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【志鸿优化设计】2015届高考数学(理科)一轮总复习精品课件:11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布


11.6 离散型随机变量的均值 与方差、正态分布

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -2-

1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、 方差的概念,能计算简单离散型 随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题. 2.利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -3-

1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

( 1) 均值: 称 E( X) = x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量 X 的均值或

数学期望 , 它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 .
( 2) 方差: 称 D( X) = ∑ ( -())2


=1

为随机变量 X 的方差, 它刻画了随机变量

X 与其均值 E( X) 的 的

平均偏离程度 , 其算术平方根 ()为随机变量 X

标准差 .

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -4-

2.均值与方差的性质

aE( X) +b ; 2 ( 2) D( aX+b) = a D( X) (a, b 为实数) .
( 1) E( aX+b) = 想一想样本的方差与随机变量的方差有何不同? 答案: 样本的方差是随着样本的不同而变化的, 因此它是一个随

机变量; 而随机变量的方差是通过大量试验得出的, 刻画了随机变量 X 与其均值 E( X) 的平均偏离程度, 因此它是一个常量而非变量.

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -5-

3.两点分布和二项分布的均值和方差 若随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布, 则 E( X) = D( X) = E( X) =

p ,

p( 1-p) . np , D( X) = np( 1-p) .

若随机变量 X 服从参数为 n, p 的二项分布, 即 X~B( n, p) , 则 4.正态分布 ( 1) 正态曲线: 如果连续型随机变量 X 的概率密度函数为 φμ,σ( x) =
1 2πσ
(-)2 e 22 , x∈( -∞, +∞) , 其中

μ, σ 为参数, 则称 φμ,σ( x) 的图象为正态分

布密度曲线, 简称正态曲线. ( 2) 正态分布: 一般地, 如果对于任何实数 a, b( a<b) , 随机变量 X 满足 P( a<X≤b) =


φμ,σ( x) dx, 则称随机变量 X 服从正态分布.

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -6-

( 3) 正态分布的性质: ①曲线位于 是单峰的, 关于

x 轴的上方, 与 x 轴不相交; ②曲线
1 2π

x=μ 对称; ③曲线在 X=μ 时达到峰值

; ④当 μ 一定

时, 曲线的形状由 σ 确定.σ 越小, 曲线越“瘦高”, 表示总体的分布越 越大, 曲线越“矮胖”, 表示总体的分布越 积为

集中; σ

分散 ; ⑤曲线与 x 轴之间的面

1 .
想一想参数 μ, σ 在正态分布中的实际意义是什么? 答案: 参数 μ 是反映随机变量取值的平均水平的特征数, 可以用

样本的均值去估计; σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征数, 可以 用样本的标准差去估计.

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -7-

基础自测
1.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)=( A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 )

关闭 关闭

C

由 P(ξ<4)=0.8 知 P(ξ>4)=P(ξ<0)=0.2,故 P(0<ξ<2)=0.3.故选 C.
解析 答案

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -8-

2.某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成 绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为 90 分,60 分以下的人数占 10%, 则数学成绩在 90 分至 120 分之间的考生人数所占百分比约为( A.10% B.20% C.30% D.40% )

关闭

由题意可知,120 分以上的人数也占 10%,故 90 分至 120 分之间的考生人 数所占百分比约为 D
1-20% 2

=40%.
解析

关闭

答案

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -9-

3.设随机变量 ξ~B(n,p),且 E(ξ)=1.6,D(ξ)=1.28,则( A.n=8,p=0.2 C.n=5,p=0.32 B.n=4,p=0.4 D.n=7,p=0.45

)

关闭 关闭

A

由 E(ξ)=np=1.6,D(ξ)=np(1-p)=1.28,检验可知 n=8,p=0.2 符合.
解析 答案

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -10-

4.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历. 假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ,得到乙、丙两公司面试的概率均 为 p,且三个公司是否让其面试是相互独立的,记 X 为该毕业生得到面试的 公司个数.若 P(X=0)= ,则随机变量 X 的数学期望 E(X)=
P(X=0)= 11 3 2 3

2 3

1 12

.
关闭

(1-p)2= ,∴p= .
5 12 2 1 6 12

1

1

P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= , ∴随机变量 X 的分布列为 X P
5 3
1 1 3 5

0 1 12
1 6

1 1 3

2 5 12

3 1 6

关闭

E(X)=0× +1× +2× +3× =0+ + + = .
12 12 3 6 2 3

1 5 1 5

解析

答案

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -11-

5.随机变量 ξ 的分布列如下:
ξ P
1 3

-1 a

0 b

1 c

其中 a,b,c 成等差数列,若 E(ξ)= ,则 D(ξ)的值是

.

