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偏微分方程数值习题解答


李微分方程数值解习题解答 1-1 如果? ' (0) = 0 ,则称 x0 是 J (x) 的 对称(不必正定) 驻点(或稳定点) , 驻点(或稳定点).矩阵 A 对称(不必正定) 的驻点的充要条件是: 求证 x0 是 J (x) 的驻点的充要条件是:x0 是方 程组 Ax = b 的解 证明: 的定义与内积的性线性性质, 证明:由? (λ ) 的定义与内积的性线性性质,得
? (λ ) = J ( x0 + λx) = ( A( x0 + λx), x0 + λx) ? (b, x0 + λx)
= J ( x0 ) + λ ( Ax0 ? b, x) +
1 2

λ2

2 ? ' (λ ) = ( Ax0 ? b, x) + λ ( Ax, x)

( Ax, x)

必要性: 必要性:由? ' (0) = 0 ,得,对于任何 x ∈ R n ,有 ( Ax0 ? b, x) = 0 , 由线性代数结论知, 由线性代数结论知,
Ax0 ? b = 0, Ax0 = b

充分性: 充分性: 由 Ax0 = b ,对于任何 x ∈ R n ,
? ' (0) = ( Ax0 ? b, x) + λ ( Ax, x) |λ =0 = 0

的驻点. 即 x0 是 J ( x) 的驻点. § 1 -2 补充: 补充: 证明 f ( x) 的不同的广义导数几乎处处 相等. 相等. 证明: 证明 : 设 f ∈ L2 ( I ) , g1 , g 2 ∈ L2 ( I ) 为 f ( x) 的广义导

数,由广义导数的定义可知,对于任意 ? ( x) ∈ C0∞ ( I ) ,有



b

a b

g1 ( x)? ( x)dx = ? ∫a f ( x)? ' ( x)dx
b b

' ∫a g 2 ( x)? ( x)dx = ? ∫a f ( x)? ( x)dx

两式相减, 两式相减,得到
( g1 ? g 2 )? ( x) = 0 ? ? ∈ C0∞ ( I ) ∫a
b

由变 分基本引理 , g1 ? g 2 几乎处处 为零 , 即 g1 , g 2 几乎处处相等. 几乎处处相等. 补充:证明 a(u, v) 的连续性条件(1.2.21) 补充: 的连续性条件 证明: 证明 设 | p( x) |≤ M , | q( x) |≤ M ' ,由 Schwarz 不等式 由
| a (u, v) |=| ∫a ( pu 'v ' + quv)dx |≤ M || u ' || . || v ' || + M ' || u || . || v || ≤ 2 M * || u ||1 . || v ||1 ,其中 M * = max{M , M ' } 其中
b

习题: 习题: 的一阶广义导数, 1 设 f ' ( x) 为 f (x) 的一阶广义导数 , 试用类 似的方法定义 f (x) 的 k 阶导数 (k = 1,2,... ) 一阶广义导数的定义 定义, 解 : 一阶广义导数的 定义 , 主要是从经典 导数经过分部积分得到的关系式来定义, 导数经过分部积分得到的关系式来定义,因 此可得到如下定义: 此可得到如下定义: 对 于 f ( x) ∈ L2 ( I ) , 若 有 g ( x) ∈ L2 ( I ) , 使 得 对于任意的? ∈ C0∞ ( I ) ,有



b

a

g ( x)? ( x)dx = (?1) k ∫a f ( x)? ( k ) ( x) dx
b

阶广义导数, 则称 f (x) 有 k 阶广义导数, g (x) 称为 f (x) 的 k 阶
dk f 广义导数, 广义导数,并记 g ( x) = k dx

高阶广义导数不是通过递推定义的, 注 : 高阶广义导数不是通过递推定义的 , 可 能有高阶导数而没有低阶导数. 能有高阶导数而没有低阶导数. 2. 利 用 L2 ( I ) 的 完 全 性 证 明 H 1 ( I )( H m ( I )) 是 Hilbert 空间. 空间. 证明: 的完全性. 证明:只证 H 1 ( I ) 的完全性.设{ f n }为 H 1 ( I ) 的基 本列, 本列,即
|| f n ? f m ||1 = || f n ? f m ||0 + || f n' ? f m' ||0 → 0

