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2016高考数学大一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性课件 理 苏教版


数学

苏(理)

第二章

函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.3 函数的奇偶性与周期性

? 基础知识·自主学习 ? 题型分类·深度剖析 ? 思想方法·感悟提高 ? 练出高分

1.函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 定义 图象特点

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 关于 y轴 对

有 f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)是偶函数



奇函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 关于原点对
有 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)是奇函数 称

2.周期性 (1)周期函数:对于函数 y = f(x) ,如果存在一个非零常数 T, 使得当x取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) , 那 么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一 个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做函数f(x)的最小 正周期.

? 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.( × )
(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对 称.( √ ) (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心 对称.( √ )

x (4)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=2.( √ ) ?x-2??x+a? (5)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x)(a>0),则 f(x)是 周期为 2a 的周期函数.( √ ) (6)函数 f(x)为 R 上的奇函数,且 f(x+2)=f(x),则 f(2 016) =0.( √ )

题号
1

答案
-2 1 3
1 (-1,0)∪(1,+∞)

解析

2
3

4

函数的周期是2,

3 3 1 所以 f(2)=f(2-2)=f(-2),
1 12 根据题意得 f(-2)=-4×(-2) +2=1.

解析

思维升华

题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3-x;

解析

思维升华

解 定义域为R,关于原 题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3-x; 点对称, 又f(-x)=(-x)3-(-x)= -x3+x=-(x3-x)

=-f(x),
所以函数为奇函数.

解析

思维升华

(1)利用定义判断函数奇 题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3-x; 偶性的步骤:

解析

思维升华

(2)在判断奇偶性的运算 题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3-x; 中,可以转化为判断奇偶 性的等价等量关系式(f(x) +f(-x)=0(奇函数)或f(x) -f(-x)=0(偶函数))是否 成立.

解析

思维升华

例 1 (2)f(x)=(x+1)

1-x ; 1+x

解析

思维升华

例 1 (2)f(x)=(x+1)

1-x ; 1+x

1 -x 解 由 ≥0 可得函数 1 +x 的定义域为(-1,1].

∵ 函数定义域不关于原 点对称,

∴函数为非奇非偶函数.

解析

思维升华

(1)利用定义判断函数奇

例 1 (2)f(x)=(x+1)

1-x ; 1+x

偶性的步骤:

解析

思维升华

(2)在判断奇偶性的运算

例 1 (2)f(x)=(x+1)

1-x ; 1+x

中,可以转化为判断奇偶 性的等价等量关系式(f(x) +f(-x)=0(奇函数)或f(x) -f(-x)=0(偶函数))是否 成立.

解析

思维升华

?x2+x, x<0, 例 1 (3)f(x)=? 2 ?-x +x, x>0.

解析

思维升华

当 x>0 时,-x<0,
?x2+x, x<0, 例 1 (3)f(x)=? 2 ?-x +x, x>0.

f(x)=-x2+x,

∴f(-x)=(-x)2-x= x2-x =-(-x2+x)

=-f(x);

解析

思维升华

?x2+x, x<0, 例 1 (3)f(x)=? 2 ?-x +x, x>0.

当x<0时,-x>0,f(x)= x2+x, ∴f( - x)=- (- x)2-x = -x2-x =-(x2+x)=-f(x). 所 以 对 于 x∈( - ∞ , 0)∪(0,+∞), 均有f(-x)=-f(x). ∴函数为奇函数.

解析

思维升华

(1)利用定义判断函数奇
?x +x, x<0, 例 1 (3)f(x)=? 2 ?-x +x, x>0.
2

偶性的步骤:

解析

思维升华

(2)在判断奇偶性的运算
?x2+x, x<0, 例 1 (3)f(x)=? 2 ?-x +x, x>0.

中,可以转化为判断奇偶 性的等价等量关系式(f(x) +f(-x)=0(奇函数)或f(x) -f(-x)=0(偶函数))是否 成立.

跟踪训练1 (1)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义 ② 域均为R,则下列命题正确的是________. ①f(x)与g(x)均为偶函数;②f(x)为偶函数,g(x)为奇函数; ③f(x)与g(x)均为奇函数;④f(x)为奇函数,g(x)为偶函数. 解析 由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)

=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x)可知g(x)为奇函数.

(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3, 则f(-2)=________. -1

解析 ∵f(2)=22-3=1.
又f(x)为奇函数,

∴f(-2)=-f(2)=-1.

