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立体几何证明(2) (2)


立体几何 1、已知三棱锥 S-ABC 中,平面 ASC⊥平面 ABC,O、D 分别为 AC、AB 的中点,AS=CS=CD=AD= (1)求证:平面 ASC⊥平面 BCS; (2)设 AC=2,求三棱锥 S-BCD 的体积. 2 AC. 2

2、如图,四面体 C—ABD,CB = CD,AB = AD, ∠BAD = 90°.E、F 分别是 BC、AC 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥BD; (Ⅱ)如何在 AC 上找一点 M,使 BF∥平面 MED?并说明理由;

3、如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =90°,AA1 = 2 ,D 是 A1B1 中点. (1)求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时,会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ? 并证明你的结论。

4、如图,已知四棱锥 P—ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°, AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面 PBC⊥底面 ABCD,O 是 BC 中点,AO 交 BD 于 E. (1)求证:PA⊥BD; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PAB. P

D E A B O

C

1

5、已知梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,?ABC ? ?BAD ?

?
2

, AB ? BC ? 2 AD ? 4 ,E 、F 分别是 AB 、

CD 上的点, EF ∥ BC , AE ? x , G 是 BC 的中点。沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD ? 平 面 EBCF (如图)。 (1) 当 x ? 2 时,求证: BD ? EG ; (2) 若以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 f ( x ) ,求 f ( x ) 的最大值; (3) 当 f ( x ) 取得最大值时,求二面角 D-BF-C 的大小。
A D

A

D

E F

E

F

C C B AD AD ? AB ? 1 , 6、已知在四边形 ABCD 中, // BC , ? ? ?BCD ? 45 ,?BAD ? 90 , 将△ ABD 沿对角线 BD 折起到如图所示 PBD 的位置, 使平面 PBD ? 平面 BCD 。 (1)求证: CD?PB ; P (2)求点 D 到平面 PBC 的距离。 B G

A B F

D

C 7、如图已知四棱锥 P—ABCD,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为直角梯形,∠BAD=90°且 AB//CD,AB=

1 CD. 2

(Ⅰ)点 F 在线段 PC 上运动,且设

| PF | ? ? ,问当? 为何值时,BF//平面 PAD?证明你的结论; | FC |

8、如图所示, ? VAD是边长为2的等边三角形,ABCD是正方形, 平面 VAD ? 平面 ABCD,E 为 VC 中点. (Ⅰ)求VC与平面ABCD所成角的余弦值; (Ⅱ)求D到平面VBC的距离; (Ⅲ)在边AB上是否存在一点F,使DE ? 面VCF,若存在,求出点F的位置;若不存在,说明理 由.

V

A D

E

F C

B

2

9、在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC=2 3 ,M、N 分别为 AB、SB 的中点。 (Ⅰ)证明:AC⊥SB; (Ⅱ)求点 B 到平面 CMN 的距离。

10 、四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC ? 底面 BCDE , BC ? 2 , CD ? 2 ,

AB ? AC . (Ⅰ)证明: AD ? CE

A

B C D

E

11、如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 是 A1C1 的中点,平面 AB1M∥平面 BC1N,AC∩平面 BC1N=N. 求证:N 为 AC 的中点.

12、ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面 交平面 BDM 于 GH, 求证:AP∥GH.

13、如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,B1C⊥A1B.(1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点且 A1B∥平面 B1CD,求

A1D 的值. DC1

3

14、如图一所示,已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面为正方形,O1、O 分别为上、下底面的中心,且 A1 在底 面 ABCD 内的射影是 O. 求证:平面 O1DC⊥平面 ABCD.

15、如图,平行四边形 ABCD 中,∠DAB=60° ,AB=2,AD=4.将△CBD 沿 BD 折起到△EBD 的位置,使平面 EBD⊥平面 ABD. (1)求证:AB⊥DE; (2)求三棱锥 E-ABD 的侧面积.

16、如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点。

(1)求证:AB1⊥面 A1BD; (2)求点 C 到平面 A1BD 的距离;
2 2

17、在正三角形 ABC 中,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点,满足 AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图 1) 。将△AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,使二面角 A1-EF-B 成直二面角,连结 A1B、A1P(如 图 2) (Ⅰ)求证:A1E⊥平面 BEP; (Ⅱ)求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小; 60
0

A E
E

A1

F
B P

F

C

B
图1

P

C
图2

4


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