∵a,b,c 成等差数列, ∴2b=a+c. 又∵a+b+c=1, E(ξ)=-1×a+1×c=c-a= . ∴a= ,b= ,c= ,
1 6 1 3 1 2 3 1

关闭

5 9

∴D(ξ)= -1-

1 2 1 3 6

× + 0-

1 2 1 3 3

× + 1-

1 2 1 5 3 2 9

关闭

×= .
解析 答案

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -12-

考点一 离散型随机变量的均值

关闭

4 张,编号分别为 1,2,3,4;白色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 6 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).
所以, 取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率为 .
7

3 2 2 1 2 5 +2 5 6 【例 1 】 (2013 天津高考 )一个盒子里装有 7,则 张卡片 ( 1) 设“ 取出的 4 张卡片中 , 含有编号为 3 的卡片” 为事件 A P( A) = ,其中有红色卡片 = . 7 C4 7

的分布列和数学期望 . 3

(1) 求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率; ( 2) 随机变量 X 的所有可能取值为 1, 2, 3, 4. 3 3 C 1 C 4 4 3 (2) 在取出的 张卡片中 P( X =1) = 4= , P4 ( X=2 ) = 4 = , ,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X
C7 35 C7 35 C5 2 C3 4 P( X =3) = 4= , P( X=4) = 6 = . C7 7 C4 7 7

所以随机变量 X 的分布列是
4 4 P 7 1 4 2 4 17 随机变量 X 的数学期望 E ( X) =1× +2× +3× +4× = . 35 35 7 7 5 X 1 1 35 2 4 35 3 2 7

答案 考点一 考点二 考点三 考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -13-

方法提炼 1.求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型分布列,可 直接套用公式 E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn 求其数学期望(均值).随机变量的均 值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,只要找准随机变量及相应的概率即 可计算. 2.若 X 是随机变量,且 Y=aX+b,其中 a,b 为常数,则 Y 也是随机变量, 且 E(Y)=aE(X)+b.

考点一

考点二

考点三

考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -14-

举一反三 1 某中学在高三开设了 4 门选修课,每个学 关闭
( 1) 3 名学生选择的选修课互不相同的概率: 生必须且只需选修 1 门选修课.对于该年级的甲、乙、丙 3 名学生,回答下 3
A4 3 = ; 43 面的问题 :8

p1=

( 2) 设某一选修课被这 3 名学生选择的人数为 ξ, 则 ξ=0, 1, 2, 3. (1) 求这 33 名学生选择的选修课互不相同的概率 ; 1 2 P( ξ=0) =
3
3=

27 C ×3 27 , P( ξ=1) = 3 3 = , (2)求某一选修课被这 名学生选修的人数的数学期望. 4 64 4 3 64 C2 C3 1 3 ×3 9 P( ξ=2) = 3 = , P( ξ=3) = 3 = . 64 4 43 64

所以 ξ 的分布列为

ξ P
27 64 27 64

0

1

2

3

27 64
9 64

27 64
1 3 64 4

9 64

1 64

数学期望 E ( ξ) =0× +1× +2× +3× = .

答案 考点一 考点二 考点三 考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -15-

考点二 离散型随机变量的方差
为 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球 ,X 表示所取球的标号. 1 1 1 3 1
P (1)求 X 的分布列、期望和方差 2 20 ; 10 20 5 (2)若 η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,试求 a,b 的值.
∴ E( X) =0× +1× +2× +3× +4× =1. 5,
2 2 2 2 2 D( X) =( 0-1. 5) ×+( 1-1. 5) × +( 2-1. 5) × +( 3-1. 5) × +( 4-1. 5) × =2. 75.

