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1.1.1任意角


数学(必修4)

第一章 三角函数

思考1:若你的手表慢了 分钟,如何校准, 5 时间校准后分针旋转了 多少度? 思考2:若你的手表快了 .25小时,如何校准, 1 时间校准后分针旋转了 多少度?
在校准时间的时候,主要关心两个因素: 一是分针旋转是沿顺时针方向或逆时针方向, 二是分针旋转多少度. 这就是本课我们要学习的“任意

角”的概念, 即在初中学习的角的范围 0°~ 360°的基础上, 对角的概念和范围进行推广.

阅读教材第2~4页,并回答问题: (1)角的概念; (2)何为正角、负角、零角? (3)何为象限角?

思考1:若你的手表慢了 分钟,如何校准, 5 时间校准后分针旋转了 多少度? ? ? ?30? 思考2:若你的手表快了 .25小时,如何校准, 1 时间校准后分针旋转了 多少度? ? ? 450?
正角: 按逆时针方向旋转形成 的角

负角: 按顺时针方向旋转形成 的角 零角: 不旋转

? ? 0?

B

顺时针旋转3周,形成的角度 ? ? ? 1080? 逆时针旋转2周半,形成的角度 ? ? 900?

α
O

顶 点

始边

A

注 意:
⑴在不引起混淆的情况下, “角? ”或“∠? ”可以简化成“? ”; ⑵零角的终边与始边重合, 如果?是零角,那么? = 0°;

⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角 B 和零角.
α
O

顶 点

始边

A

直角坐标系内研究角
角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负 半轴重合,则角的终边(除端点外)在第几象限, 就说这个角是第几象限角.

说明:终边落在坐标轴上的角,不属于任何象限, 称为象间角(轴上角或非象限角).

390? ? 30? ? 360?
?330? ? 30? ? 360?

30 ? ? k ? 360 ? , k ? Z .
定 义 : 所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,
S 可构成一个集合: ? { ? | ? ? ? ? k ? 360 ? ,k ? Z }. 即任一与角 ? 终边相同的角,都可以表示成角 ? 与整数个周角的和。

说明:终角相同的角的集合
(1)研究终边相同的角的前提条件是, 角的顶点在坐标原点,角的始边与x轴的非 负半轴重合。 (2)所有与角α终边相同的角,连同角α 在内,可构成一个集合S={β| β=α+k·360?,
k

? Z},即任一与角α终边相同的角,都可

以表示成α与整数个360?的和。

(3)明确以下几点 : ①k 为整数; ②? 为 任意角; ③k ? 360 与? 之间用“?”号连接,
?

如k ? 360 ? 30 应看成是k ? 360 ? ( ?30 );
? ? ? ?

④终边相同的角不一定相等,但相等的 角终边一定相同; ⑤终边相同的角有无数 多个, 它们相差360 的整数倍.
?

从任意角的概念去认识角
[例1] 给出下列命题:

①终边相同的角一定相等;
②如果角α的终边落在第二象限,则角

α为钝角;
③锐角是第一象限角;

④小于90?的角一定是锐角。
其中正确命题的序号是______(请你把

认为正确的命题的序号都填上)。

例2.在0°~ 360°范围内,找出与下列各角终边相 等的角,判断它们是第几象限角. ? ~ 360 ? ? 0 ? ? ? ? 360 ? ) (0

640? ? k ? 360? (k ? Z ) O x 640 ∴当 k= -1 时, ? ? 360? ? 280? , ∴在0°~ 360°范围内,与 640° 它是第四象限角; 终边相同的角为280°角, 另解:(1) ∵与 640°终边相同的角可表示为: 640? ? k ? 360? (k ? Z ) 由 0? ? 640? ? k ? 360? ? 360? 得 ?1 7 ? k ? ? 7 ( k ? Z )
9 9 ∴ k= -1 , 在0°~ 360°范围内,与 640°终边相同的

() 640 ? ; (2) ? 950 ? 12 ' . 1 (1) 解: ∵与 640°终边相同的角可表示为:

y

它是第四象限角; 角为280°角,

例2.在0°~ 360°范围内,找出与下列各角终边相 等的角,判断它们是第几象限角. ? ~ 360 ? ? 0 ? ? ? ? 360 ? ) (0

() 640 ? ; (2) ? 950 ? 12 ' . 1
(1) 解: ∵与 640°终边相同的角可表示为: 640? ? k ? 360? (k ? Z ) 640 ∴当 k= -1 时, ? ? 360? ? 280? ,

y

O

x

∴在0°~ 360°范围内,与 640° 它是第四象限角; 终边相同的角为280°角,

(2) ? ? 950 ? 12 ' ? 129 ? 48 ' ? 3 ? 360 ?
∴在0°~ 360°范围内,与 -950°12' 终边 它是第二象限角. 相同的角为129°48' 角,

象限角和终边相同的角的问题
练习:
?

