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10 平面向量的坐标运


平面向量的坐标运算(2)
教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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一、复习引

入: 1 向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
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2.向量加法的交换律: a + b = b + a 3.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 4.向量的减法向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差 即: a ? b = a + (? b )
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5.差向量的意义: OA = a ,

OB = b , 则 BA = a ? b
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即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量 6.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a

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(1)|λ a |=|λ || a |; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 7.运算定律 λ (μ a )=(λ μ) a ,(λ +μ) a =λ a +μ a ,λ ( a + b )=λ a +λ b

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8. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ ,使

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? ? b =λ a 9.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这
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一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 (1)我们把不共线向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 、 e2 的条件下进行分解;

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?

(4)基底给定时,分解形式惟一 λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量
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?

10 平面向量的坐标表示
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分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底 任作一个向量 a ,由平面
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向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj 把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐 标, 特别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) 11.平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,

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则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , ?a ? (?x, ?y) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 二、讲解新课:

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? ? ? a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2) 其中 b ? a 由 a =λ b 得, (x1, y1) =λ (x2, y2)

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?

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? x ? ?x 2 ?? 1 ? y1 ? ?y 2

?

消去λ ,x1y2-x2y1=0

探究: (1)消去λ 时不能两式相除,∵y1, y2 有可能为 0, ∵b ?0

?

∴x2, y2 中至少有一个不为 0

(2)充要条件不能写成

y1 y 2 ? x1 x 2

∵x1, x2 有可能为 0

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式:

? a ? ?b ? ? ? ? a ∥b (b ?0 ) ? ? ? ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
三、讲解范例: 例 1 若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x 解:∵ a =(-1,x)与 b =(-x, 2) 共线

?

?

?

?

∴(-1)×2- x?(-x)=0

∴x=± 2

∵ a 与 b 方向相同

?

?

∴x= 2

例 2 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平行吗?直线 AB 与平 行于直线 CD 吗? 解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴ AB ∥ CD , CD =(2-1,7-5)=(1,2)

又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) 2×4-2×6?0 ∴A,B,C 不共线 四、课堂练习: 1 若 a =(2,3), b =(4,-1+y),且 a ∥ b ,则 y=(
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AB =(2, 4)

∴ AC 与 AB 不平行 ∴AB 与 CD 不重合 ∴AB∥CD

) D8
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A6 B5 C7 2 若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A -3 B -1 C1
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D3
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3 若 AB = i +2 j , DC =(3-x) i +(4-y) j (其中 i 、 j 的方向分别与 x、y 轴正方向相同
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?

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且为单位向量) AB 与 DC 共线,则 x、y 的值可能分别为(
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) D 2,4
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A 1,2
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B 2,2
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C 3,2
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4 已知 a =(4,2), b =(6,y),且 a ∥ b ,则 y=
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5 已知 a =(1,2), b =(x,1),若 a +2 b 与 2 a - b 平行,则 x 的值为
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6 已知□ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x),则 x=
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参考答案:1 C
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2B
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3B
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4 3
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5

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1 2

6 5
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五、小结 向量平行的充要条件(坐标表示) 六、课后作业: 1 若 a =(x1,y1), b =(x2,y2),且 a ∥ b ,则坐标满足的条件为(
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A x1x2-y1y2=0 C x1y2+x2y1=0
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B x1y1-x2y2 D x1y2-x2y1=0
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2 设 a =(
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3 1 ,sinα ), b =(cosα , ),且 a ∥ b ,则锐角α 为( 2 3
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A 30° B 60° C 45° D 75° 3 设 k∈R,下列向量中,与向量 a =(1,-1)一定不平行的向量是( A (k,k) B (-k,-k) 2 2 2 2 C (k +1,k +1) D (k -1,k -1)
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4 若 A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线,则 x=
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5 已知 a =(3,2), b =(2,-1),若λ a + b 与 a +λ b (λ ∈R)平行,则λ =
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6若
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a =(-1,x)与 b =(-x,2)共线且方向相同,则 x=
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7 已知 a =(1,2), b =(-3,2),当 k 为何值时 k a + b 与 a -3 b 平行? 8 已知 A、B、C、D 四点坐标分别为 A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),试证明:四边形 ABCD 是梯形
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9 已知 A、B、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2), AE =
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1 1 AC , BF ? BC ,求证:EF 3 3

∥ AB

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参考答案:1 D
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2 C 3 C 4 2 5 ±1 6
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2

7王新敞
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1 3

8 (略) 9 (略)
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七、板书设计(略) 八、课后记:


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