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江西省吉安县中、新余一中2014-2015学年高二上学期期中联考数学文试题 Word版含答案


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2014~2015 学年度上学期

吉安县中 高二年级联考 新余一中
2014 年 12 月

数学试卷(文)
命题人: 吉安县中傅雪慧 新余一中欧阳志

审题人:新余一中阮红莲

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若 a, b, c ? R , a ? b ,则下列不等式成立的是 (
A. ) D. a c ? b c

1 1 ? a b

B.

a b ? 2 c ?1 c ?1
2

C. a 2 ? b 2

a ?a ?a ?a 1 2. 已知等比数列 {an } 的公比 q ? ? ,则 1 3 5 7 等于 ( 3 a2 ? a4 ? a6 ? a8
A. ?3 B. ?

)

1 3

C. 3

D.

1 3

3. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a sin A ? b sin B ? c sin C ,则

?ABC 的形状是(
A.锐角三角

) B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形 )

?? log 2 x (x ? 0) 4. 已知函数 f (x ) ? ? ,则不等式 f (x ) ? 0 的解集为( 2 ?1 ? x (x ? 0)
A. {x | 0 ? x ? 1} B {x | ?1 ? x ? 0} C. {x | x ? ?1}

D. {x | ?1 ? x ? 1} )

5. 在等差数列 ?an ? 中, a9 ?
A.24 B.48

1 a12 ? 6 ,则数列 ?an ? 的前 11 项和 S11 等于 ( 2
C.66 D.132

6. 设定点 M 1 (0, ?3), M 2 (0,3), 动点 P 满足条件 PM 1 ? PM 2 ? a ?
数) ,则点 P 的轨迹是( A.椭圆 ) C.椭圆或线段

9 ( a 为大于 0 的常 a

B.线段

D.不存在 )

7. 在 ?ABC 中, a ? 80, b ? 100, A ? 45? ,则此三角形解的情况是 (
A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解

? x ? 1, ? 8. 已知变量 x, y 满足 ? y ? 2, 则 x ? y 的最小值是( ? x ? y ? 0. ?
A. 2 B. 3 C. 4

) D. 5

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9. “方程

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆” 是“ n ? m ? 0 ”的( m2 n2
B.必要而不充分条件 C.充要条件



A.充分而不必要条件 要条件

D.既不充分也不必

10.下列说法错误的是(


2 2

A.若命题 p : ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 都有x ? x ? 1 ? 0 ; B.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的否命题为假命题; C.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是:“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”; D.已知 p : ?x ? R, 使得 cos x ? 1 , q : ?x ? R, 都有x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则“ p ? ?q ”为假 命题. 11. 已知 F1 (?c,0), F2 (c,0) 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, P 为椭圆上的一点,且 a2 b2

PF1 ? PF2 ? c 2 ,则此椭圆离心率的取值范围是
( A. [ )

3 ,1) 3

B. [ , ]

1 1 3 2

C. [

3 2 , ] 3 2

D. (0,

2 ] 2

12. 设 a ? 1 ,定义 f (n) ?

1 1 ? ? n ?1 n ? 2

?

1 ,如果对任意的 n ? N ?且n ? 2 ,不等式 2n
) D. ?1, ?? ?

12 f ? n ? ? 7 log a b ? 7 ? 7 log a ?1 b 恒成立,则实数 b 的取值范围是(
A. ? 2, ?

? ?

29 ? 17 ?

B. ? 0,1?

C. ? 0, 4 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13. 已 知 数 列

?an ?

满 足 an an ?1an ? 2 an ? 3 ? 24 , 且 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3, 则

a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? a2013 ? a2014 =________.
14. 已知 O 为原点, 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到左焦点 F1 的距离为 4,M 是 PF1 的中点. 则 25 9

OM =

.

15. 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 若 sin A ? 3 sin C, B ? 30 , b ? 2, 则

?ABC 的面积是

.

16. 已 知 正 实 数 x, y 满 足 x ? y ? 3 ? xy , 若 对 任 意 满 足 条 件 的 x, y , 都 有

( x ? y )2 ? a ( x ? y ) ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)

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已知全集 U ? R ,非空集合 A ? x (1)当 a ? ?

?

x?2 < 0? , B ? ? x ( x ? a )( x ? a ? 4) ? 0? . x ?3

3 时,求 A ? B ; 2

(2 )命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范 围.

