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湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案 第一讲 力和平衡(含学生版和教师版)


湖南省岳阳县第一中学 2014 年物理奥赛教案
第一讲 力和平衡

知识要点:力学中常见的几种力。摩擦力。弹性力。胡克定律。万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳 外质点的引力公式(不要求导出)。共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。重心。物体平衡的种 类。

物体相对于地球静止或匀速直线运动的状态叫平衡;物体与物体之间的相互作用称

之为力;物体受力 都要发生形变,在研究力对物体的运动效应之前,可把物体简化为各点间距离保持不变的刚体。研究平衡 系统的主要任务是:首先把平衡物体从其所在位置隔离出来,用力取代其它物体(或场)对它的作用,把它 简化为受力的平衡刚体;其次,研究作用在平衡刚体上的平衡力系,从基本的二力平衡原理出发,运用矢 量方法,导出它所满足的平衡条件;然后针对具体问题,直接运用相应力系的平衡条件进行数学求解,求 出物体所受的全部未知力或平衡的几何位置。 一、矢量的运算 1、加法 表达: a + b = c 。 名词: c 为“和矢量”。 法则:平行四边形法则。如图所示。 和矢量大小:c =
? ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ? ,其中?为 a 和 b 的夹角。

?

?

?

? b

? c

?

?

?

? a

和矢量方向: c 在 a 、 b 之间,和 a 夹角 β= arcsin 2、减法 表达: a = c - b 。

?

?

?

?

b sin ? a ? b 2 ? 2ab cos ?
2

?

?

?

名词: c 为“被减数矢量”, b 为“减数矢量”, a 为“差矢量”。 法则:三角形法则。如图所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点,然后连接两时量末端, 指向被减数时量的时量,即是差矢量。 差矢量大小:a =

?

?

?

? ? b ? c ? 2bc cos ? ,其中 θ 为 c 和 b 的夹角。 ?
2 2

? a

差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。

b

?

? c

对于曲线上矢量的合成也同样可以进行。 如:已知质点做匀速率圆周运动,半径为 R ,周期为 T ,求它在 小。 解析:如图所示,A 到 B 点对应
1 1 T 内和在 T 内的平均加速度大 4 2

1 1 T 的过程,A 到 C 点对应 T 的过程。 4 2

A

? ? ? 这三点的速度矢量分别设为 v A 、 v B 和 v C 。
根据加速度的定义 a =

vA

?

? ? ? ? ? ? ? ? v ?v v ? vA vt ? v0 得: a AB = B A , a AC = C t AB t AC t

O

R vB vA

B

vA △v1

由于有两处涉及矢量减法,设两个差矢量 ?v1 = v B - v A , ?v 2 = v C

?

?

?

?

?

vC

? ? - v A ,根据三角形法则,它们在图中的大小、方向已绘出( ?v 2 的“三角形”
已被拉伸成一条直线)。 本题只关心各矢量的大小,显然:

△v2

vA = vB = vC =
?v1 所以: a AB = = t AB

2?R ,且: ?v1 = T

2 vA =

4?R 2 2?R , ?v 2 = 2 v A = T T

2 2?R 8 2?R T = , a AC = T T2 4

?v 2 = t AC

4?R 8?R T = 。 T T2 2

观察与思考:这两个加速度是否相等,匀速率圆周运动是不是匀变速运动? 答:否;不是。 3、乘法 矢量的乘法有两种:叉乘和点乘,和代数的乘法有着质的不同。 ⑴ 叉乘 表达: a ×b = c 名词: c 称“矢量的叉积”,它是一个新的矢量。 叉积的大小:c = absinα,其中 α 为 a 和 b 的夹角。意义: c 的大小对应由 a 和 b 作成的平行四边形的 面积。 叉积的方向:垂直 a 和 b 确定的平面,并由右手螺旋定则确定方向,如图所示。 显然, a ×b ≠ b ×a ,但有: a ×b = - b ×a ⑵ 点乘 表达: a · b =c

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ?

? ?

? ?

? ?

名词:c 称“矢量的点积”,它不再是一个矢量,而是一个标量。 点积的大小:c = abcosα,其中 α 为 a 和 b 的夹角。 如功的定义为:W= F ? S =FScos? 二、力、刚体、五个静力学公理 1、力—物体间的相互作用,是物体产生加速度和形变原因。 力系是作用在物体上的一群力,根据其力的作用线在空间的几何位置关系,分为空间、平面、汇交、 平衡力系等。 在研究力对刚体的运动效应时,由力的等效原理可知, 力对 刚体是滑移矢量,作用点沿力的作用线滑移。如如图所示。 注:力可沿一个刚体滑移,但不可从一个刚体滑移到另一个 刚体上,也不要在一个变形体上滑移。 2、刚体—不因力的作用而发生形变的物体就叫做刚体。 刚体是一种理想化的力学模型,实际生活中,当物体因受力作用而发生形变足够小时,以至忽略这种 形变即不影响问题的正确解决,又能使解决的过程在为简化,这时就能把该物体当成刚体处理。 3、五个静力学公理 ①二力平衡公理 两个力平衡的充分必要条件是:此二力作用于同一个刚体上,并且等大、反向、在同一条直线上。 请注意,一定要:共物、等大、反向、同直线这四个条件缺一不可。 ②增减平衡力系公理 在作用于刚体的任何一个力系上,增加或减去一组平衡力系,原力系对物体的外效应仍然不变。 ③力的平衡四边形定则 用一个力等效地代替两个或几个力对物体的共同作用叫力的合成,将一个力化为等效的两个或几个 力,叫力的分解。 力的合成与力的分解遵循平行四边形定则。 ④牛顿第三定律 两个物体间的相互作用力,总是大小相等,方向相反,并且作用在同一条直线上。 ⑤刚化公理 如果可变形体在已知力系的作用下处于平衡状态,则可将此受力物体看作刚体,其平衡不受影响。 比如, 弹簧就是常见一种典型的可变形物, 当它的两端受到压力(或拉力)时就会发生压缩(或拉伸)形变, 所加的这一对力等大、反向、共轴线时,弹簧必定稳定在相应的压缩(或拉伸)状态,并保持这种形变量不 变,好象成了新形状的刚体。弹簧秤就是凭借这种相应的稳定性来测力和示数的。 F F
? ?

?

?

三、几种常见的力 1、重力 G G=mg,方向竖直向下。注意:竖直向下是指与当地的静止水平面垂直的方向,也称铅垂线方向。实 际上,重力是地球地物体引力的一个分力,另一个分力提供物体随地球自转所需要的向心力。 2、弹力 N 直接接触的物体,在发生弹性形变时出现的力称为弹力,方向和接触面法线方向相同,作用点在两个 物体的接触处。在弹性限度内,弹簧的弹力与弹簧的形变(伸长量或压缩量)成正比: F=-kx 式中 k 为弹簧的劲度系数,由弹簧本身性质决定(如匝数、材料及弹簧的几何尺寸等),负号表示弹簧 弹力的方向与形变 x 的方向相反,弹簧伸长时 x 取正。 3、摩擦力 f 摩擦力分为静摩擦力和滑动摩擦力。是一个物体在另一个物体表面有相对运动或相对运动趋势时,所 产生的阻碍相对运动或相对趋势的力,方向沿接触面的切线且阻碍相对运动或相对运动趋势。 滑动摩擦力的计算式:f=?N。其中 N 是正压力,?是动摩擦因数,由接触面的情况和材料决定。 静摩擦力的大小是可变的,范围在 0≤f≤fm 之间。式中 fm 为最大静摩擦力,fm=?sN, ?是最大静摩擦力 系数,略大于?,在没有特别说明的情况下可以认为相等。 摩擦角:令摩擦系数?等于某一角?的正切值,即?=tan?,这个角 ?称为摩擦角。在临界摩擦(将要发生滑动)状态下,fm/N=?s=tan?。 若用 fk 表示滑动摩擦力, N 表示正压力,则滑动摩擦角为: ?=arctan(fk/N) 支持面作用下物体的沿接触面法线方向的弹力 N 与最大静摩擦力 fm 的合力 F(简称全反力)与接触面法 线方向的夹角等于摩擦角,如图所示。 右图中,当 fm=Gsin?,即?Gcos?=Gsin?时,?=tan?,此时?就是摩擦角。 通常情况下,静摩擦力 f 未达到最大值,即 fs≤?sN,即 fs/N≤?s≤tan?,因此接触面反作用于物体的 全反力 F'的作用线与面法线的夹角?=arctanfs/N,不能大于摩擦角,即?≤?,这可作为判断物体不发生滑 动的条件。 【例 1】如图所示,小木块和水平地面之间的动摩擦因数为?,用一个与水平方面成多大角度的力拉着 小木块做匀速直线运动最省力? 解析: ?
F

F

F'

N

N
Gsin?

fm ?