已知? ? ?1910

? ? ?

(1)把? 写成? ? k ? 360 ( k ? Z, 0 ? ? ? 360 )的形式, 指出它是第几象限的角; (2)求? , 使? 与?的终边相同, 且 ? 720 ?? ? 0 .
? ?

例3.写出终边在y轴上的角的集合.

解: 在0°~ 360°范围内,终边在y轴上的角有两个, 即 90? , ? . ? 所 有 与 90? 角 终 边 相 同 的 角 构 成 集 合 : 270
y y
270° 90°

S 1 ? { ? | ? ? 90 ? ? k ? 360 ? , ? Z } k ? { ? | ? ? 90 ? ? 2 k ? 180 ? , ? Z } k
x x

O

又 所 有 与 270? 角 终 边 相 同 的 角 构 成 集 合 : S 2 ? { ? | ? ? 270 ? ? k ? 360 ? , ? Z } k

? { ? | ? ? 90 ? ? (2 k ? 1) ? 180 ? , ? Z } k

?终边在 y 轴上的角的集合 :

n S ? S 1 ? S 2 ? { ? | ? ? 90 ? ? n ? 180 ? , ? Z }.

例4.写出终边在直线 y=x 上的角的集合S,并把 S中适合不等式-360°≤? <720°的元素?写出来.
解: 如图,在直角坐标系中作出直线 y=x , 可以发现它与x轴的夹角为 45°在0°~ 360°范围内, , 终边在直线上的角有两个: 45°,225°. 所以终边在直线 y=x 上的角的集合
S ? {? | ? ? 450 ? k ? 3600 , k ? Z } ? {? | ? ? 2250 ? k ? 3600 , k ? Z } ? {? | ? ? 450 ? 2k ? 1800 , k ? Z } ? 0 0 {? | ? ? 45 ? (2k +1) ? 180 , k ? Z }
? {? | ? ? 450 ? k ? 1800 , k ? Z }.

y
225° 45°

o

x

S ? {? | ? ? 450 ? k ? 1800 , k ? Z }.

y
225° 45°

由题意-360°≤? <720°, 即 ?360? ? 45? ? k ? 180? ? 720?

? 9 ? k ? 15 (k ? Z ) 得 4 4 ? k ? ?2 , ? 1 , 0 , 1 , 2 , 3.

o

x

故S中适合不等式-360°≤? <720°的元素是:

45? ? 2 ? 180? ? ?315?, 45? ? 1 ? 180? ? 225?, 45? ? 1 ? 180? ? ?135?, 45? ? 2 ? 180? ? 405?, 45? ? 0 ? 180? ? 45?, 45? ? 3 ? 180? ? 585?.

变式练习:

y

(1)写出终边在x轴上的角的集合:

{ ? | ? ? n ? 180 ? , ? Z } ; n
(2)写出终边在坐标轴上的角的集合:

O

x

{ ? | ? ? n ? 180 ? , ? Z }?{ ? | ? ? 90 ? ? n ? 180 ? ,n ? Z } n
? { ? | ? ? 2 n ? 90 ? 或 (2 n ? 1) ? 90 ?, ? Z } n

? { ? | ? ? k ? 90 ? , ? Z }. k

注意:终边落在坐标轴上的角,不属于任何象限, 称为象间角. (1)终边在x轴上的角的集合:
y

{? | ? ? n ? 180 ? , ? Z }. n
(2)终边在y轴上的角的集合:

O

x

{? | ? ? 90 ? ? n ? 180 ? , ? Z }. n
(3)终边在坐标轴上的角的集合:

{? | ? ? k ? 90 ? , ? Z }. k

角的终边落在直角坐标系内指定区域的 角的集合的表示

[例5] 如图①、②,分别写出图中阴影

区域表示的角的集合(包括区域的边界线).
y
300

y

45 0

O
2100

x

O
3150

x

由角α所在的象限,探究

? ? 及2α等角所在的象限
2 3 ,
y
90°

例6.. 已知角 ? 是第一象限的角, 例2

由 解: 角 ? 是 第 一 象 限 的 角 可 知 : k ? 360 ? ? ? ? k ? 360 ? ? 90 ? , ? Z k
? 2? 是 第 一 或 第 二 象 限 角

试问 2? 、 、 各是第几象限的角? 2 3

? ?