解析

答案

思维升华

题型二 函数周期性的应用
例2 (1)定义在R上的函数f(x)

满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<
- 1 时, f(x) =- (x + 2)2 ;当

- 1≤x<3时, f(x)=x. 则 f(1) +
f(2) + f(3) + ? + f(2 015) =

________.

解析

答案

思维升华

题型二 函数周期性的应用
例2 (1)定义在R上的函数f(x)

利用函数的周期性求解. ∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x<-1时, f(x)=-(x+2)2, 当-1≤x<3时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2, f(3)=f(-3)=-1,

满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<
- 1 时, f(x) =- (x + 2)2 ;当 - 1≤x<3时, f(x)=x. 则 f(1) + f(2) + f(3) + ? + f(2 015) = ________.

解析

答案

思维升华

题型二 函数周期性的应用
例2 (1)定义在R上的函数f(x)

f(4) = f( - 2) = 0 , f(5) =

满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<
- 1 时, f(x) =- (x + 2)2 ;当 - 1≤x<3时, f(x)=x. 则 f(1) + f(2) + f(3) + ? + f(2 015) = ________.

f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, ∴f(1) + f(2) + f(3) + ? + f(2 015)+f(2 016)

∴f(1) + f(2) + ? + f(6) = 1 ,

2 016 =1× 6 =336.

解析

答案

思维升华

题型二 函数周期性的应用
例2 (1)定义在R上的函数f(x) 又f(2 016)=f(0)=0. ∴f(1)+f(2)+f(3)+?+ f(2 015)=336.

满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<
- 1 时, f(x) =- (x + 2)2 ;当 - 1≤x<3时, f(x)=x. 则 f(1) + f(2) + f(3) + ? + f(2 015) = ________.

解析

答案

思维升华

题型二 函数周期性的应用
例2 (1)定义在R上的函数f(x) 又f(2 016)=f(0)=0. ∴f(1)+f(2)+f(3)+?+ f(2 015)=336.

满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<
- 1 时, f(x) =- (x + 2)2 ;当 - 1≤x<3时, f(x)=x. 则 f(1) + f(2) + f(3) + ? + f(2 015) = ________. 336

解析

答案

思维升华

题型二 函数周期性的应用
例2 (1)定义在R上的函数f(x)

(1) 函数的周期性反映了
函数在整个定义域上的性

满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<
- 1 时, f(x) =- (x + 2)2 ;当 - 1≤x<3时, f(x)=x. 则 f(1) + f(2) + f(3) + ? + f(2 015) = ________. 336

质 . 对函数周期性的考查,
主要涉及函数周期性的判 断,利用函数周期性求值.

解析

答案

思维升华

题型二 函数周期性的应用
例2 (1)定义在R上的函数f(x)

(2)求函数周期的方法

满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<
- 1 时, f(x) =- (x + 2)2 ;当 - 1≤x<3时, f(x)=x. 则 f(1) + f(2) + f(3) + ? + f(2 015) = ________. 336

解析

答案

思维升华

例 2 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)= 1 - ,当 2≤x≤3 时,f(x) f?x? =x, 则 f(105.5)=______.

解析

答案

思维升华

例 2 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)= 1 - ,当 2≤x≤3 时,f(x) f?x? =x, 则 f(105.5)=______.

由 已 知 , 可 得 f(x + 4) =

f[(x+2)+2]

1 1 =- =- 1 =f(x). f?x+2? - f?x?
故函数的周期为4.

解析

答案

思维升华

例 2 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)= 1 - ,当 2≤x≤3 时,f(x) f?x? =x, 则 f(105.5)=______.

∴f(105.5)=f(4×27-2.5)

=f(-2.5)=f(2.5).
∵2≤2.5≤3 , 由 题 意 , 得f(2.5)=2.5.

∴f(105.5)=2.5.

解析

答案

思维升华

例 2 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)= 1 - ,当 2≤x≤3 时,f(x) f?x?

∴f(105.5)=f(4×27-2.5)

=f(-2.5)=f(2.5).
∵2≤2.5≤3 , 由 题 意 , 得f(2.5)=2.5.

2.5 =x, 则 f(105.5)=______.

∴f(105.5)=2.5.

解析

答案

思维升华

例 2 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)= 1 - ,当 2≤x≤3 时,f(x) f?x?

(1) 函数的周期性反映了
函数在整个定义域上的性

质 . 对函数周期性的考查,
主要涉及函数周期性的判 断,利用函数周期性求值.

2.5 =x, 则 f(105.5)=______.