? ? fm

G

【例 2】如图所示,两块固定的木板 A、B 之间夹着一块长方体木块 C,C 重 6N,A、 B 对 C 的压力大小都是 N=10N,今对 C 施加一个外力 F,将 C 从两板间水平拉出,求 F N 的大小和方向。已知 C 与 A、B 之间的滑动摩擦因数为 0.4。 解析:

A B C N

答案:大小为 10N,方向与水平方向夹 tan-10.75 小结:涉及到二维或三维情况下的相对运动,常用方法是根据相对运动方向与滑动摩擦力方向相反的 结论确定滑动摩擦力方向。 【例 3】如图所示,有一半径为 r 的圆柱绕竖直轴 OO'以角速度?匀速转动,如 果用力 F 把质量为 m 的物体压在圆柱侧面,能使物体以速度 v 匀速下滑,求物体 m 与圆柱面之间的滑动摩擦系数?(已知物体 m 在水平方向受光滑挡板的作用使之不 能随圆柱一起转动) 解析: O' F m ? O

【例 4】一个质量为 m=20kg 的钢件,架在两根完全相同的平行长直圆柱上,如图所示。钢件的重心 与两柱等距,两柱的轴线在同一水平面内,圆柱的半径 r=0.025m,钢件与圆柱间的动摩擦因数为?=0.20。 两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动,角速度为?=40rad/s。若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速 度为 v0=0.050m/s 的匀速运动,推力是多大?设钢件左右受光滑 中未画出)不发生横向运动。 v0 导槽限制(图

解析:

四、共点力作用下物体平衡 1、力的运算法则 所有的矢量都遵循平行四边形定则。 力的三角形定则:两个矢量相加将两个力首尾相连,连接剩余的两个端点的线段表示合力的大小,合 力的方向由第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端;两个矢量相减,将这两个力的始端平移在一起,连 接剩余的两个端点的线段即为两个力的差矢量的大小,差矢量的方向指向被减矢量。 2、平行力的合成与分解 同向平行力的合成:两个平行力 FA 和 FB 相距 AB,则合力 Σ F 的大小为 FA+FB,作用点 C 满足 FA×AC=FB×BC 的关系。 反向平行力的合成: 两个大小不同的反向平行力 FA 和 FB 相距 AB, 则合力 Σ F 的大小为 FA-FB(FA>FB), 作用点满足 FA×AC=FB×BC 的关系。 3、共点力作用下物体平衡条件 平衡条件:合外力等于零。即 Σ F=0,或 Σ Fx=0,Σ Fy=0 4、三力汇交原理 若一个物体受三个非平行力而处于平衡状态,则这三个力必为共点力。 解决三力平衡问题常用的方法有: ①正交分解法;②合成与分解法;③相似三角形法;④正弦定律法;⑤图解法等。 【例 5】两根长度相等的轻绳,下端悬挂一质量为 m 的物体,上端分别固定在水平天花板上的 M、N 点,M、N 两点间的距离为 S,如图所示。已知两绳能承受的最大拉力均为 根绳长度不得短于多少? M S N Tm , 则 每

解析:

【例 6】如图所示,一轻杆两端固定两个小球 A 和 B,A、B 两球质量分别为 4m 和 m,轻绳长为 L, 求平衡时 OA、OB 分别为多长?(不计绳与滑轮间的摩擦) 解析:
O

B A 4mg mg

【例 7】如图所示,质量为 m 的均匀细杆,静止在光滑的半球形容器中,设杆与水 平方向的夹角为?,则容器在 A 点和 B 点给杆的支持力各多大? 解析: B A

C ?

mgcos2? 参考答案:NA=mgtan?;NB= cos? 【例 8】如图所示,三个相同的光滑圆柱体,半径为 r,堆放在光滑的圆柱面内, 试求下面两个圆柱体不致分开时,圆柱面的半径 R 应满足的条件。 解析:
2

R
1

r
3

答案:R≤(1+2 2 )r 【例 9】如图所示,半径为 R 的刚性球固定在水平桌面上,有一质量为 M 的圆环状均匀弹性细绳圈, 原长为 2?a,a=R/2,绳圈的劲度系数为 k,将绳圈从球的正上方轻放到球上,使其水平停留在某个静力平 衡位置,考虑重力,忽略摩擦。 (1)设平衡时绳圈长为 2?b,b= 2 a,求劲度系数 k(用 M、R、g 表示,g 为重力加速度) μ g (2)设 k= 2 ,求绳圈的最后平衡位置及长度。 2π R 解析:
O

( 2-1)Mg 答案:k= 2π2R 五、力矩、力偶的概念 1、力臂

2πa。

从转轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。 2、力矩 力和力臂的乘积叫力矩,记为 M=FL。单位为:“牛.米”。一般规定逆时针方 向为正,顺时针方向为负。 力矩的进一步理解: 力矩也是力使物体绕某点(轴)转动效应的能量。 ①力对点之矩是矢量 如图所示,力 F 对 O 点之矩,用矢量 M0(F)表示,图中 r 表示力 F 的作用点 A 的位置矢量,这个力矩 矢量的大小为: M0(F)=rFsin(r,F)=2?ABO 面积 O r M0(F) B F A

方向:略 ②力对轴之矩是代数量 从一般意义上讲,力对轴之矩是一个沿轴向的矢量,在定轴情况下不必强调矢量 性,把它作为代数量处理较为便利。当力线与轴相垂直时,边力线作轴的垂直平面, 如图所示,力 F 对轴 O 的之矩为 M0(F)=?Fh 通常规定逆时针转向为正。 2、力偶—由两个等值、反向的平行力组成的力矩。 力偶不能合成一个力, 也是一个基本力学量。 力偶使物体绕某点(轴)产生转动效应, 这种转动效应的大小,由构成该力偶的两个力对某点(轴)之力矩和—力偶矩 M 来量度。 3、有固定转轴物体的平衡条件 平衡条件:M 顺=M 逆 4、重心 物体所受重力的作用点叫重心。 计算重心的方法: ①同向平行力的合成法:各分力对合力作用点的合力矩为零,则合力作用点为重心。 ②割补法:把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体,再由同向平行力 合成法求重心位置。 y2 y yc ③公式法:如图所示,在平面直角坐标系中,质量为 m1 和 m2 的 A、B 两质点坐标分 y1 B A C x R M=FR N F O h F A

别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则由两物体共同组成的整体的重心坐标为 m1x1+m2x2 m1y1+m2y2 xc = ,yc= m1+m2 m1+m2

x1 xc x2

【例 10】 如图所示, 飞轮重 1500N, 由实验测得其重心离转轴 O1 为 4 毫米处的 O 点处, 若在右侧离轴 25cm 处钻一圆孔,剩余部分重心将移动轴心 O1,试求钻去部分的重力。(答 案:24N) 解析:
O1 O O2

【例 11】一个质量为 m=50kg 的均匀圆柱体,放在台阶的旁边,台阶的高度 h 是圆柱体半径 r 的一半, 如图所示,圆柱体与台阶接触处(如图中 P 点)是粗糙的,现要在图中圆柱体的最上方 A 处施一最小的力 使圆柱体则能开始以 P 为轴向台阶上滚动,求:

(1)所施力的最小值; (2)台阶对圆柱体的作用力的大小。
O

A r P h

参考答案:(1)2.45?102N;(2)4.32?102N 【例 12】半径为 R、质量为 m1 的均匀圆球与一质量为 m2 的重物分别用细绳 AD 和 ACE 悬挂于同一点 A,并处于平衡。如图所示,已知悬点 A 到球心 O 的距离为 L,若不考虑绳的 质量和绳与球的摩擦,试求悬挂圆球的绳 AD 和竖直方向的夹角?。(10 届预赛试题) 解析:
D O O' C A

E

小结:由力矩平衡关系处理问题,关键是转轴的选择,通常选择未知又不需 要求的力的作用点所在的轴为转轴,这样减小方程中未知量个数,简化运算。 【例 13】有一个水平放置的半径为 R 的圆柱形光滑槽面,其轴线通过 O 点, 槽内放着两个半径均为 r 的光滑圆柱体 A、B,如图所示,质量分别为 mA 和 mB, 且 r=R/3,求圆柱体 A、B 平衡时,OA 线与竖直线间的夹角?是多少? 解析: B O ? ? A