180°



O

360°

x

270°

? 2 k ? 360 ? ? 2? ? 2 k ? 360 ? ? 180 ? , ? Z . k
或终边落在 y 轴非负半轴上的角 .

又 k ? 180 ? ? ? ? k ? 180 ? ? 45 ? , ? Z . k 2

y

又 k ? 180 ? ? ? ? k ? 180 ? ? 45 ? , ? Z . k 2 180° 当 k ? 2 n( n ? Z ) 时 ,

90°



? n ? 360? ? ? n ? 360? ? 45? , ? Z n 2 ?
2 当 k ? 2 n ? 1( n ? Z ) 时 , 故 是第一象限的角 .

O

360°

x

270°

? n ? 360? ? 180? ? ? n ? 360? ? 225? , ? Z n 2 ?
2 ? 综上可知: 是第一或第三象限的角 . 2 故 是第三象限的角 .

? ? k ? 120 ? ? 30 ? , ? Z . 又 k ? 120 ? ? k 3 当 k ? 3 n( n ? Z ) 时 , ? 180° n ? 360? ? ? n ? 360? ? 30? , ? Z , k 3 ?
故 是第一象限的角 .

y
90°



O

360°

x

3 270° 当 k ? 3 n ? 1( n ? Z ) 时 , ? n ? 360? ? 120 ? ? ? n ? 360 ? ? 150 ? , ? Z , k 3 ? 故 是第二象限的角 . 3 当 k ? 3 n ? 2( n ? Z ) 时 , ? n ? 360? ? 240? ? ? n ? 360? ? 270? , ? Z , k 3 ? 故 是第三象限的角 . 3 ? 综上可知: 是第一或第二或第三象限的角 . 3

几何法

如图

如图

小 结:
* 一般地,已知α是第几象限的角,要确定 ? (n ? N )

n

所在象限的常用方法有两种: (1)分类讨论; (2)几何法,即先把各象限均分n等份, 再从x轴正向

的上方起,按逆时针方向依次将各区域标上1、2、3、4,
则α原来是第几象限,对应的标号即为 ? 终边所落在的

n

区域 .

练习1: 用集合表示: (1)第三象限角的集合. (2)终边落在 y 轴右侧的角的集合.180° 解:(1)在0°~ 360°中, 第三象限角范围为: ? ? ? ? 270? 180 故第三象限角集合为:

y
90°



O

360°

x

270°

?? k ? 360

?

? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 ,k ? Z?
? ? ?

(2)在-90°~ 90°中, y 轴右侧的角范围为:?90? ? ? ? 90?

故 y 轴右侧角的集合为:

? k ? 360? ? 90? ? ? ? k ? 360 ? ? 90 ? ,k ? Z ? ?

练习2 . (1)分针走2小时15分钟转了__________度;
(2)若将时钟拨慢5分钟,则分针转了 时针转了 度. 度,

分析: 分针、时针都按顺时针方向旋转,转过的角是负角.
解: (1) ∵时钟的分针每经过1分钟分针所转过的角是:

? 360? ? ?6?,
60
6? ? . ∴ 分针走2小时15分钟, 即走135分钟转了 ?810?135 得正角, 即将时针逆时针旋转, (2)若将时钟拨慢5分钟,

360? ? 30?. 此时分针转过的度数是: ? 5 60 时针转过的度数是: 5 360? ? 2.5 ? . ? 60 12

3. (1)若角α的终边与角 -690°的终边关于x轴对称, 则α=_______________. (2)若角α的终边与角 -690°的终边关于y轴对称, 则α=_______________. (3)若角α的终边与角 -690°的终边关于原点对称, 则α=_______________. 解: ? ? 690? ? ?2 ? 360? ? 30? , ∴ -690°的终边与30°的终边相同.
y

? (1) ? ? k ? 360? ? 30?, ? Z . k
(2) ? ? k ? 360? ? 150?, ? Z . k
(3) ? ? k ? 360? ? 210?, ? Z . k

O

x

课后小结: (1)你知道角是如何推广的 吗? (2)象限角是如何定义的呢? (3)你熟练掌握具有相同终 边的角 ?的表示了吗?


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