18.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若
m ? (cos B,sin C ), n ? (cos C , ? sin B),

1 . 2 (1)求角 A 的大小;
且m?n ? (2)若 a ? 2 3, ?ABC 的面积 S ? 3, 求 b ? c 的值.

19.(本小题满分 12 分) 在等差数列 ?a n ? 中,a1 ? 3 , 其前 n 项和为 S n , 等比数列 ?bn ? 的各项均为正数,b1 ? 1 ,
公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (1)求 a n 与 bn ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn ,求 ?c n ? 的前 n 项和 Tn .

S2 . b2

20.(本小题满分 12 分)
新余到吉安相距 120 千米,汽车从新余匀速行驶到吉安,速度不超过 120 km

h ,已知汽

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车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度 v ( km

h )的平方成正比,比例系数为 b ,固定部分为 a 元, h )的函数;并求出当 a ? 50, b ?
1 200

(1)把全程运输成本 y (元)表示为速度 v ( km

时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小; (2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当 a ? 速度应调整为多大,才会使得运输成本最小.

169 1 ,b ? ,此时汽车的 2 200

21.(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系中,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点到焦点的距离为 2,离心 a 2 b2

率为

3 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点,过点 P 作斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点.

若 PA ? PB 的值与点 P 的位置无关,求 k 的值.

2

2

22.(本小题满分 12 分) 已知数列 ? an

? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项和,且满足
1 , n ? N* , Tn 为数列 ? bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

an 2 ? S 2 n ?1 , n ? N* .数列 ? bn ? 满足 bn ?
(1)求数列 {an } 的通项公式 an ;

(2)若对任意的 n ? N * ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) n 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3)是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

2014~2015 学年度上学期

吉安县中 高二年级联考 新余一中

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数学试卷(文)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求.) 题号 答案

1 B

2 A

3 C

4 D

5 D

6 C

7 B
? ?

8 A
37 ? ? 6?

9 B

10 B

11 C

12 D

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 13. 5033 14. 3 15. 3 16. ? ??,

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17. (本小题满分 10 分)

解: (1) A ? x 2 ? x ? 3 ,当 a ? ? 分

?

?

? 3 3 时, B ? ? x ? ? x ? 2 2 ?

5? ?, 2?

???????2

? A ? B ? ?x 2 ? x ? ?

5? ?. 2?

???????

5分 (2)若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,即 p 是 q 充分不必要条件, 可知集合 A 是集合 B 的真子集, 分 由 a ? 4 ? a , B ? x a ? x ? a ? 4 ,所以 ? 10 分 18. (本小题满分 12 分) 解:(1)∵ m = ?cos B, sin C ? , n = ?cos C ,? sin B ? , 且m?n ? ???????7

?

?

? a?2 ,解得 ?1 ? a ? 2 . ?a ? 4 ? 3 ???????

1 , 2
1 , 2
∴ cos?B ? C ? ?

∴ cos B ? cos C ? sin B ? sin C ? 即 cos?? ? A? ? (2) S ?ABC ?

1 , 2

…………3 分 ………………6 分 ………9 分

1 , 2

即- cos A ?

1 2 ,又 A ? ?0, ? ? ,∴ A? ? . 2 3

1 1 2 bc ? 4 bc ? sin A ? bc ? sin ? ? 3 ,∴ 2 2 3

又由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 120 0 ? b 2 ? c 2 ? bc ∴ 16= ?b ? c ? ,故 b ? c ? 4 .
2

………………12 分

19. (本小题满分 12 分)

解:(1)设 ?a n ? 的公差为 d .

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?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? , ? ? q b2 ? ? 解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) ,d ? 3 故 an ? 3 ? 3 ? n ? 1? ? 3n , bn ? 3 n ?1
(2)由(1)可知, cn ? n ? 3 ,
n

????????3 分

………………………5 分 ……………………6 分
n ?1

所以 Tn ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ??? ? ( n ? 1) ? 3
1 2 3

? n ? 3n
……………………8 分

3Tn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ??? ? ( n ? 1) ? 3n ? n ? 3n ?1
相减得: ?2Tn ? 3 ? 3 ? 3 ? ??? ? 3
2 3 n ?1

? 3n ? n ? 3n ?1 ?