答案:?=tan-1

3mB 2mA+mB

【例 14】如图所示,一根细棒上端 A 处用铰链与天花板相连,下端用铰链与另一细棒相连,两棒的 长度相等,两棒限在图示的竖直平面内运动,且不计铰链处的摩擦,当在 C 端加一适当的外力(纸面内), 可使两棒平衡在图示的位置处,即两棒间的夹角为 90?,且 C 端正处于 A 端的正下方。 (1)不管两棒质量如何,此外力只可能在哪个方向范围内?试说明道理(不要求推理)。 (2)如果 AB 棒质量 m1=1kg,BC 棒的质量为 m2=2kg,求此外力大小和方向。 A B

C

解析: 【例 15】如图所示,一个半径为 R 的均质金属球上固定着一根长为 L 的轻质细杆,细杆的左端用铰 链与墙壁相连,球下边垫上一块木板后,细杆恰好水平,而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板 之间有摩擦(已知摩擦因素为?),所以要将木板从球下面向右抽出时,至少需要大小为 F 的水平拉力。 试问:现要将木板继续向左插进一些,至少需要多大的水平推力? 解析:这是一个典型的力矩平衡的例题。

答案:

R ? L ? ?R F 。 R ? L ? ?R

【例 16】有六个完全相同的刚性长条薄片 AiBi(i=1,2,3,??,6),其两端下方各有一个小突起,薄片及 突起的重量均可以不计,现将此六个薄片架在一只水平的碗口上,另一端小突起 Ai 位于其下方薄片的正中,由正上方俯视如图所示,若将一质量为 m 的质点放在薄片 A6B6 上一点,这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起 A6 的距离,求此薄片 A6B6 中点所受的(由另一薄片的小突起 A1 所施的)压力。(6 届预赛试题) 解析: B6 B5 A1 A2 B1 B4 A5 A6 m A3 B3 A4 B2

mg 答案:P= 42 【例 17】某水果店,所用的秤是量程为 10kg 的吊盘式杆秤。现有一较大西瓜,超过此秤的量程。店 员甲找到另一秤砣,与此杆秤秤砣完全相同,把它与原秤砣结在一起作为秤砣进行称量。平衡时,双砣位 于 6.5kg 刻度处,他将刻度乘以 2 得 13kg,作为此西瓜的质量,卖给顾客,店员乙对这种称量结果表示怀 疑,为了检验,他取另一西瓜,用单秤砣正常称量得 8kg,用店员甲的双秤砣去称量,示数为 3kg,乘以 2 得 6kg。这证明店员甲的办法是不可靠的。试问,店员甲卖给顾客的那个西瓜实际质量是多大?(9 届预赛 试题) 解析:

六、一般物体的平衡 稳度 1、物体平衡的种类可分为三种: (1)稳定平衡 当物体稍稍偏离平衡位置时,有一个力或力矩使之回到平衡位置,这样的平衡叫稳定平衡,处于稳定 平衡的物体偏离平衡位置时一般是势能增加。 (2)不稳定平衡 当物体稍稍偏离平衡位置时,有一个力或力矩使它的偏离继续增大,这样的平衡叫不稳定平衡,处于 不稳定平衡的物体偏离平衡位置时一般是势能减小。 (3)随遇平衡 当物体稍稍偏离平衡位置时,它所受的力或力矩不发生变化,它能够在新的位置上再次平衡,这样的 平衡叫随遇平衡。处于随遇平衡的物体偏离平衡位置时势能一般不变。 2、浮体平衡的稳定性 浮在流体表面的浮体,所受浮力与重力大小相等、方向相反,处于 平衡状态,浮体平衡的稳定性,将因所受扰动方式的不同而异。显然, 浮体对铅垂方向的扰动,其平衡是稳定的,对水平方向的扰动,其平衡 是随遇的。 浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动,其平衡的稳定性视具体 情况而定,以浮于水面的般体为例:当船体向右倾斜(即船体绕过质心的水平对称轴转动一小角度)时,其 浮心 B 将向右偏离,浮力 FB 与重力 W 构成一对力偶,力偶矩将促使船体恢复到原来的方位, 如图 a 所示。 可见船体对这种扰动,其平衡是稳定的。但如果船体重心 G 太高,船体倾斜所造成的力偶也可能促使倾斜 加剧,这时船体的平衡就是不稳定的,如图 b 所示。 3、稳度 物体稳定的程度。 一般来讲, 使一个物体的平衡遭到破坏所需要的能量越多, 这个平衡的稳度就越高。 【例 18】如图所示,三个直径为重力相同的圆柱体垛在起,问圆柱体之间摩擦因数? 最小为何值时,它们才不会滚散?(已知圆柱体与地面及圆柱体之间的摩擦因数相同) 解析:
2 1 3

FA G B (a) W (b)

FB G

W

【例 19】用一根细线竖直悬挂一根长为 L 的均匀细木杆,置于水桶内水平面上方,如图所 示,当水桶缓慢上提时,细杆逐渐浸入水中,当木杆浸入水中超过一定深度 L'时,木杆开始出 现倾斜现象,求 L'。已知木杆的密度为?,水的密度为?0。 解析:

【例 20】边长为 a 的均匀立方体,对称地放在一个半径为 r 的圆柱面顶部,如图所示。假设静摩擦系 数足够大,足以阻止立方体下滑,试证物体稳定的平衡条件为 r>a/2。 解析: a r
O ?' ?

C

r

L 【例 21】用两个“爬犁”(雪撬)在水平雪地上运送一根质量为 m、长为 L 的均匀横梁,简化示意图如图所示,每个爬犁的上端 A 与被运送的横梁 端头固连,下端 B 与雪地接触,假设接触面积很小,一水平牵引力 F 作用 于前爬犁,作用点到雪地的距离用 h 表示,已知前爬犁与雪地间的动摩擦因数为?1,后爬犁与雪地间的动 摩擦因数为?2。问要在前后两爬犁都与雪地接触的条件下,使横梁沿雪地匀速向前移动,h 应满足什么条 件?水平牵引力 F 应多大?设爬犁的质量可忽略不计。 解析: L F f2 N2 f1 N1 A B ?2 ?1 A F B h

【例 22】如图所示,杯中盛有密度均匀的混合液体,其密度为 ρ,经过一段时间后变为密度分别为 ρ1 和 ρ2 的(ρ1<ρ2)的两层均匀液体,设其总体积不变,则杯内底面所受液体的压强是否变化?若有,应如何变

化?试证明你的结论。 解析: ρ ρ1 ρ2

【例 23】一盛水容器绕竖直中心轴匀速转动,如图所示,试证明容器中的水面为抛 物面。 解析: y

y A x x

第一讲

力和平衡

知识要点:力学中常见的几种力。摩擦力。弹性力。胡克定律。万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳 外质点的引力公式(不要求导出)。共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。重心。物体平衡的种 类。

物体相对于地球静止或匀速直线运动的状态叫平衡;物体与物体之间的相互作用称之为力;物体受力 都要发生形变,在研究力对物体的运动效应之前,可把物体简化为各点间距离保持不变的刚体。研究平衡 系统的主要任务是:首先把平衡物体从其所在位置隔离出来,用力取代其它物体(或场)对它的作用,把它 简化为受力的平衡刚体;其次,研究作用在平衡刚体上的平衡力系,从基本的二力平衡原理出发,运用矢 量方法,导出它所满足的平衡条件;然后针对具体问题,直接运用相应力系的平衡条件进行数学求解,求 出物体所受的全部未知力或平衡的几何位置。 一、矢量的运算 1、加法

? ? ? 表达: a + b = c 。
名词: c 为“和矢量”。

? b

? c

?

?

?

? a

法则:平行四边形法则。如图所示。 和矢量大小:c =
? ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ? ,其中?为 a 和 b 的夹角。

和矢量方向: c 在 a 、 b 之间,和 a 夹角 β= arcsin 2、减法 表达: a = c - b 。

?

?

?

?

b sin ? a ? b 2 ? 2ab cos ?
2

?

?

?

名词: c 为“被减数矢量”, b 为“减数矢量”, a 为“差矢量”。 法则:三角形法则。如图所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点,然后连接两时量末端, 指向被减数时量的时量,即是差矢量。 差矢量大小:a =

?

?

?

? ? b ? c ? 2bc cos ? ,其中 θ 为 c 和 b 的夹角。 ?
2 2

? a

差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 对于曲线上矢量的合成也同样可以进行。 如:已知质点做匀速率圆周运动,半径为 R ,周期为 T ,求它在 小。

b

?