中的基本列( 因此知{ f n },{ f n' }都是 L2 ( I ) 中的基本列(按 L2 ( I ) 的范数). ).由 的完全性, 的范数).由 L2 ( I ) 的完全性,存在 f , g ∈ L2 ( I ) ,使 || f n ? f ||0 → 0, || f n' ? g ||0 → 0 ,以下证明
|| f n ? f ||1 → 0 (关键证明 g =
df ) dx

不等式, 由 Schwarz 不等式,有
| ∫a ( f n ( x ) ? f ( x ))? ( x) |≤|| f n ? f ||0 . || ? ||0
b

| ∫a ( f n' ( x ) ? g ( x ))? ( x) dx |≤|| f n' ? f ' ||0 || ? ||0
b

对于任意的? ( x) ∈ C0∞ ( I ) ,成立
lim ∫a f n ( x )? ( x )dx = ∫a f ( x )? ( x) dx
b b n →∞

lim ∫a f ( x )? ( x)dx = ∫a g ( x)? ( x )dx
b n →∞ ' n b

由 ∫a f n' ( x)? ( x)dx = ? ∫a f n ( x)? ' ( x)dx
b b

取极限得到 ∫a g ( x)? ( x)dx = ? ∫a f ( x)? ' ( x)dx
b b

即 g ( x ) = f ' , 即 f ∈ H 1 ( I ) ,且
|| f n ? f ||1 = || f n ? f ||0 + || f n' ? f ' ||0 → 0

中的基本列是收敛的, 故 H 1 ( I ) 中的基本列是收敛的 , H 1 ( I ) 是完全 的. 3.证明非齐次两点边值问题 3.证明非齐次两点边值问题

证明: 证明:边界条件齐次化 令 u0 ( x) = α + β ( x ? a) ,则 w = u ? u0 满足齐次边界 条件 . w 满足的方程为 Lw = Lu ? Lu0 = f ? Lu0 , 即 w 对应的边值问题为
? Lw = f ? Lu0 ? ' ?w(a ) = 0, w (b) = 0

(P)

由定理知, 由定理知,问题 P 与下列变分问题等价
1 求 w* ∈ C 2 I H E , J ( w* ) = min J * ( w) w∈H
1 E

其中 J * ( w) = a( w, w) ? ( f ? Lu0 , w) .而
1 J * ( w) = a (u ? u0 , u ? u0 ) ? ( f ? Lu0 , u ? u0 ) 2 ~ = J (u ) + ( Lu0 , u ) ? a (u0 , u ) + C

1 2

而 ( Lu0 , u ) ? a(u0 , u ) = ? p(b) βu (b) + C2 ~ 从而 J * ( w) = J (u ) ? p(b) βu (b) + C * 则关于 w 的变分问题 P 等价于:求
u* ∈ C 2 I H 1 , u (a ) = α

使得
J (u* ) = min J (u )
u∈H 1 u ( a ) =α

其中 J (u ) = a(u, u ) ? ( f , u ) ? p(b) βu (b) 4 就边值问题(1.2.28)建立虚功原理 就边值问题(1.2.28) 解:令 u0 = α + β ( x ? a) , w = u ? u0 ,则 w 满足
Lw = Lu ? Lu0 = f ? Lu0 w( a) = 0, w' (b) = 0
1 等价于: 等价于: ? v ∈ H E

1 2

( Lw, v) ? ( f ? Lu0 , v) = 0

应用分部积分, 应用分部积分,
(?
b d b d dw du dw dw dv ( p ), v) = ? ∫a ( p )vdx = ? p v |b + ∫a p dx a dx dx dx dx dx dx dx

还原 u ,
a ( w, v) ? ( f ? Lu0 , v) = a (u , v) ? ( f , v) + ( Lu0 , v) ? a (u0 , v) = a (u , v) ? ( f , v) ? p (b) β v(b)

于是, 边值问题等价于: 于是 , 边值问题等价于 : 求 u ∈ H 1 , u (a) = α , 使 1 得 ?v ∈ H E ,成立
a (u , v) ? ( f , v) ? p (b) βv(b) = 0

