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高二理科试题带答案


介休一中 2013-2014 学年下学期高二 5 月月考

A.

1 36

B.

1 18

C.

1 9

D.

1 3

数学试题(理)
一.选择题(共 12 题, 每题 5 分

,共 60 分.) 1、已知点 A 的直角坐标为 ? 2 3,?2 , 则点 A 的极坐标为( A、 ? 4,

?

?

)A

4? ? ? ?? ? ?? C、 ? 4, ? D、 ? 4, ? ? 3 ? ? 3? ? 6? ? ? 2、在同一坐标系中,将曲线 y ? 2 sin 3x 变为曲线 y ? sin x 的伸缩变换是( ? ? 7? ? ? 6 ?
B、 ? 4,

? ?

10.分别抛掷 2 枚质地均匀的硬币,设“第一枚为正面”为事件 A, “第二枚为正面”为事件 B, “2 枚 结果相同”为事件 C,则事件 A 与 B、事件 A 与 C、事件 B 与 C 中有( )相互独立。D A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对 11、将标号为 A,B,C,D,E,F 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其中标有 A, B 的卡片放入同一信封,不同放法共有( )B A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 12、甲乙两队进行排球比赛,已知在一局比赛中甲队获胜的概率是 )B 赛,即先胜两局者获胜且比赛结束,则甲队获胜的概率等于(

2 ,没有平局.若采用三局两胜制比 3
)A

? x ? 3x ? x ? 3x ' ? ? x ? 3x ? ? (C ) ? ( A)? ( B) ? ' 1 1 ' ' ? ?y ? 2y ?y ? y ?y ? y 2 2 ? ? 3、曲线的极坐标方程 ? ? 4 sin ? 化为直角坐标方程为( ) 。B
' '

? ? x ? 3x ( D)? ' ? ?y ? 2y
'

20 4 8 16 B. C. D. 27 9 27 27 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
A.
x 3 x -2 13、已知 C10 ,则 x ? __________.1 或 3 = C10

A.

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

B.

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

C . ( x ? 2) ? y ? 4
2 2

D . ( x ? 2) ? y ? 4
2 2

? x ? 3 ? t sin 10? , 4、直线 ? (t 为参数)的倾斜角是 ( ? ? y ? t cos10 ,
A. 10
?

14、已知实数 x、y 满足方程

x2 y2 ? ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为__________. 109 25 9
2

)C

15、从 3 名英语老师、4 名语文老师、5 名数学老师中选派 5 人组成一个支教小组,则英语、语文、数 学老师各至少选派 1 人的方法种数是_______。590 16、假设某校每天去学校餐厅就餐的学生人数 X 是服从正态分布 N(800, 50 中去学校餐厅就餐的学生人数不少于 700 的概率为 p,则 p=_______。0.9772 参考数据:若 X ~ N ( ?, ? 2 ), P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 , )的随机变量。记一天

B. 80
30

?

C. 100

?

D. 170

?

5、二项式 ? a ?

? ?

3

2 ? ? 的展开式的常数项为第( a?
C.18
2 10 等于(

)项 D D.19

P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 , P( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974.
三、解答题;本大题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (本题满分 10 分)已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ?

A. 16
2 2 2 3

B.17
2 4

?
6



6、 C ? C ? C ? A. 55

?C

)C C. 165 D.990

B.120

(1)写出直线 l 的参数方程;(3 分) (2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于两点 A 、 B ,求点 P 到 A 、 B 两点的距离之积(7 分)

7、随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B?n, p ?,且 E? ? 300, D? ? 200, 则 p 等于( A. 1 B. 0 C.
2 3

)D

D.

1 3
)C

? 3 x ? 1? t ? ? 2 17、解: (1)直线 l 的参数方程为 ? (t是参数) , ?y ? 1? 1 t ? 2 ?
( 2 )因为 A 、 B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数分别为 t1 , t 2 , 则 A(1 ?

a ? , ?x ? 8、8、参数方程 ? , (a ? 0, b ? 0) 表示的曲线是( cos? (?为参数) ? ? y ? b tan? ,

3 1 t1 ,1 ? t1 ) , 2 2

B(1 ?


A.椭圆 B.抛物线 C.焦点在 x 轴上的双曲线 D. .焦点在 y 轴上的双曲线 9、抛掷 2 枚质地均匀的骰子各一次,向上的点数之和为 7 时,其中有一个的点数是 2 的概率为( D

3 1 t 2 ,1 ? t 2 ) 。 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x ? y ? 4 整理得到

t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0



数学试题第 1 页 共 4 页

因为 t1 , t 2 是方程①的解,从而 t1t 2 ? ?2.

