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等比数列优质课课件


2.4 等比数列

学习目标:
1.理解等比数列的定义; 2.掌握等比数列的通项公式.会解决知道n, a1, an , q中的三个,求另一个的问题.

学习重点:
1.等比数列概念的理解与掌握; 2.等比数列的通项公式的推导及应用.

探究一:等比数列的定义
观察下列数列,说出它们的特点

.

(1)1,2,22,23,… (2)5, 25,125, 625... 1 1 1 (3)1, ? , , ? , 2 4 8 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比 数列,这个常数叫做公比,记为q(q≠0).
an * ? q ( n ? 2 且 n ? N ). 数学语言: a n ?1 an ?1 或 ?q an

思考1:
1.已知等比数列{ an }: (1) an 能不能是零? 不能 能 (2)公比q能不能是1? 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . ① 1,-1,1,…,(-1)n+1 √ ; ②1,2,4,6…; ③ a , a , a , …, a ;

×

× ④已知a1=2,an=3an+1 ; √ 2 3 ⑤ m, 2m, 4m ,8m ,... ×
⑥2a,2a,2a,…,2a. √ 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列?

非零的 常数列

?an ?的通项公式an ? 3 , 求证: ?an ?是等比数列 例:已知 .
n

变式 : 数列{an }是等比数列.

an ? q(q是一个与n无关的非零常数) an?1

定义法,只要看
n

已知数列{an }的前n项和为Sn ? 3 ? 1, 求证:

分析:当n ? 1时,a1 ? S1 ? 3 ?1 ? 2; n n ?1 当n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1 ? 3 ? 1 ? (3 ? 1)
1

an 2 ? 3n?1 ? ? ? 3为常数(n ? 2). n?2 an?1 2 ? 3

当n ? 1时,也满足an ? 2 ? 3 ?an ? 2 ? 3 .

? 3 ?3
n

n ?1

? 3? 3

n ?1

n?1

?3

n ?1

? 2?3 ,
n?1

n ?1

思考2:
若a,G,b三个数成等比数列,那么这 三个数 有何恒等关系?

结论:G2=ab
G叫做a,b的等比中项

探究二:通项公式
? 法一:不完全归纳法

等 a2 ? a1 ? d 差 a ? a ? 2d 3 1 类比 数 列 a4 ? a1 ? 3d ……
由此归纳等差数列 的通项公式可得:

等 比 数 列

a2 ? q ? a2 ? a1q a1

a3 ? q ? a3 ? a2 q ? a1q 2 a2 a4 ? q ? a4 ? a3q ? a1q 3 a3

……

由此归纳等比数列的通项公式可得:

an ? a1q
时 上 面 等 式 也 成 立

n ?1

an ? a1 ? (n ? 1)d

其 中 a1与q均 不 为 零 , 当

n ?1

二、等比数列的通项公式:
? 法二:叠加法 累乘法

等 a2 ? a1 ? d 差 a3 ? a2 ? d 数 列 a4 ? a3 ? d …… +)an ? an?1 ? d
an ? a1 ? (n ?1)d

类比

等 比 数 列

a2 ?q a1
a3 ?q a2

×) an ? q
an ?1

……

a4 ?q a3

共n – 1 项

an n ?1 ?q a1

等比数列的通项公式:
an ? a1 q
n?1

(n∈N﹡,q≠0)

等比数列通项公式的变形
已知等比数列的公比为q,第m项为 am,求 an .
解:由等比数列的通项公式可知   an ? a1q n ?1   am ? a1q m ?1

an 两式相除,得 ? q n ? m am

?  an ? amq

n?m

试比较 a n =a1qn-1 与an ? amqn?m

思考4:等比数列的通项公式与函数有怎样的关系?
例如:数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是:
n ?1 ______ a ?2 n
a
n

上式还可以写成

8

·

可见,这个等比数列 的图象都在函数

1 n an ? ? 2 2
1 x y ? ?2 2

7 6 5 4 3 2

· ·
1

的图象上,如右图所示。

·
2 3 4 n

结论: 等比数列?an ? 的图象是其对应的 1 函数的图象上一些孤立的点
0

例1.在等比数列 ?an ? 中,

(1)a4 ? 27, q ? ?3, 求an ; (2)a3 ? 12, a4 ? 18, 求a1.

思考与讨论:对于例 1(2)中的数列,你是否 发现 a1a4 与 a2 a3 相 等?你能说出其中的道 理吗?你能由此推导出 一个一般性的结论吗?

变式:求出下列等比数列中的未知项: ( 1) 2,a, 8; a ? ?4 (2)a 5 =4,a 7 =6,求a 9 . a9 ? 9

例2:9是等比数列3 , 3, 3 ,的第几项 ... ?
解:a1 ? 3 ? 1 ,q ? 3 , ? an ? a1 ? q n?1 ? 3
0 2 1 2 n ?1 2

0 2

1 2

2 2

.

n ?1 9 ? 3 ? 3 ,即2 ? , ? n ? 5, 2 即9为该数列的第5项.
2

n ?1 2

变式: 3m?1是该数列中的项吗?若是,是第几项 ?
n ?1 2

分析:令3

m ?1

?3

,则n=2m+3

范例讲解
例3、已知等比数列{an}中,a5=20,a15=5,求a20. 解:由a15=a5q10,得
q
10

1 ?q ? ? 2
5

a15 5 1 ? ? ? a5 20 4

? a20

1 5 5 ? a15 q ? 5 ? ? 或a20 ? ? 2 2 2
5

思考与讨论:对于例3中的数列,你是否发现a5,a10,a15,a20… 恰好构成等比数列?你能说出其中的道理吗?你能由此推导出 一个一般性的结论吗?

范例讲解
例4.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗 ?

开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否

n>5? 是

结束

开始

解:若将打印出来的数依次记为 a1 (即A), a2 , a3, ......,
1 1 a2 ? a1 ? ? , 2 2
1 1 a4 ? a3 ? ? , 2 8
则:a1 ? 1,

A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否

1 1 a3 ? a2 ? ? , 2 4

a5 ? a4 ?

1 1 ? , 2 16

?a1 ? 1, ? 可得递推公式: ? 1 an ? an?1 (n ? 1) ? ? 2 a 1 由于 n ? , ?这个数列是等比数列,
an ?1 2

n>5? 是

其通项公式为:

1 n ?1 an ? ( ) 2

结束

当堂达标:
1.下面有四个结论: (1)由第一项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比 数列; (2)常数列b,b,…b一定为等比数列; (3)等比数列{ an}中,若公比q=1,则此数列各项相等;

(4)等比数列中,各项与公比都不能为零。
其中正确结论的个数是( A. 0 A. 3n B. 1

C

) C. 2 D.3

2. 等比数列{ an}中,a1 ? 4 ,公比q=3,则通项公式( D )

3n ?1 3. 在等比数列{ an }中,a2 ? 6, a5 ? 48,则 a8 ?
B. 4 n C.3

4n ?1

D. 4

384

.

4. 2 ? 3与2+ 3的等比中项为:

?1

an an?1 ? q ( n ? 2) 或 ? q . 1.等比数列的定义: a an n ?1

小结:

2.等比数列的通项公式:

an=a1qn-1
推导方法: (1)归纳法;(2)累乘法.
公式的 认识: (1)函数的观点;(2)方程的思想.

3.等比中项:

G ? ab
2


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