解析

答案

思维升华

例 2 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)= 1 - ,当 2≤x≤3 时,f(x) f?x?

(2)求函数周期的方法

2.5 =x, 则 f(105.5)=______.

跟踪训练 2

(1) 若 f(x) 是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)

-1 =1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=________. 解析 由f(x)是R上周期为5的奇函数知 f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,

∴f(3)-f(4)=-1.

(2)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)= 2x(1-x),则

1 ? 5? -2 ? - f? = ________. ? 2? ? ?

解析 ∵f(x)是周期为2的奇函数,
? 5? ? 5 ? ? 1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? - - + 2 - ∴f? 2?=f? 2 ?=f? 2?=-f?2? ? ? ? ? ? ? ? ?

1? 1 ? 1 ? ? 1 - =-2×2×? =-2. 2? ? ?

解析

答案

思维升华

题型三 函数性质的综合应用
例 3 (1)已知偶函数 f(x)在区间 [0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f
?1? ? ? ?3?的 ? ?

x 的取值范围

是________.

解析

答案

思维升华

题型三 函数性质的综合应用
例 3 (1)已知偶函数 f(x)在区间 [0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f
?1? ? ? ?3?的 ? ?

偶 函 数 满 足 f(x) = f(|x|) ,

x 的取值范围

根据这个结论, ?1? ? 有 f(2x - 1)<f ? ?3? ?f(|2x - ? ? ?1? ? 1|)<f? ?3?, ? ?
进而转化为不等式 |2x - 1 1|<3,

是________.

解析

答案

思维升华

题型三 函数性质的综合应用
例 3 (1)已知偶函数 f(x)在区间 [0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f
?1? ? ? ?3?的 ? ?

解这个不等式即得 x 的
?1 2? ? , 取值范围是? ?3 3?. ? ?

x 的取值范围

是________.

解析

答案

思维升华

题型三 函数性质的综合应用
例 3 (1)已知偶函数 f(x)在区间 [0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f
?1? ? ? ?3?的 ? ?

解这个不等式即得 x 的
?1 2? ? , 取值范围是? ?3 3?. ? ?

x 的取值范围

?1 2? ? , ? 是________. ?3 3?

解析

答案

思维升华

题型三 函数性质的综合应用
例 3 (1)已知偶函数 f(x)在区间 [0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f
?1? ? ? ?3?的 ? ?

(1) 关于奇偶性、单调性、
周期性的综合性问题,关

键是利用奇偶性和周期性
将未知区间上的问题转化 为已知区间上的问题.

x 的取值范围

?1 2? ? , ? 是________. ?3 3?

解析

答案

思维升华

题型三 函数性质的综合应用
例 3 (1)已知偶函数 f(x)在区间 [0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f
?1? ? ? ?3?的 ? ?

(2) 掌握以下两个结论 ,
会给解题带来方便:
①f(x) 为偶函数 ?f(x) = f(|x|).②若奇函数在x=0 处有意义,则f(0)=0.

x 的取值范围

?1 2? ? , ? 是________. ?3 3?

解析

答案

思维升华

例3

(2)已知定义在R上的奇函

数 f(x) 满足 f(x - 4) =- f(x) ,且 在区间 [0,2] 上是增函数 . 若 a = f(-25),b=f(11),c=f(80).则a、 b、c的大小关系为________.

解析

答案

思维升华

例3

(2)已知定义在R上的奇函

由函数f(x)是奇函数且f(x) 在[0,2]上是增函数可以推 知,f(x)在[-2,2]上递增, 又f(x-4)=-f(x)?f(x-8)

数 f(x) 满足 f(x - 4) =- f(x) ,且 在区间 [0,2] 上是增函数 . 若 a = f(-25),b=f(11),c=f(80).则a、 b、c的大小关系为________.

=-f(x-4)=f(x),
故函数f(x)以8为周期,

解析

答案

思维升华

例3

(2)已知定义在R上的奇函

数 f(x) 满足 f(x - 4) =- f(x) ,且 在区间 [0,2] 上是增函数 . 若 a = f(-25),b=f(11),c=f(80).则a、 b、c的大小关系为________.

f( - 25) = f( - 1) , f(11) =

f(3)=-f(3-4)=f(1),
f(80)=f(0),故f(-25) <f(80)<f(11),即a<c<b.