关闭

( 1) X 的分布列是 【例 2】 袋中有 20 个大小相同的球,其中标号为 0 号的有 10 个,标号

X

0

1

2

3

4

1 2

1 20

1 10

3 20

1 5

1 2

1 20

1 10

3 20

1 5

( 2) 由 D( η) =a2D ( X) , 得 a2× 2. 75=11, 即 a=± 2. 又 E( η) =aE ( X) +b, 当 a=2 时, 由 1=2× 1. 5+b, 得 b=-2; 当 a=-2 时, 由 1=-2× 1. 5+b, 得 b=4. ∴

= 2, = -2, 或 = -2 = 4.

答案 考点一 考点二 考点三 考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -16-

方法提炼 均值仅体现了随机变量取值的平均水平.如果两个随机变量的均值相 等,还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化,方差大,说明随机变量 取值较分散;方差小,说明取值较集中.

考点一

考点二

考点三

考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -17-

举一反三 2(2013 浙江高考)设袋子中装有 a 个红球,b
个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一 个蓝球得 3 分. (1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均 等)2 个球,记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和,求 ξ 的分布列; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 η 为取出 此球所得分数.若 Eη= ,Dη= ,求 a∶b∶c.
5 3 5 9

考点一

考点二

考点三

考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -18-

解: ( 1) 由题意得 ξ=2, 3, 4, 5, 6.
3×3 1 = , 6×6 4 2×3×2 1 P( ξ=3) = = , 6×6 3 2×3×1+2×2 5 P( ξ=4) = = , 6×6 18 2×2×1 1 P( ξ=5) = = , 6×6 9 1×1 1 P( ξ=6) = = , 6×6 36

故 P( ξ=2) =

所以 ξ 的分布列为
ξ P 2

1 4

3

1 3

4

5 18

5

1 9

6

1 36

考点一

考点二

考点三

考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -19-

(2)由题意知 η 的分布列为
η P

a a+b+c

1

b a+b+c

2

c a+b+c

3

所以 E(η)= D(η)=

2 3 5 + + = , ++ ++ ++ 3 2 5 5 2 5 2 5 1· + 2· + 3· = , 3 ++ 3 ++ 3 ++ 9

2--4 = 0, 化简得 + 4-11 = 0. 解得 a=3c,b=2c,故 a∶b∶c=3∶2∶1.

考点一

考点二

考点三

考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -20-

考点三 二项分布的均值与方差
【例 3】 为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳 等植物.某人一次种植了 n 株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率 为 p,设 ξ 为成活沙柳的株数,数学期望 E(ξ)=3,标准差 ()为 .
1 1 ( 1) 由 E n,p ( ξ) =np=3 , D( ξ) =np( 1-p) = , 得 1-p= , 从而 n=6, p= . (1) 求 的值并写出 ξ3 的分布列 ; 2 2 2

6 2

关闭

(2) 若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的 ξ 的分布列为 概率. ξ 0 1 2 3 4 5 6 1 6 15 20 15 6 1 P 64 64 64 64 64 64 64
( 2) 记“ 需要补种沙柳” 为事件 A , 则 P( A) =P ( ξ≤3) , 得 P( A) =
1+6+15+20 21 15+6+1 21 = , 或 P( A) =1-P ( ξ>3) =1= . 64 32 64 32

答案 考点一 考点二 考点三 考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -21-

方法提炼 1.若 X 服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)=p(1-p); 2.若 X~B(n,p),则 E(X)=np,D(X)=np(1-p).

考点一

考点二

考点三

考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -22-

举一反三 3 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有
甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质 地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲 游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概 率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ=|X-Y|, 求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 E(ξ).

考点一

考点二

考点三

考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -23-

解: 依题意, 这 4 个人中, 每个人去参加甲游戏的概率为 , 去参加乙游戏 的概率为 . 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai( i=0, 1, 2, 3, 4) , 则
P( Ai) =C4

2 3

1 3

1 2 2 ( 1) 这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P( A2) =C4 · 3
3 P( B) =P( A3) +P( A4) =C4

1 2 4- . 3 3

2 2 3

=

8 . 27

( 2) 设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为 事件 B, 则 B=A3∪A4.由于 A3 与 A4 互斥, 故
4 C4

1 4 3 1 9

= .

1 9

1 3 2 · + 3 3

所以, 这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概 率为 .