? c

1 1 T 内和在 T 内的平均加速度大 4 2

1 1 解析:如图所示,A 到 B 点对应 T 的过程,A 到 C 点对应 T 的过程。这三 4 2
点的速度矢量分别设为 v A 、 v B 和 v C 。 根据加速度的定义 a =

A

vA

?

?

?

O

R vB vA

B

vA △v1

?

? ? ? ? ? ? ? ? v ?v v ? vA vt ? v0 得: a AB = B A , a AC = C t AB t AC t

vC

? ? ? ? ? 由于有两处涉及矢量减法,设两个差矢量 ?v1 = v B - v A , ?v 2 = v C -

△v2

? ? v A ,根据三角形法则,它们在图中的大小、方向已绘出( ?v 2 的“三角形”已被拉伸成一条直线)。
本题只关心各矢量的大小,显然:

vA = vB = vC =
?v1 所以: a AB = = t AB

2?R ,且: ?v1 = T

2 vA =

4?R 2 2?R , ?v 2 = 2 v A = T T

2 2?R 8 2?R T = , a AC = T T2 4

?v 2 = t AC

4?R 8?R T = 。 T T2 2

观察与思考:这两个加速度是否相等,匀速率圆周运动是不是匀变速运动? 答:否;不是。 3、乘法

矢量的乘法有两种:叉乘和点乘,和代数的乘法有着质的不同。 ⑴ 叉乘 表达: a ×b = c 名词: c 称“矢量的叉积”,它是一个新的矢量。 叉积的大小:c = absinα,其中 α 为 a 和 b 的夹角。意义: c 的大小对应由 a 和 b 作成的平行四边形的 面积。 叉积的方向:垂直 a 和 b 确定的平面,并由右手螺旋定则确定方向,如图所 示。 显然, a ×b ≠ b ×a ,但有: a ×b = - b ×a ⑵ 点乘 表达: a · b =c 名词:c 称“矢量的点积”,它不再是一个矢量,而是一个标量。 点积的大小:c = abcosα,其中 α 为 a 和 b 的夹角。 如功的定义为:W= F ? S =FScos? 二、力、刚体、五个静力学公理 1、力—物体间的相互作用,是物体产生加速度和形变原因。 力系是作用在物体上的一群力,根据其力的作用线在空间的几何位置关系,分为空间、平面、汇交、 平衡力系等。 在研究力对刚体的运动效应时, 由力的等效原理可知, 力 对刚体是滑移矢量,作用点沿力的作用线滑移。如如图所示。 注:力可沿一个刚体滑移,但不可从一个刚体滑移到另一个刚体上,也不要在一个变形体上滑移。 2、刚体—不因力的作用而发生形变的物体就叫做刚体。 刚体是一种理想化的力学模型,实际生活中,当物体因受力作用而发生形变足够小时,以至忽略这种 形变即不影响问题的正确解决,又能使解决的过程在为简化,这时就能把该物体当成刚体处理。 3、五个静力学公理 ①二力平衡公理 两个力平衡的充分必要条件是:此二力作用于同一个刚体上,并且等大、反向、在同一条直线上。 请注意,一定要:共物、等大、反向、同直线这四个条件缺一不可。 ②增减平衡力系公理 F F
? ?

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?

?

?

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?

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?

?

? ? ? ?

? ?

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?

?

在作用于刚体的任何一个力系上,增加或减去一组平衡力系,原力系对物体的外效应仍然不变。 ③力的平衡四边形定则 用一个力等效地代替两个或几个力对物体的共同作用叫力的合成,将一个力化为等效的两个或几个 力,叫力的分解。 力的合成与力的分解遵循平行四边形定则。 ④牛顿第三定律 两个物体间的相互作用力,总是大小相等,方向相反,并且作用在同一条直线上。 ⑤刚化公理 如果可变形体在已知力系的作用下处于平衡状态,则可将此受力物体看作刚体,其平衡不受影响。 比如, 弹簧就是常见一种典型的可变形物, 当它的两端受到压力(或拉力)时就会发生压缩(或拉伸)形变, 所加的这一对力等大、反向、共轴线时,弹簧必定稳定在相应的压缩(或拉伸)状态,并保持这种形变量不 变,好象成了新形状的刚体。弹簧秤就是凭借这种相应的稳定性来测力和示数的。 三、几种常见的力 1、重力 G G=mg,方向竖直向下。注意:竖直向下是指与当地的静止水平面垂直的方向,也称铅垂线方向。 实际上,重力是地球地物体引力的一个分力,另一个分力提供物体随地球自转所需要的向心力。 2、弹力 N 直接接触的物体,在发生弹性形变时出现的力称为弹力,方向和接触面法线方向相同,作用点在两个 物体的接触处。在弹性限度内,弹簧的弹力与弹簧的形变(伸长量或压缩量)成正比: F=-kx 式中 k 为弹簧的劲度系数,由弹簧本身性质决定(如匝数、材料及弹簧的几何尺寸等),负号表示弹簧 弹力的方向与形变 x 的方向相反,弹簧伸长时 x 取正。 3、摩擦力 f 摩擦力分为静摩擦力和滑动摩擦力。是一个物体在另一个物体表面有相对运动或相对运动趋势时,所 产生的阻碍相对运动或相对趋势的力,方向沿接触面的切线且阻碍相对运动或相对运动趋势。 滑动摩擦力的计算式:f=?N。其中 N 是正压力,?是动摩擦因数,由接触面的情况和材料决定。 静摩擦力的大小是可变的,范围在 0≤f≤fm 之间。式中 fm 为最大静摩擦力,fm=?sN, ?是最大静摩擦力 系数,略大于?,在没有特别说明的情况下可以认为相等。 摩擦角:令摩擦系数?等于某一角?的正切值,即?=tan?,这个角? 称为摩擦角。在临界摩擦(将要发生滑动)状态下,fm/N=?s=tan?。 若用 fk 表示滑动摩擦力, N 表示正压力,则滑动摩擦角为: fm F F' N N
Gsin?

fm ?

? ?

G

?=arctan(fk/N) 支持面作用下物体的沿接触面法线方向的弹力 N 与最大静摩擦力 fm 的合力 F(简称全反力)与接触面法 线方向的夹角等于摩擦角,如图所示。 右图中,当 fm=Gsin?,即?Gcos?=Gsin?时,?=tan?,此时?就是摩擦角。 通常情况下,静摩擦力 f 未达到最大值,即 fs≤?sN,即 fs/N≤?s≤tan?,因此接触面反作用于物体的 全反力 F'的作用线与面法线的夹角?=arctanfs/N,不能大于摩擦角,即?≤?,这可作为判断物体不发生滑 动的条件。 【例 1】如图所示,小木块和水平地面之间的动摩擦因数为?,用一个与水平方面 成多大角度的力拉着小木块做匀速直线运动最省力? 解析:法一,用正交分解法,根据平衡条件: Σ Fx=0:Fcos?=?N Σ Fy=0:Fsin?+N=mg 消去 N 可得:Fcos?=?(mg-Fsin?) F= ?mg = cos?+?sin? ?mg 1 ? 1+?2(sin? ) 2+cos? 1+? 1+?2 f G F' N ? ? F F' F ? G ?
F

?mg = sin(?+?) 1+?2 式中?=arctan(1/μ ),当 sin(?+?)=1 时,即?+?=?/2,?=arctan?时,F 有极小值,且极小值为: Fmin= ?mg 1+?2

