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2013高考数学(理)一轮复习教案 圆的方程


2013 江苏高考复习资料

明远教育:郭老师

圆的方程
【2013 年高考会这样考】 1.考查根据所给的条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程. 2.题型既有选择题、填空题,又有解答题.客观题突出小而巧,主要考查圆的 方程;主观题往往在知识的交汇点处命题. 【复习指导】 1.本讲复习时,应熟练掌握圆的方程的各个要素

,明确圆的标准方程,一般方 程. 2.能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合 圆的几何性质解决与圆有关的问题.

基础梳理 1.圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆. 2.圆的标准方程 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程. (2)特别地,以原点为圆心,半径为 r(r>0)的圆的标准方程为 x2+y2=r2. 3.圆的一般方程
2 2 ? D? ? E? D +E -4F 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 可变形为?x+ 2 ?2+?y+ 2 ?2= .故有: 4 ? ? ? ?

D2+E2-4F E? ? D (1)当 D2+E2-4F>0 时,方程表示以?- 2 ,- 2 ?为圆心,以 为半 2 ? ? 径的圆; E? ? D (2)当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个点?- 2 ,- 2 ?; ? ? (3)当 D2+E2-4F<0 时,方程不表示任何图形. 4.P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系 (1)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点 P 在圆外; (2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点 P 在圆上; (3)若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点 P 在圆内. 一种方法

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明远教育:郭老师

确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程. 两个防范 (1)求圆的方程需要三个独立条件,所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系 数的三个独立方程. (2)过圆外一定点求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑 切线斜率不存在的情况. 三个性质 确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)圆心为点(0,1),半径为 2 的圆的标准方程为( A.(x-1)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=4 答案 C 2.(2011· 四川)圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3) C.(-2,-3) ). B.x2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+y2=2 ).

B.(-2,3) D.(2,-3)

解析 由 x2+y2-4x+6y=0 得(x-2)2+(y+3)2=13.故圆心坐标为(2,-3). 答案 D 3.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则实数 a 的取值范围是( A.-1<a<1 C.a>1 或 a<-1 解析 因为点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a)2+(1+a)2<4,∴-1<a<1. B.0<a<1 D.a=± 1 ).

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答案 A 4.(2011· 重庆)在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A.5 2 B.10 2 C.15 2 ). D.20 2

解析 由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3)、半径是 10,且点 E(0,1)位于该圆内, 故过点 E(0,1)的最短弦长|BD|=2 10-?12+22?=2 5(注:过圆内一定点的最短 弦是以该点为中点的弦), 过点 E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径, 即|AC|=2 10, 1 1 且 AC⊥BD, 因此四边形 ABCD 的面积等于2|AC|×|BD|=2×2 10×2 5=10 2, 选 B. 答案 B 5. (2012· 长春模拟)圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为________. |-2| 解析 设圆的方程为 x2+y2=r2.则 r= = 2. 2 ∴圆的方程为:x2+y2=2. 答案 x2+y2=2

考向一

求圆的方程

【例 1】?已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( A.(x+1)2+(y-1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 ). B.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

[审题视点] 设圆心坐标,根据相切的条件列出等式求圆心及半径;也可以利用 圆的几何特征求圆心及半径. 解析 法一 设出圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可. |a-?-a?| |a-?-a?-4| = ,即|a|=|a-2|,解得 a=1, 2 2 2 = 2,故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 2

设圆心坐标为(a,-a),则

故圆心坐标为(1,-1),半径 r=

法二 题目给出的圆的两条切线是平行线, 故圆的直径就是这两条平行线之间的

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距离 d=

4 =2 2;圆心是直线 x+y=0 与这两条平行线交点的中点,直线 x+y 2

=0 与直线 x-y=0 的交点坐标是(0,0)、与直线 x-y-4=0 的交点坐标是(2,- 2),故所求的圆的圆心坐标是(1,-1),所求的圆的方程是(x-1)2+(y+1)2=2. 法三 作为选择题也可以验证解答,圆心在 x+y=0 上,排除选项 C、D,再验 证选项 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可. 答案 B 求具备一定条件的圆的方程时,其关键是寻找确定圆的两个几何要素, 即圆心和半径, 待定系数法也是经常使用的方法.在一些问题中借助圆的平面几 何中的知识可以简化计算, 如已知一个圆经过两个点时,其圆心一定在这两点的 垂直平分线上,解题时要注意平面几何知识的应用. 【训练 1】 经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程为 ________. 解析 ∵圆经过点 A(5,2),B(3,2), ∴圆心在 x=4 上,又圆心在 2x-y-3=0 上, ∴圆心为(4,5),可设圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=r2, 又圆过 B(3,2),即(3-4)2+(2-5)2=r2, ∴r2=10,∴圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=10. 答案 (x-4)2+(y-5)2=10 考向二 与圆有关的最值问题 y-1 的 x-2

【例 2】?(2012· 武汉模拟)已知点 P(x,y)在圆 x2+(y-1)2=1 上运动,则 最大值与最小值分别为________. y-1 [审题视点] 找出 的几何意义,运用几何法求解. x-2 解析 设

y-1 =k,则 k 表示点 P(x,y)与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切 x-2

时,k 取得最大值与最小值. 由 |2k| 3 =1,解得 k=± 3 . 2 k +1

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答案

3 3 3 ;- 3 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:

y-b ①形如 μ= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如 t= x-a ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如(x-a)2+(y -b)2 形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 【训练 2】 圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与 最小距离的差是( ). D.5 2

