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第一章 集合与简易逻辑


第一章 集合与简易逻辑
第 1 课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能选择自然语言,图形语言, 集合语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 2. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集 的含义. 3. 理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集;理解在给 定集合中一个

子集补集的含义,会求给定子集的补集;能使用文氏图表达集 合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 4. 集合问题常与函数,方程,不等式有关,其中字母系数的函数,方程,不等 式要复杂一些,综合性较强,往往渗透数形思想和分类讨论思想. 【基础练习】 1.
{ (


0


,

{ x ( y? ,
0 ) , (

)?x 0
0 . ,

?
1 )

y 2? ,
, (

用 举 0 x ?列 y 2 Z, 法, 表
1 , 0 ) , ( 1

示 }
, 1 ) , (

2

2.设集合 A ? {x x ? 2k ?1, k ? Z} , B ? {x x ? 2k , k ? Z} ,则 A ? B ? ? .
{0, 2} . 3.已知集合 M ? {0,1, 2} , N ? {x x ? 2a, a ? M } ,则集合 M ? N ? _______

4.设全集 I ? {1,3,5,7,9} , 集合 A ? {1, a ? 5 ,9} , 则实数 a 的值为____8 CI A ? {5,7} , 或 2___. 【范例解析】 例 . 已 知 R 为 实 数 集 , 集 合 A ? { x 2x ? 3 x? 2 ? 0.}若 B ? C R A ? R ,

B ? C R A ? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ,求集合 B.
分析:先化简集合 A,由 B ? C R A ? R 可以得出 A 与 B 的关系;最后,由数形结 合,利用数轴直观地解决问题. 解: ( 1 ) ? A ? {x 1 ? x ? 2} , ?CR A ? {x x ? 1 或 x ? 2} . 又 B ? C R A ? R ,

A?C R A ? R ,
可得 A ? B .

而 B ? C R A ? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ,

? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ? B.
借助数轴可得 B ? A ? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ? {x 0 ? x ? 3}.

【反馈演练】 1.设集合 A ? ? 1,2?, B ? ? 1,2,3?, C ? ?2,3,4?,则 ? A ? B ? U C =_________. 2 . 设

P , Q

为 两 个 非 空 实 数 集 合 , 定 义 集 合

P+Q= {a ? b | a ? P, b ? Q}, 若P ? {0,2,5}, Q ? {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是____8___
个. 3.设集合 P ? {x x 2 ? x ? 6 ? 0} , Q ? {x 2a ? x ? a ? 3} . (1)若 P ? Q ? P ,求实数 a 的取值范围; (2)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围; (3)若 P ? Q ? {x 0 ? x ? 3},求实数 a 的值. 解: (1)由题意知: P ? {x ?2 ? x ? 3} ,? P ? Q ? P ,? Q ? P . ①当 Q ? ? 时,得 2a ? a ? 3 ,解得 a ? 3 . ②当 Q ? ? 时,得 ?2 ? 2a ? a ? 3 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 0 . 综上, a ? (?1,0) ? (3, ??) . (2)①当 Q ? ? 时,得 2a ? a ? 3 ,解得 a ? 3 ;

?2a ? a ? 3, 3 ②当 Q ? ? 时,得 ? ,解得 a ? ?5或 ? a ? 3 . 2 ?a ? 3 ? ?2或2a ? 3
3 综上, a ? (??, ?5] ? [ , ??) . 2

(3)由 P ? Q ? {x 0 ? x ? 3},则 a ? 0 .

第2课 【考点导读】

命题及逻辑联结词

1. 了解命题的逆命题, 否命题与逆否命题的意义;会分析四种命题的相互关系. 2. 了解逻辑联结词“或” , “且” , “非”的含义;能用“或” , “且” , “非”表述 相关的数学内容. 3. 理解全称量词与存在量词的意义;能用全称量词与存在量词叙述简单的数学 内容.理解对含有一个量词的命题的否定的意义;能正确地对含有一个量词 的命题进行否定. 【基础练习】 1.下列语句中:① x2 ? 3 ? 0 ;②你是高三的学生吗?③ 3 ? 1 ? 5 ;④ 5 x ? 3 ? 6 . 其中,不是命题的有____①②④_____. 2.一般地若用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,则它的逆命题可表示为若 q 则 p ,否命题可表示为