去乘方程两端, 注:形式上与用 v 去乘方程两端,应用分部积 分得到的相同. 分得到的相同. 5 试建立与边值问题

等价的变分问题. 等价的变分问题. 解:取解函数空间为 H 02 ( I ) ,对于任意 v ∈ H 02 ( I ) 乘方程两端,应用分部积分, 用 v 乘方程两端,应用分部积分,得到
d 4u ( Lu ? f , v ) = ( 4 + u ? f , v) = 0 dx 4 4 bd u d u d 3u b b d 3u dv 而 ( 4 , v) = ∫a 4 vdx = 3 v |a ? ∫a 3 . dx dx dx dx dx dx 2 2 2 2 2 bd u d v d u dv b b d u d v =? 2 |a + ∫a 2 2 dx = ∫a 2 2 dx dx dx dx dx dx dx

d 2u d 2 v 上式为 ∫a [ 2 2 + uv]dx = ( f , v) dx dx
b

d 2u d 2 v 为双线性形式. 定义 a(u, v) = ∫a [ 2 2 + uv]dx ,为双线性形式. dx dx 变分问题为: 变分问题为:求 u ∈ H 02 ( I ) , ? v ∈ H 02 ( I )
b

a (u , v ) = ( f , v )

1 -4 1.用 1.用 Ritz ? Galerkin 方法求边值问题
?? u " + u = x 2 0 < x < 1 ? ? u (0) = 0, u (1) = 1

的 第 n 次 近 似 un (x) , 基 函 数
?i ( x) = sin(iπx), i = 1,2,..., n

:(1)边界条件齐次化 边界条件齐次化: 解 :(1) 边界条件齐次化 : 令 u0 = x , w = u ? u0 , 满足齐次边界条件, 则 w 满足齐次边界条件,且
Lw = Lu ? Lu0 = x 2 ? x w(0) = 0, w(1) = 0

第 n 次近似 wn 取为 wn = ∑ ci?i , 其中 ci (i = 1,2,...n)
i =1

n

满足的 Ritz ? Galerkin 方程为

∑ a(? ,?
i =1 i

n

j

)ci = ( x 2 ? x,? j )

j = 1,2,..., n



a (?i ,? j ) = ∫0(? ? + ?i? j )dx = ijπ
1 ' i ' j 1

2 1 0

∫ cos(iπx) cos( jπx)dx
ijπ 2

+ ∫0sin(iπx) sin( jπx)dx =



π



cos(ix) cos( jx)d x

+

1 2π



π



sin ix sin jx

由三角函数的正交性,得到 由三角函数的正交性,
? i 2π 2 1 ? a (?i , ? j ) = ? 2 + 2 , i = j ?0, i≠ j ?

而 ( x ? x,? j ) = ∫0 x( x ? 1) sin( jπx)dx =
2 1

2 ( jπ )
3

[(?1) j ? 1]

于是得到
?8 ( x 2 ? x, ? j ) ? j为奇数 ? cj = = ? ( jπ )3 (1 + j 2π 2 ) a (? j ,? j ) ?0 j为偶数 ?

最后得到
[

un ( x) = x +

∑ (2k ? 1) π
k =1

n +1 ] 2

? 8 sin[(2k ? 1)πx] 3 3 [1 + (2k ? 1) 2 ]

2.在题 代替右边值条件, 2.在题 1 中,用 u (1) = 0 代替右边值条件, un (x) 是用 Ritz ? Galerkin 方法求解相应问题的第 n 次 近似, 近似,证明 un (x) 按 L2 (0,1) 收敛到 u ( x) ,并估计误 差. 证明: 对应的级数绝对收敛, 证明: un 对应的级数绝对收敛,由{sin iπx}的完

全性知极限就是解 u (x) ,其误差估计为
Rn ≤ 8 π 3n3

3.就边值问题(1.2.28)和基函数 3.就边值问题(1.2.28)和基函数 就边值问题(1.2.28) ?i ( x) = ( x ? a )i (i = 1,2,..., n) ,写出 Ritz ? Galerkin 写 方程 解 : 边 界 条 件 齐 次 化 , 取 u0 = α + β ( x ? a ) , w = u ? u0 , w 对应的微分方程为
Lw = Lu ? Lu0 = f ? Lu0 w( a) = 0, w' (b) = 0

