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2015届高三数学(文)湘教版一轮复习课时跟踪检测57 几何概型]


课时跟踪检测(五十七) 几何概型

第Ⅰ组:全员必做题 1.用一平面截一半径为 5 的球得到一个圆面,则此圆面积小于 9π 的概率是( 4 A. 5 1 B. 5 1 C. 3 1 D. 2 ) )

2. 函数 f(x)=x2-x-2, x∈[-5,5], 那么任取一点 x0∈[-5,5], 使 f(x0)≤0 的概率是( 2 A.1 B. 3 3 2 C. D. 10 5

3.如图, M 是半径为 R 的圆周上一个定点, 在圆周上等可能的任取一点 N,连接 MN,则弦 MN 的长度超过 2R 的概率是( 1 A. 5 1 B. 4 1 C. 3 1 D. 2 )

4.如图,圆的直径是正方形边长的一半,圆位于正方形的内部.现随意地将 飞镖掷向正方形内,则飞镖击中圆面部分的概率是( 1 A. 6 1 B. 3 π C. 12 π D. 16 )

x2 y2 5.(2014· 惠州调研)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为 a,b,则方程 2+ 2=1 表 a b 示焦点在 x 轴上且离心率小于 1 A. 2 15 B. 32 3 的椭圆的概率为( 2 17 C. 32 31 D. 32 )

6.(2013· 昆明质检)在区间[0,10]上任取一个实数 a,使得不等式 2x2-ax+8≥0 在(0, +∞)上恒成立的概率为________. 7.(2014· 苏锡常镇四市一调)如图,边长为 2 的正方形内有一个半径为 1 的半圆.向正方形内任投一点(假设该点落在正方形内的每一点都是等可能 的),则该点落在半圆内的概率为________. 8.如图所示,图 2 中实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图,其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形. 若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点, 它落在长方体的平面展开图 1 内的概率是 ,则此长方体的体积是________. 4

9.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个,标号为 2 的小球 n 个.若从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的

1 概率是 . 2 (1)求 n 的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取出的 小球标号为 b. (ⅰ)记“a+b=2”为事件 A,求事件 A 的概率; (ⅱ)在区间[0,2]内任取 2 个实数 x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2 恒成立”的概率.

10.?创新题?设 f(x)和 g(x)都是定义在同一区间上的两个函数, 若对任意 x∈[1,2], 都有|f(x) b +g(x)|≤8,则称 f(x)和 g(x)是“友好函数”,设 f(x)=ax,g(x)= . x (1)若 a∈{1,4},b∈{-1,1,4},求 f(x)和 g(x)是“友好函数”的概率; (2)若 a∈[1,4],b∈[1,4],求 f(x)和 g(x)是“友好函数”的概率.

第Ⅱ组:重点选做题
?0≤x≤2, ? 1.设不等式组? 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点 ? ?0≤y≤2

到坐标原点的距离大于 2 的概率是( π A. 4 π-2 B. 2

) π C. 6 4-π D. 4

V 2. 在体积为 V 的三棱锥 SABC 的棱 AB 上任取一点 P, 则三棱锥 SAPC 的体积大于 的 3 概率是________.

答 第Ⅰ组:全员必做题



1.选 B 依题意得截面圆面积为 9π 的圆半径为 3,球心到该截面的距离等于 4,球的 5-4 1 截面圆面积小于 9π 的截面到球心的距离大于 4,因此所求的概率等于 = . 5 5 2.选 C 将问题转化为与长度有关的几何概型求解,当 x0∈[-1,2]时,f(x0)≤0,则所 2-?-1? 3 求概率 P= = . 5-?-5? 10 π 2× 2 1 π 3.选 D 由题意知,当 MN= 2R 时,∠MON= ,所以所求概率为 = . 2 2×π 2 4. 选 D 设圆的半径为 1, 则正方形的边长为 4, 有正方形的面积为 16, 圆的面积为 π, π 根据题意,飞镖击中圆面部分的概率即圆的面积与正方形的面积比,即其概率为 ,选 D. 16 x2 y2 3 5.选 B 方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆, a b 2 a >b , ? ? 故? c a2-b2 3 e = = < , ? a a 2 ?
2 2 ? ? ?a >b , ?a>b, ? 即? 2 化简得 又 a∈[1,5],b∈[2,4],画出满足不 2 ?a <4b , ? ? ?a<2b, 2 2