若?p则?q ,逆否命题可表示为 若?q则?p ;原命

题与逆否命题互为逆否命题,否命题与逆命题互为逆否命题. 【范例解析】 例1. 写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题并判断真假. (1) 平行四边形的对边相等; (2) 菱形的对角线互相垂直平分; (3) 设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d . 分析:先将原命题改为“若 p 则 q” ,在写出其它三种命题. 解: (1) 原命题:若一个四边形是平行四边形,则其两组对边相等;真命题; 逆命题:若一个四边形的两组对边相等,则这个四边形是平行四边形;真命题; 否命题: 若一个四边形不是平行四边形, 则其两组对边至少一组不相等; 真命题; 逆否命题: 若一个四边形的两组对边至少一组不相等,则这个四边形不是平行四 边形;真命题. (2) 原命题:若一个四边形是菱形,则其对角线互相垂直平分;真命题; 逆命题:若一个四边形的对角线互相垂直平分,则这个四边形是菱形;真命题; 否命题:若一个四边形不是菱形,则其对角线不垂直或不平分;真命题; 逆否命题:若一个四边形的对角线不垂直或不平分,则这个四边形不是菱形;真 命题. (3) 原命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ;真命题; 逆命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? c ? b ? d ,则 a ? b, c ? d ;假命题;

否命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b 或 c ? d ,则 a ? c ? b ? d ;假命题; 逆否命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? c ? b ? d ,则 a ? b 或 c ? d ;真命题. 点评:已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若 p 则 q”的形式, 找出其条件 p 和结论 q,再根据四种命题的定义写出其它命题;对于含大前提的 命题,在改写命题时大前提不要动;在写命题 p 的否定即 ? p 时,要注意对 p 中 的关键词的否定,如“且”的否定为“或” , “或”的否定为“且” , “都是”的否 定为“不都是”等. 例 2.写出由下列各组命题构成的“p 或 q” , “p 且 q” , “非 p”形式的命题,并判 断真假. (1)p:2 是 4 的约数,q:2 是 6 的约数; (2)p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分; (3)p:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号相同, q:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根 的绝对值相等. 分析:先写出三种形式命题,根据真值表判断真假. 解: (1)p 或 q:2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数,真命题; p 且 q:2 是 4 的约数且 2 是 6 的约数,真命题; 非 p:2 不是 4 的约数,假命题. (2)p 或 q:矩形的对角线相等或互相平分,真命题; p 且 q:矩形的对角线相等且互相平分,真命题; 非 p:矩形的对角线不相等,假命题. (3)p 或 q:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号相同或绝对值相等,假命题;

p 且 q:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号相同且绝对值相等,假命题;
非 p:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号不同,真命题. 点评:判断含有逻辑联结词“或” , “且” , “非”的命题的真假,先要把结构弄清 楚,确定命题构成的形式以及构成它们的命题 p,q 的真假然后根据真值表判断 构成新命题的真假. 例 3.写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除; (2)p:每一个非负数的平方都是正数; (3)p:存在一个三角形,它的内角和大于 180°; (4)p:有的四边形没有外接圆; (5)p:某些梯形的对角线互相平分. 分 析 : 全 称 命 题 “ ?x ? M, p( x)” 的 否 定 是 “ ?x ? M, ?p( x)” ,特称命题

“ ?x ? M , p( x) ”的否定是“ ?x ? M , ?p( x) ” . 解: (1) ? p :存在末位数字是 0 或 5 的整数,但它不能被 5 整除,假命题; (2) ? p :存在一个非负数的平方不是正数,真命题; (3) ? p :任意一个三角形,它的内角和都不大于 180°,真命题; (4) ? p :所有四边形都有外接圆,假命题; (5) ? p :任一梯形的对角线都不互相平分,真命题.

点评:一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下:
正面词语 否定词语 正面词语 否定词语 等于 不等于 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有一个 一个也没有 小于 不小于 任意的 某个 是 不是 所有的 某些 都是 不都是 ? ?

【反馈演练】 若 b ? M ,则 a ? M 1.命题“若 a ? M ,则 b ? M ”的逆否命题是__________________. 2.已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1,则 ?p : ?x ? R,sin x ? 1. 3.若命题 m 的否命题 n,命题 n 的逆命题 p,则 p 是 m 的____逆否命题____.
a b 若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 4.命题“若 a ? b ,则 2 a ? 2 b ? 1 ”的否命题为________________________ .

5.分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假. (1)设 a, b ? R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ; (2)设 a, b ? R ,若 a ? 0, b ? 0 ,则 ab ? 0 . 解: (1)逆命题:设 a, b ? R ,若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 ab ? 0 ;真命题; 否命题:设 a, b ? R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ;真命题; 逆否命题:设 a, b ? R ,若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab ? 0 ;真命题; (2)逆命题:设 a, b ? R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0, b ? 0 ;假命题; 否命题:设 a, b ? R ,若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 ab ? 0 ;假命题; 逆否命题:设 a, b ? R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ;真命题.