3 ? 3n ?1 ? n ? 3n ?1 ,……………………10 分 ?2
………………12 分

(2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 所以 Tn ? 4
20. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意知,汽车从新余匀速到吉安所用时间为

120 , v

全程成本为 y ? (bv ? a ) ?
2

120 a ? 120(bv ? ) , v v
………4 分

v ? ? 0,120? ;
当 a ? 50, b ? 取等号. 所以汽车应以 100 km 小.

1 50 1 50 1 v ? ) ? 240 v ? ? 120 , 时,y ? 120( 当且仅当 v ? 100 时 200 v 200 v 200

h 的速度行驶,能使得全程运输成本最
………8 分

(2) 当a ?

169 1 1 169 ,b ? v? ), 时,y ? 120( 由双勾函数的单调性可知 v ? 120 时, 2 200 200 2v

y 有最小值.
所以汽车应以 120 km 小. 21. (本小题满分 12 分) 解:(1)由题设可知 a ? 2 , e ?

h ,才能使得全程运输成本最
………12 分

c 3 ? , c ? 3, 所以 b ? 1 , a 2

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故所求椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1. 4

……………………………5 分

(2 )设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? m) . A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,联立直线 l 与椭圆 C 的方

程,
? y ? k ( x ? m) ? 2 2 2 2 2 即 ? x2 得 (4k ? 1) x ? 8mk x ? 4(k m ? 1) ? 0 , 2 ? y ?1 ? ? 4

? 8mk 2 x ? x ? ? ? 1 2 1 ? 4k 2 则? 2 2 ? x ? x ? 4(k m ? 1) ? 1 2 1 ? 4k 2 , ?
分 所

?2mk ? y1 ? y2 ? ? ? 1 ? 4k 2 ? 2 2 2 ? y ? y ? k m ? 4k ? 1 2 1 ? 4k 2 ?

……7


2

PA ? PB ? ( x1 ? m) 2 ? y12 ? ( x2 ? m) 2 ? y2 2 ?

2

3 2 ( x1 4

? x2 2 ) ? 2m 1 (x ?

2

x ) ?2 2m ?

2

m 2 (?8k 4 ? 6k 2 ? 2) ? (1 ? 4k 2 )(8k 2 ? 8) ? (1 ? 4k 2 ) 2

2 2

………10 分

因 为 PA ? PB 的 值 与 点 的 P 位 置 无 关 , 即 ① 式 取 值 与 m 无 关 , 所 以 有

?8k 4 ? 6k 2 ? 2 ? 0,
1 1 解得 k ? ? , 所以 k 的值是 ? . 2 2
分 22. (本小题满分 12 分) 解:在 an 2 ? S 2 n ?1 中,令 n ? 1, n ? 2 ,得 ? ………12

? a12 ? S1 ? a12 ? a1 即 ? 2 2 ?a2 ? S3 ?(a1 ? d ) ? 3a1 ? 3d

解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1 ,又 an ? 2n ? 1 时, S n ? n 2 满足 an ? S 2 n ?1 , 所以 an ? 2n ? 1 ; (2) ………3 分

bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 ,

?Tn ?

1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ??? ? ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

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………5 分 ① 当 n 为 偶 数 时 , 要 使 得 不 等 式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) n 恒 成 立 , 即 不 等 式

??

(n ? 8)(2n ? 1) 8 8 ? 2n ? ? 17 恒成立, 2n ? ? 8 ,等号在 n ? 2 时取到,所以此时 n n n
………7 分

? ? 25 ,

② 当 n 为 奇 数 时 , 要 使 得 不 等 式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒 成 立 , 即 不 等 式

??

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成立, n n 8 2n ? 取到最小值 ?6 ,此时 ? ? ?21 , n
上 , 实 数

2n ?

8 随着 n 增大而增大,所以 n ? 1 时, n



?





值 ………9 分







? ? ?21 ,
(3) T1 ? 即

1 m n m 2 1 n , Tm ? , Tn ? , 若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( ) ? ( ), 3 2m ? 1 2n ? 1 2m ? 1 3 2n ? 1

m2 n 3 ?2m 2 ? 4m ? 1 可得 ? , ? ? 0, 即 ?2m 2 ? 4m ? 1 ? 0, 4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3 n m2
6 6 ,又 m ? N ? 且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 , ? m ? 1? 2 2
………12

?1 ?

因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 12 , T1 , Tm , Tn 成等比数列. 分


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