解析

答案

思维升华

例3

(2)已知定义在R上的奇函

数 f(x) 满足 f(x - 4) =- f(x) ,且 在区间 [0,2] 上是增函数 . 若 a = f(-25),b=f(11),c=f(80).则a、

f( - 25) = f( - 1) , f(11) =

f(3)=-f(3-4)=f(1),
f(80)=f(0),故f(-25) <f(80)<f(11),即a<c<b.

a<c<b b、c的大小关系为________.

解析

答案

思维升华

例3

(2)已知定义在R上的奇函

(1) 关于奇偶性、单调性、
周期性的综合性问题,关

数 f(x) 满足 f(x - 4) =- f(x) ,且 在区间 [0,2] 上是增函数 . 若 a =

键是利用奇偶性和周期性

f(-25),b=f(11),c=f(80).则a、 将未知区间上的问题转化

a<c<b b、c的大小关系为________.

为已知区间上的问题.

解析

答案

思维升华

例3

(2)已知定义在R上的奇函

(2) 掌握以下两个结论 ,
会给解题带来方便:
①f(x) 为偶函数 ?f(x) =

数 f(x) 满足 f(x - 4) =- f(x) ,且 在区间 [0,2] 上是增函数 . 若 a =

f(-25),b=f(11),c=f(80).则a、 f(|x|).②若奇函数在x=0

a<c<b b、c的大小关系为________.

处有意义,则f(0)=0.

跟踪训练3 (1)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x) =2x2-x,则f(1)=________. -3

解析 ∵f(x)是奇函数,当 x≤0 时,
f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.

(2)(2013· 天津改编 ) 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数,
且 在 区间 [0 , + ∞) 上 单 调递增 . 若 实数 a 满 足 f(log2a) +

f( log 1 a)≤2f(1),则a的取值范围是________.
2

解析 由题意知a>0,又 log 1 a=log2a-1=-log2a.
2

∵f(x)是R上的偶函数,

∴f(log2a)=f(-log2a)=f( log 1 a).
2

(2)(2013· 天津改编 ) 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数,
且 在 区间 [0 , + ∞) 上 单 调递增 . 若 实数 a 满 足 f(log2a) +

f( log 1 a)≤2f(1),则a的取值范围是________.
2

∵f(log2a)+f( log 1 a)≤2f(1),
2

∴2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1). 又因f(x)在[0,+∞)上递增.

(2)(2013· 天津改编 ) 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数,
且 在 区间 [0 , + ∞) 上 单 调递增 . 若 实数 a 满 足 f(log2a) +

f( log 1 a)≤2f(1),则a的取值范围是________.
2

?1 ? ? ? ?2,2? ? ?

∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,
?1 ? ? ∴a∈?2,2? ?. ? ?

易错警示系列3 忽视定义域致误
k-2x 典例:(1)若函数f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数 x 1+k· 2 k=________.
易 错 分 析
解 析

温 馨 提 醒

易错警示系列3 忽视定义域致误
k-2x 典例:(1)若函数f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数 x 1+k· 2 k=________.
易 错 分 析
解 析

温 馨 提 醒

解题中忽视函数f(x)的定义域,直接通过计算f(0)=0得 k=1.

易错警示系列3 忽视定义域致误
k-2x 典例:(1)若函数f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数 x 1+k· 2 k=________.
易 错 分 析
解 析

温 馨 提 醒

k-2-x k· 2x-1 ∵f(-x)= , -x= x 1+k· 2 2 +k

∴f(-x)+f(x)

易错警示系列3 忽视定义域致误
k-2x 典例:(1)若函数f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数 x 1+k· 2 k=________.
易 错 分 析
解 析

温 馨 提 醒

?k-2x??2x+k?+?k· 2x-1?· ?1+k· 2x? = ?1+k· 2x??2x+k?
?k2-1??22x+1? = . x x ?1+k· 2 ??2 +k?

易错警示系列3 忽视定义域致误
k-2x 典例:(1)若函数f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数 x 1+k· 2 ±1 k=________.
易 错 分 析
解 析

温 馨 提 醒

由f(-x)+f(x)=0可得k2=1, ∴k=±1.

易错警示系列3 忽视定义域致误
k-2x 典例:(1)若函数f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数 x 1+k· 2 ±1 k=________.
易 错 分 析
解 析

温 馨 提 醒

已知函数的奇偶性,利用特殊值确定参数,要注意函数 的定义域.

