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辽宁省阜新市实验中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)【解析版】


辽宁省阜新市实验中学 2015 届高三上学期第一次月考数 学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,只有一个选项项是符合题目要求的 1.设集合 A={2,lnx},B={x,y},若 A∩B={0},则 y 的值为( ) A.0 B.1 C .e D.

考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:根据给出的集合 A 与集合

B,且 A∩B={0},说明 A 中的 lnx=0,由此求出 x=1,则 集合 B 中只有 y=0. 解答: 解:由 A={2,lnx},B={x,y}, 若 A∩B={0},说明元素 0 即在 A 当中,又在 B 当中, 显然 lnx=0,则 x=1,所以 y=0. 故选 A. 点评:本题考查了交集及其运算,考查了集合中元素的特性,是基础的会考题型.

2.若复数 A.

为纯虚数,则|3﹣ai|=( B.13 C.10

) D.

考点:复数求模. 专题:计算题. 分析:把给出的复数化简,然后由是不等于 0,虚部不等于 0 求解 a 的值,最后代入模的公 式求模. 解答: 解:由 = .

因为复数

为纯虚数,所以

,解得 a=2.

所以|3﹣ai|=|3﹣2i|=



故选 A. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数是纯虚数的充要条件,考查了复数 模的求法,是基础题.www.21-cn-jy.com

1

3. 已知 p: x≥k, q: A.[2,+∞)

<1, 如果 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 k 的取值范围是( B. (2,+∞) C.[1,+∞) D. (﹣∞,﹣1)

)

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:求出不等式 q 的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:∵ ∴ ﹣1= <1, <0,即(x﹣2) (x+1)>0,

∴x>2 或 x<﹣1, ∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴k>2, 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用, 利用不等式之间的关系是解决本题的关键, 比较基础. 4.三位男同学和三位女同学站成一排,要求任何两位男同学都不相邻,则不同的排法总数 为( ) A.720? B.144 C.36 D.12? 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:概率与统计. 分析:对于排列中不相邻的问题,我们经常用插空法来处理. 解答: 解:由于要求任何两位男同学都不相邻, 故需先排三位女同学,则不同的排法有 种, 种,

则此三位男同学需从女同学产生的四个空中选三个依此拍好,共有 故不同的排法共有 种.

故答案为 B. 点评:本题考查排列问题,属于简单题.注意相邻问题捆绑处理,不相邻问题插空处理.
x

5.若 a>1,设函数 f(x)=a +x﹣4 的零点为 m,g(x)=logax+x﹣4 的零点为 n,则 取值范围( A. )2·1·c·n·j·y B.[1,+∞) C. (4,+∞) D.



考点:函数零点的判定定理;反函数. 专题:计算题.

2

分析: 把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标, 根据指数函数与对数函数互为反函数, 得到两个函数图象之间的关系求出 m,n 之间的关系个,根据两者之和是定值,利用基本不 等式得到要求的结果. 【来源:21cnj*y.co*m】 x x 解答: 解:函数 f(x)=a +x﹣4 的零点是函数 y=a 与函数 y=4﹣x 图象交点 A 的横坐标, 函数 g(x)=logax+x﹣4 的零点是函数 y=logax 与函数 y=4﹣x 图象交点 B 的横坐标, 由于指数函数与对数函数互为反函数, 其图象关于直线 y=x 对称, 直线 y=4﹣x 与直线 y=x 垂直, 故直线 y=4﹣x 与直线 y=x 的交点(2,2)即是 A,B 的中点, ∴m+n=4, ∴ 当 m=n=2 等号成立, 而 m+n=4,故 + ≥1, 故所求的取值范围是[1,+∞) . 故选 B. 点评:本题综合函数零点、考查反函数的性质,考查利用基本不等式求最值.考查根据函数 图象的对称性找到两个函数零点的关系.是一道在知识网络的交汇处命题的优秀试题.
2



6.将函数 f(x)=cos(π+x) (cosx﹣2sinx)+sin x 的图象向左平移 则 g(x)具有性质( A.最大值为 )2-1-c-n-j-y 对称 对称

后得到函数 g(x) ,

,图象关于直线

B.周期为 π,图象关于 C.在 D.在

上单调递增,为偶函数 上单调递增,为奇函数

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;诱导公式的作用;两角和与差的正弦函数;二倍 角的正弦;二倍角的余弦;正弦函数的奇偶性;正弦函数的单调性. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:利用三角函数的恒等变换求得 f(x)= sin(2x﹣ ) ,根据函数 y=Asin(ωx+?)

