴交于 C 点,已知 B 点坐标为 ?4,0? . (1)求抛物线的解析式; (2)试探究 ?ABC 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点,求 ?MBC 的面积的最大值,并求出此时

3 x ? 2(a ? 0) 的图象与 x 2

M 点的坐标.

【答案】解:(1)将 B(4,0)代入 y ? ax ?
2

3 1 x ? 2(a ? 0) 中,得: a ? 2 2

∴抛物线的解析式为: y ? (2)∵当

1 2 3 x ? x ? 2(a ? 0) 2 2

1 2 3 x ? x ? 2 ? 0 时,解得 x1 ? 4 , x2 ? ?1 2 2 1 2 3 x ? x ? 2 ? ?2 2 2

∴A 点坐标为(-1,0) ,则 OA=1 ∵当 x=0 时, y ?

∴C 点坐标为(0,-2) ,则 OC=2 在 Rt⊿AOC 与 Rt⊿COB 中,

OA OC 1 ? ? OC OB 2

∴Rt⊿AOC∽Rt⊿COB ∴∠ACO=∠CBO ∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠CBO+∠OCB=90° 那么⊿ABC 为直角三角形 所以⊿ABC 的外接圆的圆心为 AB 中点,其坐标为(1.5,0) (3)连接 OM.设 M 点坐标为(x,

1 2 3 x ? x?2) 2 2

则 S⊿MBC ? S⊿OBM ? S⊿OCM ? S⊿OBC

1 1 3 1 1 ? 4 ? (? x 2 ? x ? 2) ? ? 2 ? x ? ? 2 ? 4 2 2 2 2 2 2 = ? ( x ? 2) ?4
= ∴当 x=2 时,⊿MBC 的面积有最大值为 4,M 的坐标为(2,-3)

变式 (2011 安徽芜湖 24) 面直角坐标系中, ?ABOC
如图放置,点 A、C 的坐标分别为(0,3) 、 (-1,0) ,将 此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90°,得到?A'B'OC'. (1)若抛物线过点 C,A,A',求此抛物线的解析式; (2)?ABOC 和?A'B'OC'重叠部分△OC'D 的周长; (3)点 M 是第一象限内抛物线上的一动点,问:点 M 在 何处时△AMA'的面积最大?最大面积是多少?并求出此 时 M 的坐标.

第三题“模式识别”记心头,看似“并列”“递进” (例题)23. (2012 河南,23,11 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 y ?
1 x ?1 2

与抛物线 y ? ax 2 ? bx ? 3 交于 A、B 两点,点 A 在 x 轴上,点 B 的纵坐标为 3.点 P 是直 线 AB 下方的抛物线上一动点( 不与 A、B 重合) ,过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 与点 C, 作 PD⊥AB 于点 D. (1)求 a、b 及 sin ?ACP 的值; (2)设点 P 的横坐标为 m. ①用含 m 的代数式表示线段 PD 的长, 并求出线段 PD 长的最大值; ②连接 PB,线段 PC 把△PDB 分成 两个三角形,是否存在适合的 m 值, 使这两个三角形的面积之比为 9:10? 若存在,直接写出 m 值;若不存在,说明理由. y C D A O x B

P

第 23 题图

【答案】 (1)由 由

1 x ? 1 ? 0 ,得 x ? ?2, ∴ A(?2, 0) 2

1 x ? 1 ? 3 ,得 x ? 4, ∴ B(4,3) 2

?(-2)2 ? a-2b-3=0 1 1 ? ∵ y ? ax2 ? bx ? 3 经过 A, B 两点,∴ ? 2 ∴ a ? ,b ? ? 2 2 ? ?4 ? a+4b-3=3 设直线 AB 与 y 轴交于点 E ,则 E (0,1)
∵ PC ∥ y 轴,∴ ?ACP ? ?AEO .