参考数据:

3 2 1 2 3 1 所以, | PA | ? | PB |? ( t1 ) ? ( t1 ) ? ( t 2 ) 2 ? ( t 2 ) 2 ?| t1t 2 |? 2 2 2 2 2 ?? ?? 3 ? ? 18、 (本题满分 12 分)在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P ? 2 , ? ,圆心为直线 ? sin?? ? ? ? ? 4? 3? 2 ? ?
与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程。

P?K 2 ? k0 ?
k0

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

解: (1) 男 女 合计 (2) K ?
2

3 ? 18、解:法 1、在 ? sin ?? ? ? ? ? 中,令 ? ? 0 ,得 ? ? 1 . 3? 2 ? ?圆 C 的圆心 C 的坐标为(1,0). ?? ? ?圆 C 经过点 P ? 2 , ? , 4? ?

??

患心肺疾病 20 10 30

不患心肺疾病 5 5 10

合计 25 25 50

50(20 ? 5 ? 5 ? 10) 2 ? 8.333>7.879 25 ? 25 ? 30 ? 10 又 P K 2 ? 7.879 =0.005=0.5%

?

?

?圆 C 的半径为 PC ?

? 2?

2

? 12 ? 2 ? 1 ? 2 cos

?
4

?1

于是圆 C 经过极点 ?圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? .

?? 3 ? 的直角坐标方程为 ??? 3? 2 ? 3x ? y ? 3 ? 0 在上式中令 y ? 0得x ? 1 ,即圆心 C 的直角坐标为(1,0) ?圆 C 的圆心 C 的极坐标为(1,0) ?? ? ?圆 C 经过点 P ? 2 , ? ,点 P 的直角坐标为(1,1) 4? ? ?圆 C 的半径为 PC=1,
法 2、直线 ? sin?? ? 于是圆 C 经过极点 ?圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? . 19、 (本题满分 12 分)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气增多,大气污染 危害加重。大气污染可引起 心悸、呼吸困难等心肺疾病。为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院 50 人进行 了问卷调查,得到了如下的列联表: 患心肺疾病 男 女 合计 10 50 不患心肺疾病 5 合计

所以,我们有 99.5%的把握认为“患心肺疾病与性别有关系” 。 20、 (本题满分 12 分)随机调查某社区 80 个人,以研究这一社区居民在在 20:00-22:00 时间段的休 闲方式与性别的关系,得到下面的数据表: 休闲方式 看电视 看书 合计 性别 男 10 50 60 女 合计 10 20 10 60 20 80

(1) 将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查 3 名该社区的男性,设调查的 3 人在这一时间段 以看书为休闲方式的人数为随机变量 X,求 X 的分布列与数学期望; (2) 根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“20:00-22:00 时间段的休闲 方式与性别有关系”? 参考公式: K 2 ? 参考数据:

n?ad ? bc? ,其中 n=a+b+c+d. ?a ? b??c ? d ??a ? c ?(b ? d )
2

P?K 2 ? k0 ?
k0

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

20、 解: (1) 随机变量 X 的取值为 0, 1, 2, 3, 且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为 p ? 且 x ~ B (3, ) ;

5 , 6

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为

3 。 5

5 6

(1) 请将上面的列联表补充完整; (2) 是否有 99.5%的把握认为“患心肺疾病与性别有关系”?说明你的理由。

1 5 ? 5 ? 15 ?1? 1? 1 ? P(X=0)= C ? ? ? ,;P(X=1)= C3 ; ? ? ? ?? ? ? 216 ? 6 ? ? 6 ? 216 72 ?6?
0 3
2 P(X=2)= C3 ? ? ?? ? ?

3

2

n?ad ? bc? 参考公式: K 2 ? ,其中 n=a+b+c+d. ?a ? b??c ? d ??a ? c ?(b ? d )
2

?1? ?6?

1

? 5? ?6?

2

75 25 125 3? 5 ? ; P(X=3)= C3 . ? ? ? ? 216 72 216 ?6?