的图象变换规律求得 g(x)= sin2x,从而得出结论. 2 2 解答: 解:函数 f(x)=cos(π+x) (cosx﹣2sinx)+sin x=﹣cosx(cosx﹣2sinx)+sin x =﹣cos2x+sin2x= sin(2x﹣ ) , 后得到函数 g(x)= sin[2(x+ )﹣ ]= sin2x 的

把函数 f(x)的图象向左平移 图象,21 教育网

3

故函数 g(x)在

上单调递增,为奇函数,

故选 D. 点评:本题主要考查诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,三角函数的 恒等变换,三角函数的图象和性质,属于中档题. 7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S5=S10,则 a8=( A.1 B.﹣1 C .2 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=0, 由等差数列的性质可得 a6+a7+a8+a9+a10=5a8, 可得结论. 21*cnjy*com 解答: 解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S5=S10, ∴S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=0, 由等差数列的性质可得 a6+a10=a7+a9=2a8, ∴5a8=0,解得 a8=0 故选:D 点评:本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. 8.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 AA1 和 B1B 的中点,若 θ 为直线 CM 与 D1N 所成的角,则 sinθ=( ) A. B. C. D. ) D.0

考点:异面直线及其所成的角;棱柱的结构特征. 专题:计算题. 分析:先建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标和相关向量的坐标,最后利用向量夹角公 式计算异面直线所成的角的余弦值,然后化为正弦值即可【出处:21 教育名师】 解答: 解:如图:建立空间直角坐标系,设正方体边长为 2, 则 D1(0,0,2) ,N(2,2,1) ,C(0,2,0) ,M(2,0,1) ∴ =(2,﹣2,1) , =(2,2,﹣1)

∴cos<



>=

=

=﹣

∴cosθ=

∴sinθ= 故选 D

=

4

点评: 本题考查了异面直线所成的角的求法, 利用空间直角坐标系和空间向量计算异面直线 所成的角的方法

9.过双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0) (c>0) ,作圆 x +y =

2

2

的切

线, 切点为 E, 延长 FE 交双曲线右支于点 P, 若 A. B. C.

=2



, 则双曲线的离心率为( D.

)

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:设右焦点为 F′,由 =2 ﹣ ,可得 E 是 PF 的中点,利用 O 为 FF'的中点,可得

OE 为△ PFF'的中位线,从而可求 PF′、PF,再由勾股定理得出关于 a,c 的关系式,最后即 可求得离心率. 解答: 解:设右焦点为 F′,则 ∵ ∴ =2 + ﹣ =2 , ,

∴E 是 PF 的中点, ∴PF′=2OE=a, ∴PF=3a, ∵OE⊥PF, ∴PF′⊥PF, 2 2 2 ∴(3a) +a =4c , ∴e= = 故选:C. ,

5

点评: 本题主要考查双曲线的标准方程, 以及双曲线的简单性质的应用, 考查抛物线的定义, 考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题.
2

10.已知 A,B 两点均在焦点为 F 的抛物线 y =2px(p>0)上,若 AB 的中点到直线 A.1 的距离为 1,则 p 的值为( B.1 或 3 C .2 ) D.2 或 6

,线段

考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:如图,设 AB 中点为 M,A、B、M 在准线 l 上的射影分别为 C、D、N,连接 AC、 BD、MN.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) ,根据抛物线定义和梯形的中位线定 理,列式并化简整理可得|2﹣p|=1,解之得 p=1 或 3. 解答: 解:分别过 A、B 作准线 l:x=﹣ 的垂线,垂足分别为 C、D, 设 AB 中点 M 在准线上的射影为点 N,连接 MN, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) 根据抛物线的定义,得 ∴梯形 ACDB 中,中位线 MN= ( 可得 x0+ =2,x0=2﹣ , ∵线段 AB 的中点 M 到直线 ∴|2﹣p|=1,解之得 p=1 或 3 故选:B. 的距离为 1,可得|x0﹣ |=1 )=2,

点评:本题给出抛物线的弦 AB 中点到直线

的距离为 1,并且 F 到 A、B 的距离之和为

4 的情况下求抛物线的解析式. 着重考查了抛物线的定义、 标准方程和简单几何性质等知识, 属于中档题.21·世纪*教育网

11.如图是用模拟方法估计椭圆 白处应该填入( )

面积的程序框图,S 表示估计的结果,则图中空

6

A.