OA 2 2 5 ? ? AE 5 5 1 2 1 (2)由⑴可知抛物线的解析式为 y ? x ? x ? 3 2 2 1 2 1 1 ∴ P(m, m ? m ? 3), C (m, m ? 1) 2 2 2 1 1 2 1 1 PC ? m ? 1 ? ( m ? m ? 3) ? ? m 2 ? m ? 4 2 2 2 2 sin ?ACP 在 Rt ? PCD 中, PD ? PC ? 1 2 5 ? (? m2 ? m ? 4) ? 2 5 5 9 5 ?? (m ? 1) 2 ? . 5 5 5 9 5 ∵? ? 0 ∴当 m ? 1 时, PD 有最大值 5 5 5 32 ②存在满足条件的 m 值, m ? 或 2 9
∴ sin ?ACP ? sin ?AEO ? 【提示】 分别过点 D、B 作 DF⊥PC,BG⊥PC,垂足分别为 F、G. 在 Rt? PDF 中, DF ? 又 BG ? 4 ? m,

1 1 PD ? ? (m2 ? 2m ? 8). 5 5

1 ? (m 2 ? 2m ? 8) S? PCD DF m?2 ? ? 5 ? ∴ . S? PBC BG 4?m 5 5 S m?2 9 当 ? PCD ? ? 时,解得 m ? ; 2 S? PBC 5 10 32 S m ? 2 10 ? 时,解得 m ? 当 ? PCD ? . 9 S? PBC 5 9
变式一 27. (2011 江苏泰州,27,12 分)已知:二次函数 y=x2+bx-3 的图像经过点 P(- 2,5) . (1)求 b 的值,并写出当 1<x≤3 时 y 的取值范围; (2)设点 P1(m,y1) 、P2(m+1,y2) 、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上. ①当 m=4 时,y1、y2、y3 能否作为同一个三角形的三边的长?请说明理由;

②当 m 取不小于 5 的任意实数时,y1、y2、y3 一定能作为同一个三角形三边的长,请说明理 由. 【答案】解: (1)把点 P 代入二次函数解析式得 5= (-2)2-2b-3,解得 b=-2. 当 1<x≤3 时 y 的取值范围为-4<y≤0. (2)①m=4 时,y1、y2、y3 的值分别为 5、12、21,由于 5+12<21,不能成为三角形的三 边长. ②当 m 取不小于 5 的任意实数时,y1、y2、y3 的值分别为 m2-2m-3、m2-4、m2+2m-3, 由于, m2-2m-3+m2-4>m2+2m-3, (m-2)2-8>0, 当 m 不小于 5 时成立,即 y1+y2>y3 成立. 所以当 m 取不小于 5 的任意实数时,y1、y2、y3 一定能作为同一个三角形三边的长, 变式二(2013 重庆 B 卷,25,10 分)如图,已知抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 的图像与 x 轴的一 个交点为 B(5,0) ,另一个交点为 A,且与 y 轴交于点 C(0,5). (1)求直线 BC 与抛物线的解析式; (2)若点 M 是抛物线在 x 轴下方图像上的一动点,过点 M 作 MN//y 轴交直线 BC 于点 N, 求 MN 的最大值; (3)在(2)的条件下,MN 取得最大值时,若点 P 是抛物线在 x 轴下方图像上任意一点, 以 BC 为边作平行四边形 CBPQ,设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1 ,△ ABN 的面积为 S 2 , 且 S1 ? 6S 2 ,求点 P 的坐标.

y C

O A

B

x

【答案】解: (1)设直线 BC 的解析式为 y ? mx ? n ,将 B(5,0) ,C(0,5)代入有:

?5m ? n ? 0 ? ?n ? 5

解得: ?

?m ? ?1 ?n ? 5

所以直线 BC 的解析式为 y ? ? x ? 5
2

再将 B(5,0) ,C(0,5)代入抛物线 y ? x ? bx ? c 有:

?25 ? 5b ? c ? 0 ? ?c ? 5

解得: ?