?x2+1,x≥0, (2) 已 知 函 数 f(x) = ? 则 满 足 不 等 式 f(1 - ?1,x<0,

x2)>f(2x)的 x 的取值范围是_____________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

?x2+1,x≥0, (2) 已 知 函 数 f(x) = ? 则 满 足 不 等 式 f(1 - ?1,x<0,

x2)>f(2x)的 x 的取值范围是_____________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

本题易出现以下错误:

由f(1-x2)>f(2x)得1-x2>2x,忽视了1-x2>0导致解答失误.

?x2+1,x≥0, (2) 已 知 函 数 f(x) = ? 则 满 足 不 等 式 f(1 - ?1,x<0,

x2)>f(2x)的 x 的取值范围是_____________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

?x2+1,x≥0, 画出 f(x)=? 的图象, ?1,x<0

由图象可知,若f(1-x2)>f(2x),

?x2+1,x≥0, (2) 已 知 函 数 f(x) = ? 则 满 足 不 等 式 f(1 - ?1,x<0,

(-1, 2-1) x2)>f(2x)的 x 的取值范围是_____________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

?1-x2>0, 则? 2 1 - x >2x, ? ?-1<x<1, 即? 得 x∈(-1, 2-1). ?-1- 2<x<-1+ 2,

?x2+1,x≥0, (2) 已 知 函 数 f(x) = ? 则 满 足 不 等 式 f(1 - ?1,x<0,

(-1, 2-1) x2)>f(2x)的 x 的取值范围是_____________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

解决分段函数的单调性问题时,应高度关注:①对变量所

在区间的讨论;②保证各段上同增(减)时,要注意左、右段
端点值间的大小关系;③弄清最终结果取并集还是交集.

1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是

方 法 与 技 巧

否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有 奇偶性的一个必要条件. 2.利用函数奇偶性可以解决以下问题:

①求函数值;②求解析式;③求函数解析式中
参数的值;④画函数图象,确定函数单调性.

方 法 与 技 巧

3.若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 1 x 都有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f(x+a) f?x? 1 =- (a 是常数且 a≠0),则 f(x)是一个周期为 f?x? 2a 的周期函数.

失 误 与 防 范

1.f(0)=0既不是f(x)是奇函数的充分条件,也不是 必要条件. 2.判断分段函数的奇偶性要有整体的观点,可以

分类讨论,也可利用图象进行判断.

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1.(2013· 广东改编 )定义域为R的四个函数 y=x3,y=2x,y =x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是________. 2 解析 由奇函数的定义可知y=x3,y=2sin x为奇函数.

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2.已知f(x)在R上是奇函数,且f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时, f(x)=2x2,则f(7)等于________. -2

解析 f(7)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-2.

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?x2+1,x>0, 3.(2014· 福建改编)已知函数 f(x)=? 则下列 ?cos x,x≤0,

结论正确的是________. ①f(x)是偶函数; ③f(x)是周期函数; ②f(x)是增函数; ④f(x)的值域为[-1,+∞).

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解析

?x2+1,x>0, 函数 f(x)=? 的图象如图所示, 由图象 ?cos x,x≤0

知只有④正确.

答案 ④

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4.定义在 R 上的偶函数 f(x), 对任意 x1, x2∈[0, +∞)(x1≠x2), f?x2?-f?x1? 有 <0,则________. x2-x1 ①f(3)<f(-2)<f(1); ③f(-2)<f(1)<f(3); ②f(1)<f(-2)<f(3); ④f(3)<f(1)<f(-2).

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解析 由题意知f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),
又x∈[0,+∞)时,f(x)为减函数,且3>2>1, ∴f(3)<f(2)<f(1),即f(3)<f(-2)<f(1). 答案 ①

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5.定义两种运算: a ? b= a2-b2, a?b= ?a-b?2, 则 f(x) 2? x = 是________. 2-?x?2? ②偶函数; ④非奇非偶函数.

①奇函数; ③既奇又偶函数;

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解析

因为 2 ? x= 4-x2, x?2= ?x-2?2,

4-x2 4-x2 4-x2 所以 f(x)= = x 2= 2- ?x-2? 2-?2-x?

该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2],
且满足f(-x)=-f(x). 故函数f(x)是奇函数. 答案 ①

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6.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且 x>0 时,f(x)= x+1,则当

- -x-1 x<0 时,f(x)=__________.

解析 ∵f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1,
∴当x<0时,-x>0,
f(x)=-f(-x)=-( -x+1), 即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1.