考点一

考点二

考点三

考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -24-

(3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故 P(ξ=0)=P(A2)= ,
40 81 17 P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)= . 81 8 27

P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)= , 所以 ξ 的分布列是

ξ P

8 27

0

40 81
8 27

2

17 81
40 81 17 148 . 81 81

4

随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ)=0× +2× +4× =

考点一

考点二

考点三

考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -25-

考点四 正态分布及其应用
【例 4】 在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0).若 ξ 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 ξ 在(2,+∞)上取值的概率为 .

1 1 0.1 由正态分布的特征易得 P(ξ>2)=2×[1-2P(0<ξ<1)]=2×(1-0.8)=0.1.

关闭 关闭

解析 考点一 考点二 考点三 考点四

答案

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -26-

方法提炼 1.若连续型随机变量 ξ 服从正态分布,即 ξ~N(μ,σ2),则 E(ξ)=μ,D(ξ)=σ2, 这里 μ,σ 的意义是期望和标准差.μ 在正态分布曲线中确定曲线的位置,而 σ 确定曲线的形状.如果给出两条正态分布曲线,我们可以根据正态分布曲线 的位置和形状判别相应的 μ 和 σ 的大小关系. 2.正态曲线关于直线 x=μ 对称,从而在关于 x=μ 对称的区间上概率相 等.正态曲线与 x 轴之间的面积为 1.

考点一

考点二

考点三

考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -272 举一反三 4 设两个正态分布 N(μ1,1 )(σ1>0)和

2 N(μ2,2 )(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有(

)

A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2

关闭

A
答案 考点一 考点二 考点三 考点四

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -281 2 3

1.某地消防大队紧急抽调 1,2,3,4,5 号五辆消防车,分配到附近的 A,B,C,D 四个村子进行送水抗旱工作,每个村子至少要安排一辆消防车.若这五辆消 防车中去 A 村的辆数为随机变量 ξ,则 E(ξ)的值为( A.
1 4 3 4 5 D. 4

)

B.

C.1

关闭

由题意知,随机变量 ξ 的取值是 1,2, “ξ=2”是指“有两辆消防车同时去 A 村”, 则 P(ξ=2)=
3 C2 5A3 1 4 C2 5A4 4 3

= ,
1 5 4 4
关闭

所以 P(ξ=1)= .
D
4 3 4

所以 E(ξ)=1× +2× = .
解析

答案

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -291 2 3

2.设 10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105.随机变量 ξ1 取值 x1,x2,x3,x4,x5 的概率均 为 0.2,随机变量 ξ2 取值 A.D(ξ1)>D(ξ2) B.D(ξ1)=D(ξ2) C.D(ξ1)<D(ξ2) D.D(ξ1)与 D(ξ2)的大小关系与 x1,x2,x3,x4 的取值有关
1 +2 2 +3 3 +4 4 +5 5 +1 , , , , 的概率也均为 0.2.若记 2 2 2 2 2

D(ξ1),D(ξ2)分别为 ξ1,ξ2 的方差,则(

)

关闭

A

答案

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -301 2 3

3.甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲袋中共有 m 个球,乙 袋中共有 2m 个球,从甲袋中摸出 1 个球为红球的概率为 ,从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为 P2. (1)若 m=10,求甲袋中红球的个数; 的值; (3)设 P2= ,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出 1 个球,并且从 甲袋中摸 1 次,从乙袋中摸 2 次.设 ξ 表示摸出红球的总次数,求 ξ 的分布列 和均值.
1 5 2 5

(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出 1 个红球的概率是 ,求 P2

1 3

第十一章

11.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 -311 2 3

解: ( 1) 设甲袋中红球的个数为 x, 依题意得 x=10× =4. ( 2) 由已知, 得
3 5 2 P( ξ=1) = × 5 2 P( ξ=2) = × 5 2 P( ξ=3) = × 5 3 2 5 2 m+2m2 5 1 3 3 10

= , 解得 P2= .

( 3) ξ 的所有可能值为 0, 1, 2, 3. P( ξ=0) = × × =
4 5 4 × 5
1 C2

1 5

4 48 , 5 125 4 3 1 + × C2 × 5 5 1 4 3 × × + × 5 5 5 2 2 = . 125

1 4 56 × = , 5 5 125 1 2 19 = , 5 125

所以 ξ 的分布列为
ξ P 0 48 125 1 56 125 2 19 125 3 2 125

所以 E( ξ) =0×

48 56 19 2 +1× +2× +3× 125 125 125 125

= .

4 5


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