?b ? ?6 ?c ? 5

所以抛物线的解析式为:

y ? x 2 ? 6x ? 5
(2)设 M 的坐标为(x, x ? 6 x ? 5 ) ,则 N 的坐标为(x, ? x ? 5 ) ,
2

MN= (? x ? 5) ? ( x 2 ? 6 x ? 5) = ? x ? 5x
2

当x ?

5 25 时,MN 有最大值为 2 4

y C
N

O A Q

B

x

P 1
M M

P2
M

(3)当 y ? x ? 6 x ? 5 ? 0 时,解得 x1 ? 1 , x2 ? 5
2

故 A(1,0) ,B(5,0) ,所以 AB=4 由(2)可知,N 的坐标为( ∴ S2 ?

5 5 , ) 2 2

1 5 ? 4? ? 5 2 2

则 S1 ? 6S 2 ? 30 ,那么 S△CBP ? 15 在 y 上取点 Q 故 QP∥BC 则直线 QP 的解析式为 y ? ? x ? 1 当 x ? 6 x ? 5 ? ? x ? 1 时,解得 x1 ? 2 , x2 ? 3
2

(-1,0),可得 S△CBQ ? 15

所以 P 点坐标为(2, ? 3 ) , (3 , ? 4 ) ,

第四题“准线” “焦点”频现身, “居高临下”明“结构” (例题)
( 2012 四川资阳, 25,9 分)抛物线 y ? F (?2, 2) 的直线交该抛物线于点 M、 N 两点 (点 M 在点 N 的左边) , MA⊥ x 轴于点 A, NB⊥ x 轴于点 B. (1)(3 分)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含 m 的代数式表示) ,再求 m 的 值; (2)(3 分)设点 N 的横坐标为 a ,试用含 a 的代数式表示点 N 的纵坐标,并说明 NF= NB; (3)(3 分)若射线 NM 交 x 轴于点 P,且 PA× PB=

1 2 x ? x ? m 的顶点在直线 y ? x ? 3 上,过点 4

100 ,求点 M 的坐标. 9

(第 25 题图)

1 2 1 x ? x ? m ? ( x ? 2) 2 ? (m ? 1) 4 4 ∴顶点坐标为(-2 , m ? 1 ) ∵顶点在直线 y ? x ? 3 上, ∴-2+3= m ? 1 ,得 m =2
答案:解(1) y ? (2)∵点 N 在抛物线上, ∴点 N 的纵坐标为 即点 N( a ,

1 2 a ?a?2 4

1 2 a ? a ? 2) 4 1 2 a ? a ,∴ NF 2 = NC 2 ? FC 2 = 4

过点 F 作 FC⊥NB 于点 C, 在 Rt△ FCN 中,FC= a +2,NC=NB-CB=

1 1 ( a 2 ? a ) 2 ? (a ? 2) 2 = ( a 2 ? a) 2 ? (a 2 ? 4a) ? 4 4 4 1 2 1 2 2 2 2 2 而 NB = ( a ? a ? 2) = ( a ? a ) ? (a ? 4a) ? 4 4 4 2 2 ∴ NF = NB ,NF=NB
(3)连结 AF、BF

由 NF=NB, 得∠NFB=∠NBF, 由 (2) 的结论知, MF=MA, ∴∠MAF=∠MFA,∵MA⊥ x 轴,NB⊥ x 轴,∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180° ∵△ MAF 和△ NFB 的内角总和为 360° ,∴2∠MAF+2∠NBF=180° ,∠MAF+∠NBF=90° , ∵∠MAB+∠NBA=180° ,∴∠FBA+∠FAB=90° 又∵∠FAB+∠MAF=90° ∴∠FBA=∠MAF=∠MFA