B.

C.

D.

考点:循环结构. 专题:图表型. 分析:由题意以及框图的作用,直接推断空白框内应填入的表达式. 解答: 解:由题意以及程序框图可知,用模拟方法估计椭圆 M 是椭圆 在第一象限内的点的个数,21 世纪教育网 内的点的个数为 4M,总试验次数为 2000, ,即有 S= , , 面积的程序框图,

当 i 大于 2000 时,椭圆 所以要求的概率 P= =

所以空白框内应填入的表达式是 S= 故选 D.

点评:本题考查程序框图的作用,考查模拟方法估计椭圆 能力.

面积的方法,考查计算

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(3)=1,f(﹣2)=3,f′(x)为 f(x)的导函数,已 知 y=f′(x)的图象如图所示,且 f′(x)有且只有一个零点,若非负实数 a,b 满足 f(2a+b) ≤1,f(﹣a﹣2b)≤3,则 的取值范围是( )

7

A. D.

B.

C.

考点:导数的几何意义. 专题:数形结合. 分析:根据 y=f′(x)图象得到函数的单调性,从而将 f(2a+b)≤1 化成 f(2a+b)≤f(3) , 得到 0≤2a+b≤3,同理化简 f(﹣a﹣2b)≤3,得到﹣2≤﹣a﹣2b≤0.然后在 aob 坐标系内作出 相应的平面区域,得到如图所示的阴影部分平面区域,利用直线的斜率公式即可求出 取值范围. 解答: 解:由 y=f′(x)图象可知,当 x=0 时,f′(x)=0, 当 x∈(﹣∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 又∵a,b 为非负实数, ∴f(2a+b)≤1 可化为 f(2a+b)≤1=f(3) ,可得 0≤2a+b≤3, 同理可得﹣2≤﹣a﹣2b≤0,即 0≤a+2b≤2, 作出以及 a≥0 和 b≥0 所对应的平面区域, 得到如图的阴影部分区域, 解之得 A(0,1)和 B(1.5,0) 而等于可行域内的点与 P(﹣1,﹣2)连线的斜率, 结合图形可知:kPB 是最小值,kPA 是最大值, 由斜率公式可得:kPA= 故 的取值范围为[ ,3] =3,kPB= = , 的

故选:A

8

点评:本题在给出函数的导数图象基础之上,求满足不等式组的

的取值范围.着重考查

了利用导数研究函数的单调性、直线的斜率公式和二元一元不等式组表示的平面区域等知 识,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上. 13.已知向量 、 满足| |=| |=1,且 ? =0,则 cos<2 + , >= .

考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:运用向量的夹角公式,求出(2 ) ,|2 |,代入公式即可得到所求值.

解答: 解:由于向量 、 满足| |=| |=1,且 ? =0, 则(2 |2 |= ) =2 + = =1, = ,

则 cos<2 + , >=

=

=



故答案为:



点评:本题考查平面向量的数量积的定义和夹角公式,考查运算能力,属于基础题. 14.一空间几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为 2.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:几何体是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个直角梯形,直角梯形的上底是 1,下底是 2,垂直于底边的腰是 2,一条侧棱与底面垂直,这条侧棱长是 2,根据体积公式得到结果. 解答: 解:由三视图知,几何体是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个直角梯形, 直角梯形的上底是 1,下底是 2,垂直于底边的腰是 2,