对应的变分方程为
a ( w, v) ? ( f ? Lu0 , v) = 0 Lu0 = ? ? ∫a
b

d du dp ( p 0 ) + qu0 = ? β + q[α + β ( x ? a )] dx dx dx

b dp v = ? p(b)v(b) + ∫a pv ' ( x)dx dx

变分方程为
a ( w, v ) = ( f , v ) + βp (b)v (b) ? ∫a [ β pv ' ( x ) ? qu0 v]dx
b

取?i ( x) = ( x ? a)i , i = 1,2,..., n ,则 Ritz - Galerkin 方程 则 为

∑ a(? ,?
j =1 i

n

j

)c j = ( f ,?i ) + β p (b)?i (b) ? ∫a p ( x) β i ( x ? a )i?1 dx + ∫a q ( x)[α + β ( x ? a )]dx
b b

a (?i ,? j ) = ∫a [ p?i'? 'j + q?i? j ]dx
b

取 p = 1, q = 0, f = 1,具体计算 具体计算
n = 1 , a (?1 ,?1 ) = ∫a 1dx = (b ? a )
b

1 1 d1 = (b ? a ) 2 + β (b ? a ) ? β (b ? a ) = (b ? a ) 2 , 2 2 1 1 c1 = (b ? a ) ,即解 u1 = u0 + ( x ? a ) 即解 2 2 n = 2: a (?1 ,?1 ) = (b ? a), a (?1 ,? 2 ) = ∫a 2( x ? a )dx = (b ? a ) 2
b

b 4 a (? 2 ,? 2 ) = ∫a 4( x ? a ) 2 dx = (b ? a )3 3

d 2 = ∫a ( x ? a ) 2 dx + β (b ? a ) 2 ? ∫a 2 β ( x ? a )dx
b b

1 1 = (b ? a )3 + β (b ? a ) 2 ? β (b ? a ) 2 = (b ? a )3 3 3

得到方程组为
? b?a ? ? (b ? a ) 2 ? ?1 ? (b ? a) 2 ?? c ? ? (b ? a ) 2 ? ? 1? =?2 ? 4 3 ? (b ? a) ?? c2 ? ? 1 3 ? ?? ? ? (b ? a ) ? 3 ?3 ? ?1? ?1 1 ?? c1 ? ? ? ? 4 ?? ? = ? 2 ? ?1 ?? c2 ? ? 1 ? ? 3 ?? ? ? ? ? 3?

特别取 a = 0, b = 1,有

求解得到 c2 = ? , c2 = ? , c1 = 1 其解为 u2 = u0 + ( x ? a) ? ( x ? a) 2 Ch2 椭圆与抛物型方程有限元法
用线性元求下列边值问题的数值解: §1.1 用线性元求下列边值问题的数值解

1 3

1 6

1 2

1 2

?y +
"

π2

x, 0 < x < 1 4 2 y (0) = 0, y ' (1) = 0

y = 2 sin

π

此题改为 ? y + y = 1, y (0) = y (1) = 0, h = 1 / 4
"

为未知数. 解: 取 h = 1 / 2 , x j = jh( j = 0,1,2) , y1 , y2 为未知数

Galerkin 形式的变分方程为 ( Lu , v ) = ( f , v ) ,
其中

( Lu , v ) = ? ∫0u vdx +
1 " ' 1

1 "

π2
4

∫0uvdx , ( f , v) = ∫02 sin
1 ' ' 1 ' '

1

1

π
2

xv( x) dx

又 ? ∫0u vdx = ?u v |0 + ∫0u v dx = ∫0u v dx 因此 a (u , v ) = ∫0(u v +
' ' 1

π2
4

uv )dx

应用仿射变换(局部坐标 应用仿射变换 局部坐标) 在单元 I i = [ xi ?1 , xi ] 中,应用仿射变换 局部坐标 ξ = 节点基函数为

x ? xi?1 h

x ? xi ? 1?ξ, ξ = xi ≤ x ≤ xi+1 ? h ? x ? xi?1 ? ?i ( x) = ?ξ , ξ = , xi?1 ≤ x ≤ xi (i = 1,2,3) h ? other ? 0, ? ?

a (?1 ,?1 ) = ∫x + ∫x [? +
x1
0

x2
1

'2 1

π2
4

? 2 ]dx

1? 1 ? 1 1 π2 2 π2 ? ? = h ?∫0[ 2 + ξ ]dξ + ∫0? 2 + (1 ? ξ ) 2 ? dξ ? 4 4 ?h ? ? ? h