法二:摩擦角法 将摩擦力与地面对木块的弹力 N 合成为一个力 F',摩擦角为 f ?=arctan =arctan? N 这样木块受到三个力:重力 G、桌面对木块的作用力 F'、和拉力 F。如图,其中 G 大小、方向都确定, F'的方向确定但大小不定,而 F 的方向大小都不定,作出力的三角形,很容易看出当 F 垂直 F'时 F 最小, 即当 F 与水平方向成?=arctan?时最小。 【例 2】如图所示,两块固定的木板 A、B 之间夹着一块长方体木块 C,C 重 6N, A、B 对 C 的压力大小都是 N=10N,今对 C 施加一个外力 F,将 C 从两板间水平拉出, 求 F 的大小和方向。已知 C 与 A、B 之间的滑动摩擦因数为 0.4。 解析:如图所示,f=0.4? 2?10=8N, G=6N, 故:F=10N mg f ? F N A B C N

tan?=mg/f=0.75

小结:涉及到二维或三维情况下的相对运动,常用方法是根据相对运动方向与滑动摩擦力方向相反的 结论确定滑动摩擦力方向。 【例 3】如图所示,有一半径为 r 的圆柱绕竖直轴 OO'以角速度?匀速转动, 如果用力 F 把质量为 m 的物体压在圆柱侧面,能使物体以速度 v 匀速下滑,求物 体 m 与圆柱面之间的滑动摩擦系数?(已知物体 m 在水平方向受光滑挡板的作用 使之不能随圆柱一起转动) 解析:设垂直纸面向外为 x 轴正向,竖直向下为 y 轴正向,坐标原点在物体 m 下,这样 x 轴方向有?r 的速度,y 方向有 v 的速度,如图所示,设合速度与 y 轴夹角为?,满足 tan?=vx/vy=?r/v 物体要匀速下滑,须满足 fcos?=mg 又 f=?F 解此联立方程得: mg 2 2 2 ?= v +? r Fv 【例 4】一个质量为 m=20kg 的钢件,架在两根完全相同的平行长直圆柱上,如图所示。钢件的重心 与两柱等距,两柱的轴线在同一水平面内,圆柱的半径 r=0.025m,钢件与圆柱间的动摩擦因数为?=0.20。 两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动,角速度为?=40rad/s。若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速 度为 v0=0.050m/s 的匀速运动,推力是多大?设钢件左右受光滑导槽限制(图中未画出)不发生横向运动。 解析:由于圆柱体的自转,圆柱体表面与钢件接触的点相 v=?r=40rad/s×0.025m=1m/s 的横向速度,因此,钢件相对圆柱 的速度大小是 12+0.052 m/s,方向是与圆柱成?=tan-120 的角。 力 f 方向与相对运动速度方向相反,所以 f 与圆柱体的夹角也 每根圆柱体的摩擦力为 fk=?N=100N×0.20=20N 合摩擦力为 Σ f=2fkcos?=2fkcot?=2.0N 因为?很接近?/2,所以 cos?≈cot?. v0 对地有一个 体表面接触点 因为滑动摩擦 是?。 v 0 ? y ?r x v合 F m ? O

O'

四、共点力作用下物体平衡 1、力的运算法则 所有的矢量都遵循平行四边形定则。 力的三角形定则:两个矢量相加将两个力首尾相连,连接剩余的两个端点的线段表示合力的大小,合 力的方向由第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端;两个矢量相减,将这两个力的始端平移在一起,连 接剩余的两个端点的线段即为两个力的差矢量的大小,差矢量的方向指向被减矢量。 2、平行力的合成与分解 同向平行力的合成:两个平行力 FA 和 FB 相距 AB,则合力 Σ F 的大小为 FA+FB,作用点 C 满足 FA×AC=FB×BC 的关系。 反向平行力的合成: 两个大小不同的反向平行力 FA 和 FB 相距 AB, 则合力 Σ F 的大小为 FA-FB(FA>FB), 作用点满足 FA×AC=FB×BC 的关系。 3、共点力作用下物体平衡条件 平衡条件:合外力等于零。即 Σ F=0,或 Σ Fx=0,Σ Fy=0 4、三力汇交原理(受三力平衡的物体,三力若不平行,则必共点) 若一个物体受三个非平行力而处于平衡状态,则这三个力必为共点力。 解决三力平衡问题常用的方法有: ①正交分解法;②合成与分解法;③相似三角形法;④正弦定理法;⑤图解法等。 【例 5】两根长度相等的轻绳,下端悬挂一质量为 m 的物体,上端 平天花板上的 M、N 点,M、N 两点间的距离为 S,如图所示。已知两 M 大拉力均为 Tm,则每根绳长度不得短于多少? 解析:选物体 m 为研究对象,受力如图所示,设拉力 T 与竖直方向夹角为?,由平衡条件有 2Tcos?=mg,由图中几何关系看出: cos?= L2-(s/2)2 mgL ,由此得:T= L2 2 L2-(s/2)2 mgL ≤Tm 2 L2-(s/2)2 S N 分别固定在水 绳能承受的最

又因为 T≤Tm,所以 整理得:L≥

Tms 4Tm2-(mg)2

【例 6】如图所示,一轻杆两端固定两个小球 A 和 B,A、B 两球质量分别为 4m 和 m,轻绳长为 L, 求平衡时 OA、OB 分别为多长?(不计绳与滑轮间的摩擦) 解法一:相似三角形法 分别对 A、B 作出受力图,由图上可见,利用相似 A 4mg mg
O

三角形法有: B

OA OC OB OC = , = TA 4mg TB mg 又因为 A、B 由同一根轻绳相连,所以 TA=TB,且绳子长度一定,有:OA+OB=L 联立解得:OA=L/5,OB=4L/5 解法二:转轴物体平衡法 4mgL1=mgL2,故 L1:L2=1:4 其余同上。 解法三:质心法。 【例 7】如图所示,质量为 m 的均匀细杆,静止在光滑的半球形容器中,设杆与水平方向的夹角为?, 则容器在 A 点和 B 点给杆的支持力各多大? 解析:正弦定理法。 如图所示,先受力分析,然后找出角度的 定理有: NA NB mg = = sin(90?-2?) sin? sin(90?+?) 解得:NA=mgtan?;NB= mgcos2? cos? B B A C ?
? 90?-2? G NA NB

C
?

关系, 由正弦

A

【例 8】如图所示,三个相同的光滑圆柱体,半径为 r,堆放在光滑的圆柱面内,试求下面两个圆柱体 不致分开时,圆柱面的半径 R 应满足的条件。 解析:设球 1 受到下面圆柱面的弹力为 N2,球 2 受到底下圆柱面的弹力为 N1,且 N1 与竖直方向夹角 为?,要使 2、3 两球刚好不分开的条件是这两球无弹力。 选球 1 为对象,由受力图有: mg=2N2cos30?,得 N2= 3 mg 3 R
1 2

选球 2 为对象,由平衡条件得: N1sin?= 3 mg sin30? 3 3 mg cos30? 3 3 7 ,sin?= 9 14
2

r
3

N1cos?=mg+

?

消去 N1 得:tan?=

r
3

r 7 由几何关系看出: = R-r 14 得: R=(1+2 7 )r, 即球 2、 3 不分开的条件是 R≤(1+2 7 )r=6.3r

N2 N1

mg

【例 9】如图所示,半径为 R 的刚性球固定在水平桌面上,有一质
O

量为 M 的圆环

状均匀弹性细绳圈,原长为 2?a,a=R/2,绳圈的劲度系数为 k,将绳圈从球的正上方轻放到球上,使其水 平停留在某个静力平衡位置,考虑重力,忽略摩擦。 (1)设平衡时绳圈长为 2?b,b= 2 a,求劲度系数 k(用 M、R、g 表示,g 为重力加速度) Mg (2)设 k= 2 ,求绳圈的最后平衡位置及长度。 2π R 解析:(1)设平衡时绳圈位于球面上对应于纬度为?的纬度线上,绳中张力为 T,选择一微元段△L 为 对象,对应顶角为△?,质量为△m,如图所示,如图所示 Mb△? M △? 故 F=2Tsin( );△m= = △? 2πb 2π 2 由图可知,对微元分析知: Nsin?=F,△mg=Ncos? △mgsin? Mgsin?×△? 故 T= = cos?sin(△?) 2πcos?sin(△?) Mgtan? 因为△?→0,上式简化得:T= 2π 对弹性绳满足胡克定律,T=2kπ(b-a) ∴T=2πk( 2-1 )a=πkR( 2-1 ) 由几何知识有:sin?=b/R= ( 2+1)Mg 因此 k= 2π2R Mg Mgtan? (2)当 k= 2 时,由(1)的结论 T= 及 T=2kπ(x-a)得 2π R 2π tan?=2sin?-1 变形得:sin?=2sin?cos?-cos?,得:sin22?=1+2sin?cos? 因为 0≤sin(2?)≤1,故上式无解,表明此时弹性绳已落在桌面上,这时绳长为原长 2πa。 五、力矩、力偶的概念 1、力臂 从转轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。 2、力矩 力和力臂的乘积叫力矩,记为 M=FL。单位为:“牛.米”。一 方向为正,顺时针方向为负。 力矩的进一步理解: 力矩也是力使物体绕某点(轴)转动效应的能量。 ①力对点之矩是矢量 如图所示,力 F 对 O 点之矩,用矢量 M0(F)表示,图中 r 表示力 F 的作用点 A 的位置矢量,这个力矩 M0(F) B O r F A 般规定逆时针 2 ,∴tan?=1 2
O O

T
△?

