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抛物线定义性质及其标准方程


图形 标准 点

问题1 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像是什么图形?顶点坐标、对称轴 是什么?
二次函数的图像是抛物线 顶点坐标是(-b/2a, (4ac-b2 )/4a)对称轴是x=-b/2a

图形 标准 点

图形 标准 点

抛物线定义:
L y

M

K

. 0 F

x

平面内与一个定 点F和一条定直 线L的距离相等 的点的轨迹叫抛 物线 点F叫抛 物线的焦点 直 线L叫抛物线的 准线

问题2 已知一定点F和一条定直线L, 且F∈L,则平面内到定点F和到定直线L 距离相等的点的轨迹是什么?
L

F



三、推导标准方程
问题3 、请同学回忆求曲线方程的一般步 骤?

建系

设点

列 式

化简

证明

问题4、建系这一步一般遵循什么原则? 简单、优化的原则。 问题5、怎样建系使求得的抛物线的方程更简单?

取经过点F且垂直于直线L的直线为X轴,垂足为K, 并使原点与线段KF的中点重合 设点:设M(x , y)是抛物线上任意一点, 点M到L的距离为d ∵|FK|是定值 ∴设|FK|=P (P>0) p p 则焦点F( 2 , 0)准线是方程是X=- 2

列式:由抛物线的定义,抛物线就是点的集合P P={M〡〡MF〡=d} 所以 x ? p 2 ? y 2 ? 2 p ︱x+ 2 ︱ 化简:两边平方再移项得 y2=2px (p>0) 这是 点在X轴 正半轴上的抛物线标准方程。

?

?

问题7 、请同学根据表格中的图形猜测抛物线的标准方程不同形式 图形
L o

标准方程

焦点坐标

准线方程

y
. F y2=2px x (p>0)

p ( ,0 ) 2

x= -

p 2

y
L F . y2=-2px o y x (p>0) p (- 2 ,0 ) x= p 2



F o

L x

x =2py (p>0)
2

p (0 , 2 )

y= - p 2

y o F . L x

x2= -2py (p>0)

(0 , -

p ) 2

y=

p 2

1. 都有条件P>0(P是焦点到准线的距离)
2 .x、y的次数和一次项系数的符号与焦点的位置有关 3. 由一次项的系数确定焦点坐标和准线方程 4.焦点在对称轴上 5.一次项的系数除以4等于P/2

问题8、二次函数的图像与抛物线 有什么区别和联系?指出抛物线 y=ax2(a≠0)的焦点坐标、准线方 程 四、知识应用
例题1、(1)已知抛物线的标准方程是y2 =6x 求它的焦点坐标和准线方程 (2)已知抛物线的焦点是F(0 ,-2)求它的标准 方程。

解、(1)焦点坐标是(3/2,0) 准线方程是x=-3/2.
(2)由焦点坐标知p=2 标准方程是x2= -2y.

练习题、写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程

(1)2y2+5x=0

(2) x2+8y=0

2、根据下列条件写出抛物线的标准方程

(1)焦点是F(-3 ,0) y=1/4
(3)焦点到准线的距离是2

(2)准线方程是

例题2、一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星 波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天 线,,经反射聚集到焦点处,已知接收天线的口径 (直径)为4.8m,深度为0、5m,试建立适当的 坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标。

问题9、例题2中的问题还可以建立不同的直 角坐标系来解决吗?能直接写出标准方程和 焦点坐标吗? 标准方程是y2=-11﹒52x ,焦点坐标是(2﹒88,0) 标准方程是x2=11﹒52y ,焦点坐标是(0, 2﹒88)

标准方程是x2=-11﹒52y,焦点坐标是(0, -2﹒88)

五、归纳总结 1、抛物线定义(一动三定) 2、抛物线的标准方程(焦点位置与方程形式的关 系 3、抛物线标准方程的应用





定位分析

定量分析

六、作业
1、教材上的课后习题。 2、搜集抛物线在生活中的应用实例, 并编出应用题。


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