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高中数学奥赛系列辅导资料:动点轨迹方程的求法


动点轨迹方程的求法
一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简 整理,主要用于动点具有的几何条件比较明显时. 例 1(1994 年全国)已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C: x 2 ? y 2 ? 1 ,动点 M 到圆 C 的切线长与 MQ 的比等于常数 ? ?? ? 0? (如图),求动点 M 的轨迹方程,说明它

表示什么曲线. 解:设 M(x,y),直线 MN 切圆 C 于 N, 则有

MN MQ

??,
2 2



MO ? ON MQ
x2 ? y 2 ?1 ( x ? 2) 2 ? y 2

??,
??.

整理得 (?2 ? 1) x 2 ? (?2 ? 1) y 2 ? 4?2 x ? (1 ? 4?2 ) ? 0 ,这就是动点 M 的轨迹方 程. 若 ? ? 1 ,方程化为 x ?

5 5 ,它表示过点 ( ,0) 和 x 轴垂直的一条直线; 4 4

2?2 2?2 2 1 ? 3?2 2 ,0) 为圆心, 若λ ≠1,方程化为 x- 2 ,它表示以 ( 2 ( )? y ? 2 ? ?1 ? ?1 (? ? 1) 2

1 ? 3?2

?2 ? 1

为半径的圆.

二、代入法 若动点 M(x,y)依赖已知曲线上的动点 N 而运动,则可将转化后的动点 N 的坐标入 已知曲线的方程或满足的几何条件,从而求得动点 M 的轨迹方程,此法称为代入法,一般 用于两个或两个以上动点的情况. 例 2 (1986 年全国)已知抛物线 y ? x ? 1 ,定点 A(3,1),B 为抛物线上任意一点,
2

点 P 在线段 AB 上,且有 BP:PA=1:2,当点 B 在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程,并指 出这个轨迹为哪种曲线. 解:设 P( x, y), B( x1 , y1 ) ,由题设,P 分线段 AB 的比 ? ? ∴

AP ? 2, PB

x?

3 ? 2 x1 1 ? 2 y1 ,y ? . 1? 2 1? 2

解得 x1 ?

3 3 3 1 x ? , y1 ? y ? . 2 2 2 2

又点 B 在抛物线 y 2 ? x ? 1 上,其坐标适合抛物线方程, ∴

3 1 3 3 ( y ? ) 2 ? ( x ? ) ? 1. 2 2 2 2

整理得点 P 的轨迹方程为

1 2 1 ( y ? ) 2 ? ( x ? ), 3 3 3
其轨迹为抛物线. 三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方 程.此法一般用于求圆锥曲线的方程,在高考中常填空、选择题的形式出现. 例 3 (1986 年广东)若动圆与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 外切且与直线 x=2 相切,则动圆圆 心的轨迹方程是 (A) y 2 ?12x ? 12 ? 0 (B) y 2 ? 12x ? 12 ? 0 (C) y 2 ? 8x ? 0 (D) y ? 8x ? 0
2

解:如图,设动圆圆心为 M,由题意,动点 M 到定圆圆心(-2,0)的距离等于它到 定直线 x=4 的距离,故所求轨迹是以(-2,0)为焦点,直线 x=4 为准线的抛物线,并且 p=6,顶点是(1,0),开口向左,所以方程是 y ? ?12( x ? 1) .选(B).
2

例 4 (1993 年全国)一动圆与两圆 x ? y ? 1 和 x ? y ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则动
2 2 2 2

圆圆心轨迹为 (A)抛物线 (B)圆 (C)双曲线的一支 (D)椭圆 解:如图,设动圆圆心为 M,半径为 r,则有

MO ? r ? 1, MC ? r ? 2, MC ? MO ? 1.
动点 M 到两定点的距离之差为 1,由双曲线定义知,其轨迹是以 O、C 为焦点的双曲线 的左支,选(C). 四、参数法 若动点 P(x,y)的坐标 x 与 y 之间的关系不易直接找到,而动点变化受到另一变量的

制约,则可求出 x、y 关于另一变量的参数方程,再化为普通方程. 例 5 (1994 年上海)设椭圆中心为原点 O,一个焦点为 F(0,1),长轴和短轴的长 度之比为 t. (A)求椭圆的方程; (2)设经过原点且斜率为 t 的直线与椭圆在 y 轴右边部分的交点为 Q,点 P 在该直线 上,且

OP OQ

? t t 2 ? 1 ,当 t 变化时,求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.

解:(1)设所求椭圆方程为

y2 x2 ? ? 1(a>b>0). a 2 b2
? a 2 ? b 2 ? 1, ? 由题意得 ? a ? ? t, ?b

解得

? 2 t2 ?a ? 2 . ? t ?1 ? ?b 2 ? 1 . ? t 2 ?1 ?

所以椭圆方程为

t 2 (t 2 ? 1) x 2 ? (t 2 ? 1) y 2 ? t 2 .
(2)设点 P( x, y), Q( x1 , y1 ), 解方程组

?t 2 (t 2 ? 1) x12 ? (t 2 ? 1) y12 ? t 2 , ? ? y1 ? tx1 ,
1 ? , ? x1 ? 2(t 2 ? 1) ? ? t ?y ? . 1 ? 2(t 2 ? 1) ?




OP OQ

? t t 2 ?1 和

OP OQ
t 2 , ,

?

x x1



t ? ? ?x ? 2 ?x ? ? ? ? 或? ? 2 ?y ? t , ?y ? ? ? 2 ? ? ?
其中 t>1.

t2 2

消去 t,得点 P 轨迹方程为

x2 ?

2 2 y( x ? ) 2 2 2 2 y( x ? ? ). 2 2
2

和x ??
2

其轨迹为抛物线 x ?

2 2 2 2 右侧的部分和抛物线 x ? ? y 在直线 x ? y 在直线 2 2 2

x??

2 在侧的部分. 2

五、交轨法 一般用于求二动曲线交点的轨迹方程. 其过程是选出一个适当的参数, 求出二动曲线的 方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程. 例 6 (1985 年全国)已知两点 P(?2,2), Q(0,2) 以及一条直线 ? :y=x,设长为 2 的线 段 AB 在直线 ? 上移动,求直线 PA 和 QB 交点 M 的轨迹方程. 解:PA 和 QB 的交点 M(x,y)随 A、B 的移动而变化,故可设 A(t , t ), B(t ? 1, t ? 1) , 则

t ?2 ( x ? 2)( t ? ?2), t?2 t ?1 x(t ? ?1). QB: y ? 2 ? t ?1
PA: y ? 2 ? 消去 t,得 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0.
2 2

当 t=-2,或 t=-1 时,PA 与 QB 的交点坐标也满足上式,所以点 M 的轨迹方程是

x 2 ? y 2 ? 2x ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0.
以上是求动点轨迹方程的主要方法, 也是常用方法, 如果动点的运动和角度有明显的关 系,还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程.但无论用何方法,都要注意所求轨迹方程中 变量的取值范围.

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