3

所以,X 的分布列为
数学试题第 2 页 共 4 页

X P

0

1

2

3

1 216

5 72

25 72

125 216

?? 参考公式: b
解: (1)表 1:

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

5 5 E(X)=np= 3 ? ? ?????????????????????????.6 分 6 2 (2)假设 H 0 :休闲方式与性别没有关系;
根据以上列联表中的数据,得

?x
i ?1

?x . R 2 ? 1 ? ? ? y ?b ,a

? ?y
i ?1 n i ?1

n

i

? i ?2 ?y ? y?
2

2 i

? ?y

i

编号 i

80 ? ?10 ? 10 ? 50 ? 10? 128000000 80 n?ad ? bc? = ? ? ? 8.889 ? 6.635 60 ? 20 ? 20 ? 60 1440000 9 ?a ? b??c ? d ??a ? c ?(b ? d ) ? ? 0.01 ?当 H 0 成立时, P?K 2 ? 6.635 ?我们能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“20:00-22:00 时间段的休闲方式与性别
2
2

xi yi
xi yi

1 2 2.2 4.4 4

2 3 3.8 11.4 9

3 4 5.5 22 16

4 5 6.5 32.5 25

5 6 7.0 42 36

合计 20 25 112.3 90

K2 ?

xi
n

2

有关系” 。 ?????????????????????????.12 分 21、 (本题满分 12 分)假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元),有如下的统计资料: 使用年限 x 2 3 4 5 6 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系,请按照要求完成: (1) 填写表 1,求线性回归方程;表 1 编号 i 1 2 3 4 5 合计 2 3 4 5 6 20 xi

x ? _ 4 _______; y ? __ 5 ______;

? xi yi ? __112.3______;? xi ? _ 90 _______
2 i ?1 i ?1

n

?? ?b

?x y
i ?1 5 i

5

i

? 5xy
=

?x
i ?1

2 i

? 5x

2

112 .3 ? 5 ? 4 ? 5 =1.23, 90 ? 5 ? 4 2

?x =5-1.23 ? 4=0.08 ? ? y ?b ?a

yi
xi yi

2.2 4.4 4

3.8 11.4 9

5.5 22 16

6.5 32.5 25

7.0 42 36

25 ______ ______

xi
n

2

? ? 1.23x ? 0.08 所以线性回归方程为 y (2)表 2: 编号 i 1 2 xi

2 3 3.8 3.77 0.03 -1.2

3 4 5.5 4.92 0.58 0.5

4 5 6.5 6.15 0.35 1.5

5 6 7.0 7.46 -0.46 2

x ? ________; y ? ________;

? xi yi ? ________; ? xi ? ________
2 i ?1 i ?1

n

yi ?i y ?i yi ? y
yi ? y

2.2 2.54 -0.34 -2.8

? i 、 yi ? y ? i 的值,并计算 yi ? y 的值,把结果都填写到表 2 中,根据表 (2) 根据回归方程计算 y
2 中的数据求 R 的值。 表2 编号 i
2

xi yi ?i y ?i yi ? y
yi ? y

1 2 2.2

2 3 3.8

3 4 5.5

4 5 6.5

5 6 7.0

? R2 ? 1 ?

? ?y
i ?1 5 i ?1

5

i

? i ?2 ?y ? y?
=12

? ?y

i

?- 0.34?2 ? 0.032 ? 0.582 ? 0.352 ? ?? 0.46?2 ?? 2.8?2 ? ?? 1.2?2 ? 0.52 ? 1.52 ? 22

? 0.947

22、 (本题满分 12 分) 某项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测。假设该项新技术独 立通过检测合格的概率分别为

3 2 1 、 、 ,指标甲、乙、丙合格分别记 4 分、2 分、4 分;若某项指标 4 3 2

不合格,则该项指标记 0 分,各项指标检测结果互不影响。 (1) 求该项技术量化得分不低于 8 分的概率; (2) 记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 X,求 X 的分布列与数学期望。
数学试题第 3 页 共 4 页

解:指标甲、乙、丙合格分别记为事件 A、B、C,设 ? 为该项技术检测的得分数。 (1) 所求概率为 P ?? ? 8? + P ?? ? 10? =P ABC + P ? ABC? =P(A)P( B )P(C)+ P(A)P( B )P(C) =

?

?

3 1 1 3 2 1 3 ? ? + ? ? = 4 3 2 4 3 2 8

(2)X 可能去的值有 0、1、2、3; P(X=0)= P ABC =

?

?

3 1 1 1 2 1 1 1 1 ? ? + ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 3 2 1 3 1 1 1 2 1 P(X=2)= P ?ABC ?+ P ?ABC ? + P ?ABC?= ? ? + ? ? + ? ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2
P(X=1)= P ABC + P ABC + P ABC = P(X=3)= P ? ABC? =

1 1 1 1 ? ? = ; 4 3 2 24

6 1 = ; 24 4 11 = ; 24
=

3 2 1 6 1 ? ? = = . 4 3 2 24 4

所以,X 的分布列为 X P 0 1 2 3

1 11 1 1 24 4 24 4 1 1 11 1 23 ? 1? ? 2 ? ? 3? = X 的数学期望 E(X)= 0 ? 24 4 24 4 11

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