取 h = 1 / 2 ,则计算得 a (?1 ,?1 ) = 4 + 则计算得
1 2

π2
12

1 π π2 a (?1 ,? 2 ) = ∫0[? + hξ (1 ? ξ )dξ = ?2 + h 4 12 1 1 π π 1 1 ( f ,?1 ) = 2h[ ∫0sin (0 + hξ )ξdξ + ∫0sin ( + ξ )(1 ? ξ )dξ 2 2 2 2 1 1 πhξ π (1 + ξ ) = ∫0sin ξdξ + ∫0sin (1 ? ξ )dξ 2 4 1 π 1 1 ( f ,? 2 ) = 2h ∫0sin ( + ξ )ξ dξ 2 2 2
代数方程组为

? a (?1 ,?1 ) a (?1 ,? 2 ) ?? y1 ? ? ( f ,?1 ) ? ? ? a (? ,? ) a (? ,? ) ?? y ? = ? ( f ,? ) ? ?? ? ? ? ? ? 1 2 2 2 ?? 2 ? 2 ?

代如求值. 代如求值. 取 h = 1 / 4 ,未知节点值为 u1 , u2 , u3 , u4 ,方程为

∑ a(? ,?
i =1 i

4

j

)ui = ( f , ? j ) j = 1,2,3,4

表示, 应用局部坐标 ξ 表示,
1 1 1 π 2h 2 π 2h a (? j ,? j ) = ∫0( + ξ )dξ + ∫0[ + (1 ? ξ ) 2 ]dξ h 4 h 4 1

= ∫0[8 +

1

π2
8

ξ ]dξ = 8 +
2

π2

24

1 π 2h a (? j + ,? j +1 ) = ∫0[ ? + ξ (1 ? ξ )]dξ h 4
1

= ?4 +

π2

16 ∫0

1

ξ (1 ? ξ )dξ = ?4 + π2
96

π2
96

a (? j ?1 ,? j ) = ?4 +

系数矩阵为 A = diag{?4 +
1

π2
96
1

,8 +

π2
24

,?4 +
1 4

π2
96

}

取 f = 1, ( f ,? j ) = h ∫0ξdξ + h ∫0(1 ? ξ )dξ =
( f ,? j ) = h ∫02 sin[ ( x j + hξ )]ξdξ 2
1

π

+ h ∫02 sin[ ( x j +1 + hξ )](1 ? ξ )dξ 2 2 1 π j ξ 1 1 π j +1 ξ = ∫0sin[ ( + )]ξdξ + ∫0sin[ ( + )](1 ? ξ )dξ 4 2 4 4 2 2 4 4 1 1 π( j +ξ) π ( j +1+ ξ) = ∫0sin[ ] ? sin[ ]ξdξ 2 8 8 1 1 π ( j +1+ ξ) 1 8 π ( j +1+ ξ) 0 + ∫0sin[ ]dξ = × [cos( )] |1 2 8 2 π 8 +
1

π

2.就非齐次第三边值条件 2.就非齐次第三边值条件
u ' (a ) + α1u ( a) = β1 , u ' (b) + α 2u (b) = β 2

导出有限元方程. 导出有限元方程. 解:设方程为 Lu = ?( pu ' )' + qu = f 则由
(( pu ' ) ' , v) = pu 'v |b ?( pu ' , v ' ) = p (b)v(b)[ β 2 ? α 2u (b)] a ? p (a )v(a )[ β1 ? α1u (a )] ? ( pu ' , v ' )

变分形式为: 变分形式为: ? v ∈ H 1 (a, b)
( pu ' , v ' ) + (qu , v) + α 2 p (b)u (b)v(b) ? α1 p (a )u (a )v(a ) = ( f , v) + p (b) β 2v(b) ? p (a ) β1v(a )

u0 = u (a ), u N = u (b)


A(u , v) = ( pu ' , v ' ) + (qu , v) + α 2 p (b)u (b)v(b) ? α1 p (a )u (a )v(a ) F (v) = ( f , v) + p (b) β 2v(b) ? p (a ) β1v(a )

则上述变分形式可表示为 则上述变分形式可表示为 A(u, v) = F (v) 设节点基函数为? j ( x)( j = 0,1,2,..., N ) 则有限元方程为

∑ A(? ,?
i =0 i

N

j

)ui = F (? j ) ( j = 0,1,..., N )

具体计算使用标准坐标 ξ .


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