S阴影 15 等式组的平面区域,如图阴影部分所示,求得阴影部分的面积为 ,故所求的概率 P= 4 2×4 15 = . 32 8 6.解析:要使 2x2-ax+8≥0 在(0,+∞)上恒成立,只需 ax≤2x2+8,即 a≤2x+ 在 x 8 (0,+∞)上恒成立.又 2x+ ≥2 16=8,当且仅当 x=2 时等号成立,故只需 a≤8,因此 x 0≤a≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为 4 答案: 5 S半圆 π 7.解析:由题知该点落在半圆内的概率为 = . S正方形 8 π 答案: 8 8.解析:设长方体的高为 h,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方体的平 2+4h 1 1 面展开图内的概率 P= = ,解得 h=3 或 h=- (舍去), 2 ?2h+2??2h+1? 4 故长方体的体积为 1×1×3=3. 答案:3 8-0 4 = . 10-0 5

n 1 9.解:(1)依题意 = ,得 n=2. n+2 2 (2)(ⅰ)记标号为 0 的小球为 s,标号为 1 的小球为 t,标号为 2 的小球为 k,h,则取出 2 个小球的可能情况有:(s,t),(s,k),(s,h),(t,s),(t,k),(t,h),(k,s),(k,t),(k, h),(h,s),(h,t),(h,k),共 12 种,其中满足“a+b=2”的有 4 种:(s,k),(s,h)(k, 4 1 s),(h,s).所以所求概率为 P(A)= = . 12 3 (ⅱ)记“x2+y2>(a-b)2 恒成立”为事件 B, 则事件 B 等价于“x2+y2>4 恒成立”,(x, y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为 Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x, y∈R},而事件 B 构成的区域为 B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω}.所以所求的概率为 P(B) π =1- . 4 10.解析:(1)设事件 A 表示 f(x)和 g(x)是“友好函数”, 则|f(x)+g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有: 1 1 4 1 1 4 x- ,x+ ,x+ ,4x- ,4x+ ,4x+ , x x x x x x 共 6 种且每种情况被取到的可能性相同. b 又当 a>0,b>0 时 ax+ 在?0, x ? 1 1 x- 和 4x- 在(0,+∞)上递增, x x 1 1 4 1 ∴对 x∈[1,2]可使|f(x)+g(x)|≤8 恒成立的有 x- ,x+ ,x+ ,4x- , x x x x 故事件 A 包含的基本事件有 4 种, 4 2 2 ∴P(A)= = ,故所求概率是 . 6 3 3 (2)设事件 B 表示 f(x)和 g(x)是“友好函数”, ∵a 是从区间[1,4]中任取的数,b 是从区间[1,4]中任取的数,∴点(a,b)所在区域是长为 3,宽为 3 的矩形区域. 要使 x∈[1,2]时,|f(x)+g(x)|≤8 恒成立, b 需 f(1)+g(1)=a+b≤8 且 f(2)+g(2)=2a+ ≤8, 2 ∴事件 B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分. 1 ? 11? × 2+ 4 ?×3 2 ? 19 ∴P(B)= = , 24 3×3 19 故所求的概率是 . 24 第Ⅱ组:重点选做题 b? 上递减,在? a? ? b ? ,+∞ 上递增; a ?

1.选 D 根据题意作出满足条件的几何图形求解. 如图所示, 正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D, 且区域 D 的面积为 4,而阴影部分表示的是区域 D 内到原点距离大于 2 的区域, 4-π 易知该阴影部分的面积为 4-π,因此满足条件的概率是 . 4 V SAPC 1 2.解析:由题意可知 > ,三棱锥 SABC 的高与三棱锥 SAPC 的 V SABC 3 高相同.作 PM⊥AC 于 M,BN⊥AC 于 N,则 PM,BN 分别为△APC 与 S△APC PM 1 VSPM AP AP 1 APC △ABC 的高,所以 = = > ,又 = ,所以 > ,故所 VSBN 3 BN AB AB 3 S △ ABC ABC 2 求的概率为 (即为长度之比). 3 2 答案: 3


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