9

一条侧棱与底面垂直,这条侧棱长是 2, ∴四棱锥的体积是 =2,

故答案为:2 点评:本题考查由三视图求几何体的体积,在三个图形中,俯视图确定锥体的名称,即是几 棱锥,正视图和侧视图确定锥体的高,注意高的大小. 21 世纪教育网 15.已知数列{an}为等比数列,前 n 项和为 Sn,且 a5 =a10,3S1,2S2,S3 成等差数列,则 n 数列{an}的通项公式 an=3 . 考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:设等比数列{an}的公比为 q,根据等比数列的通项公式、等差中项的性质列出方程, 求出 a1、q 的值,代入通项公式化简. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, 2 因为 a5 =a10,3S1,2S2,S3 成等差数列, 所以
n﹣1 n 2

,解得 a1=q=3,

所以 an=3?3 =3 , n 故答案为:3 . 点评:本题考查了等比数列的通项公式,以及等差中项的性质,属于基础题. 16.设 a∈R,对于?x>0,函数 f(x)=(ax﹣1)[ln(x+1)﹣1]恒为非负数,则 a 的取值 所组成的集合为 .

考点:函数恒成立问题. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:由题意可知,当 x+1≥e 即 x≥e﹣1 时,ln(x+1)﹣1≥0,则 ax﹣1≥0 恒成立;当 x+1 <e 即 0<x<e 时, ln(x+1)﹣1<0 则 ax﹣1≤0 恒成立,利用函数的恒成立与最值求解 的相互转化关系可求 a 的范围. 解答: 解:∵x>0 时,ln(x+1)>ln1=0 当 x+1≥e 即 x≥e﹣1 时,ln(x+1)﹣1≥0,则 ax﹣1≥0 恒成立 ∴a≥ 当 x+1<e 即 0<x<e 时,ln(x+1)﹣1<0 则 ax﹣1≤0 恒成立 ∴a≤ ∵对于?x>0,函数 f(x)=(ax﹣1)[ln(x+1)﹣1]≥0 恒成立 ∴a=

10

故答案为:{

}

点评:本题主要考查了函数的恒成立问题的求解,解题的关键是求解相应式子的最值. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在△ ABC 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 向量 =(cosA,sinA) ,向量 = ( ﹣sinA,cosA) ,若| + |=2. a,求△ ABC 的面积.

(1)求角 A 的大小; (2)若 b=4 ,且 c= 考点:余弦定理的应用. 专题:综合题.

分析: (1)先根据向量模的运算表示出 再根据正弦函数的性质和|

,然后化简成 y=Asin(wx+ρ)+b 的形式,

|=2 可求出 A 的值.21 世纪教育网版权所有

(2)先根据余弦定理求出 a,c 的值,再由三角形面积公式可得到最后答案. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴ = = ∵ ∴ ∴ ,21 世纪教育网 =

又∵0<A<π∴ ∴ (Ⅱ)由余弦定理,

, 即 ∴ ∴c=8

11

点评:本题主要考查向量的求模运算、余弦定理和三角形面积公式的应用.向量和三角函数 的综合题是 2015 届高考的热点问题,每年必考,要给予充分重视. 18.某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件,零件尺寸均在[21,7,22.3](单 位: cm) 之间的零件, 把零件尺寸在[21.9, 22.1) 的记为一等品, 尺寸在[21.8, 21.9) ∪[22.1, 22.2)的记为二等品,尺寸在[21.7,21.8)∪[22.2,22.3]的记为三等品,现从甲、乙工艺生 产的零件中各随机抽取 100 件产品,所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示:

(Ⅰ) 根据上述数据完成下列 2×2 列联表, 根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等 品是否有关? 甲工艺 乙工艺 合计 一等品 非一等品 合计 P(x ≥k k 附: (Ⅱ)以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率,若一等品、二等品、三等品的单件 利润分别为 30 元、20 元、15 元,你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件?请说 明理由.21cnjy.com 考点:独立性检验. 专题:应用题. 分析: (I)根据条件中所给的数据,写出列联表,注意数字比较多,不要写错位置;根据做 出的列联表,把数据代入求观测值的公式,求出观测值,把观测值同临界值进行比较,得到 结论. 【来源:21·世纪·教育·网】 (II)根据题意做出由题知运用甲、乙工艺生产单件产品的利润 X 的分布列和数学期望,结 合不同的统计量的意义,得出以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件. 解答: 解: (Ⅰ)2×2 列联表如下 甲工艺 乙工艺 合计 一等品 50 60 110 非一等品 50 40 90 合计 100 100 200 ,所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出一等品有关.
2