PF PB 100 ? , PF 2 ? PA ? PB = PA PF 9 8 14 2 2 过点 F 作 FG⊥ x 轴于点 G,在 Rt△ PFG 中, PG= PF ? FG = , ∴PO=PG+GO= , 3 3 14 ∴P(- , 0) 3 14 3 设直线 PF: y ? kx ? b ,把点 F(-2 , 2) 、点 P(- , 0)代入 y ? kx ? b 解得 k = , 3 4 7 3 7 b = ,∴直线 PF: y ? x ? 2 4 2 1 2 3 7 解方程 x ? x ? 2 ? x ? ,得 x =-3 或 x =2(不合题意,舍去) 4 4 2 5 5 当 x =-3 时, y = ,∴M(-3 , ) 4 4 变式一 25.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)顶点为 C(1,1)且过原点 O.过抛物线 5 上一点 P(x,y)向直线 y= 作垂线,垂足为 M,连 FM(如图). 4 (1)求字母 a,b,c 的值; 3 (2)在直线 x=1 上有一点 F(1 , ) ,求以 PM 为底边的等腰 4 三角形 PFM 的 P 点的坐标,并证明此时△PFM 为正三角形; (3)对抛物线上任意一点 P,是否总存在一点 N(1,t),使 PM=PN 恒成立?若存在请求出 t 值,若不存在请说明理由.
又∵∠FPA=∠BPF,∴△ PFA∽△PBF,∴

解:(1)抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)顶点为 C(1,1)且过原点 O, 可得b 4ac ? b 2 =1, =1,c=0, 2a 4a

∴a=-1,b=2,c=0. (2)由(1)知抛物线的解析式为 y=-x2+2x, 故设 P 点的坐标为(m,-m2+2m),则 M 点的坐标(m,
5 ), 4

∵△PFM 是以 PM 为底边的等腰三角形 3 3 5 ∴PF=MF,即(m-1)2+(-m2+2m- )2=(m-1)2+( - )2 4 4 4 3 1 3 1 ∴-m2+2m- = 或-m2+2m- =- , 4 2 4 2 3 1 ①当-m2+2m- = 4 2 2 时,即-4m +8m-5=0 ∵△=64-80=-16<0 ∴此式无解 3 1 1 ②当-m2+2m- =- 时,即 m2-2m=4 2 4 ∴m=1+
3 3 或 m=12 2
1 5 3 3 3 时,P 点的坐标为(1+ , ),M 点的坐标为(1+ , ) 4 4 2 2 2

Ⅰ、当 m=1+

Ⅱ、当 m=1-

3 3 1 3 5 时,P 点的坐标为(1, ),M 点的坐标为(1, ), 4 4 2 2 2

经过计算可知 PF=PM, ∴△MPF 为正三角形, ∴P 点坐标为:(1+
1 1 3 3 , )或(1, ). 4 4 2 2

3 时,即 N 与 F 重合时 PM=PN 恒成立. 4 证明:过 P 作 PH 与直线 x=1 的垂线,垂足为 H,

(3)当 t=

在 Rt△PNH 中, PN2=(x-1)2+(t-y)2=x2-2x+1+t2-2ty+y2, 5 5 25 PM2=( -y)2=y2- y+ , 4 2 16 P 是抛物线上的点, ∴y=-x2+2x; 5 25 ∴PN2=1-y+t2-2ty+y2=y2- y+ , 2 16 5 25 ∴1-y+t2-2ty+y2=y2- y+ , 2 16 3 9 移项,合并同类项得:- y+2ty+ -t2=0, 2 16 3 9 2 ∴y(2t- )+( -t )=0 对任意 y 恒成立. 2 16 3 9 2 ∴2t- =0 且 -t =0, 2 16 3 3 ∴t= ,故 t= 时,PM=PN 恒成立. 4 4 ∴存在这样的点.
变式二(2012 山东潍坊,24,11 分)如图 12,已知抛物线与坐标轴分别交于 A( ?2 ,0) 、 B(2,0) 、C(0,?1)三点,过坐标原点 O 的直线 y ? kx 与抛物线交于 M、N 两点.分 别过点 C、D(0, ?2 )作平行于 x 轴的直线 l1、l2. (1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以 ON 为直径的圆与直线 l1 相切; (3)求线段 MN 的长(用 k 表示) ,并证明 M、N 两点到直线 l2 的距离之和等于线段 MN 的长.
y