F T'
N △mg

F

?

x R

矢量的大小为: M0(F)=rFsin(r,F)=2?ABO 面积 方向:略 ②力对轴之矩是代数量 从一般意义上讲,力对轴之矩是一个沿轴向的矢量,在定轴情况 量性,把它作为代数量处理较为便利。当力线与轴相垂直时,边力线 面,如图所示,力 F 对轴 O 的之矩为 M0(F)=?Fh 通常规定逆时针转向为正。 2、力偶—由两个等值、反向的平行力组成的力矩。 力偶不能合成一个力,也是一个基本力学量。力偶使物体绕某 动效应,这种转动效应的大小,由构成该力偶的两个力对某点(轴) 偶矩 M 来量度。 3、有固定转轴物体的平衡条件 平衡条件:M 顺=M 逆 4、重心 物体所受重力的作用点叫重心。 计算重心的方法: ①同向平行力的合成法:各分力对合力作用点的合力矩为零,则合力作用点为重心。 ②割补法: 把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补 y2 y yc 体,再由同向平行力合成法求重心位置。 y1 ③公式法:如图所示,在平面直角坐标系中,质量为 m1 和 m2 坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则由两物体共同组成的整体的重心坐标为 m1x1+m2x2 m1y1+m2y2 xc = ,yc= m1+m2 m1+m2 【例 10】如图所示,飞轮重 1500N,由实验测得其重心离转轴 O1 为 4 处,若在右侧离轴 25cm 处钻一圆孔,剩余部分重心将移动轴心 O1,试求 力。 解析:补偿法,设钻去部分重力为 G,离中心 O 的距离为 x2,O1 离 O 的距离为 x1,若把钻去部分补 起来,则系统总重力在 O 处,故有 (1500-G)x1=Gx2,得 G=24N ★注:本题亦可把钻去的部分看成是一个顺时针方向的力矩和一个逆时针方向的力矩叠加而成,当两
O1 O O2 x1 x2

下不必强调矢 O h F A 作轴的垂直平

点 ( 轴 ) 产生转 M=FR R N F 之力矩和—力

B A C x

成形状规则的物

x1 xc x2

的 A、B 两质点

毫米处的 O 点 钻去部分的重

个力矩去处理,比较方法。 【例 11】一个质量为 m=50kg 的均匀圆柱体,放在台阶的旁边,台阶的高度 h 是圆柱体半径 r 的一半, 如图所示,圆柱体与台阶接触处(如图中 P 点)是粗糙的,现要在图中圆柱体的最上方 A 处施一最小的力 使圆柱体则能开始以 P 为轴向台阶上滚动,求: (1)所施力的最小值; (2)台阶对圆柱体的作用力的大小。 解析:(1)连接 AP,作 A 作 AP 的垂线,即为最小力的方 为 2.45?102N;
O A r P h

向。可得最小力

(2)方法很多。 法一:小球受力三力作用,由?Fx=0,?Fx=0 可求出

法二:由三力汇交原理可知,台对球的作用力一定过 A 点,而 F 又平行于 P 与最低点连线,可在一个 直角三角形中求出力的大小为 4.32?102N 【例 12】半径为 R、质量为 m1 的均匀圆球与一质量为 m2 的重物分别用细绳 AD 和 ACE 悬挂于同一 点 A,并处于平衡。如图所示,已知悬点 A 到球心 O 的距离为 L,若不考虑绳的质量和绳与球的摩擦,试 求悬挂圆球的绳 AD 和竖直方向的夹角?。(10 届预赛试题) 解析:选悬点 A 为转轴,从 A 向 CO 作垂线交于 CO 于 O'点,系统受拉力 TAD 和 TAC 作用且过悬点, 力矩为零,由力矩平衡条件得: m1g×OO'=m2g×CO' 又在三角形中有:OO'=Lsin? ∴O'C=R-OO'=R-Lsin? 三式解得:sin?= m2R (m1+m2)L
D O C m1 O' m2 E A

m2R 即?=arcsin[ ] (m1+m2)L

小结:由力矩平衡关系处理问题,关键是转轴的选择,通常选择未知又不需要求的力的作用点所在的 轴为转轴,这样减小方程中未知量个数,简化运算。 【例 13】有一个水平放置的半径为 R 的圆柱形光滑槽面,其 点,槽内放着两个半径均为 r 的光滑圆柱体 A、B,如图所示,质 和 mB,且 r=R/3,求圆柱体 A、B 平衡时,OA 线与竖直线间的夹 解析:对本题常用的处理方法是分别隔离 A、B 两物体,各自 用下物体的平衡条件求得。不过,这样处理比较繁琐,如把 A、B B ? O ? A 轴线通过 O 量 分 别 为 mA 角?是多少? 利用共点力作 两物看成一个

整体,它相当于绕过大圆柱圆心的水平轴转动。由于大圆柱面对两球的弹力均指向转轴,故这两个力对转

轴不产生力矩,从而能方便地求得问题的解。 设 OA、OB 连线分别与竖直线夹?、?角,以过 O 点的水平线为轴,对系统有: mAg(R-r)sin?=mBg(R-r)sin? 又因为 OA=OB=AB=2r 所以?+?=60? 解得:?=tan-1 3mB 2mA+mB

【例 14】如图所示,一根细棒上端 A 处用铰链与天花板相连,下端用铰链与另一细棒相连,两棒的 长度相等,两棒限在图示的竖直平面内运动,且不计铰链处的摩擦,当在 C 端加一适当的外力(纸面内), 可使两棒平衡在图示的位置处,即两棒间的夹角为 90?,且 C 端正处于 A 端的正下方。 (1)不管两棒质量如何, 此外力只可能在哪个方向范围内?试说明道理(不要求推 理)。 (2)如果 AB 棒质量 m1=1kg,BC 棒的质量为 m2=2kg,求此外力大小和方向。 解析:(1)选两棒整体分析,受重力 m1g 和 m2g 作用,它们对 A 轴有顺时针方向 的力矩,因此,在 C 端施加的力 F 方向不能指向 AC 竖直线的左方,对 BC 棒而言, C A B

受重力 m2g 作用,以 B 为轴,产生逆时针方向力矩,故力 F 方向只能在 BC 棒的左上方。综合二者分析知 力 F 的方向只能在∠ACB 的范围内斜向右上方,棒才可能平衡。 (2)设力 F 的方向与 AC 夹角为?,每棒长为 L,由力矩平衡条件: 对整体选 A 为轴,则有 L (m1+m2)g× sin45? =F× sin?× 2L 2 对 BC 棒选 B 为轴,有: L m2g× sin45? =FLsin(45?-?) 2 代入数据,求得:F=19N,方向为?=arcsin0.395。 小结:在求力矩时,如遇力臂不易找时,可以将力分解,求出各分力的力矩后再求合力矩。合力矩与 分力矩的关系是:合力矩等于各分力矩对转轴力矩的代数和。 【例 15】如图所示,一个半径为 R 的均质金属球上固定 的轻质细杆,细杆的左端用铰链与墙壁相连,球下边垫上一块 O L R 着一根长为 L F 木板后, 细杆恰 C A Fy ? F B

Fx

好水平,而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦(已知摩擦因素为?),所以要将木 板从球下面向右抽出时,至少需要大小为 F 的水平拉力。试问:现要将木板继续向左插进一些,至少需要 多大的水平推力? 解析:这是一个典型的力矩平衡的例题。

以球和杆为对象,研究其对转轴 O 的转动平衡,设木板拉出时给球体的摩擦力为 f ,支持力为 N , 重力为 G ,力矩平衡方程为: f R + N(R + L)= G(R + L) ??① 球和板已相对滑动,故:f = μN ??② 解①②可得:f =

?G (R ? L) R ? L ? ?R

再看木板的平衡,F=f,(可推出 G 的表达式)。

同理,木板插进去时,球体和木板之间的摩擦 f′=

?G (R ? L) = F′。 R ? L ? ?R

解得:F'=

R ? L ? ?R F 。 R ? L ? ?R
B4 A5 A6 B5 A1 A2 B6 B1 m A3 B3 及突起的重量 A4 B2 一端小突起 Ai 质量为 m 的质 于它与小突起 起 A1 所施的)

【 例 16 】 有 六 个 完 全 相 同 的 刚 性 长 条 薄 片 AiBi(i=1,2,3,??,6),其两端下方各有一个小突起,薄片 均可以不计,现将此六个薄片架在一只水平的碗口上,另 位于其下方薄片的正中,由正上方俯视如图所示,若将一 点放在薄片 A6B6 上一点,这一点与此薄片中点的距离等 A6 的距离, 求此薄片 A6B6 中点所受的(由另一薄片的小突 压力。(6 届预赛试题)