A.30 B.18 C.6 2

解析 由圆 x2+y2-4x-4y-10=0 知圆心坐标为(2,2),半径为 3 2.则圆上的点 |2+2-14| 到直线 x+y-14=0 的最大距离为: +3 2=5 2+3 2,最小距离为: 2 5 2-3 2,故最大距离与最小距离的差为 6 2. 答案 C 考向三 圆的综合应用

【例 3】?已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径. [审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系,再化为 m 的方程求解;(2)OP⊥OQ 得到 O 点在以 PQ 为直径的圆上,再利用勾股定理求解. 解 法一 将 x=3-2y,

代入方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得 5y2-20y+12+m=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1、y2 满足条件: 12+m y1+y2=4,y1y2= 5 . ∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而 x1=3-2y1,x2=3-2y2. -27+4m ∵x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= . 5 -27+4m 12+m 故 + 5 =0,解得 m=3, 5

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5 ? 1 ? 此时 Δ>0,圆心坐标为?-2,3?,半径 r=2. ? ?

法二 如图所示,设弦 PQ 中点为 M, 设 M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 由法一知,y1+y2=4,x1+x2=-2, ∴x0= x1+x2 y1+y2 =-1,y0= 2 =2. 2

解得 M 的坐标为(-1,2). 则以 PQ 为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2. ∵OP⊥OQ,∴点 O 在以 PQ 为直径的圆上. ∴(0+1)2+(0-2)2=r2, 即 r2=5,|MQ|2=r2. 在 Rt△O1MQ 中,|O1Q|2=|O1M|2+|MQ|2. 1+?-6?2-4m ? 1 ?2 ∴ =?-2+1? +(3-2)2+5. 4 ? ? 5 ? 1 ? ∴m=3,∴半径为2,圆心为?-2,3?. ? ? (1)在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往会使得思路 简捷明了,简化思路,简便运算. (2)本题中两种解法都是用方程思想求 m 值,即两种解法围绕“列出 m 的方程” 求 m 值. 【训练 3】 (2012· 广州模拟)在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4,-3)为△ OAB 的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点 B 的纵坐标大于 0. → (1)求AB的坐标; (2)求圆 x2-6x+y2+2y=0 关于直线 OB 对称的圆的方程. → → OA → 解 (1)设AB=(x,y),由|AB|=2|OA|,AB· =0,
2 2 ?x +y =100, ?x=6, ?x=-6, 得? 解得? 或? ?4x-3y=0, ?y=8 ?y=-8,

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→ 若AB=(-6,-8),则 yB=-11 与 yB>0 矛盾, ?x=-6, 所以? 舍去. ?y=-8 → 即AB=(6,8). (2)圆 x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=( 10)2,其圆心为 C(3,-1),半 径 r= 10, → → → ∵OB=OA+AB=(4,-3)+(6,8)=(10,5), 1 ∴直线 OB 的方程为 y=2x. 1 设圆心 C(3,-1)关于直线 y=2x 的对称点的坐标为(a,b),

?b+1=-2, ?a-3 则? a+3 ?b-1=1· 2 , ? 2 2

?a=1, 解得? ?b=3,

则所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.

阅卷报告 13——选择方程不当或计算失误 【问题诊断】 由于圆的方程有两种形式:标准方程和一般方程,所以在求圆的 方程要合理选用, 如果选择不恰当, 造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误. 【防范措施】 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程, 通常选用圆的标准方程;若已知条件为圆经过三点,一般采用一般式,但已知点 的坐标较复杂时,采用一般式计算过繁,可以采用标准式. 【示例】?(2011· 全国新课标)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐 标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 错因 计算失误.实录 (1)令 y=0,则与 x 轴的交点为(3+2 2,0),(3-2 2,

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0),令 x=0,则与 y 轴的交点为(0,1),设圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,

?E+F+1=0, 则??3+2 2?D+F+?3+2 ??3-2 2?D+F+?3-2

2?2=0, 2?2=0,

解得:D=6,E=27+12 2,F=-28-12 2, ∴x2+y2+6x+(27+12 2)y-28-12 2=0. 正解 (1)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点为(0,1), x 轴的交点为(3+2 2, 与 0), (3-2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2, 解得 t=1.则圆 C 的半径为 32+?t-1?2=3. 所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组: ?x-y+a=0, ? 2 2 ??x-3? +?y-1? =9. 消去 y,得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0. 由已知可得,判别式 Δ=56-16a-4a2>0. ?8-2a?± 56-16a-4a2 因此 x1,2= , 4 a2-2a+1 从而 x1+x2=4-a,x1x2= .① 2 由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0. 又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以 2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.② 由①,②得 a=-1,满足 Δ>0,故 a=-1. 【试一试】 (2010· 全国新课标)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为________. [尝试解析] 由已知圆 C 过 A(4,1),B(2,1)两点,

∴直线 AB 的垂直平分线 x=3 过圆心 C, 又圆 C 与直线 y=x-1 相切于点 B(2,1),∴kBC=-1, ∴直线 BC 的方程为 y-1=-(x-2),得 y=-x+3,

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?y=-x+3, ?x=3, 由? 解得? 得圆心 C 的坐标为(3,0), ?x=3, ?y=0, ∴r=|BC|= ?3-2?2+?0-1?2= 2, ∴圆的方程为(x-3)2+y2=2. 答案 (x-3)2+y2=2
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