N A O M C D 图 12 B
x

l1 l2

【答案】解: (1)设抛物线对应二次函数的解析式为 y ? ax2 ? bx ? c ,

1 ? ?a ? 4 ?0 ? 4a ? 2b ? c ? ? 由 ?0 ? 4a ? 2b ? c ,解得 ?b ? 0 . ? c ? ?1 ??1 ? c ? ? ? 1 所以 y ? x 2 ? 1. 4 (2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,因为点 M、N 在抛物线上, 1 1 所以 y1 ? x12 ? 1 , y2 ? x2 2 ? 1 ,所以 x22 ? 4( y2 ? 1) ; 4 4
又 ON 2 = x22 ? y22 = 4( y2 ? 1) ? y22 = ( y2 ? 2)2 , 所以 ON= y2 ? 2 ,又因为 y2≥ ?1, 所以 ON= y2 ? 2 . 设 ON 的中点为 E,分别过点 N、E 向直线 l1 作垂线,垂足为 P、F, 则 EF=

OC ? NP 2 ? y2 = , 2 2

所以 ON=2EF, 即 ON 的中点到直线 l1 的距离等于 ON 长度的一半, 所以以 ON 为直径的圆与直线 l1 相切. (3)过点 M 作 MH⊥NP 交 NP 于点 H,则

MN 2 ? MH 2 ? NH 2 = ( x2 ? x1 )2 + ( y2 ? y1 )2 ,
又 y1=kx1,y2=kx2,所以 ( y2 ? y1 )2 = k 2 ( x2 ? x1 )2 , 所以 MN 2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 )2 ; 又因为点 M、N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上, 所以 kx ?

1 2 x ? 1 ,即 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , 4

所以 x =

4k ? 16k 2 ? 16 =2k± 2 1 ? k 2 , 2

所以 ( x2 ? x1 )2 = 16(1 ? k 2 ) , 所以 MN 2 ? 16(1 ? k 2 )2 , 所以 MN= 4(1 ? k 2 ) . 延长 NP 交 l2 于点 Q,过点 M 作 MS⊥l2 于点 S, 则 MS + NQ = y1 ? 2 ? y2 =

1 2 1 1 x1 ? 1 ? x22 ? 1 ? 4 = ( x12 ? x22 ) ? 2 , 4 4 4

又 x12 ? x22 = 2[4k 2 ? 4(1 ? k 2 )] ? 16k 2 ? 8 , 所以 MS + NQ = 4k 2 ? 2 ? 2 = 4(1 ? k 2 ) =MN. 即 M、N 两点到直线 l2 的距离之和等于线段 MN 的长.
y

A O M

E B

N H x l P 1 l Q 2

C F D S 第 24 题

第五题末尾“浮云”遮望眼, “洞幽察微”深指向
例题(2012 浙江宁波,26,12 分)如图,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象交 x 轴于 A(- 1,0) ,B(2,0),交 y 轴于 C(0,-2) ,过 A,C 画直线. (1)求二次函数的解析式; (2)点 P 在 x 轴正半轴上,且 PA =PC,求 OP 的长; (3)点 M 在二次函数图象上,以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切,切点为 H ①若 M 在 y 轴右侧,且△CHM ∽△AOC(点 C 与点 A 对应) ,求点 M 的坐标; ②若 M 的半径为

4 5 ,求点 M 的坐标. 5

【答案】解:(1)设该二次函数的解析式为: y ? a( x ? 1)( x ? 2) 将 x=0,y=-2 代入,得-2= a(0+1)(0-2) 解得 a=1. ∴抛物线的解析式为 y ? ( x ? 1)( x ? 2) ,即 y ? x ? x ? 2 .
2

(2)设 OP =x,则 PC=PA =x +1. 在 Rt△POC 中,由勾股定理,得 x ? 2 ? ( x ? 1)
2 2 2

解得 x ?

