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等比数列


3.4 等比数列

学习目标
1. 理解等比数列的概念;、
2、掌握等比数列的通项公式及其性质并能应用法; 3、通过等比数列与指数函数的关系体会数列单调 性(是一种特殊的函数)

目标达成
1.通过生活实例感知数列; 2.通过自主学习、探究性学习达成目标。

复习回顾
数 定 列 义 等 差 数 列

an+1-an=d d 叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d

同一常数
通项公式 性质

如果一碗面由256根面条组 成,请问需要拉面师傅拉几 次才能得到?

拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256
我国古代一些学者提出:“一尺之棰,日取其半,万世不 竭。”即一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完,这 样每天剩下的部分都是前一天的一半。如果把“一尺之棰” 看成单位“1”,那么得到的数列是

1 1 1 1 1 1, , , , ,......, n ?1 ,... 2 4 8 16 2
某种汽车购买时的价格是10万元,每年的折旧率是15%,这 辆车各年开始时的价值(单位:万元)分别是:

10,10×0.85,10×0.852 ,10×0.853,…
上面数列有什么共同特点 ? 从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数。

名 称

等差数列
从第2项起,每一项 与它前一项的差都等 于同一个常数, 这个数列叫做等差数 列. 这个常数叫做等差数 列的公差,用d表示

等比数列

定 义

从第2项起,每一项 与它前一项的比都等 于同一个常数, 这个数列叫做等比数 列. 这个常数叫做等比数 列的公比,用q表示.

1.等比数列定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一

项的比都等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示。

其数学表达式:

an * ? q n ? 2, n ? N an ?1

?

?或

an?1 * ? q n? N an

?

?

对等比数列的认识:

an?1 * ? q n? N an

?

?

(1)an ? 0 即等比数列的每一项都不为0;

(2)q ? 0 即等比数列的公比不为0;
(3)q ? 1 为非零常值数列;

练一练
1、判别下列数列是否为等比数列?
(1)1, 2, 2, 2 2 ?
(2)4,-8,16,-32,64 (3)-3,-3,-3,-3, …… ,-3 (4)2, 0, 0, 0,0 ……





不是 不确定

(5)1, x, x2, x3, …… xn-1

2.等比数列的通项公式
问题:如何用 a1 和 q 表示第 n 项 an. ①迭代法/归纳猜想法 a2 ? a1q, a3 ? a2 q ? a1q2 , a4 ? a3q ? a1q3 ,?, an ? a1qn?1 ②叠乘法

a3 a2 a4 an an ?1 ? q, ? q, ? q, ?q ? q ,? an ? 2 a2 an ?1 a1 a3 an n ?1 n ?1 ? q 这 n ? 1个式子相乘得 a ,所以 an ? a1q . 1

等比数列的通项公式为

an ? a1q
①方程思想 ②函数观点

n?1

?n ? N ?
?

解方程,知三求一 类指数函数式

y?a

x

3等比中项定义:
如果a,G,b成等比数列,那么有

G ? ab G叫做a与b的等比中项
2

判断b ? ac是a, b, c成等比数列
2

的 __________ _____条件。

例1: 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求 它的第1项与第2项. 解:设这个等比数列的第1项是 a1 ,公比是 q ,那么 ① a1q2 ? 12 作差(等差) ② a q 3 ? 18
1

把②的两边分别除以①的两边,得

16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与 8 . 3

16 把③代入① ,得 a1 ? 3 16 3 a2 ? a1q ? ? ? 8 因此 3 2

3 q? 2

作商(等比)

a5 例2:等比数列 ?an ?中,

? 4, a7 ? 6, 求 a9 ? ?

an ? am ? ( n ? m) d(等差)

n? m ? an am q

(等比)

例3:由下列等比数列的通项公式,求首项与公比? (1)an=2n (2) an= 3×10n

思考:你能判断它们的增减性吗 ? 解:由等比数列的 解:n=1 a1=21=2 n=2 a2=22=4 通项公式的特点可 得:q=10,a1=-30

可得:q=2
(等差) an ? An+B

an ? A×Bn (等比)

猜一猜:
给你一张足够大的纸,假设其 厚度为0.1毫米,那么当你把 这张纸对折了51次的时候,所 达到的厚度有多少?

猜一猜
把一张纸折叠51次, 得到的大约是地球与 太阳之间的距离!

今天你学到了什么?

等差数列 定义

等比数列

an ?1 ? an ? d
d∈ R
等差中项

an ?1 ?q an
q≠0且q∈R
等比中项

公比(差)
等比(差) 中项 通项公式

? 2A ? a ? b

? G ? ? ab

an ? a1 ? (n ? 1)d an ? am ? (n ? m)d

an ? a1q

n ?1

an ? am q

n?m

性质 (若m+n=p+q)

am ? an ? a p ? aq am ? an ? a p ? aq


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