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3.2简单的三角恒等变换1


3.2简单的三角恒等变换
第一课时

?复习与回顾
请写出两角和与差的正弦公式:

S(? ?n is ?)

n o ? ss ic o s c ?? ? ? ?s

? ?

?? ?

S (? ? ? )i s s n n ( o ss ) ic ? o s c ? ? ? ? ?

?? ?

公式特征: 1、“S C S C ,符号依然” 2、公式中的α ,β 是任意角。
2

?复习与回顾
请写出两角和与差的余弦公式:

C(? ?? ) cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ

C(? ?? ) cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
注意:1.简记“C
C S S,符号相反”

2.公式中的α ,β 是任意角。
3

?复习与回顾
请写出两角和与差的正切公式:

tanα+ tanβ tan(α+β)= n 1t aαtanβ
tanα- tanβ tan(α-β)= n 1t a+ αtanβ

公式特征:分子同号, 分母异号。

4

?复习与回顾
请写出二倍角的正弦、余弦、正切公式

S2?: sin 2? ? 2 sin? cos ?

C 2?: cos 2? ? cos ? ? sin ? 2 ? 2s o c ? ?1 ? 1? 2 n is
2 2

2

?

2 tan ? T2?: tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
5

例1 试用cos ?表示 sin 解 ?是
?
的二倍角.

2

?
2

, cos

2

?
2

, tan

2

?
2

.

2 ? 2 在公式 cos 2? ? 1 ? 2 sin ?中, 以?代替2? , 以 代替? , 2 2 ? cos ? ? 1 ? 2 sin 2 1 ? cos ? 2 ? sin ?       ① 2 2
2

在公式 cos 2? ? 2 cos ? ? 1中, 以?代替2? , 以 2 1 ? cos ? 2 ? cos ?      ② 2 2 cos ? ? 2 cos
2 ?

?

?1

2

代替? ,

1 ? cos ? ① 2 ?  得 tan ? ② 2 1 ? cos ?

可表示为 : 1 ? cos? sin ? ? 2 2 1 ? cos? cos ? ? 2 2 1 ? cos? t an ? ? 2 1 ? cos? 称为半角公式, 符号 由

?

?

?

?
2

所在象限决定.

例2 求证 ?1?sin ? cos ?

解 (1) sin(?+?)和sin(?-?)是我们学过的知识,所
以从右边着手 sin(?+?) = sin?cos?+cos?sin? sin(?-?) = sin?cos?-cos?sin? 两式相加,得 sin(?+?) + sin(?-?) = 2sin?cos?
1 sin ? cos ? ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? 2

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ??; 2 ? ?? ? ?? ?2?sin ? ? sin ? ? 2 sin cos . 2 2 ?

(2) 由(1)可得 sin(?+?) + sin(?-?) = 2sin?cos? 设 ?+?=?, ?-?=?



??

? ??
2

,? ?

? ??
2

把?,?的值代入①,即得

sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??
2

cos

? ??
2

.

解题技巧
三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的 基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变 换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间 的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结 构特点。基本的技巧有: 1、巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角 与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其 和差角的变换. 如? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ?

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? )
???
2

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? )
? ??
?
? ? ?? 2 2

? ? ? ? 2?
? ??

?

? ?

2

?

1 ? 2 sin ? cos ? 1 ? tan ? 证明: 2 ? 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ?

在?ABC中,若sin A cos B ? 1 ? cos A sin B, 则这个三角形是(
A.锐角三角形 C.钝角三角形



B.直角三角形 D.等腰三角形

1)化简: 2 1 ? sin8 ? 2 ? 2cos8
? 2 (sin 4 ? cos 4) 2 ? 4 cos 2 4
? 2(cos 4 ? sin 4) ? 2cos 4 ? ?2sin 4

2)已知 270? ? ? ? 360? 化简
1 1 ? 2 2 1 1 ? cos 2? 2 2

1 1 1 1 ? 2 2? ? ? cos ? ? ? cos ? ? cos ? ? cos 2 2 2 2 2 2

?1 ? t an20???1 ? t an25?? 例:求值


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