3 3 ,即 OP ? . 2 2

(3)① ∵△CHM∽△AOC,∴∠MCH=∠CAO. 情形 1:如图,当 H 在点 C 下方时, ∵∠MCH=∠CAO,∴CM∥x 轴,∴ yM ? ?2 ,∴ x ? x ? 2 ? ?2 ,
2

解得 x=0(舍去) ,或 x=1, M(1,-2). 情形 2:如图,当 H 在点 C 上方时 ∵∠M’CH=∠CAO,由(2):得,M’为直线 CP 与抛物线的另一交点, 设直线 CM’的解析式为 y=kx-2.

3 3 ,0)的坐标代入,得 k ? 2 ? 0 , 2 2 4 4 解得 k ? ,∴ y ? x ? 2 . 3 3 4 2 由 x?2 ? x ? x?2, 3 7 解得 x=0(舍去) ,或 x= , 3 10 7 10 此时 y ? ,∴ M '( , ) . 9 3 9
把 P(

②在 x 轴上取一点 D,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,使 DE=

4 5 . 5
AD DE ? , AC OC

∵∠COA=∠DEA=90° ,∠OAC=∠EAD,∴△ADE∽△AOC,∴

4 5 AD 5 ? ∴ ,解得 AD=2. 2 5
∴D(1,0)或 D(-3,0) . 过点 D 作 DM∥AC,交抛物线于 M. 则直线 DM 的解析式为: y ? ?2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 6 .

当- 2x -6= x2 -x-2 时,方程无实数解. 当- 2x+2=x2 -x-2 时, 解得 x1 ?

?1 ? 17 ?1 ? 17 . , x2 ? 2 2 ?1 ? 17 ?1 ? 17 ,3 ? 7) 或 M ( ,3 ? 7) 2 2

∴点 M 的坐标为 M (

1 2 x +x+3 与 x 轴相交于点 A、B,与 y 轴相交于 4 点 C,顶点为点 D,对称轴 l 与直线 BC 相交于点 E,与 x 轴相交于点 F. (1)求直线 BC 的解析式; (2)设点 P 为该抛物线上的一个动点,以点 P 为圆心,r 为半径作⊙P ①当点 P 运动到点 D 时,若⊙P 与直线 BC 相交, 求 r 的取值范围; 4 5 ,是否存在点 P 使⊙P 与直线 BC ②若 r= 5 相切?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

变式一

25.如图,抛物线 y= ?

提示:抛物线 y=ax2+bx+x(a≠0)的顶点坐标( ? ),对称轴 x= ?

b 4ac ? b 2 , 2a 4a

b . 2a

1 2 3 变式二 22. (2012 广东省,20,9 分)如图,抛物线 y = x - x -9 与 x 轴交于 A、B 两 2 2
点,与 y 轴交于点 C,连接 BC、AC. (1)求 AB 和 OC 的长; (2)点 E 从点 A 出发,沿 x 轴向点 B 运动(点 E 与点 A、B 不重合),过点 E 作直线 l 平行于 BC,交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m,△ADE 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数关系式,并写

出自变量 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,连接 CE,求△CDE 面积的最大值;此时,求出以点 E 为圆心,与 BC 相 切的圆的面积(结果保留 ? ).