0.05 3.841

0.01 6.635

12

(Ⅱ)由题知运用甲工艺生产单件产品的利润 X 的分布列为 X 30 20 15 P 0.5 0.3 0.2 X 的数学期望为 EX=30×0.5+20×0.3+15×0.2=24, X 的方差为 DX= (30﹣24) ×0.5+ ×0.3+ (15 2 ﹣24) ×0.2=39.www-2-1-cnjy-com 乙工艺生产单件产品的利润 Y 的分布列为 Y 30 20 15 P 0.6 0.1 0.3 Y 的数学期望为 EY=30×0.6+20×0.1+15×0.3=24.5, Y 的方差为 DY= (30﹣24.5) ×0.6+ ×0.1+ 2 (15﹣24.5) ×0.3=47.25. 【版权所有:21 教育】 答案一: 由上述结果可以看出 EX<EY, 即乙工艺的平均利润大, 所以以后应该选择乙工艺. 答案二:由上述结果可以看出 DX<DY,即甲工艺波动小,虽然 EX<EY,但相差不大,所 以以后选择甲工艺.21*cnjy*com 点评:本题考查独立性检验,本题解题的关键是看清各个位置的数字,不要在运算时出错, 这种题目若出现是一个送分题目. 19. 已知 D、 E 分别在平面 ABC 的同侧, 且 DC⊥平面 ABC, EB⊥平面 ABC, DC=2, △ ABC 是边长为 2 的正三角形,F 是 AD 中点. (1)当 BE 等于多少时,EF∥平面 ABC; (2)当 EF∥平面 ABC 时,求平面 DAE 和平面 ABC 所成的角.
2 2 2 2

考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)取 AC 中点 G,连接 FG、BG,则 FG∥DC∥BE,易知当 BE=1 时,BEFG 为平 行四边形,由线面平行的判定定理可得结论; (2)由(1)知,当 EF∥平面 ABC 时,BE=1,取 BC 中点 O,过 O 作 OZ⊥平面 ABC, 建立恰当的空间直角坐标系,转化为两平面的法向量的夹角可求得结果; 解答: 解: (1)取 AC 中点 G,连接 FG、BG,则 FG∥DC∥BE, 当 BE=1 时,有 FG=BE,即 BEFG 为平行四边形, 故当 BE=1 时,EF∥BG,且 BG?平面 ABC,EF?平面 ABC, ∴EF∥平面 ABC;21 世纪教育网 (2)由(1)知,当 EF∥平面 ABC 时,BE=1,取 BC 中点 O,过 O 作 OZ⊥平面 ABC, 如图,建立空间直角坐标系,则 A( ,0,0) ,B(0,1,0) ,E(0,1,1) ,D(0,﹣1, 2) , 平面 ABC 的法向量为 ,

13

设平面 ADE 法向量为



=(﹣

,﹣1,2) ,

=(0,2,﹣1) ,



,得

,取 z=2,则 y=1,x=







∴cos<

, >=

=

,则<

>=45°,

∴平面 DAE 和平面 ABC 所成角为 45°或 135°.

点评:本题考查线面平行的判定、二面角的求解,考查空间向量在立体几何中的应用,考查 学生的推理论证能力、空间想象能力.

20.设 A,B 分别是直线 y= 动点 P 满足 = + .

x 和 y=﹣

x 上的两个动点,且|

|=

,O 为坐标原点,

(1)记动点 P 的轨迹为 C,求 C 的方程 (2)过点( ,0)作两条互相垂直的直线 l1,l2,与轨迹 C 的相交弦分别为 MN,EF, 设弦 MN,EF 的中点分别为 G,H,求证:直线 GH 恒过一个定点. 考点:轨迹方程;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设 P(x,y)是所求轨迹上的任一点,A,B 的坐标,利用动点 P 满足 确定坐标之间的关系, 利用 A, B 分别是直线 y= x 和 y=﹣ = + |= , ,

x 上的两个动点, 且|

建立方程即可; (2)求出 G,H 的坐标,可得直线方程,由对称性知,定点在 x 轴上,令 y=0,可得结论. 解答: (1)解:设 P(x,y)是所求轨迹上的任一点,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∵ = + ,