解析:设所求的压力 P1=P(向下),并设任一小突起 Ai,对其下的薄片中点的压力及其反作用力的大小 为 Pi,则根据以 Bi 点为支点的力矩的平衡知: Pi+1=2Pi P2=2P1=2P P3=2P2=22P P4=2P3=23P ???? P6=2P5=25P=32P 再考虑 A6B6 薄片为 B6 点为支点的力矩平衡,由右图有: P 3 + mg-32P=0 2 4 mg 解得:P= 42 【例 17】某水果店,所用的秤是量程为 10kg 的吊盘式杆秤。现有一较大西瓜,超过此秤的量程。店 员甲找到另一秤砣,与此杆秤秤砣完全相同,把它与原秤砣结在一起作为秤砣进行称量。平衡时,双砣位 B6 P A' A6 mg 32P

于 6.5kg 刻度处,他将刻度乘以 2 得 13kg,作为此西瓜的质量,卖给顾客,店员乙对这种称量结果表示怀 疑,为了检验,他取另一西瓜,用单秤砣正常称量得 8kg,用店员甲的双秤砣去称量,示数为 3kg,乘以 2 得 6kg。这证明店员甲的办法是不可靠的。试问,店员甲卖给顾客的那个西瓜实际质量是多大?(9 届预赛 试题) 解析:设杆秤的提纽 c(支点)与秤盘悬挂点 A 的距离为 d,零刻度 O(定盘星)到支点 c 的距离为 L0(0 点若在 c 点左边,与 A 点在提纽的同侧,L0 为负值;反之,L0 为正值),每千克刻度长为 λ,秤砣 的质量为 m0。当秤盘中不放物体的情况下,秤砣应放在 0 点处,这时秤杆和秤盘对 c 点的合力矩 M 与秤 砣产生的力矩大小相等,M0=L0m0g。当秤盘中放有质量为 m 千克的物体时,平衡条件为: M0+mgd=m0g(L0+λm) 即 md=m0λm,d=λm0 这是每一杆秤都满足的关系。 用双砣称量质量为 m 的物体时,设读数为 m'平衡时应用: mgd+M0=2m0g(L0+λm') 即 md=m0l0+2dm' 得到 2m'=m-m0L0/d 因此,用 2m'作为称量结果时,其值与实际值之差为: △m=2m'-m=-m0L0/d=定值,此差值与 m 无关,当 L0>0 时,2m'偏小;当 L0<0 时,2m'偏大。 由店员 B 的检验可知: △m=-m0l0/d=-2 千克 由此可知店员 A 卖给顾客的那个西瓜的实际质量为:m=2m'+m0l0/d=13+2=15 千克。 六、一般物体的平衡 稳度 1、物体平衡的种类可分为三种: (1)稳定平衡 当物体稍稍偏离平衡位置时,有一个力或力矩使之回到平衡位置,这样的平衡叫稳定平衡,处于稳定 平衡的物体偏离平衡位置时一般是势能增加。 (2)不稳定平衡 当物体稍稍偏离平衡位置时,有一个力或力矩使它的偏离继续增大,这样的平衡叫不稳定平衡,处于 不稳定平衡的物体偏离平衡位置时一般是势能减小。 (3)随遇平衡 当物体稍稍偏离平衡位置时,它所受的力或力矩不发生变化,它能够在新的位置上再次平衡,这样的 平衡叫随遇平衡。处于随遇平衡的物体偏离平衡位置时势能一般不变。

2、浮体平衡的稳定性 浮在流体表面的浮体,所受浮力与重力大小相 处于平衡状态,浮体平衡的稳定性,将因所受扰动 异。显然,浮体对铅垂方向的扰动,其平衡是稳定 向的扰动,其平衡是随遇的。 (a) W G B (b) FA FB G 等、方向相反, 方式的不同而 W 的,对水平方

浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动, 其平衡的稳定性视具体情况而定, 以浮于水面的船体为例: 当船体向右倾斜(即船体绕过质心的水平对称轴转动一小角度)时,其浮心 A 将向右偏离,浮力 FA 与重力 W 构成一对力偶,力偶矩将促使船体恢复到原来的方位,如图 a 所示。可见船体对这种扰动,其平衡是稳 定的。但如果船体重心 G 太高,船体倾斜所造成的力偶也可能促使倾斜加剧,这时船体的平衡就是不稳定 的,如图 b 所示。 3、稳度 物体稳定的程度。 一般来讲, 使一个物体的平衡遭到破坏所需要的能量越多, 这个平衡的稳度就越高。 【例 18】如图所示,三个直径和重力圴相同的圆柱体垛在一起,问 擦因数?最小为何值时, 它们才不会滚散?(已知圆柱体与地面及圆柱体之 相同) 解析:圆柱体不分开的条件是下面两个圆柱体间没有压力,即弹力刚好为 0。对左下方圆柱体受力分 析如图,由平衡条件有: f1cos30?+f2=Fcos30? f1=?F 选 O 为转轴,由力矩平衡得: f1r=f2r cos60? 联立解得:?= =0.268 1+cos30? ★小结:一般要抓住力的平衡方程和力矩的平衡方程来解题。 【例 19】用一根细线竖直悬挂一根长为 L 的均匀细木杆,置于水桶内水平面上方,如图所示,当水桶 缓慢上提时,细杆逐渐浸入水中,当木杆浸入水中超过一定深度 L'时,木杆开始出现倾斜现象,求 L'。已 知木杆的密度为?,水的密度为?0。 解析:当木杆浸入水中时受到三个力的作用:重力、绳子拉力和水的浮力。浮力的作用点在排开水部 分杆的中心处,重力作用点在杆的中心。当有稍小扰动使杆发生微小的倾斜时,对悬点将出现重力矩和浮 力矩,而且方向相反。如果浮力矩小于重力矩,那么木杆将自动回到原来位置,此时为稳定平衡;当重力 矩小于浮力矩时,则木杆就处于不稳定平衡状态,其倾斜程度将继续增大。 设杆的截面积为 S,密度为?,水的密度为?0,杆浸入水中的长度为 L',重力的力矩为
F f1 mg f2 2 1 3

圆柱体之间摩 间的摩擦因数

L MG=LS?g× sin? 2 浮力矩为 L' MF=L'S?0g(L- ) sin? 2 临界点为:MG=MF 可解得:L'=L(1± ?0-? ) ?0 ?0-? ) ?0 a r r
O' O ?' ? C ?' ?'

因为 L'<L,所以取 L'= L(1-

【例 20】边长为 a 的均匀立方体,对 半径为 r 的圆柱面顶部,如图所示。假设静 大,足以阻止立方体下滑,试证物体稳定的 r>a/2。

称地放在一个 摩擦系数足够 平衡条件为

解析:当立方体偏离一个很小的角?',无滑动地沿圆柱体“滚动”至触点 C 时,设圆柱体和立方体原 来的接触点分别为 O 和 O',因为 弧 OC=?'×r,O'C=tan?×a/2=?×a/2 而弧 OC=线段 O'C 所以:?'×r=?×a/2 如果 r>a/2,就有?'<?,此时可保证立方体的重心在过支点 C 的铅垂线的左方,也就是说立方体所受重 力和支持力的合力矩会使它恢复原来的位置,即立方体处于稳定平衡。 【例 21】用两个“爬犁”(雪撬)在水平雪地上运送一根质量为 m、长为 L 的均匀横梁,简化示意图如 图所示,每个爬犁的上端 A 与被运送的横梁端头固连,下端 B 与雪地接触,假设接触面积很小,一水平牵 引力 F 作用于前爬犁,作用点到雪地的距离用 h 表示,已知前爬犁与雪地间的动摩擦因数为?1,后爬犁与 雪地间的动摩擦因数为?2。问要在前后两爬犁都与雪地接触的条件下,使横梁沿雪地匀速向前移动,h 应 满足什么条件?水平牵引力 F 应多大?设爬犁的质量可忽略不计。 解析:整个装置受力情况如图所示,其中 N1 与 N2 分别 犁的支持力,f1 和 f2 分别为摩擦力,根据平衡条件有: F=f1+f2 mg=N1+N2 以 O 点为轴,Fh+N2L=mg×L/2 根据摩擦力与正压力的关系有: f1=?1N1 B ?2 ?1 B O L A A F h 为雪地对爬

f2=?2N2 解以上各式得: (L/2-?1h)mg N2= L-(?1-?2)h F= mgL(?1+?2) 2[L-(?1-?2)h] (*) f2 N2

L F f1 N1

根据题意,F 与 N2 必须满足下面的条件 F>0,N2≥0 由 F>0 可知,L-(?1-?2)h>0, 由 N2≥0 可知,L/2-?1h≥0 由此可解得:h≤L/2?1 (**)