【答案】(1)当 y=0 时,

1 2 3 x - x-9=0 ,解得 x1=-3,x2=6.∴AB=|x1-x2|=|-3-6|=9. 2 2

当 x=0 时,y=-9.∴OC=9. (2)由(1)得 A(-3,0),B(6,0),C(0,-9), ∴直线 BC 的解析式为 y=

3 x-9,直线 AC 的解析式为 y=-3x-9. 2 3 3 x- (m-3) . 2 2

∵AE 的长为 m,∴E(m-3,0). 又∵直线 l 平行于直线 BC,∴直线 l 的解析式为 y=

? y ? ?3x ? 9 ? m?9 m?9 ? ? x= 由? 得? ,-m). 3 ,∴点 D( 3 3 3 y ? x ( m -3) ? ? ? 2 2 ? y ? -m
1 1 1 2 3 · AE· |D 纵|= · (m-3)· |-m|= m - m .(0<m<9) 2 2 2 2 1 1 2 3 1 2 1 9 2 (3)△CDE 面积为:S△ACE-S△ADE= ? m ? 9 -( m - m )= ? m +3m = - (m-3) + , 2 2 2 2 2 2 9 ∴当 m=3 时,△CDE 面积的最大值为 . 2
∴△ADE 的面积为:S= 此时,点 E(0,0).如图,作 OF⊥BC 于 F,∵OB=6,OC=9, ∴OF=

OB ? OC 18 6?9 13 . = = 2 2 BC 6 ? 9 13

∴以点 E 为圆心,与 BC 相切的圆的面积为: ? (

18 324 13) 2 = ?. 13 13

第6题

分类讨论“程序化” , “分离抗扰”探本质
B(4,

例题(2011 贵州遵义,27,14 分)已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? 3(a ? 0) 经过 A(3,0),
1)两点,且与 y 轴交于点 C。

(1)求抛物线 y ? ax2 ? bx ? 3(a ? 0) 的函数关系式及点 C 的坐标; (2)如图(1),连接 AB,在题(1)中的抛物线上是否存在点 P,使△PAB 是以 AB 为直角 边的直角三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图(2),连接 AC,E 为线段 AC 上任意一点(不与 A、C 重合)经过 A、E、O 三点 的圆交直线 AB 于点 F,当△OEF 的面积取得最小值时,求点 E 的坐标。

【答案】 (1)

A(3, 0)、B (4,1)代入y=ax 2 +bx+3中 ?0=9a+3b ? 3 ? ?1 ? 16a ? 4b ? 3 ? 1 a= ? ? 2 解得 ? ? b=-5 ? ? 2 1 2 5 ∴解析式为y= x- x+3 2 2 令x=0时,y=3 ∴C点坐标为(0,3)
(2)若∠PAB=90° ,分别过 P、B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 E、F。

图(1) 易得△APE∽△BAF,且△BAF 为等腰直角三角形,∴△APE 为等腰直角三角形。 设 PE=a,则 P 点的坐标为(a,a-3)代入解析式 3-a=

1 2 5 a ? a?3 2 2

解得 a=0,或 a=3(与 A 重合舍去)

∴P(0,3) 若∠PBA=90° ,如下图,直线与 x 轴交与点 D, 分别过 P、B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 E、F。

由图可得△PED、 △BAD 为等腰直角三角形, 设 PE=a, 则 DE=a, AB= 2 ,所以 AD=2, 则 P 点坐标为(5-a,a)代入解析式,

a?

1 5 (5 ? a) 2 ? (5 ? a) ? 3 2 2

解得,a=1,或 a=6 (与 B 重合)是

所以 P 点坐标(-1,6) 综上所述 P(0,3)或 P(-1,6) (3)由题意得,∠CAO=∠OAF=45° 利用同弧所对的圆周角相等,∠OEF=∠OAF=45° ∠EFO=∠EAO=45°

1 OE 2 。 2 3 3 ∴当 OE 最小时,面积最小。即 E 为 AC 中点( , ) 2 2
∴△EOF 为等腰直角三角形,S△EOF=

变式一(2011 山东枣庄,25,10 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,把抛物线 y ? x2

向左平移 1 个单位,再向下平移 4 个单位,得到抛物线 y ? ( x ? h)2 ? k .所得抛物线与 x 轴 交于 A、 B 两点(点 A 在点 B 的左边) ,与 y 轴交于点 C ,顶点为 D . (1)写出 h、 k 的值; (2)判断 △ ACD 的形状,并说明理由; (3)在线段 AC 上是否存在点 M ,使 △ AOM ∽ △ ABC ?若存在,求出点 M 的坐 标;若不存在,说明理由. y



O B x

C D

2 解: (1) y 的顶点坐标为D(-1,-4) , ? ( x ? h ) ? k

∴ h ? ?1,k =-4 .
2 (2)由(1)得 y . ? ( x ? 1 ) ? 4

当 y ? 0 时, ( . 解之,得 x ? 1 )? 4 ? 0
2

. x ? 3 , x 1 1? 2?