∴x=x1+x2,y=y1+y2,

14

∵A,B 分别是直线 y= ∴x=x1+x2= ∵| ∴ ∴ =1; |= ,

x 和 y=﹣

x 上的两个动点, (x1﹣x2) ,

(y1﹣y2) ,y=y1+y2=

=

(2)证明:设 M(x3,y3) ,N(x4,y4) ,直线 l1:x=ky+ , 2 2 代入椭圆方程可得(4+k )y +2 ky﹣1=0,21 世纪教育网 ∴y3+y4=﹣ ,x3+x4= ,

∴G(

,﹣

) ,

同理 H(



) .

直线 MN 的斜率为 k=



∴直线 MN 的方程为 y+

=

(x﹣

) ,21 世纪教育网

由对称性知,定点在 x 轴上,令 y=0,可得 x= 当斜率不存在时也成立. 故定点为( ,0) .



点评:本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用,具有一定的难度,解题的关键是直 线与椭圆的联立,确定直线 GH 的方程.

21.已知函数 f(x)= (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 a<0 时,若

,a∈R 且 a≠0.

,证明:



考点:利用导数研究函数的单调性;不等式的证明. 专题:计算题;综合题;导数的综合应用.

15

分析: (1)对 f(x)求导数,得 f'(x)=
2 2

,再分 a 的正负讨论 a、

a+a 和 a 的大小关系,即可得到 f(x)单调性的两种情况,得到函数 f(x)的单调区间; (2) 原不等式进行化简, 等价变形得 f (x2) ﹣ ( 此转化为证明函数 h(x)=f(x)﹣( ) x2<f (x1) ﹣ (
2 2

) x1 . 因

)x 在区间(a +a,a ﹣a)内单调递减,而

h'(x)=
2

,通过研究分子对应二次函数在区间[a +a,a ﹣a]上的
2

2

2

取值,可得 h'(x)<0 在 x∈[a +a,a ﹣a]上恒成立,因此 h(x)=f(x)﹣( 在区间(a +a,a ﹣a)内是减函数,从而得到原不等式成立. 解答: 解: (1)由题意,可得 f'(x) =x+ =
2 2 2

)x

=
2

.…

令 f'(x)>0,因为 x﹣a﹣a >0 故(x﹣a) (x﹣a )>0. 2 2 2 2 当 a>0 时,因为 a+a >a 且 a+a >a ,所以上不等式的解为(a+a ,+∞) , 2 因此,此时函数 f(x)在(a+a ,+∞)上单调递增.… 2 2 2 当 a<0 时,因为 a<a+a <a ,所以上不等式的解为(a ,+∞) , 2 2 2 从而此时函数 f(x)在(a ,+∞)上单调递增,同理此时 f(x)在(a+a <a )上单调递 减.… (2)要证原不等式成立,只须证明 f(x2)﹣f(x1)<(x2﹣x1) ( 只须证明 f(x2)﹣( 因为 )x2<f(x1)﹣( , )x 在区间(a +a,a ﹣a)内单调递
2 2

) ,

)x1.

所以原不等式等价于函数 h(x)=f(x)﹣( 减.…

由(1)知 h'(x)=x﹣(

)+

=



因为 x﹣a﹣a >0,所以考察函数 g(x)=x ﹣
2

2

2

+

+

﹣a ,x∈[a +a,a ﹣a].
2 2

2

2

2


2

=a >

,且 g(x)图象的对称轴 x=

∈[a +a,a ﹣a],

∴g(x)≤g(a ﹣a)=0.…

16

从而可得 h'(x)<0 在 x∈[a +a,a ﹣a]上恒成立, 所以函数 h(x)=f(x)﹣( )x 在(a +a,a ﹣a)内单调递减.
2 2

2

2

从而可得原命题成立 … 点评: 本题给出含有自然对数的基本初等函数, 求函数的单调区间并依此证明不等式在给定 条件下成立. 着重考查了基本初等函数的性质、 利用导数研究函数的单调性和不等式的性质 等知识,属于中档题. 四、选做题(共 3 小题,满分 10 分) 22.如图,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PBC 是过点 O 的割线,PA=10,PB=5.求: (Ⅰ)⊙O 的半径; (Ⅱ)sin∠BAP 的值.