第 3 课时 【考点导读】

充分条件和必要条件

1. 理解充分条件,必要条件和充要条件的意义;会判断充分条件,必要条件和 充要条件. 2. 从集合的观点理解充要条件,有以下一些结论: 若集合 P ? Q ,则 P 是 Q 的充分条件; 若集合 P ? Q ,则 P 是 Q 的必要条件; 若集合 P ? Q ,则 P 是 Q 的充要条件. 3. 会证明简单的充要条件的命题,进一步增强逻辑思维能力. 【基础练习】 1.若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件.若 q ? p ,则 p 是 q 的必要条件.若 p ? q , 则 p 是 q 的充要条件. 2.用“充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件和既不充分也不必要条件” 填空. (1)已知 p : x ? 2 , q : x ? 2 ,那么 p 是 q 的_____充分不必要___条件. (2)已知 p : 两直线平行, q : 内错角相等,那么 p 是 q 的____充要_____条件. (3)已知 p : 四边形的四条边相等, q : 四边形是正方形,那么 p 是 q 的___必要 不充分__条件. 3.若 x ? R ,则 x ? 1 的一个必要不充分条件是 x ? 0 . 【范例解析】 例.用“充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件和既不充分也不必要条件” 填空.

? x ? 2, ? x ? y ? 4, (1) ? 是? 的___________________条件; ? y ? 2. ? xy ? 4.
(2) ( x ? 4)( x ? 1) ? 0 是
x?4 ? 0 的___________________条件; x ?1

(3) ? ? ? 是 tan ? ? tan ? 的___________________条件; (4) x ? y ? 3 是 x ? 1 或 y ? 2 的___________________条件. 分析:从集合观点“小范围 ? 大范围”进行理解判断,注意特殊值的使用.

? x ? 2, ? x ? y ? 4, 1 解: (1)因为 ? 结合不等式性质易得 ? ,反之不成立,若 x ? , 2 ? y ? 2. ? xy ? 4. ? x ? y ? 4, ? x ? 2, ? x ? 2, ? x ? y ? 4, ,但 ? 不成立,所以 ? 是? 的充分不必要 y ? 10 ,有 ? ? xy ? 4. ? y ? 2. ? y ? 2. ? xy ? 4.
条件.
( ? 1) ? ( 2 ) 因 为 (x ? 4 )x (x ? 4 )x ( ? 1) ? 是 0 0 解 集 为 [? 1, 4 ] 的 ,
x?4 ? 0 的 解 集 为 (? 1, 4 , ] 故 x ?1

(3) 当? ? ? ?

?
2

x?4 ? 0 的必要不充分条件. x ?1

tan ? , tan ? 均不存在; 时, 当 tan ? ? tan ? 时, 取? ?

?
4

?? ,

5? , 4

但 ? ? ? ,所以 ? ? ? 是 tan ? ? tan ? 的既不充分也不必要条件. (4)原问题等价其逆否形式,即判断“ x ? 1 且 y ? 2 是 x ? y ? 3 的____条件” , 故 x ? y ? 3 是 x ? 1 或 y ? 2 的充分不必要条件. 点评:①判断 p 是 q 的什么条件,实际上是判断“若 p 则 q”和它的逆命题“若 q 则 p”的真假,若原命题为真,逆命题为假,则 p 为 q 的充分不必要条件;若 原命题为假,逆命题为真,则 p 为 q 的必要不充分条件;若原命题为真,逆命题 为真,则 p 为 q 的充要条件;若原命题,逆命题均为假,则 p 为 q 的既不充分也 不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断 “若 p 则 q” 的真假困难时, 则可以判断它的逆否命题“若 ? q 则 ? p”的真假. 【反馈演练】 1.设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | 0 ? x ? 2} ,则“ a ? M ”是“ a ? N ”的_ 必要不充分 条件. 充分不必要 2.已知 p:1<x<2,q:x(x-3)<0,则 p 是 q 的 条件. 3. 已知条件 p : A ? {x ? R x 2 ? ax ? 1 ? 0} , 条件 q : B ? {x ? R x 2 ? 3x ? 2 ? 0} . 若 ?q 是 ? p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解: q : B ? {x ? R 1 ? x ? 2} ,若 ? q 是 ? p 的充分不必要条件,则 A ? B . 若 A ? ? ,则 a 2 ? 4 ? 0 ,即 ?2 ? a ? 2 ;
?a 2 ? 4 ? 0, 5 ? 若 A ? ? ,则 ? ? a ? a 2 ? 4 ? a ? a 2 ? 4 解得 ? 2 ? a ? ?2 . ?x? , ? ? 2 2
5 综上所述, ? ? a ? 2 . 2


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