0) B(1, 0). ∴ A(?3,,
又当 x ? 0 时, yx , ? ( ? 1 ) ? 4 ? ( 0 ? 1 ) ? 4 ? ? 3
2 2

,-3? .?????????????????????????? 4 ∴C 点坐标为 ?0
分 又抛物线顶点坐标 D 1 , ? 4 ?? ?,作抛物线的对称轴 x ??1交 x 轴于点 E, DF ? y 轴 于点 F .易知

D ??? 24 2 0 t △ A E D 在R 中, A ;
2 2 2

C ??? 331 8 t △ A O C 在R 中, A ;
2 2 2

D ??? 11 2 t △ C F D 在R 中, C ;
2 2 2

CC ? DA ? D . ∴ A
2 2 2

∴ △ACD 是直角三角形. (3)存在.作 OM∥BC 交 AC 于 M,M点即为所求点. 由(2)知, △ ,A C ?1 8 ? 32 A O C为等腰直角三角形, ? B A C ? 4 5 ? . 由 △∽ ,得 A O M △ A B C

AO AM . ? AB AC



3A M 33 ?29 2 ? , A M ? ? . 43 4 4 2
2

过 M 点作 M 于点 G ,则 G ? A B

?9 2 ? ? ? 4? 8 1 9 93 ? ? A G ? M G ? ? ? ,O G ? A O ? A G ? 3 ?? . 44 2 1 6 4 3 9 (- , - ) 又点 M 在第三象限,所以 M . 4 4
y



E G O M C F B x



变式二(2011 南充市,21,8 分)如图,等腰梯形 ABCD 中,
AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M 是 BC 的中点。 (1)求证:⊿MDC 是等边三角形; (2)将⊿MDC 绕点 M 旋转,当 MD(即 MD′)与 AB 交于一点 E,MC 即 MC′)同时与 AD 交于一点 F 时,点 E,F 和点 A 构成⊿AEF.试探究⊿AEF 的周长是否存在最小值。如果不存 在,请说明理由;如果存在,请计算出⊿AEF 周长的最小值.

A D' E

C' F

D

B

M

C

【答案】 (1)证明:过点 D 作 DP⊥BC,于点 P,过点 A 作 AQ⊥BC 于点 Q, 0 ∵∠C=∠B=60 ∴CP=BQ=

1 AB,CP+BQ=AB 2

又∵ADPQ 是矩形,AD=PQ,故 BC=2AD, 由已知,点 M 是 BC 的中点, BM=CM=AD=AB=CD, 0 即⊿MDC 中,CM=CD, ∠C=60 ,故⊿MDC 是等边三角形.

(2)解:⊿AEF 的周长存在最小值,理由如下: 连接 AM,由(1)平行四边形 ABMD 是菱形,⊿MAB, ⊿MAD 和⊿MC′D′是等边三角形, 0 0 ∠BMA=∠BME+∠AME=60 , ∠EMF=∠AMF+∠AME=60 ∴∠BME=∠AMF) 0 在⊿BME 与⊿AMF 中,BM=AM, ∠EBM=∠FAM=60 ∴⊿BME≌⊿AMF(ASA) ∴BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB 0 ∵∠EMF=∠DMC=60 ,故⊿EMF 是等边三角形,EF=MF. ∵MF 的最小值为点 M 到 AD 的距离 3 ,即 EF 的最小值是 3 . ⊿AEF 的周长=AE+AF+EF=AB+EF, ⊿AEF 的周长的最小值为 2+ 3 .


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