考点:与圆有关的比例线段;弦切角. 专题:选作题;立体几何. 分析: (Ⅰ)利用切割线定理,求出 BC,即可求出⊙O 的半径; (Ⅱ)证明△ PAB∽△PCA,求出 AB,BC,即可 sin∠BAP 的值. 解答: 解: (Ⅰ)因为 PA 为⊙O 的切线,所以 PA =PB?PC, 又由 PA=10,PB=5,所以 PC=20,BC=20﹣5=15 …. 因为 BC 为⊙O 的直径,所以⊙O 的半径为 7.5.… (Ⅱ)∵PA 为⊙O 的切线,∴∠ACB=∠PAB,… 又由∠P=∠P,∴△PAB∽△PCA, ∴ …
2

设 AB=k,AC=2k, ∵BC 为⊙O 的直径, ∴AB⊥AC, ∴ ∴sin∠BAP=sin∠ACB= … …

点评:本题考查了切割线定理,考查三角形相似的判断与性质的运用,解题的关键是运用切 割线定理列方程求解.

17

23.选修 4﹣4:参数方程选讲 已知平面直角坐标系 xOy,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P 点的极坐 标为 ,曲线 C 的极坐标方程为 .

(Ⅰ)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)若 Q 为 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l: (t 为参数)距离的最小值.

考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (1)利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ 即可得出; (2)利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出, 解答: 解 (1)∵P 点的极坐标为 ∴ ∴点 P 的直角坐标 把 ρ =x +y ,y=ρsinθ 代入
2 2 2

, = .

=3,

可得

,即

∴曲线 C 的直角坐标方程为



(2)曲线 C 的参数方程为 7=0 设 那么点 M 到直线 l 的距离

(θ 为参数) ,直线 l 的普通方程为 x﹣2y﹣

,则线段 PQ 的中点



.

, ∴点 M 到直线 l 的最小距离为 .

点评:本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和 差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了计算能力,属于中档 题.21·cn·jy·com 24. (选做题)设函数 f(x)=|x+1|+|x﹣a|.

18

(Ⅰ)若 a=2,解不等式 f(x)≥5; (Ⅱ)如果?x∈R,f(x)≥3,求 a 的取值范围. 考点:带绝对值的函数. 专题:计算题;压轴题. 分析: (I) 当 a=2, 不等式即|x+1|+|x﹣2|≥5, 根据绝对值的意义可得当 x≤﹣2 或 x≥3 时, |x+1|+|x ﹣2|≥5 成立,由此求得不等式的解集.21 教育名师原创作品 (II)若 a=﹣1,f(x)=2|x+1|,不满足题设条件.若 a<﹣1,求得 f(x)的最小值等于﹣ 1﹣a,若 a>﹣1,求得 f(x)的最小值等于 1+a,根据 f(x)≥3 的充要条件是|a+1|≥3,求 出 a 的取值范围. 解答: 解: (I)当 a=2,f(x)=|x+1|+|x﹣2|,不等式 f(x)≥5 即|x+1|+|x﹣2|≥5. 而|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到﹣1、2 对应点的距离之和,且﹣2 和 3 对应点到﹣1、 2 对应点的距离之和正好等于 5,[来源:21 世纪教育网] 故当 x≤﹣2 或 x≥3 时,|x+1|+|x﹣2|≥5 成立. 综上,不等式的解集为{x|x≤﹣2 或 x≥3}. (II)若 a=﹣1,f(x)=2|x+1|,不满足题设条件.

若 a<﹣1,f(x)=

,f(x)的最小值等于﹣1﹣a.

若 a>﹣1,

,f(x)的最小值等于 1+a.

所以?x∈R,f(x)≥3 的充要条件是|a+1|≥3,故有 a≤﹣4,或 a≥2,21 世纪教育网 从而 a 的取值范围是(﹣∞,﹣4]∪[2,+∞) . 点评:本题主要考查绝对值的意义,带有绝对值的函数,函数最值及其几何意义,体现了分 类讨论的数学思想,属于中档题.

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