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7.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在区间[0,+∞)上为增 1 1 1 x|x>3或 x<-3} 函数, 且 f(3)=0, 则不等式 f(x)>0 的解集为{ ______________. 1 解析 由已知 f(x)在 R 上为偶函数,且 f(3)=0,
1 ∴f(x)>0 等价于 f(|x|)>f(3),

又f(x)在[0,+∞)上为增函数, 1 1 1 ∴|x|>3,即 x>3或 x<-3.

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1 8.已知函数 f(x)满足:f(1)=4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x,y∈R),则 f(2 015)=________.
方法一 令x=1,y=0时,4f(1)· f(0)=f(1)+f(1), 解得f(0)= 1 , 2 令x=1,y=1时,4f(1)· f(1)=f(2)+f(0), 解析
1 解得 f(2)=-4,

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令x=2,y=1时,4f(2)· f(1)=f(3)+f(1), 1 解得 f(3)=-2, 1 1 1 1 依次求得 f(4)=-4,f(5)=4,f(6)=2,f(7)=4,
1 1 f(8)=-4,f(9)=-2,?

可知f(x)是以6为周期的函数,

1 ∴f(2 015)=f(335×6+5)=f(5)=4.

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1 方法二 ∵f(1)=4,

4f(x)· f(y)=f(x+y)+f(x-y),
1 π ∴构造符合题意的函数 f(x)=2cos 3x, ? 1 1 ? ?π ∴f(2 015)=2cos?3×2 015? ?=4. ? ? 1 答案 4

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9. 设 f(x) 是 ( - ∞ ,+ ∞) 上的奇函数, f(x + 2) =- f(x) ,当 0≤x≤1时,f(x)=x. (1)求f(π)的值; 解 由f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数,

∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)
=-(4-π)=π-4.

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(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积. 解 由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),

得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x).

故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对 称,则f(x)的图象如图所示.

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当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,



?1 ? ? S=4S△OAB=4×?2×2×1? ?=4. ? ?

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?-x2+2x,x>0, ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? 2 ?x +mx,x<0

是奇函数.

(1)求实数 m 的值;
解 设x<0,则-x>0, 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.

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又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x), 于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以m=2.

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(2) 若函数 f(x) 在区间 [ - 1 , a - 2] 上单调递增,求实数 a 的 取值范围. 解 由(1)知f(x)在[-1,1]上是增函数, 要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增.
?a-2>-1, 结合 f(x)的图象知? ?a-2≤1,

所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].

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1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 和偶函数 g(x) 满足 f(x) + g(x) =ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)=________. 解析 ∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
15 4

∴f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a,
∵f(2)+g(2)=a2-a-2+2,①

∴f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a-2-a2+2,② 15 2 - 2 由①②联立,g(2)=a=2,f(2)=a -a = . 4

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2.设奇函数 f(x)的定义域为 R, 最小正周期 T=3, 若 f(1)≥1, 2 2a-3 1<a≤3 f(2)= ,则 a 的取值范围是- ________. a+1 解析 函数f(x)为奇函数,则f(1)=-f(-1).

由f(1)=-f(-1)≥1,得f(-1)≤-1;
函数的最小正周期T=3,则f(-1)=f(2), 2a-3 2 由 ≤-1,解得-1<a≤3. a+1

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3.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有 f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有 ①2是函数f(x)的周期; ②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;

③函数f(x)的最大值是1,最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________.

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解析 在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t, 则有f(t+2)=f(t),

因此2是函数f(x)的周期,故①正确;
当x∈[0,1]时,f(x)=2x是增函数, 根据函数的奇偶性知,f(x)在[-1,0]上是减函数,

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根据函数的周期性知,函数f(x)在(1,2)上是减函数,
在(2,3)上是增函数,故②正确; 在区间[-1,1]上,f(x)的最大值为f(1)=f(-1)=2, f(x)的最小值为f(0)=1,故③错误.

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4.已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递
减,求满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围.

解 ∵f(x)的定义域为[-2,2].
?-2≤1-m≤2, ∴有? 解得-1≤m≤ 3.① 2 ?-2≤1-m ≤2,

又f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减,

∴f(x)在[-2,2]上递减,

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∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1,
即-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1. 即实数m的取值范围是[-1,1).

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5. 函数 f(x) 的定义域为 D = {x|x≠0} ,且满足对于任意 x1 , x2∈D,有f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; 解 ∵对于任意x1,x2∈D, 有f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.

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(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;

解 f(x)为偶函数.
证明:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1), ∴f(-1)=1 f(1)=0. 2 令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.

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(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x 的取值范围. 解 依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数,

∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16).
又f(x)在(0,+∞)上是增函数.

∴0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.
∴x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.


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