在满足(**)式的条件下,所求的 F 即为(*)。 【例 22】如图所示,杯中盛有密度均匀的混合液体,其密度为 ρ,经过一段时间后变为密度分别为 ρ1 和 ρ2 的(ρ1<ρ2)的两层均匀液体,设其总体积不变,则杯内底面所受液体的压强是否变化?若有,应如何变 化?试证明你的结论。 解析:设液体高为 H,大气压强为 P0,液体对底 则 P=P0+ρgH ??① 设变化后上、下层液体高度分别为 H1 和 H2,对底面压强为 P',则 P'=P0+ρ1gH1+ρ2gH2 ??② ??③ ρ ρ1 ρ2 部的压强为 P,

由上面两式解得:P'-P=ρ1gH1+ρ2gH2-ρgH 因为总体积不变,所以有: HS=H1S1+H2S2 ??④

又因总质量不变,有 ρHS=ρ1H1S1+ρ2H2S2 ??⑤ ??⑥

由④⑤两式解得:(ρ2-ρ)H2S2=(ρ-ρ1)H1S1 因为 ρ2>ρ1,由图中几何关系可知 S1>S2 所以由⑥式可知:(ρ2-ρ)H2>(ρ-ρ1)H1 即 ρ1H1+ρ2H2 >ρ(H1+H2)=ρH 由⑦式和③式解得: P'>P ??⑦

杯底受压强变大。 ★注:只要质量不变和体积不变即可解出,不需要方程①②③。 【例 23】一盛水容器绕竖直中心轴匀速转动,如图所示,试证明容器中的水面为抛物面。 解法一:要证明水面为抛物面,关键是要找到水面上任一点 A 的坐标(x,y)之间满足的函数关系,由于 水面上各点运动情况并不完全相同,故本题肯定要通过微元法求解。 建立图示坐标系,在 A(x,y)正下方 y 处沿 x 轴取一段长度为 x、左右两侧截面积均为△S 的细水柱, 如图示,设水的密度为 ρ,则细水柱的质量为 △m=x△Sρ 细水柱绕 O 作圆周运动的向心力由两端的压力差提供,其大小为 △F=△P×△S=ρgy△S 设转动的角速度?,则细水柱作圆周运动的半径为 r=x/2,且有 △F=△m?2r 即 ρgy△S=x△Sρ?2x/2 得:y= ?2 2 x 2g ? y A x x y

这是一个抛物线方程,因为液面上任一点 A 的坐标满足抛物线方程,所以过 A 点的曲线是抛物线, 绕中心转动的水面为抛物面。 解法二:在夜面上任取一微元?m,坐标为 A(x,y),该微元绕轴作圆周运 N 如图所示,由支持力和重力的合力提供向心力。 由牛顿第二定律得:?mgtan?=?man=?m?2x ?2 整理得:tan?= x g 又 tan?即为该处液面的斜率,即函数的导数。故有 dy ?2 = x dx g 积分得:y= ?2 2 x +C 2g
F ? mg

动,微元受力

此为抛物线的方程,而且由图可知 C=0。故液面是抛物面。 法三:能量守恒法(值得思考,此处没有理由?) 在 x 处取一微元?m,从 y=0 处上升到 y,在 y 处的重力势能为:EP=?mgh 1 在 y 处的动能为:Ek= ?m(?x)2 2 令 Ek=Ep 得:y= ?2 2 x ,故液面是一抛物面。 2g
风 B

【例题 24】帆船在逆风的情况下仍能依靠风力破浪航行。设 A, 如图所示, 位于 A 点处的帆船要想在静水中最后驶向目标 S 点, A

风向从 S 指向 应如何操纵帆

船?要说明对帆船的作用力是如何使 解析:风吹到船帆上,产生一个 作用力,此力可以分解为平行于船轴 垂直于船轴的分力 F2,因为船侧向运 于轴向运动的阻力,因此 F2 被水的阻力所平衡,F1 使船顶风前 字形路线到达目标点。
A B

帆船逆风前进到达目的的。 F


垂直于船帆的
帆 风

F1

F2

的分力 F1 和 动的阻力远大 进。船沿着之

【例题 25】一薄壁圆柱形烧杯,半径为 r,质量为 m,重心位于中心线上,离杯底的距离为 H,今将 水慢慢注入杯中,问烧杯连同杯内的水共同重心最低时离水面的距离等于多少?(设水的密度为?)(第 7 届全国决赛试题) 解析:由题知,当重心降到水面时,共同重心最低。设注入水深度为 y,选烧杯底面直径为 x 轴,烧 杯中心线为 y 轴,底面圆心为坐标原点,建立直角坐标系,烧杯重心坐标为(0,H),注入的水重心坐标为 (0,y/2),由坐标公式求得总重心高度为 mH+?r2y?×y/2 yc= m+?r2? 重心最低时,y=yc 解方程得:y= -m± m2+2?r2?mH ?r2?

根据题意舍去负值得: y= -m+ m2+2?r2?mH ?r2?

【例题 26】一有 7 根长度相等的轻钢杆在端点铆起来,组成如图所示的结构,A 段固定在水平面上自 由滑动,水平方向用 x 轴表示,杆所承受的应力远大于杆的自重,所以可忽略杆的重力。在 C 点加一竖直 向下的压力 N,试求各杆所受的力。 解析:设装置的 A 点所受的水平分量为 F2,竖直分量为 F1,E 点只受水平面给它竖直向上的力 F3, 杆的各交接点受到汇交于该点各钢杆的力如图所示,假定各杆都受到拉力作用,则各杆对结点的作用力也 全是拉力,每根杆两端结点受该杆的拉力应相等,图中用一个符号代表其大小,于是对结构的整体可列出 力的平衡式: F2=0,F1+F3-N=0 取 z 轴通过 A 点,由 Mz=0 得 F3?2L-N?L=0 式中 L 为杆长,由以上三式得:F2=0, F1=N/2, F3=N/2

考察 A 点的平衡,力平衡方向分别为 F1+T1cos60?=0 T1sin60?+F1=0 N N 解得:T1=,T2= 3 2 3 再考察结点 B 的力平衡: T4-T1cos60?+T3cos60?=0 T1sin60?+T3sin60?=0 解得:T3= N N ,T4=3 3
A F2 F1 T2 C T7

y
T1

B

T4 T3 N

D T5 T6

F3 E

x

接下去可考察结点 C 和 D 的平衡方程,但由于对称性,不必一一计算,可直接写出 T5=T3= N N N ,T6=T1=,T7=T2= 3 3 2 3

从所得的符号,可知 AB、BD、DE 三根杆中所受力是压力,因为计算出力是负值,与所设相反,其 余各杆都为拉力。 扩展:如图所示,各杆件质量均不计,求桁架中杆件 8、9、10 的内力。已知边长 a=12m,h=10m, F=50kN。
y Fy A 1 Fx 2 C 3 D F 4 5 6 E 7 G F 8 9 H 11 10 F 12 13 14 F 15 16 17 18 F 19 20 21 22 B h NB x

解析:这里只要求计算桁架中几个杆件的内力,则可以用截面法。设想用一个截面将桁架截开,取其 中一部分为研究对象,用平面力系的平衡方程求出被截杆件的内力。 (1)先求桁架的支座反力。 以整体为研究对象,列出力系的一般平衡方程,即 ∑Fx=0 得:Fx=0 ∑Fy=0 得:Fy+NB-5F=0 ∑MA=0 得:6aNB-F(a+2a+3a+4a+5a)=0 可以解得: Fx=0,Fy=125N,NB=125N (2)求杆件 8、9、10 的内力 设想用截面 I-I 将 8、9、10 三杆截开,取桁架的左半部分为研究对象,由于该部分应处于平衡状态,

故可用平面一般力系平衡方程列式,由于杆件质量不计,所受力的方向必沿杆件方向。若假设 S8、S9、S10 均为拉力,则有 ∑MG=0 有:aF-2aFy-hS8=0 ∑MH=0 有:F(1.5a+0.5a)-2.5aFy+S10h=0 ∑Fy=0 有:Fy-2F+S9sin?=0 可解得:S8=-240kN(压力),S9=-30kN(压力),S10=255kN(拉力)
Fy y 1 Fx 2 C 3 D F 4 5 6 E 7 G F 8 S8 H 9 S9 S10

小结:若以节点为研究对象列式非常复杂,因此求解桁架中几根 A 杆的受力常用此法。


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